因式分解提公因式PPT课件
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提取公因式法课件
=－2x（x2－2x+1）
课堂小结
把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像 这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也 叫做把这个多项式分解因式.
今天分解因式的方法： 提公因式法
的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法是相反方 向的变形
判断下列各式哪些是因式分解?为什么？
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy
因式分解 整式乘法
(3) x2+4x+4=(x+2)2
解：a（x－3）+2b（x－3） =（x－3）（a+2b）
分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;
分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公 因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x） 是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－” 号，则可以出现公因式，如：y－x=－（x－y） 解：（1）a（x－y）+b（y－x）
把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
分析：找公因式 1、系数的最大公约数 4 2、找相同字母 aｂ 3、相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
解:8a3b2+12ab3c
=4ab2•2a2+4ab2•3bc
=4ab2(2a2+3bc)
例2 把a（x－3）+2b（x－3）分解因式
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即 a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有（x－3）,因 此可以把(x－3)作为公因式提出来.
提公因式法
• 1、通过探究你发现了什么规律？ • 2、感受因式分解与整式乘法是相反方
课堂小结
把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像 这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也 叫做把这个多项式分解因式.
今天分解因式的方法： 提公因式法
的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法是相反方 向的变形
判断下列各式哪些是因式分解?为什么？
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy
因式分解 整式乘法
(3) x2+4x+4=(x+2)2
解：a（x－3）+2b（x－3） =（x－3）（a+2b）
分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;
分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公 因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x） 是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－” 号，则可以出现公因式，如：y－x=－（x－y） 解：（1）a（x－y）+b（y－x）
把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
分析：找公因式 1、系数的最大公约数 4 2、找相同字母 aｂ 3、相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
解:8a3b2+12ab3c
=4ab2•2a2+4ab2•3bc
=4ab2(2a2+3bc)
例2 把a（x－3）+2b（x－3）分解因式
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即 a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有（x－3）,因 此可以把(x－3)作为公因式提出来.
提公因式法
• 1、通过探究你发现了什么规律？ • 2、感受因式分解与整式乘法是相反方
提公因式法解方程-完整版课件
观察：左右两边有公因式
练习：解方程 xx 3 x 3
xx 3 x 3 0 x 3x 1 0
x 3 0或x 1 0 x1 3，x2 1
提公因式法解一元二次方程常见错误
解方程：x 42 5x 4 两边同除以x 4
得x 4 5 x 1
不要随意约分
常见坏习惯：“约分”
约分： 等式两边同除以不等于零的数或式
含有字母、未知数的代数式不能约掉
解方程：5 y2 15 y
5 y2 15 y 0
同除以5y，得y 3
5yy 3 0
x 42 5x 4 0
1、移项，右边为边分解因式
A=0 或 B=0
x 4• x 1 0
x 4 0或x 1 0 x1 4，x2 1
3、左边整理 4、写成“A 0或B 0” 5、求解
1、变形，右边为0 2、左边分解因式 3、左边整理 4、写成“A 0或B 0” 5、求解
.
因式分解法解一元二次方程
1、提公因式法 A×B=0 A=0 或 B=0
右边为零
2、平方差公式
A2-B2=0
（A+B)×(A-B)=0 A+B=0 或 A-B=0
3、完全平方公式 (ax-b)2=0
（ax-b)(ax-b)=0 x1=x2=b/a
解方程：x 42 5x 4 观察：左右两边有公因式 1、提公因式法
14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册
知识点 2 提公因式法分解因式 (1)公因式：多项式中每项都有的__因__式__； (2)一般地，如果多项式的各项有_公__因__式___，可以把这个公因式提取出 来，将多项式写成公因式与另一个因式的__乘__积__的形式，这种分解因 式的方法叫做提公因式法.
多项式2a2b3＋4ab2c的公因式是_2_a_b_2__. 多项式m(a－x)－mn(a－x)的公因式是_m__(_a_－__x_) _.
计算： 3×24＋6×24＋4×22. 解：原式＝3×24＋6×24＋24
＝(3＋6＋1)×24 ＝160.
计算： 42×20.23＋72×20.23－20.23×14. 解：原式＝(42＋72－14)×20.23
＝100×20.23 ＝2 023.
如图，长方形的长、宽分别为a，b，周长为10，面积为6， 则a2b＋ab2的值为( B ) A．60 B．30 C．15 D．16
5．确定下列多项式的公因式，并分解因式． (1)ax＋ay； 解：ax，ay的公因式为a， 原式＝a(x＋y)． (2)3mx－6nx2； 解：3mx，－6nx2的公因式为3x， 原式＝3x(m－2nx)．
(3)4a2b＋10ab－2ab2. 解：4a2b，10ab，－2ab2的公因式为2ab， 原式＝2ab(2a＋5－b)．
八年级上册 人教版数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 因式分解(1)——提公因式法
复习导入
计算： (1)2(x＋y)＝__2_x_＋__2_y_； (2)(x＋1)(x－1)＝__x_2_－__1_； (3)(a＋b)2＝__a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_.
新知探究
知识点 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的_积___的形式，像这样的式子变形叫做 这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
提公因式法ppt课件
知1－练
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x
＋
)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x
＋
)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )
【课件】2 提公因式法因式分解(2)
则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b是否正确? (1) (y-x)2 = -(x-y)2 (2) (3+2x)3 = -(2x+3)3 (3) a-2b = -(-2b+a) (4) -a+b = -(a+b) (5) (a-b)(x-2y) = (b-a)(2y-x)
- =___(b+a)5;
=___(b+a)6.
(7) (a+b) =___(-b- (8) (a+b)2 =+___(-a-
a);
b)2.
合作交流探究新知
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶 数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇 数(）2)a+b 与 -a-b互为相反数.
反馈练习巩固新知
（1）3(a-b)2+6(ba) （2）x(x-y)2-y(y-x)2
（3）18(a-b)3-12b(ba)2 （4）x(x+y)(x-y) -x (x+y)2
原式=3（a-b)(a-b-2) 原式=（x-y) 3 原式=6（a-b)2(3a-5b) 原式=-2xy（x+y)
课堂 小 结
合作交流探究新知
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 “－”号，使等式成立：
- (1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b+)2
- =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b- (4) (a-b)4 =+___(b-
a)3;
(5) (a+b)5 +
- =___(b+a)5;
=___(b+a)6.
(7) (a+b) =___(-b- (8) (a+b)2 =+___(-a-
a);
b)2.
合作交流探究新知
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶 数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇 数(）2)a+b 与 -a-b互为相反数.
反馈练习巩固新知
（1）3(a-b)2+6(ba) （2）x(x-y)2-y(y-x)2
（3）18(a-b)3-12b(ba)2 （4）x(x+y)(x-y) -x (x+y)2
原式=3（a-b)(a-b-2) 原式=（x-y) 3 原式=6（a-b)2(3a-5b) 原式=-2xy（x+y)
课堂 小 结
合作交流探究新知
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 “－”号，使等式成立：
- (1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b+)2
- =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b- (4) (a-b)4 =+___(b-
a)3;
(5) (a+b)5 +
4.2 提取公因式法 课件 浙教版数学七年级下册
谢谢大家！
再见
讲解新知
提取公因式法的一般步骤是： 1.确定应提取的公因式. 2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式. 3.把多项式写成这两个因式的积的形式. 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
课内练习 1.确定下列多项式的公因式，并分解因式.
（1）ax ay. （2）3mx 6nx2. （3）4a2b 10ab 2ab2.
第四章 因式分解
4.2 提取公因式法
教学目标
知识
1.会用提取公因式法分解因式.
目标
2. 理解添括号法则.
能力
掌握提取公因式法，学会用此方法进行多项式的因
目标
式分解.
情感
体会添括号的法则，处理好首项系数为负数的多
目标
项式分解因式问题，加强学生的直观思维.
探索新知
am+bm =m(a+b)
1.公因式: 一般地,一个多项式中每一项都含有的
3 x2 y
各项都含有的 相同字母的最 低次幂
练一练
判断公因式的方法:
1.系数:提取最大的公约数;
2.字母:提取相同字母最低次幂.
1.说一说下列各式的公因式
(1)3x2 3y 3 (2)2a 3ab a
(3)30mb2 5nb3 5b2
? 多项式的公 因式都有哪 些形式啊？
(4)15a2b3 6a3bc 3a2b
拓展提高
拓展提高
小结
1、提取公因式法口决
①系数:提取最大的公约数; ②字母:提取相同字母最低次幂.
2、提取公因式法分解因式
① 确定应提取的公因式; ②用公因式去除多项式,所得的商为另一个因式; ③ 把多项式写成这两个因式积的形式.
北师大版初中八年级下册数学课件 《提取公因式法》因式分解PPT(第1课时)
举一反三
2. 利用分解因式计算：（-2）²ºº¹+（-2）²ºº²× 1 2
解：（-2）²ºº¹+（-2）²ºº²×1 =（-2）²ºº¹×[1-(-2) ×] 2
1
=（-2）²ºº¹×0
2
=0
随堂检测
1.下列各式中,没有公因式的是( C )
A.ab-bc
B.y²-y
C.x²+2x+1 D.mn²-nm+m²
D
3. 把首项系数变为正数.
（1）-2x²y-2xy²=-（）
（2）-2x²+3x-1=-（） 2x²y+2xy²
2x²-3x+1
活动探究
探究点一 问题1：多项式ac+bc每项含有哪些因式？有相同的因式吗？3x²+x呢？ mb²+nb+b呢？ 解：多项式ac+bc的ac项含因式a、c、ac；bc项含因式b、c、bc.相同因式：c 多项式3x²+x含因式3、x、x²3x、3x²相同因式：x 多项式mb²+nb+b含因式m、b、b²mx²、n；相同因式：b
4.2提取公因式法 第1课时
八年级下册
学习目标 1 能确定多项式各项的单项式公因式; 2 会用提公因式法把多项式分解因式.
前置学习
1． 下列各式公因式是a的是（）D
A. ax＋ay＋5B．3ma－6ma²C．4a²＋10abD．a²－2a＋ma
2． －6xyz＋3xy²－9x²y的公因式是（）
A.－3xB．3xzC．3yzD．－3xy
活动探究
探究点二 问题1：把下列各式因式分解： （1）3x+x³；（2）7x³-21x²； （3）8a³b²-12ab³c+ab；（4）-24x³+12x²-28x. 解：（1）原式=3•x+x²•x=x(3+x²); （2）原式=7x²•x+7x²•3=7x² (x-3); （3）原式=ab•8a²b-ab•12b²c+ab=ab(8a²b-12b²c+1); （4）-（24x³-12x²+28x）=-（4x•6x²-4x•3x+4x•7) =-4x(6x²-3x+7).
12.2因式分解的方法(第1课时 提公因式法)(课件)七年级数学上册(沪教版2024)
【解】4 a ( x － y )－2 b ( y － x )
＝4 a ( x － y )＋2 b ( x － y )
＝2( x － y )(2 a ＋ b ).
7.先分解因式，再计算求值：
(1)4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2，其中 x ＝1， m ＝3；
【解】4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2
＝(2 x ＋ y )(2 x －3 y ＋3 x )＝(2 x ＋ y )(5 x －3 y ).
＋ ＝ ，
＋ = ，
∵
∴
∴原式＝3×(－2)＝－6.
− ＝ − .
+ = ，
14. 试说明817－279－913能被45整除.
【解】因为817－279－913＝328－327－326
2)( a ＋4).将 a ＝－2代入，得原式＝(－2－2)×(－2＋
4)＝－8.
分层练习-巩固
8. 计算320－318×6的值是( A
)
A. 319
B. 318
C. 3 2
D. 0
9. [新考法 数形结合法]△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，
且 a ＋2 ab ＝ c ＋2 bc ，则△ ABC 是(
提取公因式法.
新知探究
如何将6 2 + 9因式分解？
先找出6 2 + 9各项的公因式，再用提取公因式法因式分解. 这个整式有两项
6 2 与9, 这两项的系数6与9有最大公因数3，这两项的字母部分 2 与都含
有字母和, 且和的最低次数都是1，因此可提取公因式3，得
− = ，
= ，
所以
解得
＝4 a ( x － y )＋2 b ( x － y )
＝2( x － y )(2 a ＋ b ).
7.先分解因式，再计算求值：
(1)4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2，其中 x ＝1， m ＝3；
【解】4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2
＝(2 x ＋ y )(2 x －3 y ＋3 x )＝(2 x ＋ y )(5 x －3 y ).
＋ ＝ ，
＋ = ，
∵
∴
∴原式＝3×(－2)＝－6.
− ＝ − .
+ = ，
14. 试说明817－279－913能被45整除.
【解】因为817－279－913＝328－327－326
2)( a ＋4).将 a ＝－2代入，得原式＝(－2－2)×(－2＋
4)＝－8.
分层练习-巩固
8. 计算320－318×6的值是( A
)
A. 319
B. 318
C. 3 2
D. 0
9. [新考法 数形结合法]△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，
且 a ＋2 ab ＝ c ＋2 bc ，则△ ABC 是(
提取公因式法.
新知探究
如何将6 2 + 9因式分解？
先找出6 2 + 9各项的公因式，再用提取公因式法因式分解. 这个整式有两项
6 2 与9, 这两项的系数6与9有最大公因数3，这两项的字母部分 2 与都含
有字母和, 且和的最低次数都是1，因此可提取公因式3，得
− = ，
= ，
所以
解得
人教版八年级数学上册 14.3.1 因式分解(提取公因式) 课件(共15张PPT)
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+ ；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2421:56:4021:56:40August 24, 2021 • 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午9时56分40秒21:56:4021.8.24 • 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月下午9时56分21.8.2421:56August 24, 2021 • 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月24日星期二9时56分40秒21:56:4024 August 2021 • 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。下午9时56分40秒下午9时56分21:56:4021.8.24
(3)5y3+20y2 ； 5y2
(4)a2b－2ab2+ab . ab
注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取 次数最低的.
练习:
因式分解-提取公因式 课件
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公 因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
【例题】
【2和12ab3c 的公因式是什么？
1.系数的最大公约数 4 2.找相同字母 a ｂ 3.相同字母的最低指数 a1b2 公因式为：4ab2 【解析】8a3b2+12ab3c
m(a+b+c)= ma+mb+mc
请把下列多项式写成整式的乘积的形式: (1)x2+x =__x_(_x_+_1_)___; (2)x2–1=__(x_+__1_)(_x_-_1_) .
上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式, 像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把 这个多项式分解因式.
=4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb m （2）4kx－8ky 4k （3）5y3+20y2 5y2 （4）a2b－2ab2+ab ab
【例2】把a（x－3）+2b（x－3）分解因式. 分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x－3) 与2b(x－3)，每项中都含有（x－3）,因此可以把(x－3) 作为公因式提出来.
1.分解因式 a2－a= ．
【解析】 a2－a=a(a-1). 答案：a(a-1)
2.因式分解 2 a2 4 a 2 a (a 2)
【解析】用提公因式法因式分解： 答案：2a(a-2)
3.把下列各式分解因式 （1）8x－72 =8（x－9） （2）a2b－5ab =ab（a－5） （3）4m3－6m2 =2m2（2m－3） （4）a2b－5ab+9b =b（a2－5a+9） （5）－a2+ab－ac
【例题】
【2和12ab3c 的公因式是什么？
1.系数的最大公约数 4 2.找相同字母 a ｂ 3.相同字母的最低指数 a1b2 公因式为：4ab2 【解析】8a3b2+12ab3c
m(a+b+c)= ma+mb+mc
请把下列多项式写成整式的乘积的形式: (1)x2+x =__x_(_x_+_1_)___; (2)x2–1=__(x_+__1_)(_x_-_1_) .
上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式, 像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把 这个多项式分解因式.
=4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb m （2）4kx－8ky 4k （3）5y3+20y2 5y2 （4）a2b－2ab2+ab ab
【例2】把a（x－3）+2b（x－3）分解因式. 分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x－3) 与2b(x－3)，每项中都含有（x－3）,因此可以把(x－3) 作为公因式提出来.
1.分解因式 a2－a= ．
【解析】 a2－a=a(a-1). 答案：a(a-1)
2.因式分解 2 a2 4 a 2 a (a 2)
【解析】用提公因式法因式分解： 答案：2a(a-2)
3.把下列各式分解因式 （1）8x－72 =8（x－9） （2）a2b－5ab =ab（a－5） （3）4m3－6m2 =2m2（2m－3） （4）a2b－5ab+9b =b（a2－5a+9） （5）－a2+ab－ac
8.因式分解-----提公因式法课件数学沪科版七年级下册
1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系. 2．会用提取公因式的方法分解因式.（重点） 3．会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．(难点) 4．感受因式分解在解决相关问题中的作用。
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式
表示这块草坪的面积吗？ 方法一：m(a+b+c)
a
b
c
1
将x= 2 代入上式，得
原式=4.
1.下列式子从左到右的变形是否为因式分解？为什么?
(1)a(a 2b) a2 2ab
否
(2)bx Biblioteka bx2 bx(1 x)是(3)a2 4 (a 2)(a 2)
是
(4) x2 2 x 1 x( x 2) 1 否
(5)24a2bc 23 a 2 3bc
提公因 式法
提公因式
注意
分两步：（公因式为多项式，注意整体思想） 第一步找公因式；第二步提公因式
1.首项为负数时，提负号，多项式的各项要 变号； 2.多项式出现相反的因式时，先变形化成相 同的因式再提公因式。
解：（1）3x+ x3=x ·3+x·x2=x(3+x2)；
（2）7x3－21x2=7x2·x －7x2·3=7x2(x－3)；
（3）8a3b2 －12ab3c+ab =ab·8a2b－ ab·12b2c +ab·1= ab(8a2b－12b2c+1)；
例2.把下列各式因式分解：
(1)a(x y) b( y x);
8.已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式
表示这块草坪的面积吗？ 方法一：m(a+b+c)
a
b
c
1
将x= 2 代入上式，得
原式=4.
1.下列式子从左到右的变形是否为因式分解？为什么?
(1)a(a 2b) a2 2ab
否
(2)bx Biblioteka bx2 bx(1 x)是(3)a2 4 (a 2)(a 2)
是
(4) x2 2 x 1 x( x 2) 1 否
(5)24a2bc 23 a 2 3bc
提公因 式法
提公因式
注意
分两步：（公因式为多项式，注意整体思想） 第一步找公因式；第二步提公因式
1.首项为负数时，提负号，多项式的各项要 变号； 2.多项式出现相反的因式时，先变形化成相 同的因式再提公因式。
解：（1）3x+ x3=x ·3+x·x2=x(3+x2)；
（2）7x3－21x2=7x2·x －7x2·3=7x2(x－3)；
（3）8a3b2 －12ab3c+ab =ab·8a2b－ ab·12b2c +ab·1= ab(8a2b－12b2c+1)；
例2.把下列各式因式分解：
(1)a(x y) b( y x);
8.已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
初中数学提公因式法分解因式(1)课件
2.已知：x=3，求代数式x(x2-x)+ x2(5-x)的值.
整式的积 多项式 多项式
整式的积
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2 =a2+2ab+b2 m(a+b) =am+bm
整式乘法
a2-b2 =(a+b)(a-b) a2+2ab+b2 =(a+b)2 am+bm =m(a+b)
因式分解
因式分解与整式乘法是互逆过程
初步应用 巩固新知
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解 的有（ ③ ⑥ ）
2．确定公因式的方法
一看系数 二看字母 三看指数
3．提公因式法分解因式步骤（分两步） 第一步 找出公因式； 第二步 提公因式.
4．用提公因式法分解因式应注意的问 题（1）公因式要提尽；
（2）某一项全部提出时，这一项除以公因 式时的商是1，这个1不能漏掉；
（3）多项式的首项取正号．
5.（1）分解因式是整式乘法的恒等变形， 是互逆的过程；
—— 提公因式法
ห้องสมุดไป่ตู้
探究一
计算下列各式：
①3x(x-2)= _3_x__2_-6__x
②(m+4)(m-4)= _m__2-_1_6_
根据左面的算式填空： ①3x2-6x=(_3_x_)(__x_-2__)
③m2-16=(_m_+__4)(_m_-_4_)
③(x-2)2= _x_2_-_4_x_+__4
由p(a+b+c) = pa+pb+pc可得:
pa+pb+pc =p(a+b+c)
《提公因式法》整式的乘法与因式分解PPT课件
把一个多项式化成几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫把这个多项式分解因式．
思考
因式分解与整式乘法有何关系呢？ 因式分解
整式乘法
因式分解与整式乘法是方向相反的变形 因式分解的结果是整式的乘积 整式乘法的结果是单项式的和
因式分解的概念
1．什么是因式分解？ 2．怎么判断一个式子是不是因式分解？
解：原式=a2 ·a3 ·(－8b3)－4a2b2 ·(－27a3)b =－8a5b3＋108a5b3 = 100a5b3
3.计算：3x3y·(—2y)2— (—4xy)2·(—xy) —xy3·(—4x)2
解：原式=3x3y ·4y2-16x2y2·(-xy) -xy3·16x2 =12x3y3+16x3y3-16x3y3 =12x3y3
以上解法错误的原因是什么？请你改正过来．
解：错因：单项式乘单项式时，有积的乘方时要先算乘方，再算乘法，不能 忽视积的乘方运算的优先性． 正解：－12x5y2·(－4x2y)2＝－12x5y2·16x4y2＝[－12×16]·(x5·x4)·(y2·y2)＝－8x9y4.
练习 因式分解：
（1）-4a b +6a b-2ab （2）-9a b -12ab +15ab （3）-4x y+2x y +xy （4） -x y -2x y-xy
练习 1．把下列各式分解因式：
练习 2.先分解因式，再求值
答案：970
练习 答案：810
判断能否整除 2004 +2004能被2005整除吗?
提公因式法 说出下列多项式各项的公因式：
(1)ma + mb ；
m
(2)4kx - 8ky ；
人教版数学八年级上册14.3.1因式分解-提取公因式 课件
针对训练：
（1）-x2y+yx-xy2 (2)-4x2+8ax+2x （3）-3ab+6abx-9aby
例2 、因式分解 2(a-b)2 -a+b =2(a-b)2-(a-b) =(a-b)[2(a-b)-1] =(a-b)(2a-2b-1)
点拨：提公因式时，将因式改变符号后，才能看出公因式。 针对训练:
提公因式法： 其中一个因式是各项的公因式m另一个因式 (a+b+c)是m(a+b+c)除以m所得的商．像这 种分解因式的方法叫做提公因式。 归纳：如果多项式各项都有公因式，可以把 这个公因式提出来，将多项式写成积的形式， 这就叫做提公因式分解因式。
指出下列各多项式中各项的公因式
⑴5xy-10x ⑵9y2+12y ⑶7x3y2-42x2y3 ⑷7(a-3)-b(a-3) 注意：1.公因式系数为各项系数的最 大公约数。 2.取各项相同的字母。 3.找出相同字母的最低次幂。
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式
• 1.了解公因式的概念和因式分解的意义，培 养逆向思维的能力；
• 2.通过独立思考、小组交流，探究整式乘法 与因式分解的区别和联系；
• 3.掌握如何用提公因式来分解因式。
运用已学过的知识填空:
⑴ x(x-2)= X2-2x ;
⑵ (x+2)(x-2)= x2-4 ;
(1) a(x-y)-x+y (2) 7(x-3)-x(3-x) (3) (a-2)2-2a(2-a) (4)(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)(z-x-y)
归纳总结: 分解因式的一般步骤：
1. 找出，找出应提取的公因式。 2. 除以，用多项式去除以公因式。 3. 整理，把多项式写成因式积的
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.
18
练习6：
多项式
公因式 因式分解结果
2a2b4abc 2 a b 2ab( a 2c ) 5ab2c15b3c2 5 b 2 c 5b2c( a 3bc ) 4a3b210a2b3c2 a 2b 2 2a2b2(2a5bc)
.
19
例2：确定下列多项式的公因பைடு நூலகம்，并分解因式
(2)- 2x2+6xy
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式 的乘积的形式.
.
6
.
7
这个多项式有什么特点？
m am bmc
相同因式m
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多 项式的公因式。
.
8
议一议：
多项式 3 x 3 + 6 x 2y 有公因式吗？是什么？
3 x 3 =3 ·x ·x·x 6 x2y =3 ·2 ·x ·x ·y
公因式为: 3x2
.
9
例1：找 3 x 3 + 6 x2y 的公因式。
3
系数：最大
x2
公约数。 字母：相同
指数：相同 字母的最低 次幂
的字母 所以，公因式是3x2。
.
10
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数
的最大公约数。
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相
(5). m2-4=(m+4)(m因-4式) 分解
2、下列各式是因式分解的是（C ）
A、3x(x+3y) =3x2+9xy B、 x2+4x+3=x (x+4) +3
C、x2+5x+6=(x+2) (x+3) D、 (2a+3)2=4a2+12a+9
.
5
.规律总结
• 因式分解与整式乘法是互逆过程. • 因式分解要注意以下几点:
.
17
练习5：因式分解。 （1）a2+ab= a（a+b） （2）x2+5x= x（x+5） （3）xy–x = x（y-1） （4）x2y-6xy2= xy（x-6y） （5）8 m2+2m= 2m（4m+1） （6）12x2y2-9x3y = 3x2y（4y-3x） （7）4x2y-6xy2+10xy=2xy（2x-3y+5）
解：原式= - 2x ·x + (- 2x ) ·(-3y) = - 2x (x-3y)
(3) 2a(b+c) - 3(b+c)
解：原式= (b+c) ·2a – (b+c) ·3
= (b+c) (2a – 3)
(4) 2a(b-c) - 3(c-b)
解：原式=2a(b-c) +3(b-c)
= (b-c) ·2a + (b-c) ·3
(2) m2-16=___(_m_+_4_)_(_m_-_4_) ___
(3) x2-6x+9=____(x_-_3_)2_______ .
整 式 的 乘 法
因 式 分 解
3
因式分解定义：
• 把一个多项式化成几个整式 积的形式,这种变形叫做把 这个多项式因式分解.
例如：m2-16= (m+4)(m-4)
因式分解定义
14.3.1—因式分解 --提公因式法
.
1
1.整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an
(3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
(2)完全平方公式:
= (b-c) (2a + 3)
.
20
练习7：确定下列多项式的公因式，并分解因式
(1) 2x3 6x2
(2)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
(3) 4x28ax2x (2) 5a(x - y) 2+ 6(y - x) 2
.
21
练习8：下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正？
(1) 2x2 3x3 xxx((22xx33xx22)1) (2) 3a2c6a3c33aa22(cc(12a2ca))
(6)-6 x 2 y-8 xy 2
（-2xy）
.
12
练习3： 1、定系数 2、定字母 3、定指数
多项式
公因式
2a2b4abc 2 a b 5ab2c15b3c2 5 b 2 c
?? 因式分解结果
4a3b210a2b3c2 a 2 b 2
.
13
例1：找 3 x 3 + 6 x2y 的公因式。
3
系数：最大 公约数。
● 想一想:因式分解与整式乘法有何关系?
因式分解与整式乘法是互逆过程
.
4
练习1、
理解概念
1、判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(因x-式2y分) 解 (2).2x(x-3y)=2x2-整6x式y 乘法 (3).(5a-1)2=25a2-整10式a+乘1 法 (4).x2+4x+4=(x+2)因2 式分解
(3) 2s3 4s2 6ss2(2s(ss224s2s6)3)
2 指数：相同
x
字母的最低
字母：相同 次幂
的字母
所以，公因式是3x2。
3x 3 + 6x2y=3x2·x + 3x2·2y= 3x2 (x+2y)
.
14
ma+ mb +mc = m ( a+b+c )
如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
同的字母。
3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小的
一个，即字母最低次幂
.
11
练习2: 下列各多项式的公因式是什么？
（3）
(1) 3x+6y
1、定系数
(2)ab-2ac
（a）
(3) a 2 - a 3
（a2）
2、定字母
(4) 9 m 2n-6mn
（3mn）
(5) 3(m+n) 2 +2(m+n)（(m+n)） 3、定指数
.
2
做一做
计算下列个式:
(1)m(a+b+c) = m__a_+_m_b_+_mc
_______
m2-16
(2)(m+4)(m-4)x=2-6_x_+_9____ ____
根(3据)(上x-面3)的2=算_ 式__填__空__:_ ______
(1) ma+mb+mc=__m__(_a_+_b_+_c_)__
方法叫做提公因式法。
.
15
例2：确定下列多项式的公因式，并分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c
解：原式= 4ab2 ·2a2 + 4ab2 ·3bc = 4ab2 ( 2a2+ 3bc)
.
16
练习4：确定下列多项式的公因式，并分解因式
(1)m2+3m (2)2xy-3x2+5x (3)6x2y-9xy2+3xy