平方差公式课例精选(故事导入)
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课题:人教版八年级数学上册“15.2.1平方差公式”
【故事导入】
一、内容和内容解析
内容:
人教版八年级数学上册“15.2.1平方差公式”.
解析:
“平方差公式”是初中阶段学生学习“乘法公式”中的第-个公式.教学中,应让学生了解公式产生的背景,经历公式形成的过程.首先,让学生从已有认知出发,在-组多项式乘以多项式的乘法运算中,发现有特殊形式的多项式相乘,并且运算结果简单,从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征,初步感受平方差公式;其次,通过数形结合验证平方差公式的合理性,进而确立平方差公式的地位和作用,既为符合公式特征的整式乘法运算带来方便,又为后续学习用公式法分解因式奠定基础;最后,从公式的探究、推导活动中,让学生学会从“特殊”到“-般”的探究方法,为学生以后能主动探究完全平方公式,甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础.
要熟练而正确地应用公式解决问题,就必须对公式的结构特征进行剖析,在剖析中加深对公式特征和表达形式的理解与掌握,这就为学生学习、掌握其他数学公式提供了“模板”.因此,“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心的地位.
基于此,本节课的教学重点是:理解乘法公式的结构特征及几何意义,并能灵活运用平方差公式.
二、目标和目标解析
目标:
(1)了解平方差公式产生的背景,理解平方差公式的意义,掌握平方差公式的结构特征,并能灵活运用平方差公式解决问题.
(2)经历平方差公式产生的过程,体验知识的产生与发展,感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略,培养学生观察、归纳、概括的能力.
(3)在探索平方差公式和解决问题的过程中,学会与他人合作交流.在公式的学习及运用中积累解题的经验、体验成功的喜悦,提高学习数学的兴趣.
解析:
让学生经历公式的形成过程:从特殊到-般,即“归纳-猜想-验证-数学符号表示”的过程.进-步发展学生的符号感,培养他们的合情推理和归纳推理的能力;让学生能理解公式中。a、b各代表什么,能够分析、运用平方差公式的结构特征解决问题;让学生在经历从具体到抽象、从-般到特殊的过程中,寻找规律,自我归纳,明确解决同类问题的基本思路,积累数学活动的经验,感受“平方差公式”的魅力,提高数学学习的兴趣;在自主探究、合作交流的过程中体验学习的快乐,从而能主动地去理解数学、感悟数学.
三、教学问题诊断分析
学生的认知基础有:(1)七年级学生已有用字母表示数的基础;(2)学生已学习了多项式的乘法.但本节课所研究的特殊形式的多项式相乘,主要体现在结构特征的特殊性上,而这种特殊形式又灵活多样,学生往往难以掌握用字母表示数的广泛含义(如字母可以表示负数、多项式等),而容易出现以下3种错误:
(1)符号的错误,如(−5a−3)(+5a−3)=25a^2−9;
(2)系数不平方的错误,如(2a−1)(2a+1)=2a^2−1;
(3)不能运用公式的却运用公式的错误,如(a+0.5b)(b−0.5a)=a^2−0.25b^2.
其原因就是只了解公式“(a+b)(a−b)=a^2−b^2”的表面形式,而未真正掌握平方差公式的本质特征.
基于此,本节课的教学难点是:理解乘法公式的结构特征及几何意义,并能灵活运用平
方差公式.
四、教学支持条件分析
利用多媒体展示教学的部分环节,如创设情境、公式的几何意义等,以支持课堂教学,突出重点,突破难点.
五、教学过程设计
(-)创设情境,快乐启航
从前,有-个狡猾的庄园主,把-块边长为。米的正方形土地租给张老汉种植.第二年,他对张老汉说:“我把这块地的-边减少5米,相邻的另-边增加5米,继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”张老汉-听,觉得好像没有吃亏,就答应道:“好吧.”回到家中,他把这事和邻居们-讲,大家都说:“张老汉,你吃亏了!”张老汉非常吃惊.你知道张老汉是否吃亏了吗?学习了本节课的知识,你将能轻松地解决.
【设计意图】从生活中的实例引入,既能激发学生的学习兴趣,又能为说明平方差公式的几何意义做好铺垫.
(二)自主探索,获取新知
问题1:利用多项式的乘法法则,计算下面各题.再观察、分析这组题目左边的算式和右边的结果,你能从中发现什么规律?(让学生进行小组讨论)
⑴(a+b)(m+n)=
⑵(x+3)(x+4)=
⑶(y+3)(y−2)=
⑷(a+5)(a−5)=
⑸(p+q)(p−q)=
⑹(2x+1)(2x−1)=
问题2:通过这些题目的计算,你发现了什么?
追问1:第⑷⑸⑹小题在形式和结果上与其他各题有什么区别?
追问2:观察、分析第⑷⑸⑹小题左边的算式和右边的结果,你能从中发现什么规律?(可进行小组讨论)
发现:左边为两个数的和与这两个数的差的积,右边为这两个数的平方差.
猜想:(a+b)(a−b)=___________.
【设计意图】以-组相关联但又有区别的问题为载体,让学生通过计算,观察每个算式的特点和结果的特点,挖掘题目之间的共性,发现规律,猜想公式,从而经历从-般到特殊、从具体到抽象的过程,体会归纳这-数学思想方法.
问题3:你能通过计算(a+b)(a−b),说明猜想的合理性吗?
(a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2.
归纳公式:(a+b)(a−b)=a2−b2.
文字叙述:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
【设计意图】通过多项式的乘法法则践行猜想,让感知得到理性的检验,体现数学学科思维的严谨性,让合情推理与演绎推理并进,进而准确地运用数学语言表述公式.
(三)剖析公式,揭示本质
问题4:你能揭示公式的结构特征吗?
(学生先自主辨析,再交流互补,不断完善)
结构特征:左边右边
(a+b)(a−b)=a2−b2.
相同项相反项相同项相反项
【设计意图】揭示公式的结构特征,是学生理解公式,进而灵活运用公式解决问题的前提条件.让学生自主辨析、合作交流、共同总结得以明晰,既体现了学生学习的主动性,又为学生学习公式进行了学法指导,可谓“-箭双雕”.
(四)数形结合,几何说理
问题5:现在,你知道张老汉是否吃亏了吗?吃亏了多少?
追问:如果将张老汉所租的边长为a的正方形土地的-边减少b米,相邻另-边增加b 米,那么的土地面积变为多少?同原来的土地面积相比,发生了怎样的变化?试将图l重新拼图,验证结论的正确性.它说明了什么公式?
重新拼图如图2所示.
它说明了公式:(a+b)(a−b)=a2−b2.
【设计意图】使学生直观地经历图形变化的过程,
从数形结合的角度加深对公式的理解.
(五)巩固运用,内化新知
开心-试真我巧变
1.你能用□和○分别代表a和b来表示平方差公式吗?
2.试根据等式在□和○里填入数或式,举例如下:
(□+○)(□−○)=(□)2−(○)2.
教师可根据学生的回答,补充多项式的形式.
小结:其中的□和○可以表示数、单项式或多项式.
【设计意图】这道开放题的设计,以剖析a、b的广泛含义为目的,对于帮助学生认清公式的结构特征起到事半功倍的作用,在接下来的公式运用中,相信学生会更加得心应手.
锋芒毕露模拟演练
3.填-填.
+-a b22
()()
a b a b
-
a b
⑴(32)(32)
+-__________________________________
x x
⑵(2)(32)
-+-__________________________________
x y x