21.8反常二重积分数学分析课件（华师大四版）高教社ppt华东师大教材配套课件

21.8反常二重积分数学分析课件（华师大四版）高教社ppt华

东师大教材配套课件

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定义1

设(,)f x y 为定义在无界区域D 上的二元函数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线,γ(,)f x y γE γ在曲线所围的有界区域与D 的交集E D D γγ= (图21-42)上二重可积.{

}

22

min

(,).

d x y

x y γγ=+∈若存在有限极限:

x

y

2142

-图γ

O

E γD

D

γ

令

定义1

lim (,)d ,

d D f x y γγ

σ→∞

γ且与的取法无关, 重积分收敛, (,)d lim (,)d ;

(1)

d D

D f x y f x y γγ

σσ→∞

=??

否则称(,)f x y 在D 上的反常二重积分发散, 或简(,)d D

f x y σ??

发散.

称

(,)f x y 在D 上的反常二则称并记

定理21.17

为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,{

}

22

(i)inf

(,)();

n n d x y

x y n γ=+∈→+∞→∞(ii)sup (,)d ,

n

n

D I f x y σ=<+∞??,n n D

E D = n γn E 其中为所围的有界区域.常二重积分(1) 必定收敛, (,)d . D

f x y I σ=??

设在无界区域D 上(,)0,f x y ≥12,,,γγ ,n γ 满足

这时反

并且

,E '的区域记为.D E D ''= 并记→∞=+∞lim ,

n x d 因为.n D D D '??因此存在n , 使得≥(,)0,f x y 由于所以有(,)d (,)d .

n

D D f x y f x y I σσ'

≤≤??

另一方面，因为

sup (,)d ,

n

n

D I f x y σ=??0,ε>0,n 故对任给的总有证设'γ为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成使得

(,)d .

n

D f x y I σε>-??

(,)d .

D f x y I σε'

>-??

再由

(,)d ,

D I f x y I εσ'

-<≤??由定理21.17 的证明容易看到有以下定理:

0,n D D '?因而对于充分大的有

可知反常二重积分

(,)d D

f x y σ??

存在, 且等于I .

定理21.18

若在无界区域D 上(,)0,f x y ≥则反常二重积分(1) 收敛的充要条件是：上(,)f x y 可积，且积分值有上界.例1证明反常二重积分22()e d x y D

σ-+??

收敛,=+∞?+∞[0,)[0,).

D 部分. 证设是以原点为圆心R 为半径的圆在第一象限R D 在D

的任何有界子区域其中D 为第一象限部分, 即22()

e

0,x y -+>所以二重积分

因为

22()

e d R

x y D σ

-+??

的值随着R 的增大而增大.22

()

e

d R

x y D σ-+??所以

22()

lim e

d R

x y R D σ-+→∞

显然对D 的任何有界子区域,D '总存在足够大的R , 使得,R D D '?于是

22

()

e

d x y D σ-+'

又因

2

2

20

πd e d (1e ),

4

R

r R r r θπ--==-??

2

lim (1e ).

44

R R ππ-→∞=-=22()

e

d R

x y D σ-+≤??π.

2

≤

2

e

d .

x σ+∞

-?

的值为此, 考察=?[0,][0,]a S a a 上的积分22() e

d .

a x y S σ-+??因为

-+??

22()

e d a

x y S σ

--=??2

2

e

d e

d a

a

x y x y ()2

2

e d ,

a

x

x -=

因此由定理21.17, 反常二重积分22()

e d x y D

σ-+??收敛，

并且由定理21.16有

22()

π

e d .(2)4x y D

σ-+=??由(2) 式还可推出在概率论中经常用到的反常积分

故得

2

e

d .

2

x x π+∞

-=?

下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有例2 证明: 若