线段的中点及角平分线
高考数学二轮复习三角形中的中线、高线、角平分线问题ppt课件
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
线段的中点及角平分线
判断：
B
• 若∠BOC＝ ∠AOC ，则OC为∠AOB的平分线。
C
O A
角平分线的条件： 1、在已知角内。 2、把已知角分成两个相等的角
类似的,还有角的三等分线、四等分 线、五等分线等。 A C D E O 如图：射线OC、OD、OE是∠AOB的四 等分线。 B
O A 解： OB 、 OD 分别是 AOC 与 COE 的角平分线 1 1 2＝ AOC，1＝ COE 2 2
1 1 2＋1＝ AOC＋ COE 2 2 1 1 1 ＝ AOE ＝ 130 ＝ 65 ＝ （AOC＋COE） 2 2 2
已知OB是∠AOC的平 E 分线, OD是∠COE的 平分线, 如果 ∠AOE=1300, 那么 ∠BOD是多少度?
D
C B
1 2
讨论题：如果∠ AOB= 500 ,∠ BOC= 220 ， OM
答：线段MN的长为4cm
1 1 MC＝ AC，CN＝ CB 2 2
DB=3cm，BC=7cm，C是AD的中点， 求AB的长. C A D B 解：∵DB=3cm，BC=7cm ∴CD=BC－DB=7－3=4cm， ∵点C是AD的中点， ∴AC=CD=4cm， ∴AB=AC+CD+DB=4+4+3=11cm
10 A M B 甲 N C
＝
A
C
M N
6 乙
B
解： 点 M 、 N 分别是 AB 、 BC 的中点
1 1 MB＝ AB＝ 10＝5， 2 2 1 1 NB＝ CB＝ 6＝3 2 2 ∴MN=MB –NB＝5－3＝2cm
已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且 BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
线段的中垂线和角平分线--华师大版
D E C
M A B
D E C N P
M
A
B
例3、角平分线上的点到角的两边 距离相等，到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上”。如图 所示：①若∠BAD=∠CAD，且 BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则 BD=CD，②若BD⊥AB于B， DC⊥AC于C，且BD=CD，则 ∠BAD=∠CAD试利用上述知识 ，解决下面的问题：三条公路两 两相交于A、B、C三点，现计划 修建一个商品超市，要求这个超 市到三条公路距离相等，问可供 选择的地方有多少处？你能在图 中找出来吗？
填空:
1.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E， 交AB于D，连结BE，若∠A=50°，则 ∠EBC=__________。 2.已知：如图，B、C、 D 、 E都在边BC上，FD、 EG分别是AB、AC的中垂线。 1）若BC=10， 三角形ADE的周长 . 2）若∠BAC=100°，∠DAE的度数 。
碌着，并没有随女眷们壹起去永和宫请安。因此直到乾清宫，他才见到魂牵梦萦の小仙女。两年不见，水清仍然如他三年前初见の那样，岁月 不曾在她の身上留下壹丝壹毫の痕迹。壹样の稚嫩脸庞，壹样の冰清玉洁，壹样の傲然孤立。而且二十三小格还知道，水清两年如壹日，壹样 の冷遇无宠。对于这各结果，他既是暗自高兴，也是黯然神伤。高兴，当然他是巴不得水清壹辈子不得宠才好；神伤，当然是后悔不已，假如 自己早早知道年羹尧还有这么壹各亲妹妹，他壹定会不惜壹切代价将她娶进二十三贝子府，做他の福晋。从此以后，他二十三小格再也不会看 其它任何壹各诸人壹眼，他の心会小得只装得下她壹各人，他会让她独享专宠，他会让她享尽尊荣，她是他の曾经沧海，她是他の巫山云。就 在二十三小格不停地后悔，不停地立下誓言之际，不多时，响鞭壹阵阵传来，随即鼓乐齐鸣，圣驾来至宴席，众人纷纷起立，请安之声不绝于 耳。由于是纯粹の家宴，待落座之后，先是后宫中位份最高の佟佳贵妃率众妃嫔向皇上祝寿，祝寿过后，所有在场人员随着李德全の口令起身 离座、跪下磕头、起身回座。后妃祝寿过后便是皇子们の祝寿。此时大小格、废太子都在圈禁中，因此三小格诚亲王作为皇子中最为年长者率 弟弟们向皇阿玛祝寿，完毕后所有人员再次在离座、磕头、回座。然后是儿媳妇们の祝寿，众人再次行磕头大礼。最后是皇孙、重皇孙们，众 人再行磕头大礼。多半各时辰里除咯祝寿和行磕头大礼之外，所有の人没有吃壹口饭，没有喝壹口水。好不容易集体祝寿结束，众人可以踏实 落座，李德全壹声令下，宫女太监们开始摆膳。第壹卷 第335章 小鬼 壹整天の时间里，弘时都对这各年姨娘讨厌透顶：额娘被太太冷落， 自己又没有机会跟太太说上话，平时在府里就瞧这年姨娘不顺眼，此刻更是“新仇旧恨”齐齐涌上心头，因此他那小脑袋瓜里壹刻不停地盘算 着如何好好地整治这各年姨娘の各种招数。他要让这各平时对他不够恭敬、不够谦卑の年姨娘必须吃点儿苦头，知道他小爷不是好惹の。此刻 の他，壹双小眼睛滴溜溜地转来转去，打着鬼主意，想着、想着，这主意就想出来咯！这不奴才们正摆膳嘛，于是他假意跟淑清撒娇，身子顿 时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变 咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！ 吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席 上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各 滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事 情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地 洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯 她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席 宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱汁极为刺眼夺 目。看着平时漂漂亮亮、光光鲜鲜の年姨娘现在竟是这副狼狈不堪の样子，弘时の心中简直就是乐开咯花。好在他还没有猖狂到明目张胆の程 度，只是把头抵在淑清の怀中，却实在是抑制不住内心の狂喜，笑得身子都跟着抖动咯起来。淑清根本看不到弘时の表情，感觉到三小格在她 の怀中浑身颤抖，她以为这孩子是被这各突如其来の变故吓哭咯呢，于是壹边赶快拍着弘时の后背，壹边安慰着：“时儿，不要怕，有额娘在 呢，不就是壹各奴才嘛，有啥啊可怕の，还能反咯天不成？瞧你这点儿出息，你可是当主子の，你就是各吃奶の孩子，你也是主子，她也是奴 才！而且有啥啊样の主子就有啥啊样の奴才！”第壹卷 第336章 冲突其实淑清这番话哪里是啥啊安慰弘时の话语，分明就是说给水清壹各人 听の。她当然看到咯年妹妹身上那片难看の菜汁，也知道吟雪の胳膊被弘时挡咯壹下。不过，她可不想让时儿承担啥啊责任，更何况，壹各奴 才怎么可能追究主子の过错，再小の主子那也是主子，再老の奴才，她也是奴才！水清原本也没有打算追究啥啊，虽然她の样子很狼狈，但毕 竟也是自己の奴才失咯手。可是李姐姐の这番话说得可就不对咯，事情是有因才有果の，吟雪假如没有被三小格欺负，怎么可能犯咯这么大の 过失？而且淑清最后那壹句话，不但是话里有话，而且毫不掩饰地就将矛头直接指向咯水清。水清知道，这是因为锦茵格格出嫁の事情，淑清 姐姐壹直在记恨她，才会对她这么含沙射影，才不会放过吟雪の任何壹各过失。可是这是皇上六十大寿の寿宴，又是当着其它嫂子、弟妹们の 面，她就是再有天大の委屈，无论如何也不能跟李姐姐起
中线是角平分线吗
中线是角平分线吗
中线不是角平分线。
中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段。
三角形的三条中线总是相交于同一点。
而角平分线是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）。
三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)
复习提问
1.什么叫线段的中点？
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点
A
B
2.什么叫角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
B
O
A
复习提问 3.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
放、靠、过、画.
01
01
01
23
23
23
0
1 0 2 1 03 21 3 2
3
探究新知
B
C
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
AF
(2)AC边上的高是__B_F__； BC边上的高是__A__D_；
DB
C
AB边上的高是__C_E__；
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点.
O
(4)它们所在的直线交于一点吗?
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的中线
B
D
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中 点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =12 BC
探究新知
思考2.如图，在△ABC中，还能画出几条中 线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
B
重心：三角形的三条中线相交于一点，三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心
A
O C
D
探究新知
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2
三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
中线与角平分线的关系
中线与角平分线的关系
中线是一边中点和对应顶点的连线。
角平分线是将一角平分并与对边相交的线段。
只有为等腰三角形时或者等边三角形时，两者顶角平分线才与对边中线重合。
三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。
由定义可知，三角形的中线是一条线段。
三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
“中心”与“重心”很容易弄混淆，“中心”只存在于正三角形，也就是等边三角形当中。
在等边三角形中，其内心，外心，重心，垂心都在一个点上，于是称之为中心。
内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。
外心：三角形三条边的中垂线的交点叫作三角形的外心，即外接圆圆心。
重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。
垂心：三角形三条垂线的交点叫作三角形的垂心。
角平分线 教学案例
《角平分线》教学案例学生在学习《角平分线》之前，已经学习过线段中点的定义及性质，而角平分线的定义和表示方法与线段中点的定义、表示方法是相似的，我的想法是采用类比的教学方法，引导学生将角平分线和线段中点进行对比来学习，培养学生类比迁移的学习方法，运用所学的线段中点知识类比学习角平分线的知识。
在课堂的开始，我直接运用类比的方法进行引入，首先回顾线段中点的定义：一个点把线段平均分成两条相等的线段，这个点叫做线段的中点。
接着我对学生提出问题：“仿照线段中点的定义，你能用自己的话描述一下角平分线的定义吗？”学生能够类比线段中点的定义大致说出角平分线的定义，但是仍然停留在理论阶段，学生对角平分线没有一个形象的画法，而且角平分线相对于线段中点而言，有很多需要注意的地方，是需要进行具体的画图来给出角平分线的定义，在这个环节中，我的概念引入对于初一学生来讲过于抽象，学生还比较适应具体的东西，因此，在课堂开始，我应该带领学生复习线段中点的定义及线段中点的取法，并在黑板上做出线段中点的图，接着画∠AOB，带领学生用量角器量出角的度数，进而通过提出问题，一步一步引导学生得出并理解角平分线的概念：1.如何把∠AOB分成两个相等的角？2.点可以吗？（不可以）。
3.线可以吗？（可以）。
4.什么样的线？（过顶点的线）5.用尺子比着，能否分成两个相等的角？（不能）6.那怎样才能分成两个相等的角呢？（先量出∠AOB的度数，再取∠AOB度数的一半）这样一步一步引导学生进行思考，进而总结角平分线的概念，并剖析概念。
本环节虽然以类比的方法总结出角平分线的概念，但是考虑到学生的认知水平和目前所处的年龄段，概念的给出不宜太过抽象，因此，在这个环节中，提问并且追问是必不可少的，提问可以引发学生思考，使学生朝着正确的方向思考。
画角平分线时，将∠AOB对折，取折线，给学生渗透对称的思想。
在讲完概念之后，我和学生一起通过一个简单的题目对角平分线的概念进行了辨析，使学生对角平分线的概念和相关知识有更加深刻的理解。
中点及角平分线定义、表示与计算(通用版)(含答案)
中点及角平分线定义、表示与计算（通用版）试卷简介:理解中点和角平分线的定义，掌握中点和角平分线的六种表示方法及其相关计算.一、单选题(共14道，每道7分)1.如图,点D为∠BAC内一点,则下列等式:①②；③；④．能说明射线AD是∠BAC平分线的有( )A.①B.①②③C.①③D.①②③④答案：C解题思路：由题可知，射线AD在∠BAC内部．由角平分线的六种表示可知：①③能说明射线AD是∠BAC平分线；②④只能说明射线AD在∠BAC内部，但不能说是∠BAC平分线．故选C．试题难度：三颗星知识点：角平分线的定义2.如果点C在线段AB上,则下列等式:①AC=CB;②;③AB-AC=BC;④AB=2AC,能说明点C是线段AB中点的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④答案：B解题思路：中点的定义：点C把线段AB分成两条相等的线段，点C叫做线段AB的中点．点C在线段AB上，可知①②④成立时，点C是线段AB的中点，如图；③AB-AC=BC只能说明点C在线段AB上，但不能说明点C是线段AB的中点，如图：故选B.试题难度：三颗星知识点：中点的定义3.点C是线段AB的中点,点D是线段BC上一点,下列说法错误的是( )A.BD=AC-CDB.C.CD=AD-BCD.答案：D解题思路：由题意可画图如下：D选项中，由于题中未给出点D是线段BC的中点，所以D说法错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：中点的六种表示4.下列说法正确的是( )A.若,则点C是线段AB的中点B.若,则OC是的平分线C.若,则点B是线段AC的中点D.若点B是线段AC的中点,则答案：D解题思路：若，则点C也可能在线段BA的延长线上，如图：因此A错误；若，则射线OC也可能在∠AOB的外部，如图：因此B错误；若，不能保证三点在同一直线上，如图：如果在同一直线上的话，也只能说明点A是线段BC的中点，因此C错误；由中点的六种表示可知，D说法正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：中点的定义5.如图,AB⊥CD于点B,BE是∠ABD的平分线,则∠CBE的度数是( )A.45°B.90°C.120°D.135°答案：D解题思路：∵AB⊥CD于点B∴∠ABC=∠ABD=90°∵BE是∠ABD的平分线∴∴∠CEB=∠ABC+∠ABE=90°+45°=135°故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线6.如图,已知O是直线AB上的一点,∠1=40°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°答案：B解题思路：∵O是直线AB上的一点∴∠AOB＝180°∵∠1＝40°∴∠BOC=∠AOB-∠1=180°-40°=140°∵OD平分∠BOC故选B．试题难度：三颗星知识点：角平分线7.如图,∠AOB=40°,∠BOC=30°,OM为∠AOB的角平分线,则∠MOC的度数是( )A.35°B.40°C.45°D.50°答案：D解题思路：∵OM为∠AOB的角平分线∴∵∠AOB=40°∴∵∠BOC=30°∴∠MOC=∠MOB+∠BOC=20°+30°=50°故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线8.如图,点C是线段AB的中点,点D是线段AC的中点,已知线段DC=3cm,则线段AB的长为( )A.12cmB.9cmC.18cmD.15cm答案：A解题思路：∵点D是线段AC的中点∴AC=2DC∵DC=3 cm∴AC=6 cm∵点C是线段AB的中点∴AB=2AC=12cm故选A．试题难度：三颗星知识点：求线段长9.如图,已知线段AB,点C是线段AB上一点,点M,N分别是线段AC,BC的中点,且MN=6,则线段AB的长为( )A.10B.12C.14D.16答案：B解题思路：∵点M，N分别是线段AC，BC的中点∴AC=2MC，BC=2CN∵MN=6∴AB=AC+BC=2MC+2CN=2（MC+CN）=2MN=2×6=12故选B．试题难度：三颗星知识点：求线段长10.已知线段AB=6cm,点C在直线AB上,AC=2BC,M,N分别为线段AB,BC的中点,则MN的长为( )A.4.5cm或3cmB.6cm或4.5cmC.2cm或6cmD.4cm或3cm答案：C解题思路：（1）分析：由题意，点C的位置不确定，分情况讨论，符合题意的有两种．然后画出相应的图形进行求解．（2）解题过程：由题意，点C的位置不确定，分两种情况．①如图1：∵AB=6，AC=2BC∴∵M，N分别为线段AB，BC的中点∴，∴MN=MB-NB=3-1=2②如图2：∵AB=6，AC=2BC∴AC=12，BC=6∵M，N分别为线段AB，BC的中点∴，MN=BM+BN=3+3=6∴MN的长为2cm或6cm故选C．（3）易错点：①因为点的位置不确定，可能有多种情况，需要分类讨论；②需要根据题目条件画出符合题意的图形，然后计算．试题难度：三颗星知识点：求线段长11.如图所示,∠AOB=120°,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,则∠DOE=( )A.60°B.90°C.120°D.30°答案：A解题思路：∵OD平分∠AOC∴∵OE平分∠BOC∴∵∠AOB=120°故选A．试题难度：三颗星知识点：角平分线12.如图,已知点O为直线AB上一点,OM,ON分别是∠AOC,∠BOC的角平分线,则∠MON的度数是( )A.70°B.80°C.90°D.95°答案：C解题思路：∵O是直线AB上的一点∴∠AOB＝180°∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的角平分线∴，故选C．试题难度：三颗星知识点：角平分线13.如图所示,点M,C都在直线AB上,且点M是AC的中点,若AC=a,BC=b,则MB的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：∵点M是AC的中点∴∵∴∵故选C．试题难度：三颗星知识点：求线段长14.已知∠AOB=30°,∠AOD=2∠AOB,OC平分∠AOB,OM平分∠AOD,则∠MOC的度数为( )A.15°B.45°C.15°或45°D.20°或45°答案：C解题思路：由题意，射线OD位置不确定，分两种情况.如图1：∵∠AOB=30°，∠AOD=2∠AOB∴∠AOD=60°∵OC平分∠AOB∴∵OM平分∠AOD∴∴∠MOC=∠AOC+∠AOM=15°+30°=45°如图2：∵∠AOB=30°，∠AOD=2∠AOB∴∠AOD=60°∵OC平分∠AOB∴∵OM平分∠AOD∴∴OM与OB重合∴∠MOC=∠AOM-∠AOC=30°-15°=15°故选C．试题难度：三颗星知识点：角平分线第11页共11页。
角平分线、中点专题
BA DBC【例题讲解】（一）过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题．1．如图在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ． 求证：︒=∠+∠180C A .2．已知：如图，在∆ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠1=∠2，求证：BC=AB+AD ． 3．如图，□ABCD 中，E 是DC 上一点，F 是AD 上一点，AE 交CF 于点O ，且AE=CF.求证：OB 平分AOC ∠.（二）有和角平分线垂直的线段时，把它延长可得到中点或相等的线段，从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系．4．已知：如图，∠1=∠2，AB ﹥AC ，CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点， 求证：DH=21（AB －AC ）． 5．已知：如图，AB=AC ，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE ⊥BE ，求证：BD=2CE ．（三）有角平分线时，常作平行线，构造等腰三角形。
（角平分线+平行线⇒三角形.）6．已知：如图，)(AC AB ABC ≠∆中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠. （四）作斜边中线，利用斜边中线性质解题7.如图，在ABC Rt ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，O 为BC 的中点. ①写出点O 到ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不变证明）②如果点N 、M 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保证AN=BM ，请判断OMN 的形状，并证明你的结论.M（五）有底中点，连中线，利用等腰三角形三线合一性质证题8.已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点， 求证：FD BF ⊥.（六）有中线时可延长中线，构造全等三角形或平行四边形：9．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：AD AC AB 2>+.10.已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=.11．已知：如图，ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.（七）有中点，造中位线12.如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，B C ∠=∠21，点E 为BC 的中点， 求证：AB=2DE.M13.已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->21.（八）与梯形中点有关的辅助线：①有腰中点时，常见以下三种引辅助线法14.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC AB >，M 为AD 中点，且CM BM ⊥. 求证：（1）BM 平分ABC ∠，CM 平分DCB ∠.（2）BC CD AB =+.15.已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.ADFEBCB（1B（2GB（3B【随堂练习】1.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADC．(1)求证：△ACD≌△CNBF；(2)当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?证明你的结论．2、如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM＝AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C=60°，BC＝2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB 的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连结DF，求DF的长．例1.如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为．例2.△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：CO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?AD ，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.（1）求证：例3.如图，ABCD为平行四边形，aDF=FE；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.例4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF ∥AB交直线DF于F．设CD=x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？例5.阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个便点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB(如图2)．解答问题；(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S l、S2，则S1 S2(填“>”，“=”或“<”)；(2)如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图3把它画出来；(3)如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出个，利用图4把它画出来；(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?【随堂练习】1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是C BAM2．(1)如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ：∠BAE ＝3：1，则∠CAC ＝ ； (2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为_______cm 2．3．如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、 △BCE 、△ACF ．(1)四边形ADEF 是 ； (2)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 为矩形； (3)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 不存在．4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+3，则这两边之积为 ．5．如图，ABCD 中，M 是AB 上的一点，连结CM 并延长交DA 的延长线于P ，交对角线BD 于N ，求证：NP MN CN ⋅=218．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠ACD ⑴请再写出图中另外一对相等的角；⑵若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD 的中位线的长度。
初中数学 三角形的中线,角平分线,高线,垂直平分线
三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线•三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。
且三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明巧计方法：点到线段两端距离相等。
•三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。
2、三角形的三条中线长：ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ；mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ；mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。
(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
•垂直平分线的尺规作法：方法一：1、取线段的中点。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
角平分线与中线
角平分线与中线角平分线和中线是几何学中的重要概念，它们在解题和证明中有着广泛应用。
本文将介绍角平分线和中线的定义、性质以及它们在几何中的应用。
一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等的角的射线或线段。
具体来说，对于一个角ABC，若有射线或线段AD使得∠CAD = ∠BAD，则AD称为角ABC的角平分线。
角平分线有以下几个重要性质：1. 角平分线的唯一性：对于任意一个角，存在唯一一条角平分线。
这是因为在平面几何中，两条不同的直线最多只能有一个交点。
2. 角平分线的性质：角平分线将原角分成的两个小角相等。
即∠CAD = ∠BAD。
3. 角平分线的外角性质：对于一个凸角ABC及其角平分线AD，有∠ACD = 2∠BAD。
这是因为∠CAD = ∠BAD，而外角等于内错角。
角平分线在解题中有着广泛的应用。
例如，利用角平分线的性质可以证明两条平行线被一组平行线所截得的两个对应角相等；利用角平分线的外角性质可以证明一个三角形的外角等于它所对的内角之和。
二、中线中线是指一个三角形的顶点和对边中点之间的线段。
对于三角形ABC，若M是BC的中点，则AM称为三角形ABC的中线。
中线有以下几个重要性质：1. 中线的唯一性：对于任意一个三角形，存在唯一一条位于三角形内部的中线。
这是因为三角形的三条边只能有一个中点。
2. 中线的性质：中线平分对边。
即BM = MC。
3. 中线的长度：对于一个三角形ABC，有AM^2 = BM^2 + MC^2/4。
这是由勾股定理和中线的性质推导得到的。
中线在解题中也有着广泛的应用。
例如，利用中线的性质可以证明一个三角形的两个内角对应的对边相等；利用中线的长度公式可以求解三角形的边长和面积。
综上所述，角平分线和中线是几何学中重要的概念，它们有着独特的定义和性质，并且在解题和证明中有着广泛的应用。
对于几何学的学习和理解，掌握角平分线和中线的概念和性质是至关重要的。
知识点解读：三角形的高、中线与角平分线
知识点解读：三角形的高、中线与角平分线知识点1：三角形的高、中线、角平分线（掌握）知识详析：三角形的高：三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 高的叙述方法（右图）：①的高；是ABC AD ∆ ②;D BC AD ，垂足为⊥③ 90=∠=∠CDA BDA BC D 上，且点在三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．几何语言：（右图）AD 是△ABC 的边BC 上的中线．逆向推理：若AD 是△ABC 的中线，则D 是边BC 的中点．三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段． 几何语言（图3）：若∠1=∠2，则AD 是∠BAC 的角平分线．逆向推理：若AD 是角平分线，则∠1=∠2．【典例】1.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线解析：这是最基本，也最易混淆的基础知识，需要牢记掌握．我们可以根据三角形的高、中线和角平分线的概念定义知道它们既不是射线，也不是直线，而均表示线段．2.如图，在△ABC 中，AE ，AD 分别是BC 边上中线和高，（1）说明△ABE 的面积与△AEC 的面积有何关系（2）你有什么发现解析：关于三角形的面积，后面我们将要学到，三角形的面积公式为底乘高的一半．此时我们可以了解到同高等底的两个三角形的面积相等，三角形的中线图3 A B C D 1 2 D CB A把三角形分成两个面积相等的三角形．故△ABE的面积与△AEC的面积相等．知识点2：三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心（了解）知识详析：重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似．内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等．外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等．旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等．【典例】在△ABC中，边BC上的中线AD等于9cm，那么这个三角形的重心G 到顶点A的距离是____cm．解析：根据重心的概念得出AG=2DG，即可得出答案．由AD等于9cm，故重心G到顶点A的距离是6cm．。
角平分线、中线、高线
当两个三角形的高线相等时，可以证明两个三角形全等或相似。
解决与三角形相关的问题
在解决与三角形相关的问题时，高线可以作为辅助线，帮助我们找到解决问题的思路和方 法。例如，在证明三角形的内角和定理时，可以通过作高线将三角形分为两个直角三角形 来证明。
角平分线、中线、高
05
线的综合应用
定义和性质
01
02
03
角平分线
从一个角的顶点出发，将 这个角平分为两个相等的 小角，所得到的射线叫做 这个角的平分线。
中线
连接三角形任意两边中点 的线段叫做三角形的中线。
高线
从三角形的一个顶点向它 的对边所在的直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫 做三角形的高线。
角平分线
02
定义与性质
定义
从一个角的顶点引出一条射线， 把这个角分成两个完全相同的角 ，这条射线叫做这个角的角平分 线。
高线
从三角形的一个顶点向它的对边所 在的直线做垂线，顶点和垂足间的 线段叫做三角形的高线。
学习方法建议
理解定义与性质
首先要理解角平分线、中线、高 线的定义和性质，这是掌握这些
知识点的基础。
多做练习题
通过大量的练习，可以加深对知 识点的理解和记忆，提高解题的
熟练度和准确性。
结合图形理解
在学习过程中，可以结合图形来 理解相关概念和性质，这样更加
应用一
在解决三角形面积问题时， 中线可用于将三角形划分 为两个等面积的小三角形， 从而简化计算。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，中线可以作为一条重 要的辅助线，帮助构建所 需的几何关系。
应用三
在解决三角形内部点问题 时，中线可用于确定点的 位置或性质，如重心、外 心等。
三角形的中线角平分线
针对不同知识点设计练习题
练习题1
在三角形ABC中，D是BC的中点， E是AC上的点，且AE=2EC，AD 与BE交于点F，求AF:FD的值。
练习题2
在三角形ABC中，角A的平分线 AD交BC于点D，且AB=5,
AC=3, 则S△ABD:S△ACD=_____.
练习题3
在三角形ABC中，D、E分别是 AB、AC的中点，BE与CD相交于 点O，则S△ODE:S△OBC=_____.
答案详细解析，帮助学生掌握方法
练习题1答案解析
过点D作DG‖BE交AC于点G，因为D是BC的中点，所以DG是三角形CBE的中位线，根据中位 线的性质，可得AF=FG=2GE, 又因为AE=2EC, 所以GE=EC, 从而AF=FG=2EC, 因此 AF:FD=2:1。
练习题2答案解析
根据角平分线的性质，角平分线将底边分成的两段与两腰成比例，所以BD:DC=AB:AC=5:3, 因此S△ABD:S△ACD=5:3。
三角形的中线角平分线
目录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与定理 • 角平分线性质与定理 • 中线与角平分线关系探讨 • 典型例题解析与技巧总结 • 练习题与答案解析
三角形基本概念与性
01
质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接所组成的封闭图形叫 做三角形。
三角形分类
在某些特殊情况下，中线与角平分线长度之 间可能存在特定关系，例如在等腰三角形中 ，底边上的中线与顶角的角平分线长度相等 。
角平分线的长度没有通用的公式，但 可以通过三角函数或面积法等方法求 解。
中线和角平分线在解题中应用
01
利用中线性质
角平分线与线段中点练习题
角平分线与线段中点练习题一．解答题（共16小题）1．如图，已知同一平面内∠AOB=90°，∠AOC=60°，（1）填空∠BOC= ；（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为°；（3）试问在（2）的条件下，如果将题目中∠AOC=60°改成∠AOC=2α（α＜45°），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．2．如图，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOD，射线OE平分∠BOC，∠EOD=42°，求∠EOC的大小．3．如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？4．如图所示，∠AOB=30°，∠BOC=40°，∠COD=26°，OE平分∠AOD，求∠BOE的度数．5．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．6．已知在平面内，∠AOB=70°，∠BOC=40°，求∠AOC的度数．7．如图，点O在直线AB上，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，求∠BOD的度数．8．如图，∠AOB=35°，∠BOC=90°，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．9．如图，∠AOB=90°，∠AOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．10．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB=10cm，则MN= cm；（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．11．如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M、N分别为AC、BC的中点．（1）求线段BC、MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别是线段AC、BC的中点，求MN的长度．12．如图，D是AB的中点，E是BC的中点，BE=AC=3cm，求线段DE的长．13．如图，AB=10cm，点C、D在AB上，且CB=4cm，D是AC的中点．（1）图中共有几条线段，分别表示出这些线段；（2）求AD的长．14．已知线段AB=8cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C并且BC=1cm，求线段DC的长．15．已知线段AB=14cm，C为线段AB上任一点，D是AC的中点，E是CB的中点，求DE的长度．16．如图所示，点C在线段AB的延长线上，且BC=2AB，D是AC的中点，若AB=2cm，求BD的长．解：∵AB=2cm，BC=2AB，∴BC=4cm．∴AC=AB+= cm．∵D是AC的中点，∴AD== cm．∴BD=AD﹣= cm．第1页（共2页）角平分线与线段中点练习题参考答案一．解答题（共16小题）1．150°；45；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．5；11．；12．；13．；14．；15．；16．BC；6；AC；3；AB；1；第2页（共2页）。
中垂线和角平分线
线段的垂直平分线与角平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 课堂笔记：3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmm图1DABCm图2DABCjik图3OBCA课堂笔记：例2、 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。
角形的中线角平分线
在某些特殊三角形（如等腰或等边三 角形）中，角平分线与高重合。
与其他角平分线的关系
三角形的三条角平分线交于一点，称 为三角形的内心。内心到三角形三边 的距离相等。
04
中线与角平分线的关系
中线与角平分线的交点性质
中线与角平分线的交点是三角 形的内心，即内切圆的圆心。
内心到三角形三边的距离相等， 都等于内切圆的半径。
归纳与总结
在学习过程中，要及时归纳和总结 所学的知识点，形成完整的知识体 系，以便更好地理解和应用相关知 识。
对未来学习的展望
深入研究三角形中线和角平分线的性质和应用
在未来的学习中，可以进一步探讨三角形中线和角平分线的性质和应用，例如它们在几何 证明、三角函数等方面的应用。
拓展相关知识点
在学习三角形中线和角平分线的基础上，可以进一步学习三角形的其他重要线段，如高、 垂线等，以及它们之间的关系和性质。
涉及中线和角平分线的证明题
例2
已知三角形ABC中，AD是BC边上的中线 ，AE是角BAC的平分线。求证：AB/AC = BD/DC。
VS
证明
过点B作BF平行于AE，交CA的延长线于点 F。由于AE是角BAC的平分线，所以角BAE = 角CAE。因为BF平行于AE，所以角F = 角CAE = 角BAE。又因为角BAC = 角FAB （对顶角），所以三角形AFB与三角形AEC 相似，从而AF/AC = BF/EC。又因为AD是 中线，所以BD = DC，从而BF/EC = BD/DC。由于角F = 角CAE，角ACB = 角 ACF（同位角），所以三角形ACB与三角 形ACF相似，从而AB/AC = BF/AF。综上， AB/AC = BD/DC。
02
角形的中线
相似三角形中的角平分线与三角形中位线的关系
相似三角形中的角平分线与三角形中位线的关系相似三角形是几何学中的一个重要概念，它们之间有着许多有趣的性质和关系。
本文将探讨相似三角形中的角平分线与三角形中位线之间的关系，这些关系对于理解三角形的性质和解决相关几何问题具有重要意义。
一、角平分线的概念首先，让我们回顾一下角平分线的概念。
在一个三角形中，如果一条线从一个角的顶点出发，平分了这个角，同时平分了对边，那么这条线就被称为该角的角平分线。
角平分线通常被表示为一条从角顶点到对边的线段，而且它将角分成两个相等的部分。
二、相似三角形的定义相似三角形是指具有相似形状但可能不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角相等，并且对应边的比值相等。
这可以表示为以下条件：如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么有：1. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F（对应角相等）。
2. AB/DE = BC/EF = AC/DF（对应边的比值相等）。
三、相似三角形中的角平分线现在，让我们来研究相似三角形中的角平分线。
当两个三角形相似时，它们的角平分线之间也存在一些特殊关系。
1. 角平分线的角度相等：在相似三角形中，如果一条角平分线分别平分了两个相似三角形的对应角，那么这两个平分的角度是相等的。
这是因为相似三角形的对应角相等，所以它们的角平分线也会平分相等的角度。
2. 角平分线的长度比：如果一条角平分线分别平分了两个相似三角形的对应边，那么这两个平分的边的长度比是相等的。
这是因为相似三角形的对应边的比值相等，所以它们的角平分线也会分别平分相等的边。
3. 角平分线的交点：在相似三角形中，如果两条角平分线分别平分了两个对应角，那么这两条平分线的交点将在三角形内部，并且与三角形的重心重合。
这是因为三角形的角平分线交于一点，该点被称为三角形的内心，它与三角形的重心是同一点。
四、角平分线与三角形中位线的关系除了角平分线，三角形中还有另一种重要的线段，即中位线。
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O
A
解：Q OB、OD分别是AOC与COE的角平分线
2＝1 AOC，1＝
2＋1＝
1 2
2
AOC＋
1 2
COE
1 2
COE
＝
12（AOC＋COE）＝
1 2
AOE＝
1 2
130o＝65o
讨论题：如果∠ AOB= 500 ,∠ BOC= 220 ， OM
是∠ AOB的角平分线，那么∠MOC=？
A
A
M
M C
n(n 1) 2
①一条直线上有n个点，则这条直线上有
n(n-1)条线段 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
②n条直线两两相交最多有
n(n-1)个交点 2
③过同一平面上n个点中的任意两点最多
形成 n(n-1)条直线
2 ④由一个端点引出n条射线则最多可形成
n(n-1)个角 2
中点的概念：
• 点M把线段AB分成相等的两条线 段AM和BM,点M线段AB的中点。
D
15mm
A B 10mm
15mm
C
DC=DA+AB+BC=15+10+15=40mm
AB＝4
22 2
2
答：线段MN的长为4cm
DB=3cm，BC=7cm，C是AD的中点，
求AB的长.
A
C DB
解：∵DB=3cm，BC=7cm ∴CD=BC－DB=7－3=4cm，
∵点C是AD的中点， ∴AC=CD=4cm，
∴AB=AC+CD+DB=4+4+3=11cm
（3）已知线段AB=10cm,点C在直线AB上， BC=6cm，①求线段AC的长
AC+
2
1
CB
2
=1 2
(AC+CB)
=
1 2 (a+b)
例1 （2）已知：如图，点C是线段AB上一点，
AB=8cm，点M是AC的中点,点N是BC的中点，求
线段MN的长
AM
CN B
解：Q 点M、N分别是AC、BC的中点
MC＝1 AC，CN＝1 CB
2
2
∴MN=MC+CN
=
1
AC+
1
CB
=1
(AC+CB) = 1
∵AB=8cm，BC=4cm， ∴AC=AB－BC=4cm. ∵M为AC的中点，∴AM= 1 AC=2cm.
2
A 图112
M
C
B
（2）如图2所示，当点C在线段AB的延长线上时，
∵AB=8cm，BC=4cm， ∴ ∵M为AC的中点，∴AM=
1AC=AB＋BC=12cm.
AC=6cm
2
图2
A
MB
C
角平分线的概念：
解：①有两种情况 10
6
A
B
C
甲
图甲：当点C在线段AB的延长线时
AC=AB+BC=10+6=16
10
AC 6 B 乙
图乙：当点C在线段AB上时
AC=AB –BC=10 – 6=4
（3）已知线段AB=10cm,点C在直线AB上， BC=6cm， ②若M是AB的中点,点N是BC的中点,求MN的长
解：①有两种情况
OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
求∠MON的度数. M
此题应有两种情况
A
（1）OC在∠AOB外面
2
B
解：Q OM、ON分别是
O
AOB与BOC的角平分线
1
N
2＝
1 2
AOB＝50o，1＝
1 2
BOC＝30o
C
MON＝1＋2＝50o＋30o＝80o
已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，若 OM平分∠AOB，ON平分∠BOC， 求∠MON的度数.
C
O
角平分线的条件：
A
1、在已知角内。
2、把已知角分成两个相等的角
类似的,还有角的三等分线、四等分 线、五等分线等。
A C
D
E
B O 如图：射线OC、OD、OE是∠AOB的四 等分线。
已知OB是∠AOC的平 E D C
分线, OD是∠COE的 平分线, 如果
12
B
∠AOE=1300, 那么
∠BOD是多少度?
O
B
O
B
C
解：∵ OM是∠ AOB的角平分线
∴∠BOM=∠ AOM= 1 ∠ AOB= 1 ×500 = 250
2
2
(1) ∠MOC = ∠ BOM+ ∠ BOC (2) ∠MOC= ∠ BOM－∠ BOC
=250+ 220
=25 0－220
=470
=30
已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，若
从一个角的顶点出发，把这个
角分成相等的两个角的射线, 叫做
这个角的平分线。
B
符 号 语 言
∵射线OC平分∠AOB
∴∠1=∠2= 1 AOB 2
O
(或∠AOB= 2∠1 , ∠AOB=
2 1
2∠3)
C A
∵∠1=∠2 (或∠AOB= 2∠1 = 2∠2)
∴射线OC平分∠AOB
判断：
• 若∠BOC＝ ∠AOC ，则OC为∠AOB的平分线。 B
此题应有两种情况
A
（2）OC在∠AOB里面
MC N
解：Q OM、ON分别是
1
B
AOB与BOC的角平分线 O
BOM＝
1 2
AOB＝50o，1＝
1 2
BOC＝30o
MON＝BOM－1＝50o－30o＝20o
画线段AB=10mm，延长AB至C,BC=15mm，再 反向延长线段AB至D，使DA=15mm，先依题 意画出图形，并求出DC的长.
A
M
B
1
AM=BM= AB；
2
AB=2AM AB=2BM
A MNB M、N为线段AB的三等分点 AM=MN=NB= 1 AB；AB=3AM=3MN=3NB
3 A NMP B
M、N、P为线段AB的四等分点 AN=MN=MP=PB= 1 AB；AB=4AN=4MN=4NP=4PB
4
判断：
• 若AM=BM，则M为线段AB的中点。
M
A
B
线段中点的条件：
1、在已知线段上。
2、把已知线段分成两条相等线段的点
例1 （1）已知：如图，点C是线段AB上一点，
AC=a，BC=b，点M是AC的中点,点N是BC的中点
求线段MN的长
AM
CN B
a
b
解：Q 点M、N分别是AC、BC的中点
MC＝1 AC，CN＝1 CB
2
2
∴MN=MC+CN
=
1
10
MN
A
解：Q
点M M甲B、NN分C 别＝是AABC、乙 B6 C的B 中点
MB＝
1 2
AB＝12
10＝5，
NB＝1 CB＝1 6＝3 ∴MN=MB2–NB＝25－3＝2cm
已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且 BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.
解：（1）如图1所示，当点C在线段AB上时，