曲线之美(一)贝塞尔曲线
简述bezier曲线的特点
简述bezier曲线的特点
贝塞尔曲线是一种常见的计算机图形学曲线，其特点如下：
1. 可控性强
贝塞尔曲线是通过一系列控制点来定义的，控制点的位置会直接影响曲线的形状。
因此，可以通过调整控制点的位置来实现对曲线的微调和变形。
2. 线性变换下不变性
贝塞尔曲线在进行平移、旋转、缩放等线性变换时，其形状不会发生改变。
这使得贝塞尔曲线在计算机图形学中使用非常广泛。
3. 高阶平滑
贝塞尔曲线可以通过增加控制点的数量来提高曲线的平滑性。
在使用二次或三次贝塞尔曲线时，可以通过增加控制点来获得非常平滑的曲线。
4. 自然美感
贝塞尔曲线的形状可以通过控制点的位置来自由调整，因此可以创造出各种不同的图形。
在正确的使用下，贝塞尔曲线可以创造出非常自然美观的图形。
5. 应用广泛
贝塞尔曲线在计算机图形学中广泛应用，比如在Photoshop和Illustrator中使用的绘制曲线工具，以及3D建模软件中的平滑曲线工具等等。
此外，在基于贝塞尔曲线的动画和视频编辑中，也有广泛的应用。
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线：贝塞尔曲线又称贝兹曲线或贝济埃曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。
当然在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。
在Flash4中还没有完整的曲线工具，而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。
贝塞尔曲线是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线的定义有四个点：起始点、终止点（也称锚点）以及两个相互分离的中间点。
滑动两个中间点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。
十九世纪六十年代晚期，Pierre Bézier应用数学方法为雷诺公司的汽车制造业描绘出了贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。
在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。
贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”~也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。
19世纪70年代，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名~是为贝塞尔曲线。
【作用】由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。
即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。
这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。
使用贝塞尔工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。
【发现者】“贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre Bézier所发现，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。
它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。
【贝赛尔工具】“贝赛尔”工具在photoshop中叫“钢笔工具”；在CorelDraw中翻译成“贝赛尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”。
贝塞尔曲线 正态曲线
贝塞尔曲线正态曲线
（原创版）
目录
1.贝塞尔曲线的定义和特点
2.正态曲线的定义和特点
3.贝塞尔曲线和正态曲线的关系
4.贝塞尔曲线和正态曲线在实际应用中的例子
正文
贝塞尔曲线是一种以数学家贝塞尔的命名的曲线，它是由两个或两个以上的基函数通过加权求和而得到的。
它的形状可以由控制点来改变，因此具有非常丰富的变化。
贝塞尔曲线在计算机图形学、动画制作等领域有着广泛的应用。
正态曲线，也被称为钟形曲线，是一种常见的概率分布曲线。
它的特点是在均值附近密集分布，离均值越远，分布的密度就越小。
正态曲线在统计学、概率论等领域有着重要的地位。
贝塞尔曲线和正态曲线在某些情况下有着密切的关系。
例如，在计算机图形学中，贝塞尔曲线可以用来生成逼真的正态分布的随机数据。
而在统计学中，正态分布常常用来描述贝塞尔曲线的性质。
在实际应用中，贝塞尔曲线和正态曲线都有广泛的应用。
例如，在计算机动画中，贝塞尔曲线可以用来绘制优美的运动轨迹，而正态曲线可以用来模拟物体的随机运动。
在统计学中，正态分布常常用来描述各种自然现象和人类行为的分布，如身高、体重、考试成绩等。
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illustrator 贝塞尔曲线
illustrator 贝塞尔曲线贝塞尔曲线是一种广泛应用于计算机图形学和设计领域的数学曲线。
它是由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年首次提出的，因此得名。
贝塞尔曲线在计算机辅助设计、动画制作、网页设计等领域有着广泛的应用，因为它具有易于控制、平滑且可扩展的特点。
贝塞尔曲线的基本思想是通过控制点来调整曲线的形状。
这些控制点可以是二维或三维空间中的任意位置，通过改变这些控制点的位置和权重，我们可以方便地调整曲线的形状。
贝塞尔曲线的类型有很多，其中最常见的是二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线。
二次贝塞尔曲线是由两个控制点定义的，其中一个控制点位于曲线的起点，另一个控制点位于曲线的终点。
通过调整这两个控制点的权重，我们可以改变曲线的形状。
二次贝塞尔曲线的优点是计算简单，但缺点是形状调整的自由度较低。
三次贝塞尔曲线是由三个控制点定义的，其中一个控制点位于曲线的起点，另外两个控制点位于曲线的中间部分。
通过调整这三个控制点的权重，我们可以更灵活地改变曲线的形状。
三次贝塞尔曲线的优点是可以生成更复杂的形状，但缺点是计算量较大。
在矢量图形编辑软件中，用户可以通过直接操作控制点来创建和编辑贝塞尔曲线。
这些软件通常提供了丰富的工具和选项，以便用户可以轻松地调整曲线的形状、曲率、方向等属性。
此外，贝塞尔曲线还支持布尔运算、路径修剪等功能，使得用户可以更方便地组合和修改曲线。
总之，贝塞尔曲线是一种非常实用的数学工具，它在计算机图形学和设计领域有着广泛的应用。
通过掌握贝塞尔曲线的原理和技巧，用户可以更高效地完成各种设计和创作任务。
su 赛贝尔曲线
su 赛贝尔曲线
答：贝塞尔曲线(Bézier curve)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线。
贝兹曲线由线段与组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。
贝塞尔曲线的声名大噪，离不开1962年就职于雷诺的法国工程师皮埃尔·贝塞尔，他使用这种方法来辅助汽车的车体工业设计，并且广泛宣传，因此大家称为贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线的数学理论：既然贝塞尔曲线的本质是通过数学计算公式去绘制平滑的曲线，那就可以通过数学工具进行实际求证以及解释说明。
在平面内选3个不同线的点并且依次用线段连接。
形状有趣的参数曲线
形状有趣的参数曲线
参数曲线在数学和工程领域中有着广泛的应用，因为它们能够表示复杂且具有美感的形状。
以下是一些有趣的参数曲线：
1.心形曲线：心形曲线是一种非常浪漫和常见的形状，它可以用参数方程来
表示。
心形曲线可以用于设计装饰图案、标志和艺术品等。
2.螺旋线：螺旋线是一种有趣的参数曲线，它可以用来表示弹簧、螺丝、蜗
牛壳等物体的形状。
螺旋线可以用参数方程来表示，并且可以通过改变参数来改变螺旋线的形状和大小。
3.玫瑰线：玫瑰线是一种非常美丽的参数曲线，它可以用极坐标方程来表示。
玫瑰线的形状取决于一个参数，这个参数可以用来调整曲线的形状和大小。
玫瑰线可以用于设计装饰图案、艺术品和商标等。
4.贝塞尔曲线：贝塞尔曲线是一种常用的参数曲线，它可以用一组参数来表
示。
贝塞尔曲线可以用于设计动画、插图和计算机图形等。
5.星形线：星形线是一种有趣的参数曲线，它可以用一组参数来表示。
星形
线的形状类似于星星的形状，并且可以通过改变参数来调整曲线的形状和大小。
星形线可以用于设计装饰图案、商标和艺术品等。
这些参数曲线只是其中的一部分，还有许多其他有趣的参数曲线等待我们去探索和应用。
曲线之美----贝塞尔曲线
曲线之美（一）贝塞尔曲线收藏在图形图像编程时，我们常常需要根据一系列已知点坐标来确定一条光滑曲线。
其中有些曲线需要严格地通过所有的已知点，而有些曲线却不一定需要。
在后者中，比较有代表性的一类曲线是贝塞尔曲线（Bézier Splines）。
网友们可能注意到，贝塞尔曲线广泛地应用于很多图形图像软件中，例如Flash、Illstrator、CoralDRAW和Photoshop等等。
什么是贝塞尔曲线呢？你先来看看这个：哼~一条很普通的曲线，好像真的无法给我们带来什么特殊感觉哦~那把这条曲线和绘制它所根据的点重叠地放在一起再瞧瞧吧：Hoho，原来呀~贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。
我们不妨把这四对已知点坐标依次定义成(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)。
贝塞尔曲线必定通过首尾两个点，称为端点；中间两个点虽然未必要通过，但却起到牵制曲线形状路径的作用，称作控制点。
在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。
涕淌为了向大家介绍贝塞尔曲线的公式，也故意把问题的已知和所求颠倒了一下位置：如果已知一条曲线的参数方程，系数都已知，并且两个方程里都含有一个参数t，它的值介于0、1之间，表现形式如下所示：x(t) = ax * t ^ 3 + bx * t ^ 2 + cx * t + x0y(t) = ay * t ^ 3 + by * t ^ 2 + cy * t + y0由于这条曲线的起点(x0,y0)是已知的，我们可以用以下的公式来求得剩余三个点的坐标：x1 = x0 + cx / 3x2 = x1 + ( cx + bx ) / 3x3 = x0 + cx + bx + axy1 = y0 + cy / 3y2 = y1 + ( cy + by ) / 3y3 = y0 + cy + by + ay你细细观察一下就知道了，无论方程的已知和所求是什么，总是有六个未知数，并且我们总能找到六个等式（记住(x0,y0)总是已知的），也就是说，上面的方法是完全可逆的，因此我们可以根据四个已知点坐标来反求曲线参数公式的系数。
贝塞尔曲线 mapbox
贝塞尔曲线 mapbox
贝塞尔曲线是一种数学曲线，常用于图形学和计算机图形学领域。
在Mapbox中，贝塞尔曲线可以用于创建平滑的曲线路径，用于
绘制地图上的路线或者其他曲线特征。
贝塞尔曲线通常由起点、终
点和一个或多个控制点组成，通过调整控制点的位置可以改变曲线
的形状。
在Mapbox中，可以使用贝塞尔曲线来绘制自定义的地图路径，使地图展示更加生动和丰富。
在Mapbox中使用贝塞尔曲线可以实现更加灵活和精细的地图展
示效果。
通过调整控制点的位置和数量，可以实现各种不同形状的
曲线，从而满足不同地图展示需求。
同时，贝塞尔曲线的平滑特性
也使得地图路径看起来更加自然和流畅，提升了用户的地图浏览体验。
除了在地图路径上使用贝塞尔曲线，Mapbox还可以通过贝塞尔
曲线来绘制地图上的其他特征，比如自定义的边界线、区域填充等。
这些应用可以使地图展示更加个性化和丰富，为用户提供更加直观
和美观的地图信息展示。
总之，贝塞尔曲线在Mapbox中是一个非常有用的工具，可以帮
助用户实现自定义的地图路径和其他曲线特征，从而丰富地图展示效果，提升用户的地图浏览体验。
希望这个回答能够全面回答你的问题。
十大最美函数曲线
十大最美函数曲线随着数学发展的不断深入，函数曲线也受到了广泛的重视。
人们发现，处理数学问题时，函数曲线会产生一种美丽的艺术效果，从而被称为函数曲线的美学。
以下就是十大最美函数曲线。
一、椭圆曲线椭圆曲线是一种非常美丽的函数曲线，它可以用来表示圆形或椭圆形。
它是一个广为人知的数学曲线，也是古希腊和罗马文化的象征。
人们发现，它的美丽和优雅也可以被用来解决复杂的数学问题。
二、牛顿-拉斯维加斯曲线牛顿-拉斯维加斯曲线是由英国数学家牛顿和瑞典数学家拉斯维加斯发现的数学曲线。
它以非常有趣的方式表示出来，可以用来描述复杂的函数行为。
它在把握事物的本质上发挥了重要作用，同时也给人们带来了艺术效果。
三、三角形曲线三角形曲线是一种把一个正三角形投影到二维空间的曲线，它可以用来描述三角形的半径，从而产生一种视觉效果。
它的美丽可以用来表示宇宙的可能性，也可以用来解决复杂的函数问题。
四、帕累托曲线帕累托曲线是由西班牙数学家帕累托发现的数学曲线，它是一个关于几何以及统计学的概念。
它表示出了一组特定的函数线，可以用来描述物体表面的形状和流动，也可以用来解决许多复杂的函数问题。
五、哈贝马尔曲线哈贝马尔曲线是由德国数学家哈贝马尔发现的一种函数曲线，它可以用来描述一个物体的运动轨迹。
它表示了宇宙中的复杂性，用来解决许多复杂的数学问题，例如三角函数，物理学，化学等。
六、弗洛伊德曲线弗洛伊德曲线是一种由德国数学家弗洛伊德发现的函数曲线，它可以用来表示一个物体的旋转轨迹。
它是一个非常精确的函数曲线，可以帮助人们理解未知的物理现象，从而有助于解决许多复杂的函数问题。
七、双曲线双曲线是一种由法国数学家德洛比发现的函数曲线，它可以用来表示一个物体的运动轨迹，同时也可以用来描述宇宙中的关系。
人们发现，它可以用来解决复杂的数学问题，例如三角函数、圆形函数以及多元函数等。
八、三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线是一种由法国数学家贝塞尔发现的函数曲线，它可以用来描述一个物体的运动轨迹。
matlab的有趣程序
曲线之美——塞尔曲线计算机科学与技术一班周星在我们的电脑中有这样一个屏幕保护程序叫做贝塞尔曲线，不知道大家留意过没有？因为这个学期我既学了c语言，又学了matlab，所以对编程很感兴趣。
我认为自己编出屏幕保护程序来既是一种学习知识的方式，也是一种开拓智力、放松心情的休闲方式。
上网查了贝塞尔曲线的数学表示式之后，我就开始用自己可怜的一点matlab知识解决它（其实本学期matlab学的挺多的，只是本人掌握的少，辜负了老师的期望）。
网上的给出的贝塞尔曲线的定义如下：在图形图像编程时，我们常常需要根据一系列已知点坐标来确定一条光滑曲线。
其中有些曲线需要严格地通过所有的已知点，而有些曲线却不一定需要。
在后者中，比较有代表性的一类曲线是贝塞尔曲线（Bézier Splines）。
在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。
涕淌为了向大家介绍贝塞尔曲线的公式，也故意把问题的已知和所求颠倒了一下位置：如果已知一条曲线的参数方程，系数都已知，并且两个方程里都含有一个参数t，它的值介于0、1之间，表现形式如下所示：x(t) = ax * t ^ 3 + bx * t ^ 2 + cx * t + x0y(t) = ay * t ^ 3 + by * t ^ 2 + cy * t + y0由于这条曲线的起点(x0,y0)是已知的，我们可以用以下的公式来求得剩余三个点的坐标：x1 = x0 + cx / 3x2 = x1 + ( cx + bx ) / 3x3 = x0 + cx + bx + axy1 = y0 + cy / 3y2 = y1 + ( cy + by ) / 3y3 = y0 + cy + by + ay你细细观察一下就知道了，无论方程的已知和所求是什么，总是有六个未知数，并且我们总能找到六个等式（记住(x0,y0)总是已知的），也就是说，上面的方法是完全可逆的，因此我们可以根据四个已知点坐标来反求曲线参数公式的系数。
贝塞尔曲线玩法
贝塞尔曲线玩法贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线，由法国的数学家贝塞尔发明。
其优秀的特性，如任意阶数、曲线平滑、变形自然等，使它被广泛应用在计算机图形学中。
下面我们来探讨一下贝塞尔曲线的一些玩法与应用。
一、Bezier Curve的基本概念Bezier Curve，中文翻译为贝塞尔曲线，是由一些基于控制点来描述曲线的连续函数。
在计算机图形学界，Bezier曲线有着广泛的应用，如二维绘图，三维模型构建等。
下面，我们来说说Bezier曲线的基本概念：1.控制点Bezier曲线的形状和特性由一组控制点决定。
控制点决定着曲线起点、终点，以及曲线的形状与方向。
控制点的数量通常与曲线的阶数相等。
2.阶数Bezier曲线的阶数由控制点的数量决定。
例如，如果控制点数量为4，则Bezier曲线的阶数为3（n-1）。
当阶数为3时，Bezier曲线也被称为二次Bezier曲线或三次Bezier曲线。
3.点集形式Bezier曲线可以表示成点集的形式，其中一个控制点是Bezier曲线的起点，最后一个控制点是Bezier曲线的终点。
而其余的控制点可以看做是曲线上的中间点。
二、贝塞尔曲线的应用1.平滑曲线在绘制平滑曲线时，常常使用Bezier曲线来完成。
在二维绘图中，利用Bezier曲线可以绘制出一些基本的形状，如椭圆、圆弧等。
利用多条Bezier曲线的组合，可以快速实现对复杂曲线的绘制。
2.模型构建在3D计算机图形学中，Bezier曲面经常用作3D模型构建的基础。
对象为Bezier曲面的控制网格，其内部可由Bezier曲线组成。
通过控制点的移动，可以快速改变其表面曲率，实现3D模型快速构建。
3.路径动画路径动画是一种基于贝塞尔曲线的动画形式。
它指定了一个目标的路径，例如一个移动物体的运动轨迹，然后让目标沿着路径移动。
在游戏中，常常使用路径动画来为角色、弹道和粒子效果设置动画路径。
4.平滑编辑另一个应用Bezier曲线的领域是平滑编辑。
贝塞尔曲线 半圆
贝塞尔曲线半圆
贝塞尔曲线是一种应用于二维图形应用程序的数学曲线。
它由四个点定义：起始点、终止点（也称锚点）以及两个相互分离的中间点。
贝塞尔曲线的特点是，通过调整这四个点的位置，可以生成复杂且平滑的曲线。
半圆是一种特殊的贝塞尔曲线，它的起始点和终止点在同一水平线上，且两个中间点分别位于起始点和终止点关于垂直中轴线的对称位置。
半圆的形状随着四个点的位置变化而变化，当起始点和终止点之间的距离增大或减小时，半圆的半径也会相应地增大或减小。
在计算机图形学领域，贝塞尔曲线广泛应用于绘制矢量图形。
通过编写相应的程序代码或使用矢量绘图软件，可以很容易地创建半圆形贝塞尔曲线。
在实际应用中，贝塞尔曲线和半圆形曲线有着广泛的应用，例如在工业设计、动画制作和网页设计等领域。
总之，贝塞尔曲线是一种灵活且强大的曲线绘制方法，半圆形贝塞尔曲线是其中一种特殊的形状。
通过掌握贝塞尔曲线的原理和应用，可以更好地在各种场景中创造优美的曲线效果。
贝塞尔曲线
8.4 Bezier曲面
利用Bezier曲线的性质，张量积形式的Bezier曲面的定 义可以如下定义。两组正交的Bezier曲线的控制顶点 可作为矩形网格。设Pij (i=0,…,n; j=0,…,m)为空间点列， 这些点生成的n+1行、m+1列的矩形网格称为特征网格， 其中在第i+1行、第j+1列的点是Pij。相应的m×n次张量 积形式的Bezier曲线为
4、仿射不变性 Bezier曲线的形状和位置仅与控制点的位置有关。这 是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。 Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点 Pi(i=0,1,...,n)的位置有关，它不依赖坐标系的选择 5、凸包性 由于Ｂernstein多项式的性质， Bezier曲线落在控制点 的凸包内 6、交互能力 移动第k个结点，对Bezier曲线在t=k/n处的影响最大．
13 23
P03 P(u,1) P33
P02
P12
P22 P32
P(0,v)
P11
P21 P31
P(1,v)
P01 P10 P20
P(u,0) P00 P30
是k次Bernstein基函数。在一般实际应用中，n,m不大于4。 Bezier曲线的变差缩小性质不能推广到曲面。但是，其它许 多性质可推广到Bezier曲面。
根据上述定义， 1.Bezier曲面的几何位置依赖于控制顶点，而与坐标系 无关（几何不变性）； 2.Bezier曲面有关于参数的对称性； 3.Bezier曲面有凸包性。 P P
证明：
k (1 − t ) Bk ,n (t ) = Cn t k (1 − t ) n+1−k =
n + 1 − k ( n + 1)! k t k (1 − t ) n+1−k = 1 − Bk ,n+1 (t ) n + 1 k!( n + 1 − k )! n +1
贝塞尔曲线——精选推荐
贝塞尔曲线贝塞尔曲线为什么要讲贝塞尔曲线，实际上 Android 中很多效果都有⽤到贝塞尔曲线。
可以先对贝塞尔曲线有⼀个⼤概的认识。
历史贝塞尔曲线的数学基础是早在 1912 年就⼴为⼈知的伯恩斯坦多项式。
但直到 1959 年，当时就职于雪铁龙的法国数学家 Paul de Casteljau 才开始对它进⾏图形化应⽤的尝试，并提出了⼀种数值稳定的 de Casteljau 算法。
然⽽贝塞尔曲线的得名，却是由于 1962 年另⼀位就职于雷诺的法国⼯程师 Pierre Bézier 的⼴泛宣传。
他使⽤这种只需要很少的控制点就能够⽣成复杂平滑曲线的⽅法，来辅助汽车车体的⼯业设计。
正是因为控制简便却具有极强的描述能⼒，贝塞尔曲线在⼯业设计领域迅速得到了⼴泛的应⽤。
不仅如此，在计算机图形学领域，尤其是⽮量图形学，贝塞尔曲线也占有重要的地位。
今天我们最常见的⼀些⽮量绘图软件，如 Flash、Illustrator、CorelDraw 等，⽆⼀例外都提供了绘制贝塞尔曲线的功能。
甚⾄像 Photoshop 这样的位图编辑软件，也把贝塞尔曲线作为仅有的⽮量绘制⼯具（钢笔⼯具）包含其中。
贝塞尔曲线在 Web 开发领域同样占有⼀席之地。
CSS3 新增了 transition-timing-function 属性，它的取值就可以设置为⼀个三次贝塞尔曲线⽅程。
在此之前，也有不少 JavaScript 动画库使⽤贝塞尔曲线来实现美观逼真的缓动效果。
公式线性贝塞尔曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是⼀条两点之间的直线。
这条线由下式给出：⼆次⽅贝塞尔曲线⼆次⽅贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：三次⽅贝塞尔曲线P0、P1、P2、P3 四个点在平⾯或在三维空间中定义了三次⽅贝塞尔曲线。
曲线起始于 P0 ⾛向 P1 ，并从 P2 的⽅向来到 P3 。
⼀般不会经过 P1 或 P2 ；这两个点只是在那⾥提供⽅向资讯。
quadto 贝塞尔曲线
quadto 贝塞尔曲线
贝塞尔曲线（Bézier curve），又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
贝塞尔曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线。
其中，quadTo()是二阶贝塞尔曲线的一种实现方式，它通常用于计算机图形学和动画中，以创建平滑的曲线和弯曲的路径。
quadTo()方法需要指定一个控制点和一个结束点，以生成从当前位置到结束点的贝塞尔曲线。
具体来说，quadTo(x1,y1,x2,y2)中的(x1,y1)是控制点的坐标，(x2,y2)是结束点的坐标。
这个方法会根据当前位置、控制点和结束点计算出一条二阶贝塞尔曲线，并将其添加到图形路径中。
二阶贝塞尔曲线的形状由起始点、控制点和结束点共同决定。
起始点是曲线开始的位置，控制点用于控制曲线的弯曲程度和方向，结束点是曲线结束的位置。
通过调整这些点的位置，可以创建出各种不同形状的曲线。
在图形界面中，使用quadTo()方法可以创建出更加平滑和自然的路径，使图形看起来更加美观和真实。
同时，它也可以用于生成动画效果，例如在动画中创建物体的运动轨迹等。
总的来说，quadTo()方法是实现二阶贝塞尔曲线的一种常用方式，它在计算机图形学和动画中具有重要的应用价值。
贝塞尔曲线和B样条曲线
§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。
我们称之为“点点通过”。
但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。
在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。
后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。
一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。
在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。
第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。
贝塞尔曲线
详细内容定义贝塞尔曲线(B6zier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线的定义有四个点：起始点、终止点(也称锚点)以及两个相互分离的中间点，滑动两个中间点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。
依据四个位置任意的点坐标可绘制出一条光滑曲线[1]。
对于N次的贝塞尔曲线：设Δbｊ＝ｂj＋１-bｊ时，有旋转矩阵Ｍ，使得：Δｂｊ＝ＭｊΔｂ０ｉ＝０…，ｎ－１当ｔ∈［０，１］时，对于任意单位向量，矩阵Ｍ满足：则这条曲线是由一系列控制点ｂｉ定义的Ａ级贝塞尔曲线。
此时，旋转矩阵Ｍ满足以下两个条件：１）矩阵ＭＴ＋Ｍ－２Ｉ和ＭＴＭ－Ｉ的特征值必均为非负。
这里Ｉ为一个单位矩阵。
２）矩阵Ｍ必映射到单位球体外的任一点。
即：Ｍ的奇异值δ１，δ２应不小于１。
若旋转矩阵Ｍ是由旋转角θ＜π／２和一个尺度因子s组成，则满足下列条件：的矩阵Ｍ被称为Ａ级矩阵。
由Ａ级矩阵即可产生Ａ级贝塞尔曲线。
特性贝塞尔曲线是一种非常自由的曲线，通过改变其控制点的位置和权重就能改变线条的形状。
相对于传统的直线和圆弧相组合来表达曲线的方式，这是一个巨大的提高。
汽车设计中的曲面形状比较复杂，直线和圆弧不能满足其形状变化的要求。
贝塞尔曲线非常自由，我们可以通过改变控制点来改变线条的形状，有着非常良好的交互性，非常适合汽车曲面设计[2]。
贝塞尔曲线数学原理①线性贝塞尔曲线。
给定两点P0、P，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。
这条线由下式给出：B(t)=P0+(Pl—Po)t=(1-t)Po+tPl，t∈[0，1]且其等同于线性插值。
②二次方贝塞尔曲线。
给定三点Po、P、P：，二次方贝塞尔曲线由函数B(t)表示：B(t)=(1-t)2Po+2t(1-t)P1+tzp2，t∈[0，1]③三次方贝塞尔曲线。
Po、P、P、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P。
走向P，并从P2的方向来到3。
一般不会经过P，或P2，这两个点只是在那里提供方向资讯。
贝塞尔曲线的优点
贝塞尔曲线的优点
贝塞尔曲线有很多优点，下面列举几个主要的：
1. 可控性好：贝塞尔曲线的控制点能够很好地控制曲线的形状，使得设计师可以自由地调整曲线的弧度、方向和长度等属性。
2. 兼容性好：贝塞尔曲线的数据可以被广泛地应用于2D和3D 的图形和动画软件中，如Illustrator和Photoshop等，同时贝塞尔曲线也支持SVG和Canvas等网页绘图技术。
3. 平滑度高：贝塞尔曲线的形状很平滑，能够在绘制曲线时消除锯齿和花边，使得绘制的图像看起来更加自然和美观。
4. 计算简单：贝塞尔曲线的平滑度和控制点的数量呈正相关关系，但计算贝塞尔曲线的算法比较简单，能够快速地绘制出高质量的曲线。
综上所述，贝塞尔曲线是一种十分实用的曲线形状，在设计、动画和绘制等领域有着广泛的应用。
贝塞尔曲线的优缺点
贝塞尔曲线的优缺点
贝塞尔曲线是一种常见的曲线类型，它具有以下优缺点：
优点：
1. 美观性：贝塞尔曲线可以创建平滑的曲线，这使得它们在图形设计中非常受欢迎。
2. 精度：贝塞尔曲线可以非常准确地描述复杂的形状。
3. 可编辑性：贝塞尔曲线可以轻松地进行编辑和修改，这对于需要不断调整设计的人来说很重要。
4. 可组合性：贝塞尔曲线可以轻松地组合在一起形成更复杂的形状。
缺点：
1. 复杂性：对于不熟悉曲线的人来说，贝塞尔曲线可能会很难理解和绘制。
2. 时间成本：绘制复杂的贝塞尔曲线需要花费大量的时间和精力。
3. 依赖点数：贝塞尔曲线的平滑性和准确度取决于使用的点数，如果点数不够，曲线可能会变形。
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贝塞尔曲线学习
贝塞尔曲线学习
数控经常涉及样条、插值、拟合，很多数学概念，今天也学习一下。
为啥学习贝塞尔曲线？
“贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre Bézier所发明，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。
它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。
学习贝塞尔曲线是为了后面能慢慢地去理解样条、插值、拟合，理解压缩器。
通过百度找到了一篇说明贝塞尔曲线的文章，深入浅出，解释得很清楚，文章链接：/post/6844903666361565191
为此，做个实验来实验下贝塞尔曲线的计算。
给出四个控制点（0,0），（0,10），（10,10）（10,0）来绘制贝塞尔曲线
用MATLAB来画下这条贝塞尔曲线（百度来的）function p=bezier_curve(x,y)n = length(x);t = linspace(0,1);Px = 0;Py = 0;for k = 0:n-1B_i_n = nchoosek(n-1,k).*t.^k.*(1-t).^(n-1-k);Px = Px + x(k+1)*B_i_n;Py = Py + y(k+1)*B_i_n;endplot(Px,Py);运行x = [0 0 10 10];y = [0 10 10 0];plot(x,y,'-o')hold onbezier_curve(x,y)得到的贝塞尔曲线：
今天的学习很有收获，真的要感谢写了上面那篇文章的人，概念写得非常清楚。
机床行业要发展升级，真的需要这样的积累，古人说“不积跬步无以至千里”，希望更多的人一起来把经验写出来，分享出去，大家一起提高技术水平。
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曲线之美（一）贝塞尔曲线
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在图形图像编程时，我们常常需要根据一系列已知点坐标来确定一条光滑曲线。
其中有些曲线需要严格地通过所有的已知点，而有些曲线却不一定需要。
在后者中，比较有代表性的一类曲线是贝塞尔曲线（Bézier Splines）。
网友们可能注意到，贝塞尔曲线广泛地应用于很多图形图像软件中，例如Flash、Illstrator、CoralDRAW和Photoshop等等。
什么是贝塞尔曲线呢？你先来看看这个：
哼~一条很普通的曲线，好像真的无法给我们带来什么特殊感觉哦~那把这条曲线和绘制它所根据的点重叠地放在一起再瞧瞧吧：
Hoho，原来呀~贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。
我们不妨把这四对已知点坐标依次定义成(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)。
贝塞尔曲线必定通过首尾两个点，称为端点；中间两个点虽然未必要通过，但却起到牵制曲线形状路径的作用，称作控制点。
在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。
涕淌为了向大家介绍贝塞尔曲线的公式，也故意把问题的已知和所求颠倒了一下位置：如果已知一条曲线的参数方程，系数都已知，并且两个方程里都含有一个参数t，它的值介于0、1之间，表现形式如下所示：
x(t) = ax * t ^ 3 + bx * t ^ 2 + cx * t + x0
y(t) = ay * t ^ 3 + by * t ^ 2 + cy * t + y0
由于这条曲线的起点(x0,y0)是已知的，我们可以用以下的公式来求得剩余三个点的坐标：
x1 = x0 + cx / 3
x2 = x1 + ( cx + bx ) / 3
x3 = x0 + cx + bx + ax
y1 = y0 + cy / 3
y2 = y1 + ( cy + by ) / 3
y3 = y0 + cy + by + ay
你细细观察一下就知道了，无论方程的已知和所求是什么，总是有六个未知数，并且我们总能找到六个等式（记住(x0,y0)总是已知的），也就是说，上面的方法是完全可逆的，因此我们可以根据四个已知点坐标来反求曲线参数公式的系数。
稍微一变换就得到了下面这组公式：
cx = 3 * ( x1 - x0 )
bx = 3 * ( x2 - x1 ) - cx
ax = x3 - x0 - cx - bx
cy = 3 * ( y1 - y0 )
by = 3 * ( y2 - y1 ) - cy
ay = y3 - y0 - cy - by
所以说，对于坐标任意的四个已知点，你总能创建一条贝塞尔曲线嘿嘿。
在GDI+的2D图形函数库里，已经封装了贝塞尔曲线的绘制方法——就是Graphics类的DrawBezier()方法。
DrawBezier()方法有很多个重载版本，很简单，而且在MSDN里有着详细的介绍，涕淌在此就不浪费口水了（包括DrawBeziers()也是一样）。
不得不感叹的是，强大的GDI+允许一个不了解贝塞尔曲线数学背景的人也能轻而易举地绘制一条漂亮的贝塞尔曲线，对提高开发效率而言，这当然是件好事！
贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”~也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。
来，瞅瞅这张图吧：
Windows默认的屏保里有一个“贝塞尔曲线”的程序，大家现在可以打开来欣赏一下。
一组不断扭伸的曲线令观看的人感叹它们的变幻莫测，其实个中道理相当简单，程序里只是一群分好了组的、按规律移动的点，机器根据点的移动、按照上面的公式实时地计算出当前的贝塞尔曲线，并在电脑屏幕上绘制出来，如此没完没了地进行着……
上个世纪七十年代，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名~是为贝塞尔曲线。
在文章的开篇我提到了还有一类曲线必须严格地通过所有已知点，很典型而鲜明地同贝塞尔曲线区分开来了。
这一类型的曲线涕淌将占用其它网络日志的篇幅来给大家介绍，请耐心等
待！。