抛物线专题复习讲义及练习

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抛物线专题复习讲义及练习

★知识梳理★

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )：

①)0(22≠=p px y 的焦半径PF )0(22≠=p py x 的焦半径PF

② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

③ AB 为抛物线px y 22

=的焦点弦，则=B A x x 4

2p ，=B A y y 2

p -，||AB =p x x B A ++

★重难点突破★

重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质

难点: 与焦点有关的计算与论证

重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识

问题1：抛物线y=42

x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.

1617 B. 16

15 C.87

D. 0

点拨：抛物线的标准方程为y x 412

=

，准线方程为16

1

-=y ,由定义知，点M 到准线的距离

２

为1，所以点M 的纵坐标是

16

15 2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向

问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条

3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

点拨：设AB 为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点''、B A 分别是点B A 、在准线上的射影，弦AB 的中点为M ，则''BB AA BF AF AB +=+=，点M 到准线的距离为

AB BB AA 2

1

)''(21=+，∴以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切 ★热点考点题型探析★

考点1 抛物线的定义

题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[例1 ]已知点P 在抛物线y 2

= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为

【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离

[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3

【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【新题导练】

1.已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，点11

1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+

B ． 3

21y y y =+

C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+

［解析］C 由抛物线定义，2132()()(),222

p p p

x x x +

=+++即：2312x x x =+． 2. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82

=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( )

A. )0,0(

B. )62,3(

C. )4,2(

D. )62,3(-

３

[解析] 设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C 考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程

[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线240x y --=上 【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. [解析] (1)设所求的抛物线的方程为2

2y px =-或2

2(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24⋅=--=p p 或 ∴2934

p p =

=或 ∴抛物线方程为2

4

3

y x =-

或292x y =,

前者的准线方程是1,3x =

后者的准线方程为9

8

y =- (2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，

∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,

42p

=, ∴8p =，此时抛物线方程2

16y x =;焦点为(0,-2)时22

p

= ∴4p =，此时抛物线方程2

8x y =-.

∴所求抛物线方程为216y x =或2

8x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=. 【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面 【新题导练】

3.若抛物线2

2y px =的焦点与双曲线2

213

x y -=的右焦点重合,则p 的值 [解析]

4132

=⇒+=p p

4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上； ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④抛物线的通径的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）. 能使这抛物线方程为y 2

=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）