数学新人教版八年级上册13.4最短路径问题

Q
P
河岸
A
大桥
B
问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸， 现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的 路径AMNB最短？ （假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽 到E ， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, M C 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： N D AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, E 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, B 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
.B
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别 向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地 方，可使所用的输气管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
(Ⅱ)
两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上 求一点，使得PA+PB最小. 作法：① 作点B关于直线l的对称点B′. B ② 连接AB′,交直线l于点P. 点P的位置即为所求. A
· C
H E
最短路线：A
P
Q
B
A/
P
N
Q
B/
A
M
B
l
布置作业
教科书复习题p92: 7、10、11、13、15题．
A·
1.某班举行晚会，桌子摆成两直排( 如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了 桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果， 然后回到座位，请你帮助他设计一 条行走路线，使其所走的总路程最 D 短？作法：1.作点C关于直线 G M A OA 的 对称点点D, Ｃ . 2. 作点C关于直线 OB . 的对称点点E, B 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N ，则CM+MN+CN最短
课件说明
如图所示，从A地到B地有三条 路可供选择，你会选走哪条路 最近？你的理由是什么？
C A
①D
E B
②
③
两点之间,线段最短
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
思考:为什么这样就能得到
最短距离呢？ 根据：两点之间线段最短 . P
A .
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直
线． · A·
B
l
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一 点，在∠MON的两边OM，ON上各取 一点B，C，组成三角形，使三角形周 长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边 的长度恰好能够体现在一条 直线上时，三角形的周长最 小
思考：运动路径中，哪一 段路径是恒定不变的？？？
山
A
C Q P 大桥 B
河岸
运用新知
基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最 小”． C 山
为什么这样做就能得 到最短距离呢？ C′A + C′B′>CA+CB ′ 即C′A + C′B′>CA+CB 三角形任意两边之和大于第三边
C
l
C B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． B 由轴对称的性质知， · A BC =B′C，BC′=B′C′． · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′， C AC′+BC′ = AC′+B′C′． B′
八年级
上册
13.4 课题学习 最短路径问题
引言： 初一我们研究过一些关于 1、“两点的所有连线中，线段最短” （两点之间，线段最短． ） 2、“连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中，垂线段最短”等的问题 我们称它们为最短路径问题，现实生活中 经常涉及到选择最短路径的问题，本节将 利用数学知识探究数学史中著名的 “将军饮马问题”．
O
E H N
• 2. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要
从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到 河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一 天的最短路线。
F G
作法：1.作点C关于直线
Leabharlann Baidu
A
O
OA 的 对称点点F, D · 2. 作点D关于直线 OB B 的对称点点E, 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H， 则CG+GH+DH最短
比一比，谁想的最快：
问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜 访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全 程最短？
B
A l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？ A l B
A
B
C
A
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″， 分别交OM，ON于点B、点C， 则点B、点C即为所求
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．