学案1.2 绝对值不等式
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学案1.2 绝对值不等式
一、学习目标：
1、了解绝对值不等式的解法；
2、会解含参不等式
3、绝对值不等式的相关证明 二、学习重、难点
1、解绝对值不等式方法
2、绝对值不等式的性质以及证明 三、学习过程
1、绝对值不等式的性质
⑴a 的几何意义: 表示数轴上坐标为a 的点A 到原点O 的距离.a b -表示数轴上的数A 对应的点与数b 对应的点B 的距离.
(2)ab a b =,a a
b b
= （3）
0≥⇔+=+ab b a b a 0≤⇔+=-ab b a b a b a ab b a b a >≤⇔+=-且0 b a ab b a b a >≥⇔-=-且0
（4）
2、解绝对值不等式——基本思想：去绝对值符号
1、含一个绝对值的不等式的解法 例1、解不等式
2
|55|1x x -+<． 2、含两个绝对值的不等式
例2、解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.
点评：形如|()f x |<|()g x |型不等式，此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：
|()f x |<|()g x |
⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<0 所谓零点分段法，是指：若数
1
x ，
2
x ，……，
n
x 分别使含有|x －
1
x |，|x －
2
x |，……，|x －n
x |
的代数式中相应绝对值为零，称
1x ，
2
x ，……，
n
x 为相应绝对值的零点，零点
1x ，
2
x ，……，
n
x 将
数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。 3、解含参绝对值不等式 例3、解关于x 的不等式
34422+>+-m m mx x
总结：形如|()f x a (a R ∈)型不等式，此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： 当a >0时，|()f x |a ⇔()f x >a 或()f x <－a ； 当a =0时，|()f x a ⇔()f x ≠0；当a <0时，|()f x |a ⇔()f x 有意义。
4、含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题
例4、若不等式|x －4|+|3－x | 例5、已知函数 2 ()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，当[1,1]x ∈-时|()|1f x ≤，求证： (1)||1b ≤；(2)若a bx cx x g ++=2)(，则当[1,1]x ∈-时，求证：|()|2g x ≤。 3、绝对值不等式的有关证明 例6：已知2 ()f x x px q =++，求证：|(1)|,|(2)|,|(3)|f f f 中至少有一个不小于2 1 练习：已知0,,x a y b >-<-<εεε，求证：23235x y a b +--<ε. 作业1.2 绝对值不等式 一、选择题 1. 若22{22 8}{log 1}x A x B x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则）（B C A R ⋂ 的元素个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知R b a ∈,，且0 如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤ 1212n n a a a a a a ++++++≤. 推论：如果a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时,等号成 立. A. b a b a ->+ B. b a b a -<+ C. b a b a -<- D. b a b a +<- 3．,,,b a b a n b a b a m b a ++= --= ≠则n m ,的大小关系为 （ ） A. n m > B. n m < C. n m = D. n m ≤ 4．已知函数f （x ）=-2x +1,对于任意正数ε,使得|f （x 1）-f （x 2）|＜ε成立的一个充分但不必要条件是（ ） A ．|x 1-x 2|<ε B ．|x 1-x 2|< 2 ε C ．|x 1-x 2|< 4ε D ．|x 1-x 2|>4 ε 5．若b a ,是实数，则使1>+b a 成立的充分不必要条件是（ ） A ．1≥+b a B 。2 1 21≥≥ b a 且 C.1≥a D.b<-1 6．不等式x x x x 33log log +<+的解集是（ ） A ．()1,0 B （1，+∞） C.(0,+∞) D.(-+∞∞,) 7. 实数m,n,x,y 满足 m 2+n 2=a , x 2+y 2=a , 则 mx+ny 的最大值是 （ ） A 、2b a + B 、a b C 、222b a + D 、2 2b a + 8. 命题P ：若R b a ∈,，则1||||>+b a 是1||>+b a 的充分而不必要条件； 命题Q ：函数 2|1|--=x y 的定义域是),3[]1,(∞+⋃--∞.则（ ） (A) “P 或Q ”为假 (B) “P 且Q ”为真 (C) P 真Q 假 (D) P 假Q 真 9. 当)10,10 1 ( ∈x 时,1|log | 110 a ≤<或010a <≤ 10. 设a x <-2时不等式142 <-x 成立，则正数a 的取值范围是（ ） (A) 25->