初等数学研究(六)初等几何基础ppt课件
初等几何
目录1.初等几何研究 (2)2.线段相等的证法 (8)3.等角的证法 (12)4.和差倍分的证法 (17)5.平行线的证法 (22)6.梅内劳斯定理与塞瓦定理 (28)7.共点线的证法 (33)8.共线点的证法 (37)9.垂直线的证法 (42)10.面积方法 (47)11.几何变换（一）——平移 (53)12.几何变换（二）——旋转 (58)13.几何变换（三）——轴反射 (62)14.共圆点的证法 (67)初等几何研究第一节引言一、归纳的经验几何（公元前七世纪前）二、初步的推理几何（公元前七世纪至公元前四世纪）由经验和已有的几何知识出发，按照逻辑的要求，对某一项几何知识进行推理论证。
对实验几何进行总结工作，其伟大功绩归于古希腊的哲学家和数学家，受到哲学思想的影响，把实验几何加以抽象化、系统化。
最主要的就是把实验几何改造为演绎推理的科学。
古希腊：泰勒斯毕达格拉斯（勾股定理）柏拉图雅典学派提出的三个经典问题：化方为圆、三等分角和倍立方体直至公元前四世纪，未见按逻辑编排的系统的几何书籍出现三、系统的推理几何（公元前四世纪至公元后18世纪）《几何原本》的出现，由古希腊欧几里得按前人所提的几何知识，按照逻辑的要求的顺序，前因后果地进行编排，并先提出定义和公理，而后在这基础上，对各项知识都作推断论证。
《几何原本》的简介：公元前300年左右，希腊数学家欧几里得综合了人们对图形的认识成果，发表了13卷的巨著《几何原本》这是用公理化方法进行演绎推理的最早典范。
《原本》的发表，标志着初等几何的诞生。
《原本》中所介绍的几何学称欧氏几何，这是在整个数学发展史中最早、最完备、最成功的数学模型。
《原本》前10卷介绍平面几何，后3卷介绍立体几何，第一卷系统地提出二十三个定义、五条公理，成为《原本》的理论基础。
四、现代几何的产生与发展（公元后18世纪至今）俄国数学家罗巴切夫斯基罗氏几何德国数学家黎曼黎氏几何统称非欧几何罗氏几何：假设过直线外一点可引不止一条而是无数条直线平行该直线。
初等数学研究六初等几何基础
圆锥的侧面是曲面，展开后是一个扇形；圆锥的底面是一个圆 ；圆锥的顶点到底面的距离称为高。
球体和球冠
球体的定义 空间中到一个定点距离等于定长 的所有点组成的集合，称为球体 。
球冠的性质 球冠的侧面是一个曲面，展开后 是一个扇形；球冠的底是一个圆 ；球冠的高等于球体半径与截面 半径之差。
生活中的平面图形
人们在日常生活中经常接触到各种平面图形，如圆形、方 形、三角形等，这些图形在广告、标志、包装等方面都有 广泛应用。
空间几何在生活中的应用
空间几何知识在解决生活中的实际问题时非常有用，如计 算物体的体积、表面积等。
THANKS
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几何学中的证明和推理过程需要严密的逻 辑思维，通过学习和实践可以锻炼学习者 的逻辑思维能力。
数学其他分支的基础
实际应用的广泛性
几何学作为数学的一个基础分支，为其他 数学分支如代数、三角学、解析几何等提 供了基本概念和方法。
几何学在物理、工程、计算机等领域有着 广泛的应用，如建筑设计、机械制造、计 算机图形学等都需要用到几何学的知识。
四边形及其性质
四边形的定义和分类
四边形是由四条线段所围成的平面图形，根据四边形的边 长和角度特征，可以将其分为矩形、平行四边形、梯形等 。
四边形的基本性质
包括四边形的内角和为360度、外角和为360度、对角线 互相平分等。
特殊四边形的性质
如矩形的对边平行且相等、四个角都是90度；平行四边形 的对边平行且相等、对角相等；梯形的上下底平行、两侧 角相等等。
包括圆与直线的位置关系（相离、相切、相交）、切线长定理、切线长 与半径的乘积等于两切点间线段的长度等。
大学数学---初等数论 ppt课件
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初等数论的大部份内容早在古希腊欧 几里德的《 几何原本》中就已出现。欧几 里得证明了素数有无穷多个，他还给出求 两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓 欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有 杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国 剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中
的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数 一个性质： 整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数
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二、整除
1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在 一个整数q使得等式：
a=bq 成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作 b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除 a。
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3、最大公因数的性质
（1）当b∣a时，（a，b）=b. （2）a，b的一切公因数都是（a，b）的因数. （3）若a，b是正整数，m是任一正整数，则有
（am，bm）=（a，b）m. （4）若（a，b）=1，c为任一正整数，则有
（ac，b）=（c，b） （5）若（a，b）=1， b∣ac，则有b∣c. （6）若a，b，c是任意三个正整数，则（a，b）=d的充分必要条件是：
a bq r, 0＜ r ＜b ，
b rq1 r1,
0＜ r1 ＜ r ，
则有 (a,b) rn .
r r1q2 r2 ,
…
…
0＜ r2 ＜ r1 ，
rn2 rn1qn rn , 0＜ rn ＜ rn1 ，
rn1 rn qn1 rn1 , rn 1 0 ,
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4、带余除法
初等数学研究
初等数学研究九点圆三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。
通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。
九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心）的一个特例。
当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。
作图如下：△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点N,垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R（思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°）证明：（由中位线）PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD∴PMDL共圆。
（由中位线）PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR∴PMRDL五点共圆。
PE为Rt△AHE斜边中线∴角PEA等于PAE同理∠LEC等于∠LCE所以∠PEL等于180减去∠ADC∴∠L EP等于90°∴PEMRDL六点点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径∴PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心下证九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点O为外心，OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以OL平行等于PHOLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点九点圆具有许多有趣的性质，例如：1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；欧拉线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。
联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
初等数学--几何与三角-平面几何图形
初等数学-平面几何图形
平面几何图形—内容综述
平面几何图形—内容综述
平面几何图形—内容综述
平面几何图形—内容综述
平面几何图形—内容综述
平面几何图形—典型例题（长度问题）
平面几何图形—典型例题（长度问题）
平面几何图形—典型例题（长度问题）
平面几何图形—典型例题（长度问题）
平面几何图形—典型例题（长度问题）
平面几何图形—典型例题（长度问题）
平面几何图形—典型例题（角度问题）
平面几何图形—典型例题（角度问题）
平面几何图形—典型例题（角度问题）
平面几何图形—典型例题（角度问题）
平面几何图形—典型例题（面积问题）
平面几何图形—典型例题（面积问题）
平面几何图形—典型例题（面积问题）
平面几何图形—典型例题（面积问题）
平面几何图形—典型例题（面积问题）
平Hale Waihona Puke 几何图形—典型例题（面积问题）平面几何图形—典型例题（面积问题）
平面几何图形—典型例题（面积问题）
平面几何图形—典型例题（面积问题）
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初等数学研究(六)初等几何基础ppt课件
∴OA＝OB(结论)
∵线段中点平分线段(大前提)
C、D分别是OA、OB的中点(小前提)
∴ OC＝ 1 OA，OD= 1 OB (结论)
2
2
∵等量的同分量相等(大前提)
OC、OD是等量OA＝OB的同分量(小前提)
∴ O. C＝OD(结论)
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• 2.归纳法
是由归纳推理组成的证明方法。归纳法又分为
不完全归纳法、完全归纳法和数学归纳法。
(2)清人李善兰(1810－1882)与英人伟烈亚力(W·Lexanbler 1805-1887)于1852-1856年合译后9卷。
5.公理化方法
李善兰(1810－1882)
从尽可能少的无定义的原始概念和一
组不证自明的命题(基本公理徐)光出启发(15，62-1利63用3) 逻 辑的法则，把一门数学建成为演绎系统的
(1)不完全归纳法－－在研究事物的某些特殊情况所得到的共同 属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。
注意：不完全归纳法有时不太可靠
如：x=1,2,3, ……,39时，式子x2+x+41的值都是
质数，若就此得出“当x ∈N+时，式子x2+x+41的值都是质数”
的结论便是错误的。其实当x＝40时，402＋40＋41＝412是合数
A
C1 C2 D1
C3 C4 C5
D2
D3
B
.
13
三、演绎法与归纳法
平时证题我 们用简略的
三段论。
• 1.演绎法(三段论法)
是由演绎推理组成的 证明方法，要求演绎推理 中的三段论的大、小前提 都是正确真实的，是一种 由一般原理推出特殊事实 结论的证明方法。
例1.题略
初等数论简介PPT课件
初等数论
费马 [法]1601-1665，是数学史上 哥德巴赫 1690-1764，
最伟大的业余数学家，提出了费马 德国数学家；曾担任中学
大、小定理；在坐标几何，无穷小，教师，1725年到俄国，
初等数论 四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
2、孙子算经 约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不
清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算 筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说 明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓 是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成 “鹤龟算”。
初等数论 一、初等数论及其主要内容
数论是研究整数性质的一门很古老的数学 分支，其初等部分是以整数的整除性为中心 的，包括整除性、不定方程、同余式、连分 数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内 容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮
初等数论 4、最完美的数——完全数问题 完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒 发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的 因子(不包括它自身)的和， 如：6=1+2+3.
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
初等几何研究前言介绍
前言
❖ 一、初等几何的意义 ❖ 二、《初等几何研究》的研究对象 ❖ 三、《初等几何研究》开设的意义 ❖ 四、《初等几何研究》的主要内容
后页
初等几何这个术语是数学教育中最常用 也最不统一的术语之一，在数学教育文献 及师范院校开设的《初等几何研究》的各 种讲义中，初等几何可以在不同场合出现， 表示不同的含义。
后页
1.变换群下的意义
随着几何学研究的深入，几何学已涌现出众多的 分支，如：高等几何、空间解析几何、微分几何、 欧氏几何、非欧几何、画法几何、射影几何、拓扑 等等。面对众多的几何分支，各分支间在思想方法 上有什么联系，能否用某一种观点把其统一呢？德 国数学家F·克莱因致力此项研究。1872年在科学 家大会上提出的爱尔朗根纲领”中指出：各种几何 都是研究相应的变换群下的不变性理论。如欧氏几 何研究刚体变换群下的不变性，射影几何研究射影 变换群下的不变性，在这一意义下，一般将欧几里 德几何作为初等几何，认为其它均超出初等几何的 范围。
后页
1.几何公理体系与中学几何的相关问题 主要研究Eulid几何的公理结构，希尔伯
特公理体系，我国现行的中学几何教材的 逻辑结构等。 2.几何证明与度量常用的思维方法
问题时数学的心脏，在几何中对实际问 题、几何本身问题的求解、证明是几何教 学的核心，中学几何问题中的许多证明方 法等等。
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❖ 3.初等几何变换的理论与方法 ❖ 4.几何轨迹与几何作图 ❖ 5.中学几何教学的基本问题
后页
3.教育的含义 教育的主要层次是初等教育、中等教
育和高等教育。初等教育即小学教育的 几何内容属于几何常识范围，而中等教 育即中学教育的几何内容是初等几何， 因此在这一意义下的初等几何具有教育 的性质。
初等数学研究(PPT课件)
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初等数学研究（PPT课件）
1
• 数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无理数要容易些．但 是，历史有独特的自身发展逻辑．
• 事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数时，人们就已经在 研究正的有理数与无理数，甚至已经开始使用复数了．
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2
• “数系”的历史扩展途径 • “数系”的逻辑扩展途径
• 接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了负数、无理数 和复数．
• 到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追求运算的无矛 盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等等．
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4
“新数”为何最初不被承认？
• 不能够测量 • 并非非有不可 • 不能够理解 • 逻辑基础不清楚
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5“新数”为何最终获得Fra bibliotek认？“因为在数学中和在其他场合一 样，成功是最高法庭，任何人都得 服从它的裁决.”
D.Hilbert《论 无限》
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6
• 算法合理性是“新数”获得承认的主要原因 • 算术到代数的演进加速了数系的形成 • 广泛的应用促进广泛的承认 • “理想数” 的思想
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1.2 数系的构造理论
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8
1.2.1自然数的定义
• 自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数 的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。
• Peano公理陈述如下：
• （1）0是自然数；
• （2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+ ；
初中数学几何基础知识点总复习PPT
·· ··
C
D
3.如图,蚂蚁在圆锥底边的点A处, 它想绕圆锥爬行一周后回到点A处, 你能画出它爬行的最短路线吗?
A
(4).如图所示,洋河酒厂有三个住宅区A、 B、C各分别住有职工30人、15人、10 人,且这三个区在酒家大道上(A、B、C) 三点共线,已知AB=100米,BC=200米.为 了方便职工上下班,该厂的接送车打算 在此间只设一个停靠点,为使所有的人 步行到停靠点的路程之和最小,那么该 停靠点的位置应设在_____区.
4.如图所示,一只蚂蚁要从
·B
圆柱体A点沿表面尽可能
地爬到B点,因为那里有它
的食物,而它饿得快不行 了,怎么爬行路线最短?
·
A
5.计算(1)如图,A、B、C、D是直线l上顺
次四点，且线段AC=5，BD=4，
则线段AB-CD=_1____.
A
BCD
l
(2)如图，AC=8cm，CB=6cm,如果O是线
A
1（2（）O）3 4
B D
两条直线相交有且只有一个交点
对顶角的性质:
对顶角相等 邻补角互补
D A
O 1(
2
(
3 B
C
1.相等的角不一定是对顶角
2.邻补角之和等于180°，它们的 位置相邻，数量上互补。
定义：当两条直线相交所成的四个 角中，有一个角是直角时，就说这 两条直线互相垂直，其中一条直线 叫做另一条直线的垂线（直线）， 它们的交点叫做垂足．
余角、补角的性质： （1） 同角或等角的余角相等； （2） 同角或等角的补角相等；
互余
数量 关系
∠1+∠2=90°
对
应
图 形
2
初等几何研究教程
初等几何研究教程
初等几何是数学领域中非常基础且重要的分支，它主要研究平面几何和立体几何的基本概念、性质及图形的构造方法。
本文将为您提供一个系统的初等几何研究教程，帮助您深入理解并掌握这一领域。
一、平面几何篇
1.基本概念
（1）点、线、面的定义及性质
（2）角的定义及分类
（3）相似、全等、对称的概念
2.基本图形
（1）三角形、四边形、圆的基本性质
（2）图形的面积、周长、角度计算
（3）图形的构造方法
3.平面几何中的重要定理
（1）勾股定理
（2）射影定理
（3）圆的切线定理
4.解题技巧
（1）几何图形的画法
（2）辅助线、辅助角的添加
（3）代数方法在几何中的应用
二、立体几何篇
1.基本概念
（1）立体图形的定义及性质
（2）空间角的定义及分类
（3）立体图形的表面积、体积计算
2.基本图形
（1）柱体、锥体、球体的基本性质
（2）立体图形的构造方法
（3）立体图形的投影与视图
3.立体几何中的重要定理
（1）勾股定理在立体几何中的应用
（2）欧拉公式
（3）空间几何中的对称性质
4.解题技巧
（1）立体图形的画法
（2）空间角、距离的计算方法
（3）向量方法在立体几何中的应用
三、几何应用与拓展
1.几何在实际问题中的应用
2.几何与代数的综合应用
3.几何与其他学科的联系与拓展
通过以上教程的学习，相信您已经对初等几何有了更加深入的了解。
在实
际应用中，几何知识可以帮助我们解决许多实际问题，同时也能培养我们的空间想象能力和逻辑思维能力。
几何证明—命题(初等数学课件)
否命题 若则
互逆
互否 为逆
为
逆
互
否
互逆
逆命题 若则
互 否
逆否命题 若则
例题讲解
例 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假： （1）对顶角相等； 解 原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。（真） 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。（假） 否命题：如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等。（假） 逆否命题：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。（真）
命题的四种形式
一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用p 和q 分别表示 p 和
q 的否定。于是四种命题的形式为：
原命题：若 则 q p q
逆命题：若 q 则 p q p
否命题：若q 则q (p q)
逆否命题：若q 则q (q p)
命题的四种形式
四种命题的关系：
原命题 若则
关于本节课的内容有几点说明：
1．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论； 2．互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略； 3．通常复合命题“ p 或 q ”的否定为“p 且q ”、“ p 且 q ”的否定为“p
或 q ”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等； 4．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成
初等数学研究
命题的四种形式
命题的四种形式
数学命题一般写成假言命题的形式：如果 p ，那么 q （或若 p ，则 q ）。其
中 p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。任何数学命题都是由条件和结论两部 分组成。如，在命题“如果两个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个 三角形全等”中，条件是“两个三角形的两条边及其夹角对应相等”，结论是“这 两个三角形全等”。
初等几何
初等几何在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来有测量土地的含义，意译就是“测地术”。
“几何学”这个名词，系我国明代数学家根据读音译出的，沿用至今。
现在的初等几何主要是指欧几里得几何，它是讨论图形(点、线、面、角、圆等)在运动下的不变性质的科学。
例如，欧氏几何中的两点之间的距离，两条直线相交的交角大小，半径是r的某一圆的面积等都是一些运动不变量。
初等几何作为一门课程来讲，安排在初等代数之后；然而在历史上，几何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊人的贡献。
几何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象，因此它是抽象的。
这种抽象决定了几何的思维方法，就是必须用推理的方法，从一些结论导出另一些新结论。
定理是用演绎的方式来证明的，这种论证几何学的代表作，便是公元前三世纪欧几里得的《原本》，它从定义与公理出发，演绎出各种几何定理。
现在中学《平面三角》中关于三角函数的理论是15世纪才发展完善起来的，但是它的一些最基本的概念，却早在古代研究直角三角形时便己形成。
因此，可把三角学划在初等几何这一标题下。
古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关球面三角的知识。
公元前2世纪，希帕恰斯制作了弦表，可以说是三角的创始人。
后来印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿尔•巴塔尼用计算sinθ值的方法来解方程，他还与阿布尔•沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概念；赖蒂库斯作了较精确的正弦表，并把三角函数与圆弧联系起来。
由于直角三角形是最简单的直线形，又具有很重要的实用价值，所以各文明古国都极重视它的研究。
我国《周髀算经》一开始就记载了周朝初年(约公元前1100年左右)的周公与学者商高的对话，其中就谈到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；还记载了在周公之后的陈子，曾用勾股定理和相似图形的比例关系，推算过地球与太阳的距离和太阳的直径，同时为勾股定理作的图注达几十种之多。
在国外，传统称勾股定理为毕达哥拉斯定理，认为它的第一个一致性的证明源于毕氏学派(公元前6世纪)，虽然巴比伦人在此以前1000多年就发现了这个定理。
初等数学教学课件
例5.在ABC中，BC、AC边上的中线AD、BE交于点O， 求证：AB边上的中线CF也过点O。
证1.Q 任何三角形的三条中线都交于一点， 由已知得：中线AD、BE相交于点O， 而两直线相交，只有一个交点。 ∴点O是唯一的。 ∴ O为ABC的重心。 ∴ AB边上的中线CF必过重心O。
原因分析： 原因分析： 证1.中的第一句话其实就是本题要证明的内容，这 里将它作为已知结论来用，因此属于循环论证!
例4.两个不等的圆交于点P、Q，AB与CD为两外公切线。求证：AC // PQ // BD
A E B P
Q D
G
C
F
证1：如图，延长PQ交AB于E，交CD于F。 由切割线定理得：EA2 = EP EQ；EB 2 = EP EQ ∴ EA = EB 同理得：FC = FD AE FC ∴ = EB FD ∴ AC // EF // BD（平行线截得比例线段定理的逆定理） ∴ AC // PQ // BD
原因分析： 原因分析：
B O E
2 4
3
CБайду номын сангаасF
证1.中的“∠3= ∠4”是对顶角的前提是已经承认了HF与 BD交于点O，而这正是要证明的，因此也属于循环论证!
正确证法： 正确证法：
证2：设AC、BD交于点O， 则：O为AC、BD的中点。 Q ∠5 = ∠6，∠7 = ∠8 ∴ AEH CFG ∴ AE = CG，AH = FC 又 Q AE // CG ∴ AECG是平行四边形。 又 Q O为AC的中点。 ∴ EG必过点O 同理：HF也过点O ∴ AC、BD、EG、FH交于一点O
7
A
5
H
D G
O E B F
8
6
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(1)不完全归纳法－－在研究事物的某些特殊情况所得到的共同 属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。
注意：不完全归纳法有时不太可靠
如：x=1,2,3, ……,39时，式子x2+x+41的值都是
质数，若就此得出“当x ∈N+时，式子x2+x+41的值都是质数”
的结论便是错误的。其实当x＝40时，402＋40＋41＝412是合数
方法。 .
6
• 《几何原本》的每一卷都以一些概念的定、公设、和公理为基础。 第一卷以23个定义、5个公设和5个公理开始的。
• 定义
• (1) 点是没有部分的。
• (2) 线是只有长度而没有宽度的。
• (3) 线的界限是点。
• (4) 直线是这样的线，它对于它的所有各个点都有同样的位置。
• (5) 面是只有长度和宽度的。
A
C1 C2 D1
C3 C4 C5
D2
D3
B
.
13
三、演绎法与归纳法
平时证题我 们用简略的
三段论。
• 1.演绎法(三段论法)
是由演绎推理组成的 证明方法，要求演绎推理 中的三段论的大、小前提 都是正确真实的，是一种 由一般原理推出特殊事实 结论的证明方法。
例1.题略
证明：
同圆半径相等(大前提)
OA、OB都是⊙O的半径(小前提)
(1)实验几何(大约公元前七世纪前)
(2)初步推理几何(大约公元前四世纪前)
(3)解析几何的产生与发展
(4)现代几何的发展
2.欧几里得《几何原本》中的不足 3.欧几里得不可磨灭的贡献
欧几里德(前330～ 前260)
(1)《几何原本》是人类第一次把丰富散漫的几何材料 整理成了系统严明的读本
(2)《原本》是人类历史上的一部杰作
.
K
F
P
M
Q
A
H G
B
DC
10
§3.几何证明的一般方法
一、直接证法与间接证法
1.直接证法
(1)叠合法 (2)合一法
证明方法小结：
2.间接证法
(1)反证法： ①归谬法 ②穷举法 (2)同一法
直接证法（叠合法 一， 穷 归举 谬法 法
.
同一法
11
☆ 二、综合法与分析法
(2)清人李善兰(1810－1882)与英人伟烈亚力(W·Lexanbler 1805-1887)于1852-1856年合译后9卷。
5.公理化方法
李善兰(1810－1882)
从尽可能少的无定义的原始概念和一
组不证自明的命题(基本公理徐)光出启发(15，62-1利63用3) 逻 辑的法则，把一门数学建成为演绎系统的
(3)两千年来，人类对初等几何的研究仍以《原本》为
依据
.
4
(4)欧几里得成了“几何”的代名词
约前486～前376
.
5
4.《几何原本》译成中文简介
(1)明万历年间(明万历三十五年(1607))徐光启(1562－1633)与 意大利传教士利玛窦(R·Matte 1552-1610)首次合译前6卷[“几 何学”一词由徐光启引入]；
∴OA＝OB(结论)
∵线段中点平分线段(大前提)
C、D分别是OA、OB的中点(小前提)
∴ OC＝ 1 OA，OD= 1 OB (结论)
2
2
∵等量的同分量相等(大前提)
OC、OD是等量OA＝OB的同分量(小前提)
∴ O. C＝OD(结论)
14
• 2.归纳法
是由归纳推理组成的证明方法。归纳法又分为
不完全归纳法、完全归纳法和数学归纳法。
• (6) 面的界限是线。
• (7) 平面是这样的面，它对于它的所有直线有同样的位置。
• (8) 平面上的角是在一个平面上的两条相交直线相互的倾斜度
• (9) 当形成一角度的两线是一直线的时候，那角度成为平角。
……
• (23) 平行线是在同一平面上而且尽管向两侧延长也决不相交的直
线。
.
7
6.希尔伯特的公理体系
2.逻辑能力的培养不能被数学的其他科目完全取代
3.学习初等几何可发展人的空间想象能力和识图能力
4.学习初等几何有助于在生活现实中独立自主，提高动手 能力，更是继续学习的基础
5.你认为学习初等几何还有哪些重要性？(讨论题)
.
3
四、初等几何学发展简史
毕达哥拉斯(约前 580～约前500)
1.几何发展大约经过四个阶段
.
15
(2)完全归纳法－－在研究事物的一切特殊情 况(通常只有有限多种)所得到的共同属性的基 础上，作出一般性结论的推理方法。(如圆周 角定理的证明)
二、几何证明的要求和特点
1.充分利用一般数学证明的方法、思路、技巧
2.严格规范证题的基本要求
3.作一般图形，尽量避免将特殊图形的某些直观特征
引入几何证题
4.作图准确，帮助启发探索证题思路
.
9
三、几何证题的步骤
1审题：2.寻求思路： 3.选择证法：4.叙述证明：
E
四、几何证题的基本思路 1.如何选择适当的定理 2.怎样创造条件用好选用的定理 3.定理选择的多样性和特殊性 4.引用定理的相关性和灵活性
点
基本对象（元名）
直线
平面
本有
概概
根 念 念
希
基本概念（元词）
尔
伯
特
公
理
基本关系（元谊）
结合关系：
点在直线上 点在平面上
顺序关系：一点介与两
合同关系：
两线段合同 两角合同
据
这
些
点之间
基
来 定 义 所
和 关 系
系
理出
统 公
结合公理
（Ⅰ 1
Ⅰ8
)
可所
理
顺序公理 合同公理
（Ⅱ 1 Ⅱ 4 ) （Ⅲ 1 Ⅲ 5 )
根 据
逻 辑
有 定
连续公理
（Ⅳ 1 Ⅳ 2 )
这
地
理
平行公理
（Ⅴ）
些 推
公理
.
8
希尔伯特(1862～1943)
§2.几何证明概述
一、现行中学几何教材的逻辑结构特征
1.扩大公理系统，删减繁杂内容，适应中学生接受 2.利用图形直观降低几何学习入门难度
第六讲 初等几何基础(一)
.
1
§1. 初等几何简介 一、初等几何的研究对象
二、初等几何的内容体系
①.初等几何研究的内容
②.初等几何研究的方法
③.初等几何的内容体系
（ 1）论证：
④.初等几何研究问题的主要类型
（ （
2）作图： 3）计算：
（ 4）轨迹：
.
2
三、学习初等几何的重要性
1.培养人的逻辑思维能力
1.综合法(由因导果) 从题设的已知出发，
通过逻辑推理，导出所 给命题的结论，即“由 因导果”的思维方法。
A C1 C2 C3 D1 D2 D3 D4 D5
B
.
12
• 2.分析法(执果索因)
是指从待证的结论 出发，寻找结论成立的充 分条件，如此逐步往追溯， 一直到已知条件为止，即 “执果索因”的方法。