初中数学竞赛专题2-绝对值不等式学案

初中数学竞赛专题2

绝对值不等式

基础概念

绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.

绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.

②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.

求字母a的绝对值：

①

(0)

0(0)

(0)

a a

a a

a a

>

⎧

⎪

==

⎨

⎪-<

⎩

②

(0)

(0)

a a

a

a a

≥

⎧

=⎨

-<

⎩

③

(0)

(0)

a a

a

a a

>

⎧

=⎨

-≤

⎩

利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：若0

a b c

++=，则0

a=，0

b=，0

c=

绝对值的其它重要性质：

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a

≥，且a a

≥-；

（2）若a b

=，则a b

=或a b

=-；

（3）ab a b

=⋅；

a

a

b b

=(0)

b≠；

（4）222

||||

a a a

==；

（5）a b a b a b -≤+≤+，

对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；

对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．

（5）对一切实数x ，都有||||x x x -≤≤.

（6）

123||a a a ++≤123||||||a a a ++；||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ . （7）||||||||||b a b a b a +≤-≤-. 加强：||||||||||a b a b a b -≤-≤+. 绝对值几何意义

当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值． 零点分段讨论的一般步骤：

找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．

a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a

b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．

例题解析

【例1】解不等式2321-->+x x

分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ，将

不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．

解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2

3

=

x ，如图所示．

（1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解．

（2）当2

3

1≤

<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2

3

0≤

（3）当2

3

>x 时，原不等式化为

2321-->+x x ．∴6

<

综上，原不等式的解为{}60<

说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．

【例2】求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围．

分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．

解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间 当3<-+-有解的条件为32

7<-a

，即1>a ；

当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ； 当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+<

a x ，有解的条件为42

7>+a ∴1>a ．

以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．

解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，