ⅱ)当∆=4(a-1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,1220)1(0a f 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2;
综合可得a 的取值范围为[-3,1]。
恒成立问题与变量分离联系
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例3、已知当x ∈R 时,不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立,求实数a 的取值范围。
分析:在不等式中含有两个变量a 及x ,其中x 的范围已知(x ∈R ),另一变量a 的范围即为所求,故可考虑将a 及x 分离。
解:原不等式即:4sinx+cos2x<45-a -a+5
要使上式恒成立,只需
45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值,故上述问题转化成求
f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2 上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a 解得485
a ≤<。 注:注意到题目中出现了sinx 及cos2x ,而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。
2、有解问题
有解问题与二次不等式联系
例4、不等式2
20kx k +-<有解,求k 的取值范围。 解:不等式220kx k +-<有解2(1)2k x ⇔+<有解221k x ⇔<+有解2max 221k x ⎛⎫⇔<= ⎪+⎝⎭,
所以(2)k ∈-∞,
。 有解问题与绝对值不等式联系
例5、对于不等式21x x a -++<,存在实数x ,使此不等式成立的实数a 的集合是M ;对于任意[05]x ∈,,使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ,求集合M N ,. 解:由21(1)()213(12)21(2).x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=-++=-⎨⎪->⎩,,
≤≤
又()a f x >有解min ()3a f x ⇔>=, 所以{3}M a a =>.
令()
g x 21[05]()x x x a g x =-++∈>,,,恒成立max ()(5)9a g x g ⇔>==. 所以{9}
N a a =>. 有解问题与导数联系
例6、(06年湖北)设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e x -3,x ∈R 的一个极值点.
(1)求a 与b 的关系(用a 表示b ),并求f(x)的的单调区间;
(2)设a>0,g(x)=x e a ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+4252,若存在S 1,S 2∈[0,4],使得|f(S 1)-g(S 2)|<1成立,求a 的取值范围.
解析:(1)x e a b x a x x f --+-+-='32])2([)(,由)3(f '=0得b=-2a-3.
故f(x)=(x 2+ax-2a-3)x e -3
因为)(x f '=-[x 2+(a-2)x-3a-3] x e -3=-(x-3)(x+a+1) x e -3.
由)(x f '=0得:x 1=3,x 2==-a-1. 由于x=3是f(x)的极值点,故x 1≠x 2,即a≠-4.
当a<-4时,x 1当a>-4时,x 1>x 2,故f(x)在(],1a -∞--上为减函数,在[-a-1,3]上为增函数,在[)3,+∞上为减函数.
(2)由题意,存在S 1,S 2∈[0,4],使得|f(S 1)-g(S 2)|<1成立,即不等式|f(S 1)-g(S 2)|<1在S 1,S 2∈[0,4]上有解.
于是问题转化为|f(S 1)-g(S 2)|m in <1,由于两个不同自变量取值的任意性,因此首先要求出f(S 1)和g(S 2)在[0,4]上值域.
因为a>0,则-a-1<0,由(1)知:f(x)在[0,3]递增;在[3,4]递减.
故f(x)在[0,4]上的值域为[min{f(0),f(4)},f(3)]=[-(2a+3)e 3
,a+6], 而g(x)=x e a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4252在[0,4]上显然为增函数,其值域2242525,44a a e ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
因为22251(6)()0,42a a a +-+=-≥故22564
a a +≥+ |f(S 1)-g(S 2)|min =225(6)4a a +-+,从而解225(6)13,0420a a a a ⎧+-+<⎪<<⎨⎪>⎩
得. 故a 的取值范围为30,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭。
假若问题变成:“对任意的S 1,S 2∈[0,4],使得|f(S 1)-g(S 2)|<1都成立,求a 的取值范围.”则可将其转化为|f(S 1)-g(S 2)|max <1。
点评:函数、不等式、导数既是研究的对象,又是决问题的工具. 本题从函数的极值概念入手,借助导数求函数的单调区间,进而求出函数 闭区间上的值域,再处理不等式有解问题。这里传统知识与现代方法交互作用,交相辉映,对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查。