初中数学-和圆有关的比例线段练习题
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DC=2PB，BD=PB，∴ 2BP 2 AD DE ．
说明：本题应用的知识点有：切割线定理、相交弦定理、弦切角定理、相似角形，利用等式 性质证明线段的中点．
典型例题五
例 （北京市宣武区，2002）已知：CF 是⊙O 直径，CB 为⊙O 的弦，CB 的延长线与 过点 F 的⊙O 的切线交于点 P.
得 x 6 （负的舍去），∴ DE 2 6 2 3 ．
说明：①此题主要应用：切线的判定定理，切割线定理、相似形以及勾股定理以及相似形； 此题是与切割线定理有关的计算综合问题．
例 如图，PA 切⊙O 于 A，割线 PBC 交⊙O 于 B、C 两点，D 为 PC 的中点，连 AD 并延长
交⊙O 于 E，已知： BE 2 DE EA ．
∴ PF PE . ∴ PFE PEF . 又∵ PFE CEA ， PFE CEA. OF OA, OFA A, A CEA OFA PFE 90, OA BC,
∴ 点 A 为 中点.
证法二：连结 FB.
同证法一可得 PF PE ， ∴ PFE PEF
∵ PF 切⊙O 于点 F，
例 某机械传动装置在静止状态时，如图所示．连杆 PB 与点 B 运动所形成的交于点 A，测
量得 PA=4cm，AB=5cm，⊙O 半径为 4.5cm．求点 P 到圆心 O 的距离．
解：连结 PO 并延长，交⊙O 于点 C、D． 根据切割线定理的推论，有 PA·PB=PC·PD． ∵PB=PA+AB=4+5=9，PC=PO-4.5，PD=PO+4.5，
解：（1）∵ CF 是⊙O 直径，PF 切⊙O 于点 F，
∴ CF PF .
又 P 45,
C 45, CF PF 10,
∴ ⊙O 的半径的长为 5. （2）证法一：连结 OA. ∵ PF 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线，
∴ PF 2 PB PC .
又∵ PE 2 PB PC ，
1
O
B
（2）∵AE 是⊙O 的切线，AE=6 2 ，AD=6，
∴ AE2 AD AB ，∴ AB AE2 (6 2)2 12 ．
AD
6
∴BD=AB-AD=12-6=6
∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，∴△AED∽△ABE，∴ DE AE 6 2 2 BE AB 12 2
设 DE= 2x ，BE=2x，∵ DE 2 BE 2 BD2 ，∴ 2x 2 4x 2 36 ，
B A
∴ (OP 4.5)(OP 4.5) 4 9 ， OP2 36 20.5 56.25 ， P C
O
D
∴OP= 7.5 ．又 OP 为线段，取正数得 OP=7.5（cm）
∴点 P 到圆心 O 的距离为 7.5（cm）．
说明：割线定理的在计算中的简单应用．
例 已知：如图，AB 是⊙O 的弦，P 是 AB 上的一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，
A
12
O
D
P
B3
∵PA 切⊙O 于 A，∴∠1=∠E
E
又∠PAD=∠1+∠2，∠PDA=∠3+∠E．
∴∠PAD=∠PDA，∴PA=PD．
(2)由切割线定理知， PA 2 PB PC ，
又 PA=PD，PD=DC， ∴ (PB BD)2 PB 2(PB BD) ，
∴PB=BD．
又 AD DE BD DC (相交弦定理)，
B
解得： x 7 ，∵CO>0，∴CO=7（cm）
答：⊙O 半径为 7cm． 说明：①相交弦定理的简单应用；②作辅助线构成基本图形．
PA D
例 已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，BE 是角平分线，DE⊥BE 交 AB 于 D，⊙O 是 △BDE 的外接圆。 （1）求证 AC 是⊙O 的切线；
∴ PFB C ，
又 PFE PFB 2 ，
PEF C 1， ∴ 1 2 ，
∴
，
即 点 A 为 中点.
典型例题六
例 （北京市崇文区，2002）已知：如图，PA 切⊙O 于点 A，割线 PBC 交⊙O 于点 B、 C， PD AB 于点 D，PD、AO 的延长线相交于点 E，连结 CE 并延长 CE 交⊙O 于点 F， 连结 AF.
1．求证： PBD ∽ PEC ； 2．若 AB 12, tan EAF 2 ，求⊙O 半径的长.
3
证明：1．∵ PA 切⊙O 于点 A，
∴ PA2 PB PC.
∵ O 在 AE 上， ∴ PA AE. ∵ PE AB 于 D， ∴ PAD ∽ PEA. PD PA ,
PA PE PA2 PD PE. PB PC PD PE. PB PD .
求⊙O 的半径．
分析：由 P 为 AB 上的一点，且巳知 PA、PB 故联想到相交弦定理，所以需把 OP 向两
方延长，分别与圆相交，再利用相交弦定理解之．
解：向两方延长 OP，分别交⊙O 于 C、D
C
由相交弦定理有： BP·AP=CP·DP
设 CO=x，则
Oຫໍສະໝຸດ Baidu
(10 4) 4 (x 5)(x 5)
（1）如图所示，若 P 45, PF 10 ，求⊙O 半径的长；
（2）如图所示，若 E 为 BC 上一点，且满足 PE 2 PB PC ，连结 FE 并延长交⊙O
于点 A，求证：点 A 为 的中点.
分析：证明
，可以有两种证法：一可以证明 OA BC ，由垂径定理即可证明
结论，二可证明 1 2 ，由圆周角定理结论可证．
求证：（1）PA=PD；
（2） 2BP 2 AD DE ．
分析：（1）易证∠PAD=∠PDA；
（2）关键在于利用线段之间的关系、等式性质，证出 PB=BD．
证明：(1)连结 AB
在△DBE 和△BAE 中 ，
∵ BE 2 DE EA ，即 BE EA ， DE BE
又∠BED=∠AEB，∴△DBE∽△BAE ∴∠2=∠3
（2）若 AD=6，AE=6 2 ，求 DE 的长。
证明（1）：连结 OE
∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠1=∠2，
又∵∠BED=∠C=90°，∴△BCE∽△BED，
∴∠4=∠3，
A
又∵OE=OB，∴∠1=∠5，∴∠4+∠5=∠1+∠3=90°，
∴OE⊥AC，∴AC 是⊙O 的切线．
C
E
4
5
2
3
D
说明：本题应用的知识点有：切割线定理、相交弦定理、弦切角定理、相似角形，利用等式 性质证明线段的中点．
典型例题五
例 （北京市宣武区，2002）已知：CF 是⊙O 直径，CB 为⊙O 的弦，CB 的延长线与 过点 F 的⊙O 的切线交于点 P.
得 x 6 （负的舍去），∴ DE 2 6 2 3 ．
说明：①此题主要应用：切线的判定定理，切割线定理、相似形以及勾股定理以及相似形； 此题是与切割线定理有关的计算综合问题．
例 如图，PA 切⊙O 于 A，割线 PBC 交⊙O 于 B、C 两点，D 为 PC 的中点，连 AD 并延长
交⊙O 于 E，已知： BE 2 DE EA ．
∴ PF PE . ∴ PFE PEF . 又∵ PFE CEA ， PFE CEA. OF OA, OFA A, A CEA OFA PFE 90, OA BC,
∴ 点 A 为 中点.
证法二：连结 FB.
同证法一可得 PF PE ， ∴ PFE PEF
∵ PF 切⊙O 于点 F，
例 某机械传动装置在静止状态时，如图所示．连杆 PB 与点 B 运动所形成的交于点 A，测
量得 PA=4cm，AB=5cm，⊙O 半径为 4.5cm．求点 P 到圆心 O 的距离．
解：连结 PO 并延长，交⊙O 于点 C、D． 根据切割线定理的推论，有 PA·PB=PC·PD． ∵PB=PA+AB=4+5=9，PC=PO-4.5，PD=PO+4.5，
解：（1）∵ CF 是⊙O 直径，PF 切⊙O 于点 F，
∴ CF PF .
又 P 45,
C 45, CF PF 10,
∴ ⊙O 的半径的长为 5. （2）证法一：连结 OA. ∵ PF 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线，
∴ PF 2 PB PC .
又∵ PE 2 PB PC ，
1
O
B
（2）∵AE 是⊙O 的切线，AE=6 2 ，AD=6，
∴ AE2 AD AB ，∴ AB AE2 (6 2)2 12 ．
AD
6
∴BD=AB-AD=12-6=6
∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，∴△AED∽△ABE，∴ DE AE 6 2 2 BE AB 12 2
设 DE= 2x ，BE=2x，∵ DE 2 BE 2 BD2 ，∴ 2x 2 4x 2 36 ，
B A
∴ (OP 4.5)(OP 4.5) 4 9 ， OP2 36 20.5 56.25 ， P C
O
D
∴OP= 7.5 ．又 OP 为线段，取正数得 OP=7.5（cm）
∴点 P 到圆心 O 的距离为 7.5（cm）．
说明：割线定理的在计算中的简单应用．
例 已知：如图，AB 是⊙O 的弦，P 是 AB 上的一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，
A
12
O
D
P
B3
∵PA 切⊙O 于 A，∴∠1=∠E
E
又∠PAD=∠1+∠2，∠PDA=∠3+∠E．
∴∠PAD=∠PDA，∴PA=PD．
(2)由切割线定理知， PA 2 PB PC ，
又 PA=PD，PD=DC， ∴ (PB BD)2 PB 2(PB BD) ，
∴PB=BD．
又 AD DE BD DC (相交弦定理)，
B
解得： x 7 ，∵CO>0，∴CO=7（cm）
答：⊙O 半径为 7cm． 说明：①相交弦定理的简单应用；②作辅助线构成基本图形．
PA D
例 已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，BE 是角平分线，DE⊥BE 交 AB 于 D，⊙O 是 △BDE 的外接圆。 （1）求证 AC 是⊙O 的切线；
∴ PFB C ，
又 PFE PFB 2 ，
PEF C 1， ∴ 1 2 ，
∴
，
即 点 A 为 中点.
典型例题六
例 （北京市崇文区，2002）已知：如图，PA 切⊙O 于点 A，割线 PBC 交⊙O 于点 B、 C， PD AB 于点 D，PD、AO 的延长线相交于点 E，连结 CE 并延长 CE 交⊙O 于点 F， 连结 AF.
1．求证： PBD ∽ PEC ； 2．若 AB 12, tan EAF 2 ，求⊙O 半径的长.
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证明：1．∵ PA 切⊙O 于点 A，
∴ PA2 PB PC.
∵ O 在 AE 上， ∴ PA AE. ∵ PE AB 于 D， ∴ PAD ∽ PEA. PD PA ,
PA PE PA2 PD PE. PB PC PD PE. PB PD .
求⊙O 的半径．
分析：由 P 为 AB 上的一点，且巳知 PA、PB 故联想到相交弦定理，所以需把 OP 向两
方延长，分别与圆相交，再利用相交弦定理解之．
解：向两方延长 OP，分别交⊙O 于 C、D
C
由相交弦定理有： BP·AP=CP·DP
设 CO=x，则
Oຫໍສະໝຸດ Baidu
(10 4) 4 (x 5)(x 5)
（1）如图所示，若 P 45, PF 10 ，求⊙O 半径的长；
（2）如图所示，若 E 为 BC 上一点，且满足 PE 2 PB PC ，连结 FE 并延长交⊙O
于点 A，求证：点 A 为 的中点.
分析：证明
，可以有两种证法：一可以证明 OA BC ，由垂径定理即可证明
结论，二可证明 1 2 ，由圆周角定理结论可证．
求证：（1）PA=PD；
（2） 2BP 2 AD DE ．
分析：（1）易证∠PAD=∠PDA；
（2）关键在于利用线段之间的关系、等式性质，证出 PB=BD．
证明：(1)连结 AB
在△DBE 和△BAE 中 ，
∵ BE 2 DE EA ，即 BE EA ， DE BE
又∠BED=∠AEB，∴△DBE∽△BAE ∴∠2=∠3
（2）若 AD=6，AE=6 2 ，求 DE 的长。
证明（1）：连结 OE
∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠1=∠2，
又∵∠BED=∠C=90°，∴△BCE∽△BED，
∴∠4=∠3，
A
又∵OE=OB，∴∠1=∠5，∴∠4+∠5=∠1+∠3=90°，
∴OE⊥AC，∴AC 是⊙O 的切线．
C
E
4
5
2
3
D