工程力学第十二章全解

E E
M
y
r
这表明，直梁的横截面上的正应力
沿垂直于中性轴的方向按线性规律变化
(3)静力学关系━━ 应力与内力。
梁的横截面上与正应力相应的法 向内力元素dA(图d )不可能组成轴 力( FN A d A 0 )，也不可能组成对 (d) 于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后
的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。
〈3〉纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况， 两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的横截
面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为
第十二章 弯曲应力
§12-1 梁弯曲时的正应力 §12-2 惯性矩的计算 §12-3 梁弯曲时的强度计算 §12-4 梁弯曲时的切应力 §12-5 提高弯曲强度的措施
M
FQ
梁横截面上 与弯矩M对应， 与剪力F对应。


F
FQ
M
C F
C

M
F
A

12-1 梁弯曲时的正应力
一、弯曲分类
轴)的内力偶矩( M y AzdA 0 )，只
能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即
M z y d A M
A
将 E
r 代入上述三个静力学条件，有
y
FN d A
A
E
r
E
A
yd A
ESz
r
0
(a)
M y z d A
A
r
E
A
yz d A
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
若中性层的半径为r(如图c)，则有 (c)
dx r d

y
r
即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变 与该点至中性轴的距离 y 成正比。 (2)物理关系━━力与变形（应力、应变） 梁的材料在线弹性范围内工作（胡克定律），且拉、 压弹性模量相同时，有
纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面 由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还 使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲 时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不
再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形
截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 l 大于5时，梁的
纯弯曲 (pure bending) ━━ 梁或梁上的某段内各横截面上
无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。
横力弯曲 (bending by transverse force) ━━ 梁横截面上既 有弯矩又有剪力；相应的，横截面既有正应力又有切应力。
二、 纯弯曲时的正应力
计算公式的推导
横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧 的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一
层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与
横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴━━ 中性轴 (neutral axis)。
（f)
推论(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
h
跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超
过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用
于横力弯曲情况.
b o z d o
d2
yc,max
h
z
yt,max
O z y
y (a)
y (b)
b
(c)
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 (图a，b) 其横截面上最大拉应
力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 (图c) ，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。
E r
M z y d A
A
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z
上式中的EIz称为梁的抗弯刚度（对Z轴）。显然，由 于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化,
1
所以纯弯曲梁段轴线为一段圆弧。
将上式代入得出的式子 E 公式：
r 即得弯曲正应力计算
y

My Iz
My Iz
应用此式时，如果如图中那样取 y 轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正 负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正
负的情况下，所得正应力的正负自动表
示拉应力或压应力。但实际应用中往往 直接根据横截面上弯矩的转向及求正应 力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正 应力为拉应力还是压应力；在此情况下 可以把式中的 y 看作求应力的点离中性 轴 z 的距离。
A
E
r
E
A
yz d A
y dA
2
EI yz
r
EI z
0
M
(b) (c)
M z y d A
A
r
A
r
由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而该两式要求： 1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显 然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心； 2. 横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零， A yz d A 0 ； 在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自 动满足。
I yz yz d A
A
为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位
为m4。
I z y 2 d A 为截面对于z轴的惯性矩(moment of inerita A
of an area)或二次轴矩，其单位为m4。
FN d A
A
E
r
A
yd A
ESz
r
0
(a)
M y z d A
(1) 几何关系━━变形与应变
观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的
纵向直线段aa和bb，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面
的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长； <2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是 相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
y2 d A
EI yz
r
EI z
0
M
(b) (c)
M z y d A
A
r
A
r
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相
关的几何量，属于截面的几何性质，而
其中
S z y d A 为截面对于z轴的静矩(static moment of an A
area)或一次矩（形心计算公式），其单位为m3。