第四章 二阶偏微分方程与分离变量法
二阶偏微分方程分离变量法
二阶偏微分方程分离变量法分离变量法是解二阶偏微分方程的一种常用方法，它的思路是将方程中的未知函数分离为两个只关于一个变量的函数，并通过适当的代数和微积分变换得到方程的解。
本文将详细介绍分离变量法的具体步骤和应用，以及如何通过实例进行练习和巩固相关知识。
一、分离变量法的基本思想偏微分方程是数学中的重要研究对象，它描述了自然界中的许多现象和规律。
其中，二阶偏微分方程是比较常见的一类方程，解决这类方程对于深入理解物理、工程和其他学科中的问题具有重要意义。
分离变量法是解二阶偏微分方程的一种常用方法，其基本思想是将方程中的未知函数分离为两个只关于一个变量的函数，然后通过代数和微积分的变换得到方程的解。
二、分离变量法的步骤具体而言，分离变量法的解题步骤如下：1. 判断方程是否为齐次方程，即方程中只含有未知函数及其导数的乘积。
2. 若方程为齐次方程，将方程两边同时除以未知函数及其导数的乘积，并将方程两边分别乘以微分变量的导数。
3. 将方程两边的微分变量分离到方程两边，得到两个只关于一个变量的方程。
4. 分别对两个方程积分，并加入常数项。
5. 将得到的两个解合并为原方程的解，并确定合适的常数。
三、分离变量法的应用分离变量法可应用于许多物理和工程问题的求解中。
例如，热传导方程和波动方程等都可以使用该方法求解。
以热传导方程为例，假设一个物体中的温度分布满足二维热传导方程：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = k∂u/∂t，其中，u是温度分布函数，k是热传导系数。
首先，将未知函数u分离变量为u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t)，代入方程中得到三个只关于一个变量的方程：X''/X + Y''/Y = kT'/T。
然后，对这三个方程逐一分别积分，并加入常数项，得到：X''/X = λ1, Y''/Y = λ2, kT'/T = λ1 + λ2，其中，λ1和λ2是常数。
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
偏微分方程的分离变量法
偏微分方程的分离变量法偏微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了多元函数的偏导数之间的关系。
在求解偏微分方程的过程中，分离变量法是一种常被使用的方法。
本文将介绍偏微分方程的分离变量法，并通过实例来说明其应用。
一、分离变量法的基本原理分离变量法是一种常见且常用的求解偏微分方程的方法。
它基于以下原理：假设待求解的偏微分方程为一个多项式函数，且可以分解为多个单独的函数之积，即可将其分离为多个个别的方程，通过解这些个别方程，再将它们组合起来得到原方程的解。
二、分离变量法的具体步骤分离变量法的具体步骤如下：1. 将待求解的偏微分方程中的各个变量分离，组成一个由单个变量及其对应的导数组成的方程。
2. 对单个变量的方程进行求解，得到每个变量的解函数。
3. 将各个变量的解函数组合起来，得到原方程的解。
三、应用实例：热传导方程问题考虑一个一维热传导方程问题：∂u/∂t = k * ∂^2u/∂x^2其中，u(x, t)为未知函数，k为常数。
按照分离变量法的步骤，我们将u(x, t)分离为两个函数u(x)和v(t)的乘积，即u(x, t) = X(x) * T(t)。
将上述分离变量代入原方程中，得到：X(x) * T'(t) = k * X''(x) * T(t)将等式两边分别除以k * X(x) * T(t)，得到：T'(t) / (k * T(t)) = X''(x) / X(x)由于等式两边只包含单个变量及其对应的导数，因此可以将等式两边分别等于一个常数，记为-λ^2，得到：T'(t) / (k * T(t)) = -λ^2 = X''(x) / X(x)接下来，我们对T(t)和X(x)分别进行求解。
对T(t)的小节方程进行求解，得到：T'(t) / (k * T(t)) = -λ^2T'(t) / T(t) = -λ^2 * k对上述方程积分，得到：ln(T(t)) = -λ^2 * k * t + C1其中，C1为常数。
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
二阶线性偏微分方程的分类与总结
特点
1
偏微分方程的意义
2
3
描述现实问题中多个变量之间的动态关系。
建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
通过求解偏微分方程，可以预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
二阶线性偏微分方程的分类
02
特征方程为多项式形式
特征方程为三角函数形式
分离变量法
适用范围：积分变换法适用于具有特定边界条件的二阶线性偏微分方程，如周期性边界、狄利克雷边界等。基本思想：利用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。步骤选择适当的积分变换函数，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。对原方程进行积分变换，得到变换后的常微分方程。求解常微分方程，得到原方程的解。通过反变换得到原方程的通解。
二阶线性偏微分方程的展望与发展
05
有限差分法
通过离散化偏微分方程，将连续的空间离散为多个离散点，并使用差分近似公式来计算每个离散点处的数值解。
有限元法
将连续的空间离散为多个小的单元，每个单元内使用线性函数来近似解，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
谱方法
利用傅里叶变换等函数变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解，具有高精度和高分辨率的优点。
《二阶线性偏微分方程的分类与总结》
xx年xx月xx日
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目录
二阶线性偏微分方程概述二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的求解方法二阶线性偏微分方程的应用领域二阶线性偏微分方程的展望与发展二阶线性偏微分方程的案例分析
二阶线性偏微分方程概述
01
VS
二阶线性偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，且方程中未知函数的最高阶偏导数不超过二阶。
分离变量法
1.2
分离变量法的物理意义
令 Nn =
2 A2 n + Bn ,
αn = arctan 混合问题 (1) 的解的每一项可化为 un (x, t) = Nn sin
Bn , An
nπ anπ x sin t + αn . l l
un (x, t) 是振动元素。对于弦上任意一点 x ， un (x, t) 描述了这一 anπ nπ ， 频 率 ωn (x) = ，初 点 的 简 谐 振 动 ， 其 振 幅 an (x) = Nn sin l l l n−1 相位为 αn 。于是 ，当 x = 0, , . . . , l, l 时，振幅 an (x) = 0 ；当 n n l 3l 2n − 1 x= , ,..., l 时，振幅 an (x) = ±Nn 达到最大。因此弦的振动 2n 2n 2n 可以看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。 特别地，考虑定解问题 utt − a2 uxx = A (x) sin ωt, (x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞) , u (x, 0) = ut (x, 0) = 0, x ∈ [0, l] , u (0, t) = u (l, t) = 0, t ∈ [0, +∞) . x 我们可得
4
将 u (x, t) ， f (x, t) ， ϕ (x) ， ψ (x) 均按特征函数系展开：
∞
u (x, t) =
n=1 ∞
Tn (t) sin fn (t) sin
n=1 ∞
nπ x, l nπ x, l
f (x, t) = ϕ (x) =
n=1 ∞
ϕn sin ψn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
第四章 分离变量法、本征函数法
Tn
(t)
=
Cn
cos
nπat l
+
Dn
sin
nπat l
，
从而得到变量分离状态的解，称之为驻波：
un (x,t)
=
X n (x)Tn (t)
=
(Cn
cos
nπat l
+
Dn
sin
nπat )sin l
nπx l
.
从这里可以看出，为什么我们在本征函数 X n (x) 把 D 取成 1 呢？事
实上是不失一般性的，无非是将 D 并入系数 Cn , Dn 中而已. 现在要求满足初始条件的解，一般而言，这可列个驻波解并不满
相应的本征函数为
X
n
(x)
=
sin
μn l
x
,
(n = 1,2,3,...)
（3）把本征值 λn
=
(μn l
)2 代入关于
T(t)的常微分方程中有
得解 就有
Tn′(t)
+
(
μn l
a
)
2
Tn
(t)
=
0,
(n = 1,2,3...)
−( μna )2 t
Tn (t) = Cne l ,
(n = 1,2,3...) ，
(x)
=
+∞ n =1
nπa l
Dn
sin
nπx l
所以
∫ Dn
=
2 nπa
l
ψ (ξ ) sin
0
nπξ l
dξ ,
因此分离变量法又叫傅立叶解法.
n = 1,2,3...
分离变量法是将偏微分方程与边界条件要分离变量，所以方程
数学物理方程学习指导书第4章 分离变量法
第4章 分离变量法物理学、力学和工程技术等方面的许多问题都可归结为偏微分方程的定解问题，上一章我们已初步看到怎样把具体的物理问题表达为定解问题.下面一个重要任务是怎样去解决这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解.从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分及重积分时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决.与此类似，求解偏微分方程的定解问题也是要设法把它们转化为常微分方程问题，分离变量法就是常用的一种转化手法.本章我们将通过实例来说明分离变量法的步骤和实质.在4.2我们讨论了如何处理第三类齐次边界条件（当然也包括第二类边界条件）.在4.3说明如何在极坐标系下使用分离变量法.在4.4及4.5我们讨论了如何处理非齐次方程及非齐次边界条件的问题，本章的最后还安排了两个较为综合性的例子作为总结.4.1 有界弦的自由振动为了使读者了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题.根据第3章所得的结论，讨论两端固定的弦的自由振动，就归结为求解下列定解问题22222000,0,0; (4.1)0,0;(4.2)(),().(4.3)x x l t t uu a x l t t x u u u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解这样的问题，可以运用叠加原理.我们知道.在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件.这就启发我们，要解问题(4.1),(4.2),(4.3)，先寻求齐次方程（4.1)的满足齐次边界条件(4.2)的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件(4.3).现在我们试求方程(4.1)的变量分离形式(,)()()u x t X x T t =的非零解，并要求它满足齐次边界条件(4.2),式中(),()X x T t 分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数. 由(,)()()u x t X x T t =得2222''()(),()''(),u uX x T t X x T t x t∂∂==∂∂代入方程(4.1)得2()()()()X x T t a X x T t ''''=或2()()()()X x T t X x a T t ''''=这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，一般情况下二者不可能相等，只有当它们均为常数时才能相等.令此常数为λ，则有2()()()()X x T t X x a T t λ''''==. 这样我们得到两个常微分方程：2()()0,T t a T t λ''-= （4.4）()()0.X x X x λ''-= （4.5）再利用边界条件(4.2)，由于(,)()()u x t X x T t =)，故有(0)()0,()()0.X T t X l T t ==但()0T t ≠,因为如果()0T t ≡，则(,)0u x t ≡，这种解显然不是我们所要求的，所以(0)0,()0.X X l == （4.6）因此，要求方程（4.1）满足条件(4.2)的分离变量形式的解，就先要从方程''()()0,(0)()0X x X x X X l λ-=⎧⎨==⎩中解出()X x .现在我们就来求非零解()X x ，但要求出()X x 并不是一个简单的问题，因为方程(4.5)中含有一个待定常数λ，所以我们的任务既要确定λ取何值时方程(4.5)才有满足条件(4.6)的非零解，又要求出这个非零数()X x .这种常微分方程问题称为固有值问题，λ称为特征值（固有值，本征值），函数()X x 称为特征函数（固有函数，本征函数）.下面根据第1章所介绍的方法，我们对λ分三种情况来讨论.1°λ＞0，此时方程(4.5)的通解为().X x Be =+-由条件(4.6)得0A B +=，0.Be +=解出,A B 得0A B ==，即()0X x ≡，不符合非零解的要求，因此λ不能大于零.2°设λ=0，此时方程(4.5)的通解为()X x Ax B =+，由条件(4.6)还是得0A B ==，所以λ也不能等于零.3°设λ＜0，并令ββλ,2-=为非零实数.此时方程(4.5)的通解为()cos sin ,X x A x B x ββ=+由条件(4.6)得0,A = Bsin 0.l β=由于B 不能为零（否则()0X x ≡），所以sin 0,l β=即),,3,2,1(. ==n ln πβ（n 为负整数可以不必考虑，因为例如21,sin n B x l π-=-实际上还是2sin B x lπ'的形式）从而222,n lπλ=- （4.7）这样，我们就求出了一系列固有值及相应的固有函数：222.(1,2,3,),n n n lπλ=-=()sin(1,2,3,),n n n X x B x n lπ== （4.8）限定了λ的值后，现在再来求函数()T t ，以(4.7)式中的λ值代入方程(4.4)中得2222()()0,n a n T t T t lπ''+= 显然，其通解为''()cossin (1,2,3,).n n n n at n at T t C D n l lππ=+= （4.9）于是由(4.8)，（4.9）得到满足方程(4.1)及边界条件(4.2)的一组变量被分离的特解(,)cos sin sin(1,2,3,),n n n n at n at n x u x t C D n l l l πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(4.10)其中,n n n n n n C B C D B D ''==是任意常数，至此，我们的第一步工作已经完成了，求出了既满足方程(4.1)又满足边界条件(4.2)的无穷多个特解.为了求原定解问题的解，还需要满足条件(4.3).由(4.10)式所确定的一组函数虽然已经满足方程(4.1)及条件(4.2)，但不一定满足初始条件(4.3).为了求出原问题的解，首先我们将（4.10）中所有函数(,)n u x t 叠加起来1(,)(,)n n u x t u x t ∞==∑1c o s s i n s i n ,n nn n a n a n C t D x l l lπππ∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ （4.11） 如果(4.11)右端的无穷级数是收敛的，而且关于,x t 都能逐项微分两次，则它的和(,)u x t 也满足方程(4.1)和条件（4.2)（参考习题三第6题）.现在我们要适当选择,n n C D ，使函数(,)u x t 也满足初始条件（4.3），为此必须有01(,)(,0)sin(),n t n n u x t u x C x x lπϕ∞=====∑ 10sin (),n n t u n a n D x x t l lππψ∞==∂==∂∑ 因为(),()x x ϕψ是定义在[0,]l 上的函数，所在只要选取n C 为()x ϕ的傅氏正弦级数展开式的系数，n n aD lπ为()x ψ的傅氏正弦级数展开式的系数，也就是 002()sin ,2()sin .l n l nn C x xdx l ln D x xdx n a l πϕπψπ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ （4.12） 初始条件(4.3)就能满足，以(4.12)所确定的,n n C D 代入(4.11)式，即得原定解解问题的解.当然，如上所述，要使(4.11)式所确定的函数u(x,t)确定是问题(4.1)，(4.2)，(2.3)的解，除了其中的系数,n n C D 必须由(4.12)确定以外，还要求只要对函数()x ϕ及()x ψ加一些条件就能满足，可以证明（参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》第二章§1），如果()x ϕ三次连续可微，)(x ψ二次连续可微，且(0)()(0)()(0)()0l l l ϕϕϕϕψψ''''======，则问题(4.1)，(4.2)，（4.3)的解存在.并且这个解可以用(4.11)给出，其中,n n C D 由（4.12）式确定*).从上面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定固有函数与运用叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因为偏微分方程与边界条件都是齐次的，这一点希望读者一定要注意.例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为1000)10()(x x x -=ϕ，求弦作微小横向振动时的位移.解 设位移函数为(,)u x t ，它是下列定解解问题2222201000,010,0;0,0;(10),01000x x l t uu a x t t x u u x x u u t ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪-∂⎪==⎪∂⎩的解，这时10l =，并给定210000a =（这个数字与弦的材料、张力有关）.显然，这个问题的傅氏级数形式解可由(4.11)给出，其系数按（4.12）式为10033330,1(10)sin 5000102(1cos )50,4,5n n D n C x x xdx n n n n n ππππ==-=-⎧⎪=⎨⎪⎩⎰当为偶数 当为奇数 因此，所求的解为33041(21)(,)sin cos10(21).5(21)10n n u x t x n t n πππ∞=+=++∑ 为了加深理解，下面我们扼要地分析一下级数形式解(4.11)的物理意义，先分析一下级数中每一项(,)cos sin sin n n n a n a n u x t C t D t x l l l πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*)这里所讲的结论经适当修改即可用于下面几节将要讨论的定解问题，所以，本书中凡是用分离变量法求解的定解问题都假定它的定解条件具备一定的条件，保证定解问题的解可以表示成级数的形式，或者说可以运用叠加原理.的物理意义，分析的方法是：先固定时间t ，看看在任一指定时刻波是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律.把括号内的式子改变一下形式，可得(,)cos()sin,n n n n u x t A t x lπωθ=-其中,.n n n n nD n aA arctg l C πωθ=== 当时间t 取定值0t 时，得(,)sin,n n u x t A x lπ'= 其中0cos()n n n n A A t ωθ'=-是一个定值，这表示在任一时刻，波0(,)n u x t 的形状都是一些正弦曲线，只是它的振幅随着时间的改变而改变.当弦上点的横坐标x 取定值0x 时，得0(,)cos(),n n n n u x t B t ωθ=-其中0sinn n n B A x l π=是一个定值.这说明弦上以0x 为横坐标的点作简谐振动，其振幅为n B ，角频率为n ω，初位相为n θ.若x 取另外一个定值时，情况也一样，只是振幅n B 不同罢了，所以(,)n u x t 表示这样一个振动波：在考察的弦上各点以同样的角频率n ω作简谐振动，各点处的初位相也相同，而各点的振幅则随点的位置改变而改变；此振动波在任一时刻的图形是一正弦曲线.这种振动波还有一个特点，即在[0,]l 范围内还有1n +个点（包括两个端点）永远保持不动，这是因为在(0,1,2,,)m mlx m n n==那些点上，sinsin 0mn x m l ππ==的缘故，这些点在物理上称为节点.这就说明(,)n u x t 的振动是在[0,]l 上的分段振动，其中有1n +个节点，人们把这种包含节点的振动波叫做驻波.另外驻波还在n 个点处振幅达到最大值（读者可自己讨论），这种使振幅达到最大值的点叫做波腹.图4-1画出了在某一时刻1,2,3n =的驻波形状.综合上述，可知(,),(1,2,3,)n u x t n =是一系列驻波，它们的频率、位相与振幅图4-1都随n 不同而不同，因此我们可以说，一维波动方程用分离变量法解出的结果(,)u x t )是由一系列驻波叠加而成的，而每一个驻波的波形由固有函数确定，它的频率由固有值确定.这完全符合实际情况，因为人们在考察弦的振动时，就发现许多驻波，它们的叠加又可以构成各种各样的波形，因此很自然地会想到用驻波的叠加表示弦振动方程的解.这就是分离变量法的物理背景.所以分离变量法也称为驻波法.4.2 有限长杆上的热传导设有一均匀细杆，长为l ，两端点的坐标为0x =与x l =，杆的侧面是绝热的，且在端点0x =处温度是零度，而在另一端x l =处杆的热量自由发散到周围温度是零度的介质中去（参考第3章1.2中第三类边界条件），已知初始温度分布为().x ϕ求杆上的温度变化规律，也就是要考虑下列定解问题：222,0,0; 2.13(,)(0,)0,(,)0;(2.14)(,0)().(2.15)u u a x l t t x u l t u t hu l t x u x x ϕ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪=⎪⎪⎩（）我们仍用分离变量法来解这个问题，首先求出满足边界条件而且是变量被分离形式的特解.设(,)()()u x t X x T t =, 2()().()()T t X x a T t X x '''=上式左端不含有x ，右端不含有t ，所以只有当两端均为常数时才可能相等.令此常数为2β-，（读者可以从方程()(),X x X x λ''=结合边界条件按λ取值的三种不同情况像4.1那样讨论后得出），则有22()(),()()T t X x a T t X x β'''==- 从而得到两个线性常数微分方程222()()0,()()0.T t a T t X x X x ββ'+=''+= （4.16）解后一个方程得()cos sin ,X x A x B x ββ=+由边界条件(4.14)可知(0)0,'()()0.X X l hX l =+=从(0)0X =得 0A =，从()()0.X l hX l '+=得cos sin 0.l h l βββ+= （4.17）为了求出β，方程(4.17)可改写成tg a γγ=， （4.18）其中1,.l a hlγβ==-方程(4.18)的根可以看作是曲线1y tg γ=与直线2y a γ=交点的横坐标（图4-1），显然它们的交点有无穷多个，于是方程(4.18)有无穷多个根，由这些根可以确定出固有值β.设方程(4.18)的无穷多个正根（不取负根是因为负根与正根只差一个符号（图4-2），再根据4.1中所述的同样理由）为123,,,,,n γγγγ于是得到无穷多个固有值图4-21212,,,,nn lllγγγβββ===及相应的固有函数()sin .n n n X x B x β= （4.19）再由(4.16)中第一个方程解得22().n a tn n T t A eβ-= （4.20）由(4.19)，（4.20)两式，我们得到方程（4.13）满足边界条件(4.14)的一组特解22(,)()()sin (1,2,3,),n a tn n n n n u x t X x T t C ex n ββ-=== （4.21）其中 .n n n C A B =由于方程(4.13)与边界条件(4.14)都是齐次的，所以2211(,)(,)sin n a t n n n n n u x t u x t C e x ββ∞∞-====∑∑ （4.22）仍满足方程与边界条件，最后考虑(,)u x t 是否能满足初始条件(4.15)，从(4.22)式得1(,0)sin .n n n u x C x β∞==∑现在希望它等于已知函数()x ϕ，那么首先要问[0,]l 上定义的函数()x ϕ是否能展开为1sin nn n Cx β∞=∑级数形式，其次要问系数n C 如何确定，关于前者，只要()x ϕ在[0,]l 上满足狄氏条件就可以了，现在主要谈求系数的问题.回忆傅氏系数公式的得来是根据函数系的正交性，所以现在也要考察函数系{}sin n x β在[0,]l 上的正交性，可以证明（参阅§5.3关于固有函数正交性的证明方法）sin sin 0,.lm n x xdx m n ββ=≠⎰令 20sin ,ln n L xdx β=⎰于是把1()sin n n n x C x ϕβ∞==∑ （4.23）的两端乘上sin k x β，然后在[0,l ]上积分得()sin lkk k x xdx L C φβ=⎰即 01()sin .Lk k kC x xdx L φβ=⎰（4.24）把(4.24)代入(4.22)式即得原定解问题的解.通过上面两节的讨论，我们对分离变量法已经有了一个初步的了解，它的主要步骤大体为：一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的.二、确定固有值与固有函数.由于固有函数是要经过叠加的，所以用来确定固有函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足，当边界条件是齐次时，求固有函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非零解.三、定出固有值、固有函数后，再解其他的常微分方程，把得到的解与固有函数乘起来成为(,)n u x t ，这时(,)n u x t 中还包含着任意常数.四、最后为了使解满足其余的定解条件，需要把所有的(,)n u x t 叠加起来成为级数形式，这时级数中的一系列任意常数就由其余的条件确定，在这最后的一步工作中，需要把已知函数展开为固有函数项的级数，所以，必须考虑固有函数的正交性.由本节的例子还可以看出，用分离变量法求解第三类边界条件（第二类边界条件也一样）的定解问题时，只要边界条件都是齐次的，其过程与解第一类边界条件的定解问题是相同的，但在确定固有值时，一般说来是比较复杂的.4.3 圆城内的二维拉普拉斯方程的定解问题一个半径为0ρ的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘温度分布为已知，求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布.在第3章讲过，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关，应满足拉普拉斯方程20.u ∇=因为边界形状是个圆周，它在极坐标下的方程为0ρρ=，所以在极坐标系下边界条件可表为(),u f ρρθ==既然边界条件使用了极坐标系，所以我们将方程也采用极坐标的形式，于是有220220110,;(4.25)(,)().(4.26)u uu u f ρρρρρρρθρθθ⎧⎛⎫∂∂∂∇=+=<⎪ ⎪∂∂∂⎨⎝⎭⎪=⎩此外，因为自变量,ρθ的取值范围分别是[0,0ρ]与[0,2]π，圆盘中心点的温度决不可能是无穷的，并且（,ρθ）与（,2ρθπ+）实际上表示同一点，温度应该相同，即应该有lim u ρ→<+∞ （4.27）(,)(,2).u u ρθρθπ=+ （4.28）现在来求满足方程(4.25 )及条件(4.26)，（4.27），（4.28）的解.先令(,)()(),u R ρθρθ=Φ代入方程(4.25)得2110R R R ρρ'''''Φ+Φ+Φ=即2,R R Rρρ'''''+Φ=-Φ令比值为常数λ即得两个常微分方程0,λ''Φ+Φ=20.R R R ρρλ'''+-=再由条件(4.27)及(4.28)可得(0),R <∞(2)().θπθΦ+=Φ （4.29）这样一来，我们得到了两个常微分方程的定解问题0,(2)().λθπθ''Φ+Φ=⎧⎨Φ+=Φ⎩（4.30） 与20,(0).R R R R ρρλ'''⎧+-=⎨<∞⎩ （4.31） 先解哪能一个呢？要看哪一个可以定出固有值，由于条件(4.29)满足可加性（即所有满足(4.29)的函数叠加起来仍旧满足(4.29)，所以只能先解问题(4.30).采用与4.1中同样的方法可以得到 当0λ<时，问题(4.30)无解；当0λ=时，它的解为00()a θ'Φ=（常数）；当0λ>时，它的解为0(),n n a b θ''Φ=+且λ必须是整数n ，取1,2,3,n =（只取正整数的理由与4.1相同），则0()cos sin .n n a n b n θθθ''Φ=+至此，我们已经定出了固有值与固有函数，接下去是解问题(4.31)，其中的方程是欧拉(Euler)方程，它的通解为000ln ,R c d ρ=+当λ=0；,n n n n n R c d ρρ-=+ 当2(1,2,3,).n n λ==为了保证(0)R <∞，只有0n d = (0,1,2,),n =即 0(0,1,2,)nn R c n ρ==，因此利用叠加原理，方程(4.25)满足条件(4.27),（4.28）的解可以表示为级数01(,)(cos sin )2nn n n n a u a n b ρθρθθ∞==++∑ (2.32)此式中的2a 就是00;,n n a c ab '分别是.n n n n ac b c ''，最后为了确定系数,n n a b ，我们利用边界条件(4.26)得001()(cos sin )2nn n n n a f a n b θρθθ∞==++∑， （4.33）因此，000,,nnn n a a b ρρ就是()f θ展开为傅氏级数时的系数，即有2002002001(),1()cos ,1()sin .n n n n a f d a f n d b f n d πππθθπθθθρπθθθρπ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩⎰⎰⎰ （4.34） 将这些系数代入(4.32)式即得所求的解.为了以后应用起来方便，我们还可以将解(4.32)写成另一种形式.为此，将(4.34)式所确定的系数代入(4.32)式经过简化后可得201011(,)()cos ().2n n u f t n t dt πρρθθπρ∞=⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑⎰（4.35）利用下面已知的恒等式221111cos ()2212cos()n n k k n t k t k θθ∞=-+-=--+∑*）(1),k <*）这个恒等式的证明如下：[]∑∑∞=∞=---++=-+11)()(2121)(cos 21n n t in t in n n e e k t n k θθθ [][]∑∑∞=∞=---++=11)()(212121n n nt i n t i ke ke θθ)()()((1211)2121t i t i t i t i ke ke ke ke -------+-+=θθθθ（|K|＜1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-----+-----+-+=)sin()cos(1)sin()cos()sin()cos(1)sin()cos(121t ik t k t ik t k t ik t k t ik t k θθθθθθθθ可将解(,)u ρθ（4.35）表达为()2220022001(,)(),.22cos()u f t dt t πρρρθρρπρρρρθ-=<+--⎰（4.36） 公式(4.36)称为圆域上的泊松公式，它的作用在于把解写成了积分形式，这样便于作理论上的研究.4.4 有界弦的强迫振动前面所讨论的偏微分方程都限于齐次的，现在要讨论非齐次方程的解法，为方便起见，以弦的强迫振动为例，所用的方法对其他类型的方程也适用.我们研究的问题是一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作用所产生的振动现象.即要考虑下列定解问题22222000(,),0,0;(2.37)0;(2.38)(),().(2.39)x x l t t uu a f x t x l t t x u u u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩在现在的情况，弦的振动是由两部分干扰引起的，一是强迫力，一是初始状态，所以由物理意义可知，此时振动可以分解为仅由强近力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.由此得到启发，我们可设解为(,)(,)(,),U x t V x t W x t =+ （4.40）其中(,)V x t 表示仅由强迫力引起弦振动的位移，它满足22222000(,),0,0;0;(2.41)0.x x l t t VV a f x t x l t t x V V u V t ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩而(,)W x t 表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足.)cos(21121)cos(212)cos(21212222kt k k k t k k t k +---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----+=θθθ22222000,0,0;0;(2.42)(),().x x l t t WW a x l t t x W W W W x x t φψ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩读者不难验证，若V 是(4.41)的解，W 是(4.42)的解，则U V W =+一定就是原定解问题的解.问题(4.42)可直接用分离变量法求解，因此现在的问题只要讨论如何解问题（4.41）就行了.关于问题（4.41），我们可以采用类似于线性非齐次常微分方程中所常用的参数变易法，并保持如下的设想，即这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠加，而每个驻波的波形仍然是由该振动体的固有函数所决定，这就是说，我们假设（4.41）的解具有如下的形式1(,)()sin,n n n V x t v t x lπ∞==∑ （4.43） 其中()n v t 是待定的函数，为了确定()n v t ，将自由项(,)f x t 展成的傅氏正弦级数，即1(,)()sin,n n n f x t f t x lπ∞==∑ （4.44） 其中 02()(,)sin .l n n f t f x t xdx l lπ=⎰ 将(4.43)及(4.44)代入(4.41)的第一个式了，得到222''21()()()sin 0,n n n n a n n v t v t f t x l l ππ∞=⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦∑ (4.45) 由此可见得222''2()()().nn n a n v t v t f t lπ+= 再将(４.41)中的初始条件代入(４.43)得'(0)0,(0)0.n n v v ==这样一来，确定函数()n v t 只需解下列定解问题：2222()()()(0)0,(0)0n n n nn a n v t v t f t l v v π⎧''+=⎪⎨⎪'==⎩ 1,2,n =. （４.46） 用拉氏变换法解出（４.46），得到()()()sintn n ln a t v t f d n a lπτττπ-=⎰*)，*)在方程（4.46）的两端取关于t 的拉氏变换，得所以，01()(,)()sin sin .t n n ln a t n v x t f d x n a l l πτπττπ∞=-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰ 将这个解与问题（４.42）的解加起来，就得到原定解问题（４.37），(４.38)，(４.39)的解.这里所给的求解问题(４.41)的方法，其实质是将方程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族固有函数展开.随着方程与边界条件的不同，固有函数族也就不同，但总是把非齐次方程的解按相应的固有函数展开.所以这种方法也叫固有函数法.４.5 非齐次边界条件的处理前面所讨论的定解问题的解法，不论方程是齐次的还是非齐次的，边界条件都是齐次的.如果遇到非齐次边界条件的情况，应该如何处理？总的原则是设法将边界条件化成齐次的.具体地说，就是取一个适当的未知函数之间的代换，使对新的未知函数，边界条件是齐次的.现在以下列定解问题为例，说明选取代换的方法.设有定解问题2222212000(,),0,0;(4.47)(),();(4.48)(),().(4.x x l t t uu a f x t x l t t x u u t u u t u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩49)我们设法作一代换将边界条件化为齐次的，为此令(,)(,)(,).u x t V x t W x t =+ （４.50） 选取W(x,t)使V(x,t)的边界条件为齐次的，即0,0x x lVV==== （４.5１）120(),()x x lWu t Wu t ==== （４.52）也就是说，只要所选取的W 满足(４.52)就能达到我们的目的.而满足(４.52)的函数是容易找到的，例如取W 为x 的一次式，即设(,)()(),W x t A t x B t =+ 用条件(4.52)确定(),()A t B t 得2111()()(),()()A t u t u t B t u t l=-=⎡⎤⎣⎦.),()()(22222p F p U ln a p U p n n n =+π 其中U n (p),F n (p)分别为v n (t)与f n (t)的拉氏变换，解出),(1)(22222p F l n a p p U nn π+= 由于222221l n a p π+的逆拉氏变换为lat n an l ππsin，利用拉氏变换的卷积性质，即得v n (t).显然，函数211()()(,)()u t u t W x t u t x l-=+就满足(4.52)式，因而只要作代换211,u u u V u x l -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦（4.53）就能使新的未知函数满足齐次的边界条件.经过这个代换后，得到V 的定解问题为22212201100(,),0,0;0,0;(2.54)(),(),x x l t t VV a f x t x l t t x V V V V x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩其中211121112111()()(,)(,)();(0)(0)()()(0);(0)(0)()()(0).u t u t f x t f x t u t x l u u x x u x l u u x x u x l ϕϕψψ⎧⎡⎤''''-''⎪=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪-⎡⎤⎪=-+⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤''-⎪'=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎩（4.55）问题（4.54）可用上一节的方法解出，将(4.54)的解代入(4.53)即是原问题的解.上面由(4.52)式定(,)W x t 时，取(,)W x t 为x 的一次式是为了使（4.55）中几个式子简单一些，并且(,)W x t 也容易定，但若12,,f u u 都与t 无关，则可适当的选择()W x （也与t 无关），使(,)V x t 的方程与边界条件同时都化成齐次的，这样做就可以省掉下面对(,)V x t 要进行解非齐次方程的繁重工作.这种()W x 究竟怎么找，将在后面的例题中说明.若边界条件不全是第一类的，本节的方法仍然适用，不同的只是函数(,)W x t 的形式，读者可就下列几种边界条件的情况写出相应的(,)W x t 来：1201201201(),();2(),();3(),().x x lx l x x x lu u u t u t xuu t u u t x u u u t u t xx======∂==∂∂==∂∂∂==∂∂ 以上各节我们说明了如何用分离变量法来解定解问题，为便于读者掌握此方法，现将解定解问题的主要步骤简略小结如下：一、根据边界的形状选取适当的坐标系，选取的原则是使在此坐标系中边界条件的表达式最为简单.圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便，圆柱形域与球域分别用柱坐标系与球坐标系较方便.二、若边界条件是非齐次的，又没有其他条件可以用来定固有函数，则不论方程是否为齐次，必须先作代换使化为具有齐次边界条件的问题，然后再求解.三、非齐次方程、齐次边界条件的定解问题（不论初始条件如何）可以分为两个定解问题，其一是具有原来初始条件的齐次方程，其二是具有齐次定解条件的非齐次方程.第一个问题用分离变量法求解，第二个问题按固有函数法求解.在结束本章之前，我们再举两个综合性的例子，目的是帮助读者掌握分离变量法的全过程.例2 求下列定解问题5)22222000,0,0;(2.56)0,;(2.57)0(2.8x x l t t uu a A x l t tx u u B u u t ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩的解，其中,A B 均为常数.解 这个定解问题的特点是：方程及边界条件都是非齐次的.根据上述原则，首先应将边界条件化成齐次的，由于方程(2.56)的自由项及边界条件都与t 无关，所以我们有可能通过一次代换将方程与边界条件都变成齐次的，具体做法如下： 令 (,)(,)(),u x t V x t W x =+ 代入方程（4.56）得22222''().V V a W x A t x ⎡⎤∂∂=++⎢⎥∂∂⎣⎦为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的，选()W x 满足⎪⎩⎪⎨⎧===+==BW W A x W a l x X ,0,0)(''02（4.59） (4.59)是一个二阶常系数线性非齐次方程的边值问题，它的解可以通过两次积分求得222().22A Al B W x x x a al ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ 求出函数()W x 之后，再由（4.58）可知函数(,)V x t 为下列定解问题的解.22222000,0,0;(4.60)00;(4.61)(),0.(4.62)x x l t t VV a x l t tx V V V V W x t ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪=-=⎪∂⎩采用分离变量法，令(,)()()V x t X x T t =,代入(4.60)得2,XT a X T ''''=或22.X T X a Tβ''''==- 由此得到2220,(4.63)0.(4.64)X X T a T ββ''+=''+=由(4.63)及(4.61)可以确定固有值与固有函数为2222.n l πβ=()sin .n n X x x lπ=再由(4.64)得()cossin ,n n n n a n aT t C t D t l lππ=+ 利用（4.62）中第二个条件可得0n D =.于是定解问题（4.60）,(4.61),(4.62)的解可表示为1(,)cossin .n n n a n V x t C t x l lππ∞==∑ 代入(4.62)中第一个条件得1()sin,n n n W x C x lπ∞=-=∑ 即2221sin .22nn A Al B n x x C x a a l l π∞=⎛⎫-+= ⎪⎝⎭∑ 由傅氏级数的系数公式可得22202sin .22l n A Al B n C x x xdx l a a l l π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 2222002sinsin llAn A B n x xdx x xdx a ll a l l ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰2223322222cos Al Al B n a n n a n ππππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（4.65）因此，原定解解问题的解为2221(,)cos sin ,22n n A Al B n a n u x t x x C t x a a l l l ππ∞=⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭∑其中n C 由(4.65)确定. 例3在环形域a b ≤内求解下列定解问题22222212();0,0.a b u u x y x y ⎧∂∂+=-⎪∂∂⎪⎨⎪==⎪⎩解 由于求解区域是环形区域，所以我们选用平面极坐标系，利用直角坐标与极坐标系之间的关系cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 可将上述定解问题用极坐标,ρθ表示出来22211()122cos 2,;(4.66)0,0.(4.67)a b u ua b u u ρρρρθρρρρρθρ==⎧∂∂∂+=<<⎪∂∂∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩这是一个非齐次方程附有齐次边界条件的定解问题，采用4.4所述的固有函数法，并注意在4.3中得到的关于圆域内拉普拉斯方程所对应的固有函数，可令问题（4.66）,(4.67)的解为(,)()cos ()sin ,n n n u A n B n ρθρθρθ∞==+⎡⎤⎣⎦∑代入(4.66)并整理得到22''''''222011()()()cos ()()()sin 12cos ,n n n n n n n n n A A A n B B B n ρρρθρρρθρθρρρρ∞=⎫⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎪+-++-=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎩⎭∑比较两端关于cos ,sin n n θθ的系数可得'''2222214()()()12,A A A ρρρρρρ+-= (4.68)2''''21()()()0(2),nnn n A A A n ρρρρρ+-=≠ (4.69)2'''21()()()0.nnn n B B B ρρρρρ+-= (4.70)再由条件(4.67)得()()0,n n A a B a == (4.71)()()0.n n A b B b ''== (4.72)由(4.69)，(4.70),(4.71),(4.72)可知()0(2),()0.n n A n B ρρ≡≠≡下面的任务就是要确定2().A ρ方程(4.68)是一个非齐次的欧拉方程，它的通解为224212(),A C C ρρρρ-=++由条件(4.71),(4.72)确定12,C C 得661442,a b C a b +=+4422244(2).a b a b C a b-=-+ 因此664422224244442(2)(),a b a b a b A a b a bρρρρ-+-=--+++ 原定解问题的解为()66244222444441(,)2(2)()cos 2.u a b a b a b a b a bρθρρρθ-⎡⎤=-++--+⎣⎦+习 题 四1、设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的初始位移如图所示，初速度为零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数(,)u x t .2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程(,0)0,u x =(,0)(),(0,)(,)0.u x x l x tu t u l t ∂=-∂== 3、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程01,0211,1;2t x x u x x =⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩01(1);0.t x x ux x t u u ===∂=-∂== 4、解出习题三中第2题.5、试求适合于下列初始条件及边界条件的一维热传导方程的解00(),0.t x x t u x l x u u ====-==6、解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为00,0,0.t x x tu x u u xx====∂∂==∂∂7、一根长为l 的细杆表面绝缘，其初始温度分布如图所示，由0t =开始两端温度保持于零度，求杆上温度分布.8、试解出具有放射衰变的热传导方程2220,xu u a Ae x tα-∂∂-+=∂∂ 已知边界条件为00,0,x x l u u ====初始条件为0t u T ==,T 为常数9、求下列定解问题22200;0;0x x l t u u a A t x u u u ===⎧∂∂=+⎪∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩的解.10、求满足下列定解条件的一维热传导方程的解010,5,x x l u u ==== 0,t u ks k ==为常数11、试确定下列定解问题22200();,;()x x l t u u a f x t x u A u B u g x ===⎧∂∂=+⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩解的一般形式.12、求稳恒状态下，由直线120,,0,x x l y y l ====所围矩形板内各点的温度，假设在10,,0x x l y ===三边上温度保持为零度，2y l =这边上各点温度为(),x ϕ其中1(0)()0.l ϕϕ== 13、一半径为a 的半圆形平板，其圆周边界上的温度保持(,)()u a T θθπθ=-，而直径边界上温度保持为零度，板的侧面绿缘，试求稳恒状态下的温度分布规律(,).u ρθ14、一圆环形平板，内半径为1r ，外半径为2r ，侧面绝缘，如内圆温度保持零度，外圆温度保持1度，试求稳恒状态下的温度分布规律(,).u r θ 15、如何解下列定解问题2222212000();,;(),().x x l t t uu a f x t x u M u M u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=+∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩16、在矩形域内求下列定解问题2120120(,);(),();(),().x x a y y b u f x y u y u y u x u x ϕϕψψ====⎧∇=⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩ 的解.17、在扇形区域内求下列定解问题200;0;()a a u u u u f θθρθ===⎧∇=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩ 的解.18、在矩形域0,0x a y b ≤≤≤≤内求拉普拉斯方程的解，使满足边界的条件：000,;0,0.x x a y y b u u Ay uu y y ====⎧==⎪∂∂⎨==⎪∂∂⎩19、把高频输电线充电到具有电压E ，然后一端短路封闭，另一端仍保持断开，求以后的电压分布.20、求矩形膜振动的位移，即解下列定解问题22222220000;0;0;()(),0.x x a y y b y t u uu a tx y uu u u u u xy x a y b t ======⎧⎛⎫∂∂∂=+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪==⎪⎨==⎪⎪∂⎪=--=⎪∂⎩。
偏微分课件分离变量法
分离变量法的数学推导
第四章
推导过程和公式
引入分离变量法： 将偏微分方程中的 变量分离，得到两 个方程
求解两个方程：分 别求解两个方程， 得到两个解
合并解：将两个解 合并，得到偏微分 方程的解
公式：分离变量法 的公式为： u(x,y)=X(x)Y(y)， 其中X(x)和Y(y)分 别为两个方程的解
物理背景：Sturm-Liouville问题是描述振动系统的基本方程，广泛应用于力学、电磁学等 领域。
物理意义：Sturm-Liouville问题描述了振动系统的频率、振幅和相位等物理量，是研究振 动系统的重要工具。
解释：Sturm-Liouville问题通过求解特征值和特征函数，得到振动系统的频率和振幅，从 而描述振动系统的物理特性。
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汇报人：
应用：Sturm-Liouville问题在力学、电磁学等领域有着广泛的应用，如振动分析、电磁场 分析等。
分离变量法的扩展和推广
第六章
扩展到高维空间的情况
高维空间中的分离变量法：将一维问题推广到高维空间，解决更高维的问题 推广到高维空间的条件：满足一定的条件，如对称性、周期性等 高维空间中的分离变量法应用：在物理、工程等领域有广泛应用
应用：分离变量法广泛应用于求解 各种类型的偏微分方程，如热传导 方程、波动方程等。
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原理：将偏微分方程中的未知函数 分解为多个部分，每个部分只包含 一个变量，然后分别求解，最后再 组合起来得到原方程的解。
注意事项：在使用分离变量法求解 偏微分方程时，需要注意方程的边 界条件和初值条件，以及解的连续 性和光滑性。
Sturm-Liouville问题的求解
偏微分方程解析解
偏微分方程解析解偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中研究最广泛的领域之一，它涉及到物理、工程、金融等众多领域中的实际问题。
解析解是指通过解析方法得到的能够精确描述偏微分方程解的解析表达式。
本文将介绍偏微分方程解析解的求解方法，并通过一些具体的例子进行说明。
一、一阶线性偏微分方程1.1 一维线性传热方程考虑一维线性传热方程：$$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = k\frac{{\partial^2 u}}{{\partialx^2}}$$其中，$u(t,x)$表示时间$t$和空间$x$上的温度分布，$k$为传热系数。
为了求解这个方程，我们引入一个新的变量，令$v(t,x) = u(t,x) -F(x)$，其中$F(x)$是由于边界条件所确定的函数。
将$v(t,x)$代入上面的方程得到：$$\frac{{\partial v}}{{\partial t}} = k\frac{{\partial^2 v}}{{\partialx^2}}$$接下来，我们可以使用分离变量法求解这个二阶偏微分方程。
假设$v(t,x)$可以表示为$v(t,x) = T(t)X(x)$的形式，则将这个表达式代入上面的方程中，得到：$$\frac{{T'(t)}}{{T(t)}} = k\frac{{X''(x)}}{{X(x)}}$$由于左边是关于$t$的表达式，右边是关于$x$的表达式，它们只能等于一个常数，即：$$\frac{{T'(t)}}{{T(t)}} = \frac{{X''(x)}}{{X(x)}} = -\lambda^2$$其中，$\lambda$是常数。
对于关于$x$的方程，我们可以得到：$$X''(x) + \lambda^2 X(x) = 0$$这是一个常微分方程，可以求解出$X(x)$的形式。
二阶偏微分方程求解
二阶偏微分方程求解【序言】在数学领域中，偏微分方程是一类重要的数学方程，它们在物理学、工程学、经济学等学科中具有广泛的应用。
其中，二阶偏微分方程是一类形式特殊的方程，它们具有一定的数学难度和挑战性。
在本文中，我们将探讨二阶偏微分方程的求解方法，帮助读者理解和掌握这一重要的数学工具。
【概述】二阶偏微分方程是指具有二阶导数的偏微分方程。
通常表示为：(1) A(x, y)∂²u/∂x² + 2B(x, y)∂²u/∂x∂y + C(x, y)∂²u/∂y² + D(x,y)∂u/∂x + E(x, y)∂u/∂y + F(x, y)u = G(x, y)其中，u是未知函数，A(x, y), B(x, y), C(x, y), D(x, y), E(x, y), F(x, y)是已知的函数，G(x, y)是给定的函数。
解出u(x, y)是我们求解二阶偏微分方程的目标。
【求解方法】在求解二阶偏微分方程之前，我们先来了解一下常见的求解方法。
1. 特征值法特征值法是求解一类特殊形式的二阶偏微分方程的有效方法。
对于形如：(2) A∂²u/∂x² + 2B∂²u/∂x∂y + C∂²u/∂y² = 0的方程，我们可以通过求解其特征方程来求得解。
特征方程一般形式为：(3) Aλ² + 2Bλ + C = 0其中λ是未知参数。
通过求解特征方程所得到的特征根λ可以帮助我们确定对应的解形式。
具体的讨论和求解方法可以见附录一。
2. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解二阶偏微分方程的方法，它的基本思想是将未知函数表示为两个独立变量的乘积形式，然后分别对每个变量求解常微分方程。
具体步骤如下：(4) 假设u可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，即u的形式可以分离变量。
(5) 将假设的形式代入原方程，得到两个关于X和Y的常微分方程。
核反应堆物理分析 第4章
2 B12 是波动方程（4-9）的最小特征值，用 B g 是波动方程（ ）的最小特征值，
2 ∇ 2φ (r ) + Bg φ (r ) = 0
以上两点告诉我们反应堆临界时，材料的组成， 以上两点告诉我们反应堆临界时，材料的组成，几何形状 及大小之间如何匹配， 及大小之间如何匹配，并表明临界反应堆中中子通量密度 如何分布。 如何分布。
这里 表示并 称其为几何曲率 上式便是单群理论的临界方程 几何曲率， 单群理论的临界方程。 称其为几何曲率，上式便是单群理论的临界方程。k 1 便是 我们以前定义的有效增殖因子 有效增殖因子。 我们以前定义的有效增殖因子。 当反应堆处于临界时，中子通量密度按最小特征值 B 所 当反应堆处于临界时， 对应的基波特征函数分布， 对应的基波特征函数分布，也即稳态反应堆的中子通量密度 满足波动方程
dTn (t ) k∞ − 1 1 2 − 2 = − Bn DvTn (t ) dt L
或
dTn (t ) k ∞ − 1 1 2 = 2 − Bn DvTn (t ) dt L
2 2 2 n
用 L /(1 + L B ) 乘上式两边得
l∞ L2 其中 l n = = 2 2 2 Dv(1 + L Bn ) 1 + L2 Bn
中子吸收率 Λ= = 中子吸收率 + 中子泄漏率 ∑a
∑a
V
∫ φdV
V 2 g V
∫ φdV +DB ∫ φdV
=
1 2 1 + L2 B g
这样(4-17)便可以写为: 这样(4-17)便可以写为: (4 便可以写为
k1 = k∞ Λ = 1
它与临界条件(1-63)式完全一样。这里的k 它与临界条件(1-63)式完全一样。这里的k1就是前面所定义 (1 式完全一样 的有效增殖因子k 为考虑中子泄漏 的有效增殖因子keff。所对应的 l 1 为考虑中子泄漏影响后的 中子寿命。 中子寿命。
第四章 二阶偏微分方程与分离变量法
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
ⅲ) 当＞0时，方程通解具有如下形式
X (x)c 1cox s c2si nx
由边界条件X(0) = 0知c1 = 0, 再由
X(l)c2sinl0
为了有非零解c2≠0，必须sin= 0，由此确定出参数
n2l22
(n1,2,)
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
由此得变量分离解
n1
n
1
n
0a(r)J0(
nr)rdr
第四章二阶偏微分方程——特征值理论
2、球坐标系与Legendre函数 问题——球形区域的稳态传热与传质
r r 2 u r s1 i n si u n 0(0 r a , 0 ) u (a ,) (),u (0 ,)
分离变量，令 得到
第四章二阶偏微分方程——方程的分类
➢ 定解问题的提法——方程与初、边值的组合 初值问题(Cauchy问题) 边值问题 混合问题
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
§2 分离变量法
——试探问题的变量分离形式的解
例1
ut x2u2 (0xl)
u(0,t)u(l,t)0
u(x,0)(x)
设
u(x,t)X(x)T(t)
a1y(a)a2y(a)0, b1y(b)b2y(b)0
➢ 定理一 存在着无穷多个实特征值 ➢ 定理二 当q(x)≥0时, 所有特征值非负 ➢ 定理三 不同的所对应的特征函数带权ρ(x)正交 ➢ 定理四 任意函数f (x) 可展开为特征函数yn(x)的级数
第四章二阶偏微分方程——特征值理论
➢ 说明 1、S-L特征值方程具有一般性； 2、四个定理只回答了特征函数的存在性、正交性、完 整性问题，可据此判断分离变量法的可行性，给出解 的结构。但没有给出特征值方程的求解方法。
分离变量法总结——从理论到实践的偏微分方程定解方法
(7)
a
则称 f (x) 是归一化的. 而若对于函数集合 {fi}, 恒有
b
(fi, fj) ≡ fi∗(x)fj(x)dx = δij,
(8)
a
则称此函数集合是正交归一的. √
Example 18.6 函数集合 einx/ 2π, n = 0, ±1, ±2, · · · 在 [−π, π] 上是正交归一的
b
cα = fα∗(x)f (x)dx = (fα, f ).
(11)
a
6
4. 因为
b
n
2
f (x) − cαi fαi (x) dx
a
i=1
n
=(f, f ) − c∗αi (fαi , f )
i=1
n
n
− cαi (f, fαi ) + |cαi |2
i=1
i=1
n
=(f, f ) − |cαi |2,
存在. Proof 由于
b
f1∗(x)f2(x)dx
a
|f1(x)|2 + |f2(x)|2 − 2|f1(x)| · |f2(x)| = |f1(x)| − |f2(x)| 2 ≥ 0
3
因此 所以, 积分 存在. 于是 也存在.
|f1∗(x)f2(x)| = |f1(x)| · |f2(x)| ≤
正交归一 若对于所有的 i 和 j,
(xi, xj ) = δij
则称矢量组 {x1, x2, · · · } 是正交归一的.
正交归一的矢量一定线性无关. 任何一组线性无关的矢量都可以正交归一化.
Schmidt 正交化 任何一组线性无关的矢量 y1, y2, y3, ...
《偏微分方程》(精)
(4.9)的特征值,与这些特征值 k 对应的函数 就是特征值 k 所对应的特征函数. 对于k 方程(4.7)的通解可写成
k x X k ( x) ck sin k 1 2 l
(4.11)
k a k a Tk (t ) ak cos t bk sin t k 1 2 l l 其中 ak 和 bk 都是任意常数, 于是对任意的 Ak ck ak 和 Bk ck bk
的解, 其中 (0) (l ) 0 (0) (l ) 0 是相容性条件. 下面我们用分离变量法来求解混合问题(4.1)-(4.3). 首先，我们设法找到所有具有变量分离形式的满足方程(4.1)和
边界条件(4.3) 的非零特解.所谓函数 u ( x t ) 具有变量分离形式，
sin l 0
,பைடு நூலகம்
其中 k 是一个任意的正整数. 所以, 只有当 取值为
k l
2
k k k 1 2 l
§4 分离变量法
(4.10)
8
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
时, 特征值问题(4.9)才有非平凡解.这些离散的 k 就是特征值问题
X ( x) c e
c e
c1 c2 0, l c e c e 1 2
l
0.
6
§4 分离变量法
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
由于系数行列式
1 e
l
1 e
l
0
因此 c1 c2必须同时为零,从而 X ( x )恒等于零.此时特征值问题(4.9)
X ( x ) 应满足附加条件
题:
为此，我们需要解如下含参数 的二阶线性常微分方程边值问
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的重要分支，在科学和工程领域具有广泛的应用。
解决偏微分方程的问题，可帮助我们理解自然界中的各种现象，如电磁场的传播、流体运动等。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常见的方法之一。
我们以二阶线性偏微分方程为例，假设其形式为：A(x,y)u_{xx} + B(x,y)u_{xy} + C(x,y)u_{yy} + D(x,y,u,u_x,u_y) = 0其中u表示未知函数，A、B、C、D为已知函数。
为了使用分离变量法，我们假设解可以表示为两个函数的乘积形式：u(x,y) = X(x)Y(y)将上述形式代入方程，利用变量分离的性质，可将原方程化简为两个常微分方程。
解决这两个常微分方程，即可得到偏微分方程的解。
二、特征线法特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，其中包含一阶偏导数和高阶偏导数的混合项。
我们以一维波动方程为例，其形式为：u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0其中c表示波速。
特征线法的思想是引入新的变量，使得原方程可以转化为一组常微分方程。
对于波动方程，我们引入变量ξ和η，定义如下：ξ = x + ctη = x - ct通过做变量替换后，原方程可以转化为常微分方程：u_{ξη} = 0这样，我们可以通过求解常微分方程得到偏微分方程的解。
三、变换方法变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等，通过引入新的变量，将原偏微分方程转化为代数方程，然后利用代数方程的解法解出未知函数。
变换方法的优势在于可以将一些常见的偏微分方程转化为代数方程，从而简化解法的步骤。
四、数值解法对于复杂的偏微分方程，解析解可能难以求得或不存在。
此时，数值解法就变得非常重要。
常用的数值解法包括差分法、有限元法、有限差分法等。
这些方法将连续的偏微分方程离散化，将其转化为差分方程或代数方程，然后使用计算机进行求解。
二阶线性偏微分分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简
§1.3 方程的分类
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二 阶线性偏微分方程的分类问题。
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式 特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如 下的形状
a11 0；。a22 0
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
a11(
dy dx
)2
2a12
dy dx
a22
0
4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。
课本上从物理角度对上述解的光滑性差异进行了解释。下面的图形形象 地反映了不同类型方程的解的光滑性。
2） 解的极值性质
热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理，但它们所采 取的形式是有区别的。拉普拉斯方程解的极值只可能存在于 边界。至于热传导方程，区域内部的最大值不能超过区域初 始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原 理，这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。
3） 影响区和依赖区
从影响区和依赖区来看，三类方程也有很大区别。波动方 程的扰动是以有限速度传播的，因而其影响区和依赖区是锥 体状的。对热传导方程而言，其扰动传播进行的十分迅速， 某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面，依赖区是整 个初始值区间。拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态，因 此不存在扰动传播的问题。
机械振动理论基础(第四章)
2 y 2 y m 2 T 2 0 x1 t x y(0, t ) y(1, t ) 0
(4 15) (4 16)
如初瞬时，弦上各点的初位移 y0 ( x ) ，各 点的初速度 v0 ( x)，求系统的响应。 在求多自由度系统对于初条件的响应时， 我们是先求足够多的特解，再根据叠加原理把 它们线性组合得系统的通解，然后由初条件来 定任意常数，我们现在也这样做，先求满足方 程和边界条件（4-15），（4-16）的特解，然
杆的纵向振动
u( x,t )
EA
x
dx f ( x,t )
s s dt t
dx 图4-2
均匀细长杆单位体 积质量为 ，截面抗 拉刚度为 EA ， E 为弹 性模量，A 为横截面 积。假设杆的横截面 在纵向振动过程中始 终保持平面，杆的横 向变形也忽略不计， 即同一横截面上各点 仅在 x 方向作相等位 移。以表示截面的位
(4 12)
式（4-12）通常称为波动方程， 称为波 速，是波在连续体中沿长度方向传播的速度(也 是声在材料中传播的速度)。 波动解一般的形式为
y f1 ( x at) f 2 ( x at) (4 13) f1 , f 2 为任意函数，下面验证 f1 , f 2 是方程
相当于弦上的位移模式 f1 ( x ) 向右移一段距离 a ； 同理， t 2 时 y f1 ( x 2a )，如图（c），相当 于位移模式又往前移一段距离 a 。所以，式 （4-14）形的波动解表示位移模式以速度 a向 右匀速移动。同理 f 2 ( x at) ，表示位移模式以 速度 a 向左匀速移动。 所以，无限长的弦上如果给个初始位移 y0 ( x) 初速度为 v0 ( x) 0 (0 x 1)，则 y0 y0 y ( x at) ( x at) 2 2
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第四章二阶偏微分方程——方程的分类
标准形式：
椭圆型方程
2u 2u 2 0 2 x y
抛物型方程
u 2u 2 t x
2 2u u 2 c 2 t x 2
双曲型方程
第四章二阶偏微分方程——方程的分类
物理意义：
椭圆型方程——位势方程，描述与时间无关的定常分布； 抛物型方程——热传导方程，描述不可逆的发展演变；
代入方程，得
n 1
[Tn ' (t )
n 2 2
l2
n Tn (t ) f n (t )] sin x0 l
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
n 2 2
l
2
Tn ' (t )
Tn (t ) f n (t ) 0
n n Tn (0) sin x n sin x n1 n1 l l
求X(x)的非零解，通过调整参数的值
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
ⅰ) 当＜0时，方程的通解
X ( x) c1e
x
c2e
x
c1 = c2 = 0，也即Ｘ(x)≡0
ⅱ) 当=0时，方程的通解
X ( x) c1 c2 x
c1 = c2 = 0，也即Ｘ(x)≡0
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
得
an
bn
得解。
0
1
1
2
f ( ) cos nd
(n 0 ,1, 2 ,)
0
2
f ( ) sin nd
(n 1, 2 ,)
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
小结：分离变量法
1、假设变量分离形式的解 2、导出并求解特征值问题 3、叠加成级数，满足初值或边值
分离变量法：适用于有限空间区域；
积分变换法：适用于无限空间区域；
均化为常微分方程求解。
第四章二阶偏微分方程——方程的分类
§1 二阶偏微分方程的分类
au xx 2bu xy cu yy du x eu y gu f 0
令
得
u( x, y ) exp( Xx Yy)
aX 2bXY cY dX eY g 0
a c A Q T AQ Q T A Q A ac b 2
第四章二阶偏微分方程——方程的分类
二阶方程分类：
当b2－ac ＜ 0时，曲线为椭圆，方程称为椭圆型方程
当b2－ac = 0时，曲线为抛物线, 方程称为抛物型方程
当b2 －ac＞0时，曲线为双曲线，方程称为双曲型方程
Tn (0) n
t n 2 2 n 2 2 Tn (t ) n exp( 2 t ) exp[ 2 ( t )] f n ( )d 0 l l
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
小结：分离变量法的关键 特征函数 级数展开
问题——
特征函数的存在性？ 特征函数的正交性？ 特征函数的完整性？ 在一般条件下需要从理论上予以回答。
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
例2 矩形区域的Laplace方程 例3 圆形区域的Laplace方程
2u 1 u 1 2u 2 2 0 2 r r r r u (1, ) f ( )
令
u (r , ) R(r ) ( )
(0 r 1, 0 2 )
双曲型方程——波动方程，描述可逆的双向波动。
第四章二阶偏微分方程——方程的分类
定解问题的提法——方程与初、边值的组合 初值问题(Cauchy问题) 边值问题
混合问题
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
§2 分离变量法
——试探问题的变量分离形式的解
例1
u 2u 2 t x
(0 x l )
化学工程中常见的PDE
对流－扩散－反应方程
2
抖 u u ?u a(u, t , x ) + v = D + r (u ) 抖 t x ?x2
常微分方程：求通解，初值定积分常数；
一阶偏微分方程：求通解，初值定任意函数；
二阶偏微分方程：从问题出发确定求解方法。
第四章 二阶偏微分方程——概述
二阶导数项占优时，一般采用以下两种方法求解
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
ⅲ) 当＞0时，方程通解具有如下形式
X ( x) c1 cos x c2 sin x
由边界条件X(0) = 0知c1 = 0, 再由
X (l ) c2 sin l 0
为了有非零解c2≠0，必须sin= 0，由此确定出参数
n 2 2 2 l
(0 x l )
n X n ( x) sin x l
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
n u( x, t ) Tn (t ) sin x n1 l
n f ( x, t ) f n (t ) sin x n1 l n ( x) n sin x n 1 l
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
解出
cs v( x ) 1 e
问题化齐为
k k exp x l x exp D D
w 2w D 2 kw t x w(0, t ) w(l , t ) 0 w( x ,0) c v ( x ) 0
0 a y n ( x) y m ( x) ( x)dx n
b
mn mn
Fourier展开
f ( x) f n y n ( x)
n 1
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
1800～1900’s——Fourier方法 无穷级数解 特征值问题
Fourier级数理论
Fourier变换
1800’s——Strum－Liouville特征值理论 分离变量法的理论基础 特殊函数的应用
第四章二阶偏微分方程——特征值理论
§4 特征值问题
1、正交性的定义
u(l, t ) = u2
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
令
u( x, t ) w( x, t ) v( x )
¶ 2v = 0 2 ¶x
特解v(x)要求满足边值，有无穷多种选择，规范为
(0 < x < l )
v(0) = u1 ;
v(l) = u2
u1 u0 v( x) u0 x l
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
于是，问题化为w(x,t)的齐次边值问题
w 2w 2 t x w(0, t ) w(l , t ) 0 w( x,0) ( x ) v ( x )
方程化齐的要点，是要求叠加的特解v(x)既要满足边值， 又要满足原微分方程，使得化齐后的问题最简单。
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
r 2 R rR R
r R rR R 0
2
特征值问题
0
( ) ( 2 )
解得＝n
( ) An cos n Bn sin n
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
化工问题的建模 与数学分析方法
——
Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering
第四章 二阶偏微分方程与分离变量法
1、二阶方程的分类
2、分离变量法 3、特征值理论
4、特殊函数的应用
5、典型问题分析
第四章 二阶偏微分方程——概述
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
2 、非齐方程的处理：级数展开
难以直接分离变量，但可将所有函数按特征函数展开
u 2u t x 2 f ( x, t ) u (0, t ) u (l , t ) 0 u ( x, 0) ( x)
例3 环形区域上的热传导方程(p207)
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
方程与边值同时化齐
u 2u 2 2 f ( x) d v t x 2 f ( x ) 0 dx u (0, t ) u0 , u (l , t ) u1 v(0) u , v(l ) u u ( x,0) ( x ) 0 1 w 2w 2 t x w(0, t ) w(l , t ) 0 w( x ,0) ( x ) v ( x )
u(0, t ) u(l , t ) 0
u( x,0) ( x )
设
u( x, t ) X ( x )T (t )
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
Tⅱ X ? = = -l aT X
变量分离，得
T T 0
X X 0
X (0) X (l ) 0
(n 1,2,)
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
由此得变量分离解
n X n ( x ) Cn sin x l
2
( n 1,2,)
n Tn (t ) Bn exp[ t ] l
n n un ( x, t ) An exp[ x t ]sin l l
2 2
a b X aX 2bXY cY ( X ,Y ) b c Y xAx
2 2
第四章二阶偏微分方程——方程的分类
由线性代数，可通过线性变换将特征二次型化为对角型
xAx xQT AQx xAx