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中考数学专题训练--函数综合题(人教版精选)

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(名师整理)最新人教版数学中考冲刺压轴题《一次函数》专题训练(含答案解析)

(名师整理)最新人教版数学中考冲刺压轴题《一次函数》专题训练(含答案解析)

中考数学二轮复习：《一次函数》压轴专题训练1．如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点（不与点A、点B重合）．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C 落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．初步探究（1）当AP＝4时①直接写出点E的坐标；②求直线EF的函数表达式．深入探究（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．拓展应用（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．2．已知直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，四边形OBCD的面积为36．（1）求直线AB的解析式；（2）点P为线段OD上一点，连接CP，点H为CP上一点，连接BH，且BH＝BC，过点H作CP的垂线交CD、OB于E、F，连接AE、AC，设点P的横坐标为t，△ACE的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，连接OH，过点F作FK⊥OH交x轴于点K，若PD＝PK，求点P的坐标．3．如图（1）所示，在A，B两地间有一车站C，甲汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，乙汽车从B地出发经C站匀速驶往A地，两车速度相同．如图（2）是两辆汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象．（1）填空：a＝km，b＝h，AB两地的距离为km；（2）求线段PM、MN所表示的y与x之间的函数表达式（自变量取值范围不用写）；（3）求行驶时间x满足什么条件时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小？4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于分别交于点C、点D，直线AB的解析式为y＝﹣x+5，直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），两直线交于点E（m，），且OB：OC＝5：4．（1）求直线CD的解析式；（2）将直线CD向下平移一定的距离，使得平移后的直线经过A点，且与y轴交于点F，求四边形AEDF 的面积．5．小明从家去李宁体育馆游泳，同时，妈妈从李宁体育馆以50米/分的速度回家，小明到体育馆后发现要下雨，立即返回，追上妈妈后，小明以250米/分的速度回家取伞，立即又以250米/分的速度折回接妈妈，并一同回家．如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象．（注：小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走，图象上A、C、D、F四点在一条直线上）（1）求线段OB及线段AF的函数表达式；（2）求C点的坐标及线段BC的函数表达式；（3）当x为时，小明与妈妈相距1500米；（4）求点D坐标，并说明点D的实际意义．6．如图1，已知直线AC：y＝﹣x+b1和直线AB：y＝kx+b2交于x轴上一点A，且分别交y轴于点C、点B，且OB＝2OC＝4．（1）求k的值；＝9时，在线段AC上取一点F，使（2）如图1，点D是直线AB上一点，且在x轴上方，当S△ACD得CF＝FA，点M，N分别为x轴、轴上的动点，连接NF，将△CNF沿NF翻折至△C′NF，求MD+MC′的最小值；（3）如图2，H，P分别为射线AC，AO上的动点，连接PH，PC是否存在这样的点P，使得△PCH 为等腰三角形，△PHA为直角三角形同时成立．请直接写出满足条件的点P坐标．7．如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB 的最小值；（3）如图2，将△AOD沿着直线AC平移得到△A′O′D′，A′D′与x轴交于点P，连接A′D、DP，当△DA′P是等腰三角形时，求此时P点坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，直线BC：y＝x+交x轴于点B，点A在x轴正半轴上，OC为△ABC的中线，C的坐标为（m，）（1）求线段CO的长；（2）点D在OC的延长线上，连接AD，点E为AD的中点，连接CE，设点D的横坐标为t，△CDE 的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点F为射线BC上一点，连接DB、DF，且∠FDB＝∠OBD，CE＝，求此时S值及点F坐标．9．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2相交于点P，分别与y轴交于A、B两点．（1）求点P的坐标；（2）求△ABP的面积；（3）M、N分别是直线y＝﹣x+1和y＝x﹣2上的两个动点，且MN∥y轴，若MN＝5，直接写出M、N 两点的坐标．11．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．12．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y＝x+2上任意一点，点T（x，y）是点D 和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为；（2）求点T（x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（，）和B（2，0），且与y轴交于点D，直线OC与AB交于点C，且点C的横坐标为．（1）求直线AB的解析式；（2）连接OA，试判断△AOD的形状；（3）动点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点O出发沿y轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．15．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x交于点C．（1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1．①求点C的坐标；②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．参考答案1．解：（1）①设：OE＝PE＝a，则AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即a2＝（8﹣a）2+16，解得：a＝5，故点E（0，5），故答案为：（0，5）；②过点F作FR⊥y轴于点R，折叠后点O落在P处，则点O、P关于直线EF对称，则OP⊥EF，∴∠EFR+∠FER＝90°，而∠FER+∠AOP＝90°，∴∠AOP＝∠EFR，而∠OAP＝∠FRE，RF＝AO，∴△AOP≌△FRE（AAS），∴ER＝AP＝4，OR＝EO﹣OR＝5﹣4＝1，故点F（8，1），将点E、F的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线EF的表达式为：y＝﹣x+5；（2）证明：∵PE＝OE，∴∠EOP＝∠EPO．又∵∠EPH＝∠EOC＝90°，∴∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP．即∠POC＝∠OPH．又∵AB∥OC，∴∠APO＝∠POC．∴∠APO＝∠OPH；（3）解：如图，过O作OQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APO＝∠OPH，在△AOP和△QOP中，∠APO＝∠OPH，∠A＝∠OQP，OP＝OP，∴△AOP≌△QOP（AAS）．∴AP＝QP，AO＝OQ．又∵AO＝OC，∴OC＝OQ．又∵∠C＝∠OQH＝90°，OH＝OH，∴△OCH≌△OQH（SAS）．∴CH＝QH．∴△PHB的周长＝PB+BH+PH＝AP+PB+BH+HC＝AB+CB＝16；故答案为：16．2．解：（1）∵将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，∴OB＝BC，∠OBC＝90°，∵CD⊥x轴于点D，∴∠CDO＝90°，∵∠BOD＝90°，∴四边形OBCD为正方形，∵四边形OBCD的面积为36．∴OB＝6，∵直线y＝2x+b与y轴交于点B，∴b＝6，∴直线AB的解析式为y＝2x+6；（2）∵直线y＝2x+6与x轴交于点A，∴A（﹣3，0），如图1，过点B作BL⊥CP，垂足为L，交CD于点M，∵BH＝BC，∴CL＝HL，∵BL⊥CP，EF⊥CP，∴BM∥EF，∴CM＝ME，∵∠CBM+∠BMC＝∠BMC+∠MCL＝90°∴∠CBM＝∠PCD，∵∠BCM＝∠PDC，BC＝CD，∴△BCM≌△CDP（ASA），∴CM＝PD，∴PD＝CM＝ME＝6﹣t，∴CE＝2CM＝2（6﹣t），∵AD＝OA+OD＝9，∴S＝＝＝﹣9t+54（0≤t≤6）；（3）设PD＝a，如图2，∵BF∥CD，BM∥EF，∴四边形BFEM是平行四边形，∴BF＝EM＝PD＝a，连接FP，设FK与OH交于A'，∴∠OFP＝45°，∵∠FOP+∠FHP＝180°，∴F、O、P、H四点共圆，∴∠OFP＝∠OHP＝45°，∴∠OHF＝45°，∵FK⊥OH，∴∠FA'H＝90°，∴∠EFK＝45°，如图3，过点E作ER⊥EF交射线FK于点R，∴△EFR为等腰直角三角形，∴EF＝ER，过点F作FG⊥CD于点G，过点R作x轴的平行线交y轴于点Q，交CD的延长线于点N，连接KE、∴∠RNE＝∠FGE＝90°，∠FEG＝∠ERN，∴△EFG≌△REN（AAS），∴EN＝FG，EG＝RN＝PD＝a，∵CG＝BF＝a，GE＝a，∴DN＝CE＝2a＝OQ，OF＝a+b，∵PD＝PK＝a，OD＝CD＝2a+b，∴OK＝b，∵OK∥QR，∴，即，∴b（3a+b）＝（a+b）2，∴a＝b，∴3a＝6，∴a＝2，∴P（4，0）．3．解：（1）两车的速度为：300÷5＝60km/h，a＝60×（7﹣5）＝120，b＝7﹣5＝2，AB两地的距离是：300+120＝420，故答案为：120，2，420；（2）设线段PM所表示的y与x之间的函数表达式是y＝kx+b，，得，即线段PM所表示的y与x之间的函数表达式是y＝﹣60x+300；设线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝mx+n，，得，即线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝60x﹣300；（3）设DE对应的函数解析式为y＝cx+d，，得，即DE对应的函数解析式为y＝﹣60x+120，设EF对应的函数解析式为y＝ex+f，，得，即EF对应的函数解析式为y＝60x﹣120，设甲、乙两车距离车站C的路程之和为skm，当0≤x≤2时，s＝（﹣60x+300）+（﹣60x+120）＝﹣120x+420，则当x＝2时，s取得最小值，此时s＝180，当2＜x≤5时，s＝（﹣60x+300）+（60x﹣120）＝180，当5≤x≤7时，s＝（60x﹣300）+（60x﹣120）＝120x﹣420，则当x＝5时，s取得最小值，此时s＝180，由上可得，行驶时间x满足2≤x≤5时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小．4．解：（1）将点E（m，）代入直线AB的解析式y＝﹣x+5，解得m＝，∴点E的坐标为（，），OB：OC＝5：4，OB＝5，∴OC＝4，∴点C坐标为（﹣4，0），将点E（，），点C（﹣4，0），代入直线CD的解析式y＝kx+b中，解得所以直线CD解析式为y＝x+2．（2）当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝8，所以A点坐标为（8，0），∵直线CD向下平移一定的距离，平移后的直线经过A点，且与y轴交于点，∴设直线AF的解析式为y＝x+d，把A（8，0）代入得d＝﹣4，所以直线AF 的解析式为y ＝x ﹣4． 所以点F 的坐标为（0，﹣4）． 如图，作EG ⊥x 轴于点G ， 所以四边形AEDF 的面积为： S 梯形ODEG +S △AEG +S △AOF ＝（2+）×+××（8﹣）+4×8＝32．答：四边形AEDF 的面积为32． 5．解：（1）设OB 的函数表达式为y ＝kx ， 30k ＝3000，得k ＝100，即线段OB 的函数表达式为y ＝100x （0≤x ≤30）； 点F 的横坐标为：3000÷50＝60， 则点F 的坐标为（60，0），设直线AF 的函数表达式为：y ＝k 1x +b 1，，得，即直线AF 的函数表达式为y ＝﹣50x +3000； （2）当x ＝45时，y ＝﹣50×45+3000＝750， 即点C 的坐标为（45，750）， 设线段BC 的函数表达式为y ＝k 2x +b 2，，得，即线段BC 的函数表达式是y ＝﹣150x +7500（30≤x ≤45）；（3）当小明与妈妈相距1500米时，﹣50x +3000﹣100x ＝1500或100x ﹣（﹣50x +3000）＝1500或（﹣150x +7500）﹣（﹣50x +3000）＝1500， 解得：x ＝10或x ＝30，∴当x 为10或30时，小明与妈妈相距1500米． 故答案为：10或30；（4）∵750÷250＝3（分钟），45+3＝48， ∴点E 的坐标为（48，0）∴直线ED 的函数表达式y ＝250（x ﹣48）＝250x ﹣12000， ∵AF 对应的函数解析式为y ＝﹣50x +3000， ∴，得，∴点D 的坐标为（50，500），实际意义：小明将在50分钟时离家500米的地方将伞送到妈妈手里． 6．解：（1）OB ＝2OC ＝4，则点B 、C 的坐标分别为：（0，﹣4）、（0，2），将点C 的坐标代入AC ：y ＝﹣x +b 1并解得： AC 的表达式为：y ＝﹣x +2，令y ＝0，则x ＝6，故点A （6，0），将点B 、A 的坐标代入y ＝kx +b 2得：，解得：，故直线AB 的表达式为：y ＝x ﹣4，即k ＝；（2）由点B 、C 的坐标得，BC ＝6，S △ACD ＝S △BCD ﹣S △BCA ＝×BC ×（x D ﹣x A ）＝×6（x D ﹣6）＝9，解得：x D ＝9， 当x ＝9时，y ＝x ﹣4＝2，故点D （9，2）；CF ＝FA ，即CF ＝AC ＝＝，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，由直线AC的表达式知，∠OCA＝60°，则HF＝CF sin60°＝＝，CH＝，故点F（，），作点D关于x轴的对称点D′（9，﹣2），连接C′D′，当D′、C′、F三点共线时，MD+MC′最小，MD+MC′最小值为D′F﹣F′C′＝D′F﹣CF＝﹣＝﹣；（3）由直线AC的表达式知，∠CAO＝30°，AC＝＝4；①当∠PHA＝90°时，则△PHC为等腰直角三角形，设HP＝CH＝a，则AP＝2HP，HA＝＝a，AC＝CH+HA＝a a＝4，解得：a＝6﹣2，AP＝2a＝12﹣4，则AP＝6﹣（12﹣4）＝4﹣6，故点P（4﹣6，0）；②当∠CPH＝90°时，则CPH为等腰三角形，则HP＝CP，设HP＝CP＝a，则在Rt△PHA中，HA＝2HP＝2a，∵∠CPH＝90°，∴HP∥OC，则，即＝，解得：a＝，PA＝＝a＝4，故点P（2，0）；综上，点P的坐标为：（2，0）或（4﹣6，0）．7．解：（1）直线BC的解析式为y＝kx﹣2，则点C（0，﹣2），将点C的坐标代入y＝﹣x+b得：﹣2＝b，解得：b＝﹣2，故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2；△BOC的面积＝OB•CO＝2×OB＝6，解得：OB＝6，故点B（6，0），将点B的坐标代入y＝kx﹣2得：0＝6k﹣2，解得：k＝；故k＝，b＝﹣2；（2）将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，则点D（0，2），由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝x+2；过点B作点B关于直线AD的对称点B′，连接B′C交AD于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求点，点C是点D关于x轴的对称点，则MC＝MD，而NB＝NB′，故DM+MN+NB＝MC+MN+NB′＝B′C为最小，直线AD的倾斜角为45°，BB′⊥AC，则AB＝AB′＝8，直线AB′与AD的夹角也为45°，故直线AB′⊥AB，故点B′（﹣2，8），由点B′、C的坐标得，直线B′C的表达式为：y＝﹣5x﹣2，令y＝0，即﹣5x﹣2＝0，解得：x＝﹣，故点M（﹣，0），DM+MN+NB最小值为B′C＝＝2；（3）设△AOD沿着直线AC向右平移m个单位，向下平移m个单位得到△A′O′D′，则点A′（m ﹣2，﹣m），设直线A′D′的表达式为：y＝x+b′，将点A′的坐标代入上式得：﹣m＝m﹣2+b′，解得：b′＝2﹣2m，则直线A′D′的表达式为：y＝x+2﹣2m，令y＝0，则x＝2m﹣2，故点P（2m﹣2，0），而点A′（m﹣2，﹣m），点D（0，2），则A′P2＝2m2，A′D2＝（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝2m2+8，PD2＝（2m﹣2）2+4；当A′P＝A′D时，2m2＝2m2+8，解得：方程无解；当A′P＝PD时，同理可得：m＝2；当A′D＝PD时，同理可得：m＝0（舍去）或4，综上，点P（2，0）或（6，0）．8．解：（1）∵直线BC：y＝x+交x轴于点B，∴点B坐标（﹣8，0），∵C的坐标为（m，）∴＝x+，∴m＝﹣，∴点C坐标为（﹣，）∴CO＝＝5；（2）如图，∵OC为△ABC的中线，∴BO＝AO＝8，∴S＝×8×＝10，△ACO∵点C坐标为（﹣，），点O坐标（0，0）∴直线CO解析式为：y＝﹣x，∴点D （t ，﹣t ），∴S △AOD ＝×8×（﹣t ）＝﹣4t ，∴S △ACD ＝S △AOD ﹣S △AOC ＝﹣4t ﹣10，∵点E 为AD 的中点， ∴S ＝S △ACD ＝﹣2t ﹣5；（3）∵点D （t ，﹣t ），点A （8，0），点E 是AD 中点，∴点E 坐标（，﹣t ），∵CE ＝，∴（﹣﹣）2+（+t ）2＝13，∴t 1＝﹣6，t 2＝﹣8， ∴点D （﹣6，）或（﹣8，8）， 当t 1＝﹣6时，则点D （﹣6，），S ＝﹣2×（﹣6）﹣5＝7，延长DF 交x 轴于点H ，设点H （x ，0） ∵∠FDB ＝∠OBD ， ∴DH ＝BH ， ∴x +8＝∴x ＝20， ∴点H （20，0），设直线DH 的解析式为：y ＝kx +b ， ∴∴∴直线DH的解析式为：y＝﹣x+，∴x+＝﹣x+，∴x＝，∴点F（，），当t2＝﹣8，点D（﹣8，8），S＝﹣2×（﹣8）﹣5＝11，∵点D（﹣8，8），点B（﹣8，0），∴∠DBO＝90°，∵∠FDB＝∠OBD＝90°，∴DF∥BO，∴点F的纵坐标为8，∴8＝x+，∴x＝，∴点F（，8）．综上所述：点F坐标为（，）或（，8）．9．解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S＝BF（x C﹣x D）＝＝4；△BCD（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．10．解：（1）∵直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2相交于点P∴，解之得：，∴P点坐标为：，（2）∵直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2分别交y轴于A、B两点∴A（0，1），B（0，﹣2），∴AB＝3，由（1）知P∴S △ABP ＝＝；（3）设M （m ，﹣m +1），则N （m ，m ﹣2）， ∵MN ＝5，∴|﹣m +1﹣（m ﹣2）|＝5， 解得m ＝﹣1或m ＝4，∴M （4，﹣3），N （4，2）或M （﹣1，2），N （﹣1，﹣3）． 11．解：（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：，解得：，故直线l 的表达式为：；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 2＝OA 2+OB 2＝32+22＝13 ∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴S △ABC ＝AB 2＝；（3）连接BP ，PO ，PA ，则： ①若点P 在第一象限时，如图1：∵S △ABO ＝3，S △APO ＝a ，S △BOP ＝1， ∴S △ABP ＝S △BOP +S △APO ﹣S △ABO ＝，即，解得；②若点P 在第四象限时，如图2：∵S △ABO ＝3，S △APO ＝﹣a ，S △BOP ＝1， ∴S △ABP ＝S △BOP +S △APO ﹣S △ABO ＝，即，解得a ＝﹣3；故：当△ABC 与△ABP 面积相等时，实数a 的值为或﹣3．12．解：（1）∵点E 是直线y ＝x +2上一点，点E 的纵坐标是6， ∴x +2＝6， 解得，x ＝4，∴点E 的坐标是（4，6），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点， ∴x ＝＝，y ＝＝2，∴点T 的坐标为（，2）， 故答案为：（，2）；（2）设点E 的坐标为（a ，a +2）， ∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点， ∴x ＝，y ＝，解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2， ∴3x ﹣3＝3y ﹣2， 整理得，y ＝x ﹣；（3）设点E 的坐标为（a ，a +2），则点T的坐标为（，），当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，∴＝a，解得，a＝，此时点E的坐标为（，），当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，∴＝3，解得，a＝6，此时点E的坐标为（6，8），当∠DTH＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）．13．解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；（3）点E（4+m，m﹣3），则点E在直线l：y＝x﹣7上，设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，OC是常数，△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y＝﹣x+联立，解得：，故：．14．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+2；（2）直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，则点D（0，2），由点A、B、D的坐标得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，故DO2＝OA2+AD2，故△AOD为直角三角形；（3）直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，故点C（，1），则OC＝2，则直线AB的倾斜角为30°，即∠DBO＝30°，则∠ODA＝60°，则∠DOA＝30°故点C（，1），则OC＝2，则点C是AB的中点，故∠COB＝∠DBO＝30°，则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝OC﹣PC＝2﹣t，①当OP＝OM时，如图1，则∠OMP＝∠MPO＝（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，过点P作PH⊥y轴于点H，则OH＝OP＝（2﹣t），由勾股定理得：PH＝（2﹣t）＝QH，OQ＝QH+OH＝（2﹣t）+（2﹣t）＝t，解得：t＝；②当MO＝MP时，如图2，则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，∴∠OQP＝90°，故OQ＝OP，即t＝（2﹣t），解得：t＝；③当PO＝PM时，则∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，故这种情况不存在；综上，t＝或．15．解：（1）①由題意，，解得：，所以C（4，4）．②观察图象可知x＞4时，直线AB位于直线OC的下方，即x＞4时，﹣x+10＜x．（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，∵ON平分∠AOC，∴∠AOQ＝∠COQ，又OQ＝OQ．∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，当A、Q、M在同一直銭上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；∴AB⊥ON，∴∠AEO＝∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝6，∵△OAC的面积为9，∴OC•AM＝9，∴AM＝3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．。

专题四 二次函数综合题(含答案)2025年中考数学一轮题型专练(陕西)

专题四 二次函数综合题(含答案)2025年中考数学一轮题型专练(陕西)

专题四　二次函数综合题题型1　二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1　抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南　(1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南　(1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南　(1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2　面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南　(1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　(1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3　特殊三角形问题探究类型1　等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一　几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二　代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2　直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3　等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南　第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4　三角形关系问题类型1　与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2　与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南　当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5　特殊四边形问题探究类型1　平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2　菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3　矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一　对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二　有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4　正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南　(1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6　角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1　二次函数的实际应用类型1　抛物线运动轨迹问题例1　解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题例2　解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问　解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题例3　解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问　解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究例1　解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问　1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。

人教版数学九年级上学期课时练习- 二次函数-销售与利润问题中考真题专练(人教版)

人教版数学九年级上学期课时练习- 二次函数-销售与利润问题中考真题专练(人教版)

专题22.41 二次函数专题-销售与利润问题中考真题专练（专项练习）【专题说明】用二次函数解决销售与利润问题是中考的常考点，也是热点，解答这类问题最常用的方法之一是建立二次函数模式，利用二次函数的最大值或最小值。

运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤：（1）设自变量x 和函数y ；（2）求出函数解析式和自变量的取值范围；（3）化为顶点式，求出最值；检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内，并作答。

相关等量关系：（1）利润=售价一进价；（2）总利润、单件利润、数量的关系；（3）总利润=单件利润×数量。

1．（2021·辽宁大连·中考真题）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y （单位：千克）和每千克的售价x （单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中5080x ≤≤， （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？2．（2021·江苏泰州·中考真题）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．（1）求直线AB的函数关系式；（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝1100y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？3．（2021·辽宁丹东·中考真题）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？4．（2021·湖北荆门·中考真题）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；m ），公司为回馈消费者，规定该商品售价（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（0x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．5．（2021·贵州遵义·中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．6．（2021·江苏淮安·中考真题）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数表达式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？7．（2021·辽宁锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m ＝50＋0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．8．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A 型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．x 时，完成以下两个问题：（1）当4①请补全下面的表格：①若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．9．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？10．（2021·辽宁营口·中考真题）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y （件）与售价x （元/件）满足如图所示的函数关系，（其中4070x ≤≤，且x 为整数）（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？11．（2021·四川雅安·中考真题）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间存在一次函数关系（其中1021x ≤≤，且x 为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w 元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．12．（2021·辽宁本溪·中考真题）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．（1）请直接写出y （个）与x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？13．（2021·湖北湖北·中考真题）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a 元/件进行补贴，设某月销售价为x 元/件，a 与x 之间满足关系式：()20%10a x =-，下表是某4个月的销售记录．每月销售量y （万件）与该月销售价x （元/件）之间成一次函数关系(69)x ≤<．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？（3）当销售价x 定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）14．（2021·山东济宁·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？15．（2021·贵州铜仁·中考真题）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用1y （万元）与月销售量x （辆）（4x ≥）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出1y 与x 的关系式1y =________；(2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y =(每辆原售价-1y -进价)x ，请你根据上述条件，求出月销售量()4x x ≥为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？16．（2021·广东深圳·中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x （万元）与销售量y （件）的关系如下表所示：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？17．（2021·广东·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x 元()0,565x y ≤≤表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数解析式并求最大利润．18．（2021·湖北鄂州·中考真题）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y （元）与种植面积x （亩）之间满足一次函数关系，且当160x =时，840y =；当190x =时，960y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）19．（2021·湖北黄冈·中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x （单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a 的值．20．（2021·湖北武汉·中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品，A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍，若用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ．生产该产品每盒需要A 原料2kg 和B 原料4kg ，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a 元（a 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．21．（2021·湖北十堰·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：填空：（1）m与x的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？n<）给当地福利院，（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（4后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．22．（2021·四川达州·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？23．（2021·浙江·中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,A B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；①问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？24．（2021·四川阿坝·中考真题）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y=+，且当售价定为50元/件时，（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y kx b每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．25．（2021·辽宁鞍山·中考真题）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？26．（2021·四川南充·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）27．（2021·四川遂宁·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？28．（2021·江苏扬州·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．； ①月利润=月租车费-月维护费；①两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．参考答案1．（1）y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【分析】（1）由图象易得()50,100和()80,40，然后设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，进而代入求解即可；（2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意易得222808000w x x =-+-，然后根据二次函数的性质可进行求解．解：（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，则由图象可得()50,100和()80,40，代入得：501008040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩， ①y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意得：()()240220022808000w x x x x =--+=-+-，①-2＜0，开口向下，对称轴为702b x a=-=， ①5080x ≤≤，①当70x =时，w 有最大值，即为22702807080001800w =-⨯+⨯-=；答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．2．（1）55003y x =-+；（2）210． 【分析】（1）将()120,300A ，()240,100B 代入到y kx b =+，得到方程组300120100240k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得k 与b 的值，即可求出直线AB 的解析式；（2）将55003y x =-+代入12100w y =+中，得到新的二次函数解析式，再表示出总销售额，配方成顶点式，求出最值即可．解：（1）设直线AB 的函数关系式为y kx b =+，将()120,300A ，()240,100B 代入可得：300120100240k b k b=+⎧⎨=+⎩， 解得：53500k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ①直线AB 的函数关系式55003y x =-+． 故答案为：55003y x =-+． （2）将55003y x =-+代入12100w y =+中，可得：1550021003w x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 化简得：1760w x =-+， 设总销售额为z ，则1760z wx x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭ 21760z x x =-+ ()2142060x x =-- ()222114************x x =--++⨯ ()2121073560x =--+ ①1060a =-<， ①z 有最大值，当210x =时，z 取到最大值，最大值为735．故答案为：210．【点拨】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数的应用，能理解题意，并表示出其解析式是解题关键．3．（1）5550y x =-+；（2）70元；（3）80元．【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；（2）根据题意，按照等量关系“销售量⨯（售价-成本）4000=”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；（3）设每月所获利润为w ，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．解：（1）①依题意得()150100102y x =+-⨯⨯， ①y 与x 的函数关系式为5550y x =-+；（2）①依题意得()504000y x -=，即()()5550504000x x -+-=，解得：170x =，290x =，①7090<①当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w ，依题意得()()()250555050580027500w y x x x x x =-=-+-=-+-①50-<，此图象开口向下①当()8008025x =-=⨯-时， w 有最大值为：258080080275004500-⨯+⨯-=（元）， ①当销售单价为80元时利润最大，最大利润为4500元，故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．4．（1）3300y x =-+；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）5m =【分析】（1）①依题意设y=kx+b ，解方程组即可得到结论；（2）根据题意得(3300)()W x x a =-+-，再由表格数据求出20a =，得到2(3300)(20)3(60)4800W x x x =-+-=--+，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；（3）根据题意得3(100)(20)(55)W x x m x =----，由于对称轴是直线60602m x =+>，根据二次函数的性质即可得到结论．解：（1）设y kx b =+，由题意有 401807090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得3300k b =-⎧⎨=⎩， 所以y 关于x 的函数解析式为3300y x =-+；（2）由（1）(3300)()W x x a =-+-，又由表可得：3600(340300)(40)a =-⨯+-，20a ∴=，22(3300)(20)336060003(60)4800W x x x x x ∴=-+-=-+-=--+．所以售价60x =时，周销售利润W 最大，最大利润为4800；（3）由题意3(100)(20)(55)W x x m x =----， 其对称轴60602m x =+>，055x ∴<时上述函数单调递增， 所以只有55x =时周销售利润最大，40503(55100)(5520)m ∴=----．5m ∴=．【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．5．（1）3216(832)120(3240)x xyx-+≤≤⎧=⎨≤⎩＜；（2）最大利润为3840元【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；（2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0），则22150 32120k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：3216kb=-⎧⎨=⎩，①当8≤x≤32时，y＝−3x＋216，当32＜x≤40时，y＝120，①3216(832)120(3240)x xyx-+≤≤⎧=⎨≤⎩＜；（2）设利润为W，则：当8≤x≤32时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072，①开口向下，对称轴为直线x＝40，①当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，①x＝32时，W最大＝2880，当32＜x≤40时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960，①W随x的增大而增大，①x＝40时，W最大＝3840，①3840＞2880，①最大利润为3840元．【点拨】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．6．（1）y ＝-10x+900；（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值． 解：（1）根据题意，y ＝300﹣10（x ﹣60）=-10x+900，①y 与x 的函数表达式为：y ＝-10x+900；（2）设利润为w ，由（1）知：w ＝（x ﹣50）（-10x+900）=﹣10x 2＋1400x ﹣45000，①w ＝﹣10（x ﹣70）2＋4000，①每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．【点拨】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．7．（1）1y 204x =-+；（2）21165P x x =-+；（3）原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是3265万元 【分析】 （1）利用待定系数法求函数关系式；（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；（3）设销售总利润为W ，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b +＝，将（20，15），（30，12.5）代入，可得：20153012.5k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：1420k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ①y 与x 之间的函数关系式为1y 204x =-+； （2）设销售收入为P （万元），①()2411120%2016545P xy x x x x ⎛⎫=-=⨯-+=-+ ⎪⎝⎭， ①P 与x 之间的函数关系式为21165P x x =-+；（3）设销售总利润为W ， ①()216.216 6.2500.25W P x m x x x x =--=-+--+， 整理，可得：()22148132650245555W x x x =-+-=--+， ①﹣15＜0， ①当24x ＝时，W 有最大值为3265， ①原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是3265万元． 【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．8．（1）①14x -，21x -；①10台；（2）分配产销A 型车床9台、B 型车床5台；或产销A 型车床8台、B 型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元【分析】（1）①由题意可知，生产并销售B 型车床x 台时，生产A 型车床（14-x ）台，当4x >时，每台就要比17万元少（4x -）万元，所以每台获利17(4)x --，也就是（21x -）万元；①根据题意可得根据题意：(21)10(14)70x x x ---=然后解方程即可；（2）当0≤x ≤4时，W ＝10(14)x -＋17x ＝7140x +，当4＜x ≤14时，W ＝2( 5.5)170.25x --+，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案.解：（1）当4x >时，每台就要比17万元少（4x -）万元所以每台获利17(4)x --，也就是（21x -）万元①补全表格如下面：①此时，由A 型获得的利润是10（14x -）万元，由B 型可获得利润为(21)x x -万元，根据题意：(21)10(14)70x x x ---=， 2312100x x -+=，(21)(10)0x x --=，①0≤x ≤14， ①10x =，即应产销B 型车床10台；（2）当0≤x ≤4时，此时，W ＝10(14)x -＋17x ＝7140x +，该函数值随着x 的增大而增大，当x 取最大值4时，W 最大1＝168（万元）；当4＜x ≤14时，则W ＝10(14)x -＋(21)x x -＝211140x x -++＝2( 5.5)170.25x --+，当5x =或6x =时（均满足条件4＜x ≤14），W 达最大值W 最大2＝170（万元），①W 最大2＞ W 最大1，①应分配产销A 型车床9台、B 型车床5台；或产销A 型车床8台、B 型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.9．（1）y 与x 之间的函数解析式为y=-0.1x+68，200x 320≤≤；（2）当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元【分析】（1）设y 与x 之间的函数解析式为y=kx+b ，根据待定系数法即可得出答案；（2）设宾馆每天的利润为W 元，利用房间数乘每一间房间的利润即可得到W 关于x 的函数解析式，配方法再结合增减性即可求得最大值．。

函数与几何综合问题(共25题)(学生版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

函数与几何综合问题(共25题)(学生版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题32函数与几何综合问题(25题)一、填空题1(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为2(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，直线y=-13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=-43x+2上的一动点，动点E m，0，F m+3，0，连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是．3(2023·江苏无锡·统考中考真题)二次函数y=a(x-1)(x-5)a>1 2的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点M3，1的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a 的值为．二、解答题4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根(OB>OC)．请解答下列问题：(1)求点B 的坐标；(2)若OD :OC =2:1，直线y =-x +b 分别交x 轴、y 轴、AD 于点E ，F ，M ，且M 是AD 的中点，直线EF 交DC 延长线于点N ，求tan ∠MND 的值；(3)在(2)的条件下，点P 在y 轴上，在直线EF 上是否存在点Q ，使△NPQ 是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5(2023·湖南·统考中考真题)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上运动，满足AB 2=BC 2+AC 2，延长AC 至点D ，使得∠DBC =∠CAB ，点E 是弦AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交⊙O 于点M (点M 在劣弧AC上)．(1)BD 是⊙O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记△BDC ，△ABC ，△ADB 的面积分别为S 1，S 2，S ，若S 1⋅S =S 2 2，求tan D 2的值；(3)若⊙O 的半径为1，设FM =x ，FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．6(2023·湖南·统考中考真题)我们约定：若关于x 的二次函数y 1=a 1x 2+b 1x +c 1与y 2=a 2x 2+b 2x +c 2同时满足a 2-c 1+(b 2+b 1)2+c 2-a 1 =0，b 1-b 22023≠0，则称函数y 1与函数y 2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：(1)若关于x 的二次函数y 1=2x 2+kx +3与y 2=mx 2+x +n 互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；(2)对于任意非零实数r ，s ，点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，函数y 1与y 2互为“美美与共”函数．①求函数y 2的图像的对称轴；②函数y 2的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数y 1=ax 2+bx +c 与它的“美美与共”函数y 2的图像顶点分别为点A ，点B ，函数y 1的图像与x 轴交于不同两点C ，D ，函数y 2的图像与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD =EF 时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．7(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠A =60°，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ．(1)当∠QPB =45°时，求四边形BB C C 的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP =x ，四边形BB C C 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．8(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数y =-3x 2+23x 的图象与x 轴分别交于点O ,A ，顶点为B ．连接OB ,AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60°得到线段AC ，连接BC ．点D ,E 分别在线段OB ,BC 上，连接AD ,DE ,EA ,DE 与AB 交于点F ,∠DEA =60°．(1)求点A ,B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①∠EDA 的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE 的面积为．9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．10(2023·吉林·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =4cm ，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC -CD 向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA -AB 于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x (s )(0<x <4)，四边形PQMN 的面积为y (cm 2)(1)BP 的长为cm ，CM 的长为cm ．(用含x 的代数式表示)(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．11(2023·广东·统考中考真题)综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α0°<α<45° ，AB 交直线y =x 于点E ，BC 交y 轴于点F ．(1)当旋转角∠COF 为多少度时，OE =OF ；(直接写出结果，不要求写解答过程)(2)若点A (4,3)，求FC 的长；(3)如图3，对角线AC 交y 轴于点M ，交直线y =x 于点N ，连接FN ，将△OFN 与△OCF 的面积分别记为S 1与S 2，设S =S 1-S 2，AN =n ，求S 关于n 的函数表达式．12(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．13(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A (0,2),B (2,0)．点E 位于第二象限且在直线y =-2x 上，∠EOD =90°，OD =OE ，连接AB ，DE ，AE ，DB ．(1)直接判断△AOB 的形状：△AOB 是三角形；(2)求证：△AOE ≌△BOD ；(3)直线EA 交x 轴于点C (t ,0),t >2．将经过B ，C 两点的抛物线y 1=ax 2+bx -4向左平移2个单位，得到抛物线y 2．①若直线EA 与抛物线y 1有唯一交点，求t 的值；②若抛物线y 2的顶点P 在直线EA 上，求t 的值；③将抛物线y 2再向下平移，2(t -1)2个单位，得到抛物线y 3．若点D 在抛物线y 3上，求点D 的坐标．14(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一边OC 在x 轴正半轴上，顶点A 的坐标为2,23 ，点D 是边OC 上的动点，过点D 作DE ⊥OB 交边OA 于点E ，作DF ∥OB 交边BC 于点F ，连接EF ．设OD =x ,△DEF 的面积为S ．(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．15(2023·天津·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形ABCD 的顶点A (3,0),B (0,1),D (23,1)，矩形EFGH 的顶点E 0,12 ,F -3,12 ,H 0,32．(1)填空：如图①，点C 的坐标为，点G 的坐标为；(2)将矩形EFGH 沿水平方向向右平移，得到矩形E F G H ，点E ，F ，G ，H 的对应点分别为E ，F ，G ，H ．设EE =t ，矩形E F G H 与菱形ABCD 重叠部分的面积为S ．①如图②，当边E F 与AB 相交于点M 、边G H 与BC 相交于点N ，且矩形E F G H 与菱形ABCD 重叠部分为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当233≤t ≤1134时，求S 的取值范围(直接写出结果即可)．16(2023·浙江温州·统考中考真题)如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE ⊥CD ，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知OA =32，AC =1．如图2，连接AF ，P 为线段AF 上一点，过点P 作BC 的平行线分别交CE ，BE 于点M ，N ，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．设PH =x ，MN =y ．(1)求CE 的长和y 关于x 的函数表达式．(2)当PH <PN ，且长度分别等于PH ，PN ，a 的三条线段组成的三角形与△BCE 相似时，求a 的值．(3)延长PN 交半圆O 于点Q ，当NQ =154x -3时，求MN 的长．17(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．18(2023·江苏连云港·统考中考真题)【问题情境 建构函数】(1)如图1，在矩形ABCD 中，AB =4,M 是CD 的中点，AE ⊥BM ，垂足为E ．设BC =x ,AE =y ，试用含x 的代数式表示y ．【由数想形 新知初探】(2)在上述表达式中，y 与x 成函数关系，其图像如图2所示．若x 取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．【数形结合 深度探究】(3)在“x 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y 随x 的增大而增大；②函数值y 的取值范围是-42<y <42；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点A 、B 、C 、D ，使得四边形ABCD 是平行四边形．其中正确的是．(写出所有正确结论的序号)【抽象回归 拓展总结】(4)若将(1)中的“AB=4”改成“AB=2k”，此时y关于x的函数表达式是；一般地，当k≠0,x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质(直接写出3条即可)．19(2023·四川凉山·统考中考真题)阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=1 2，则tanβ=13．证明：设BE=k，∵tanα=12，∴AB=2k，易证△AEB≌△EFC AAS∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ=DFAD =k3k=13，若α+β=45°时，当tanα=12，则tanβ=13．同理：若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y=3x-9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出tan ∠BAM 、tan ∠NAE 的值；(3)求直线AE 的解析式．20(2023·山东泰安·统考中考真题)如图1，二次函数y =ax 2+bx +4的图象经过点A (-4,0),B (-1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 在二次函数对称轴上，当△BCP 面积为5时，求P 坐标；(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D ，使∠DAB +∠ACB =90°；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D 的坐标；如果不正确，请说明理由．21(2023·湖北恩施·统考中考真题)在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与y 轴交于点A ，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ．(1)如图，若A 0,3 ，抛物线的对称轴为x =3．求抛物线的解析式，并直接写出y ≥3时x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，若P 为y 轴上的点，C 为x 轴上方抛物线上的点，当△PBC 为等边三角形时，求点P ，C 的坐标；(3)若抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点D m ,2 ，E n ,2 ，F 1,-1 ，且m <n ，求正整数m ，n 的值．22(2023·辽宁营口·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx -1a ≠0 与x 轴交于点A 1,0 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D 3,0 ，过点B 作直线l ⊥x 轴，过点D 作DE ⊥CD ，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=57时．求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．23(2023·山东日照·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=-ax2+5ax+2a>0交y 轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．(1)求点C，D的坐标；(2)当a=13时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；(3)坐标平面内有两点E1a ,a+1,F5,a+1，以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为52时，求a的值．24(2023·江苏无锡·统考中考真题)已知二次函数y=22x2+bx+c的图像与y轴交于点A，且经过点B(4,2)和点C(-1,2)．(1)请直接写出b，c的值；(2)直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y=22x2+bx+c图像上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．25(2023·辽宁·统考中考真题)如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A和点B4，0，与y轴交于点C0，4，点E在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．11。

(中考试题)初中数学专题训练-函数

(中考试题)初中数学专题训练-函数

函数一．选择题（共20小题）1．（2014•射阳县校级模拟）若点P（a，a﹣b）在第四象限，则点Q（b，﹣a）在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．（2012•翁源县校级模拟）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥﹣1或x≠﹣3C．x≥﹣1 D．x≥﹣1且x≠﹣33．（2017春•姜堰区校级月考）如图，在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A 从完全置身水槽外，到匀速向下放入盛有水的水槽中，直至铁块完全浸入水面下的一定深度，则图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B ．C．D．4．（2012•山西模拟）一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是（）初中数学A．摩托车比汽车晚到1h B．A，B两地的路程为20kmC．摩托车的速度为45km/h D．汽车的速度为60km/h 5．（2011•大同校级模拟）有一个附有进出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的．设从某一时刻开始5分钟内只进水不出水，在接着的2分钟内只出水不进水，又在随后的15分钟内既进水又出水，刚好将该容器注满．已知容器中的水量y升与时间x分之间的函数关系如图所示．则在第7分钟时，容器内的水量为（）升．A．15B．16C．17D．18 6．（2016•阳泉模拟）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm）2．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（）A．AE=6cmB．sin∠EBC=0.8C．当0＜t≤10时，y=0.4t2D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．（2016春•新洲区期末）若一次函数y=（1﹣m）x|m|﹣1+3的函数值y随x的增大而增大，则m的取值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣1 9．（2014•泗县校级模拟）函数y=（m+1）x﹣（4m﹣3）的图象在第一、二、四象限，那么m的取值范围是（）A．B．C．m＜﹣1D．m＞﹣110．（2014•永嘉县校级模拟）已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较11．（2012春•翠屏区校级期中）直线y=kx+3与x轴的交点是（1，0），则k的值是（）A．3B．2C．﹣2D．﹣312．（2014•泗县校级模拟）如果是方程组的解，则一次函数y=mx+n的解析式为（）A．y=﹣x+2B．y=x﹣2C．y=﹣x﹣2D．y=x+2 13．（2014•白云区校级模拟）根据下表中，反比例函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（）x﹣21y3pA．3B．1C．﹣2D．﹣614．一次函数y=kx+b（b＞0）与反比例函数y=在同一直角坐标系下的大致图象为（）A．B．C．D．15．（2014•泗县校级模拟）若反比例函数y=（2m﹣1）的图象在第二，四象限，则m的值是（）A．﹣1或1B．小于的任意实数C．﹣1D．不能确定16．（2014•泗县校级模拟）如图，A为反比例函数图象上一点，AB⊥x轴于=3，则k的值为（）点B，若S△AOBA．3B．6C．D．无法确定17．（2014•鼓楼区校级模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①因为a＞0，所以函数y有最大值；②该函数的图象关于直线x=﹣1对称；③当x=﹣2时，函数y的值等于0；④当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1 18．（2014•磐石市校级模拟）已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么能正确反映函数y=ax+b图象的只可能是（）A．B．C．D．19．（2014•溧水县校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；（2）若y＜0，则x的取值范围为0＜x＜2；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．320．对二次函数进行配方，其结果及顶点坐标是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）21．根据点所在位置填表（图）点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限第二象限第三象限第四象限22．（2015秋•灯塔市期末）坐标平面内的点与是一一对应的．23．（2017秋•昌平区校级期中）从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t≥3（分）时，电话费y（元）与t（分）之间的函数关系式是．24．（2014•新泰市校级模拟）函数y=中，自变量x的取值范围是；函数中，自变量x的取值范围是．25．（2012秋•合肥期末）根据图中所示的程序计算变量y的值，若输入自变量x 的值为，则输出的结果是．26．（2016春•西和县校级月考）用描点法画函数图象的一般步骤是、、．27．（2014•无棣县校级模拟）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2．则y 与x 的关系式为，当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动时间是．28．（2015秋•深圳校级期中）函数的三种表示方式分别是．29．（2017•和平区校级模拟）当m=时，函数y=（m +3）x 2m +1+4x ﹣5（x≠0）是一次函数．30．（2014•泗县校级模拟）已知函数y=2x ﹣3，当x 时，y ≥0；当x时，y ＜5．31．一次函数y=kx +b 的图象与性质k 、b 的符号k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，b ＜0图象的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限性质y 随x 的增大而y 随x 的增大而y 随x 的增大而y 随x 的增大而32．（2014•射阳县校级模拟）如图，点A （﹣3，4）在一次函数y=﹣3x ﹣5的图象上，图象与y 轴的交点为B ，那么△AOB 的面积为．33．（2014秋•路北区期末）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y=的图象上，则图中阴影部分的面积等于．34．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为；点E的坐标为．35．（2008春•通城县期中）反比例函数y=的图象经过点（﹣，5）和（a，﹣3），则a=．36．（2014•泗县校级模拟）已知y﹣2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x 的函数关系式为．37．二次函数y=2x2﹣4x+5的对称轴方程是x=；当x=时，y有最小值是．38．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，1）的下方．下列结论：①a﹣b+c=0，②0＜b＜﹣a，③a+c＞0，④a﹣b+1＞0，其中正确结论的个数是个．39．（2014•射阳县校级模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，且经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1y2．（填“＞”，“＜”或“=”）40．（2014•大石桥市校级模拟）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为．三．解答题（共10小题）41．已知点M（3a+8，﹣1﹣a），分别根据下列条件求出点M的坐标．（1）点M在x轴上；（2）点M在一、三象限角平分线上；（3）点M在第四象限，并且a为最小自然数；（4）N点坐标为（﹣3，6），并且直线MN∥y轴．42．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，4），点B（﹣1，﹣2），点C（1，2），O是坐标原点．（1）求△AOB的面积；（2）求△ABC的面积．43．求下列函数自变量x的取值范围．（1）y=﹣x2﹣5x+6；（2）y=；（3）y=；（4）y=．44．已知一次函数y=（m+2）x+2﹣n，求：（1）y随x的增大而增大，m的取值范围；（2）函数的图象与y轴的交点在x轴的下方时，m，n的取值范围；（3）m，n为何值时图象与坐标轴交于原点；（4）函数的图象经过第一、二、三象限，m，n的取值范围．45．（2016•阳泉模拟）已知方程x2+mx+n=0的两根是直角三角形的两个锐角的余弦．（1）求证：m2=2n+1；（2）若P（m，n）是一次函数y=x﹣图象上的点，求点P的坐标．46．（2014•浙江模拟）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B （0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S=2，求点C的坐标．△OBC47．（2016•阳泉模拟）如图所示，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（6，n）在边AB上，反比例函数y=（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D，E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的表达式和n的值．48．如图所示，直线y=2x+3与双曲线y=相交于A，B两点，与轴交于点C，且△OCA的面积为1.5．（1）求双曲线y=的解析式；（2）若点D，B关于原点对称，一动点P沿着x轴运动，则|PA﹣PD|是否有最大值？如果有，请确定点P的位置；如果没有，请说明理由．49．（2014•溧水县校级模拟）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的x，y满足下表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣3m…（1）求m的值；（2）根据上表求y＞0时的x的取值范围；（3）若A（p，y1），B（p+1，y2）两点都在该函数图象上，且p＜1，试比较y1与y2大小．50．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），抛物线过y=ax2+bx+c（a≠0）点A．（1）求c的值；（2）若a=﹣1，且抛物线与矩形有且只有三个交点，A，D，E，求△ADE的面积S的最大值．第11页（共11页）。

人教版中考数学《函数》专项练习题(含答案)

人教版中考数学《函数》专项练习题(含答案)

人教版中考数学《函数》专项练习题（含答案）一、单选题1．若方程组y mx n y kx b =+⎧⎨=+⎩的解为x 2y 1=⎧⎨=⎩，则一次函数y mx n =+图象和y kx b =+图象的交点坐标是（ ）A ．()21，B ．()12，C ．()21-，D ．()21--，2．将抛物线y ＝x 2－2x ＋3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝(x ＋1)2＋5B ．y ＝(x －4)2＋4C ．y ＝(x ＋2)2＋4D ．y ＝(x －3)2＋53．如图，点A 是反比例函数()20=>y x x 的图象上任意-点，//AB x 轴交反比例函数3y x =-的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中C ，D 在x 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 4．函数()211my m x +=+是二次函数，则m 的值是（ ） A ．±1B ．1C ．-1D ．以上都不对5．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．5a +b +2c ＞0C ．2a +b ＜0D ．4ac +8a ＞b 26．下列各曲线中，反映了变量y 是x 的函数的是( )A ．B ．C ．D ．7．抛物线23y x =先向左平移一个单位，再向上平移一个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）A ．23(1)1y x =++B ．23(1)1y x =+-C ．23(1)1y x =-+D ．23(1)1y x =-- 8．已知反比例函数y=3x-，下列结论不正确的是（ ） A ．图象必经过点（﹣1，3） B ．y 随x 的增大而增大C ．图象在第二、四象限内D ．若x ＞1，则﹣3≤y＜0 9．对于二次函数()22110()y ax a x a a =--+-≠，有下列结论：①其图象与x 轴一定相交；②若0a <，函数在1x >时，y 随x 的增大而减小；③无论a 取何非零实数，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a 取何非零实数，函数图象都经过同一个点，其中正确结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．若对于任意非零实数a ，抛物线22y ax ax a =+-总不经过点200316P x x --（，），则符合条件的点P （ ）A ．有无穷多个B ．有且只有1个C ．有且只有2个D ．至少有3个11．（2006•临沂）如图，点A 是反比例函数图象的一点，自点A 向y 轴作垂线，垂足为T ，已知S △AOT =4，则此函数的表达式为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知二次函数y 1=mx 2+4mx ﹣5m （m ≠0），一次函数y 2=2x ﹣2，有下列结论： ①当x ＞﹣2时，y 随x 的增大而减小；②二次函数y 1=mx 2+4mx ﹣5m （m ≠0）的图象与x 轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0）； ③当m =1时，y 1≤y 2；④在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y 2≤y 1均成立，则m 13=． 其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．如图，平行四边形ABCD 中，AB =2cm ，BC =2cm ，∠ABC =45°，点P 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿折线BC →CD →DA 运动，到达点A 为止，设运动时间为t (s )，△ABP 的面积为S (cm 2)，则S 与t 的函数表达式为_______________.14．已知点()1,1A a a -+在x 轴上，则a 等于________.15．抛物线y=2(x －4)2+1的顶点坐标为_______________．16．根据函数y=的图象判断，当x<-2时，y 的取值范围是___，当y>-1时，x 的取值范围是_____17．若一次函数y ax b =+（0a ≠）的图象经过()3,2和()3,1--两点，则方程1ax b +=-的解为______.18．点P 既在反比例函数y ＝－3x(x ＞0)的图象上，又在一次函数y ＝－x －2的图象上，则P 点的坐标是_______________.19．若点A(1，－2)、B(－2，a)在同一个反比例函数的图象上，则a 的值为_______．20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 坐标是（a ，b ），经过第1次变换后所得的1A 坐标是(),-a b ，则经过第2020次变换后所得的点2020A 坐标是_____．三、解答题21．根据所学一次函数的经历和经验，下面我们一起来探究函数：|21|1y x =+-的图像和性质．（1）请写出函数解析式： ①当12x <-时，____________； ②当21x ≥-时，___________； （2）请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；（3）若函数2(0)y kx k =+≠与|21|1y x =+-的图像有且只有一个交点，请直接写出k 的取值范围是________．22．科学研究发现，空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？23．（2018·河师大附中模拟）某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元，买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元.（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？（2）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%，若购买以上两种牲畜共50头，并使这50头的成活率不低于97%，且要使购买的总费用最低，应如何购买？24．在矩形ABCD 中，AB=2cm ，BC=3cm ，点P 沿B→A→D 运动，运动到点D 时停止运动，点P 运动的同时，另一点Q 从B→C 运动，速度是点P 的一半，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．设点P 运动的路程为xcm ，其中设12,BDP DCQ y S y S ∆∆==,可可根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是可可的探究过程，请补充完整．（1）如图是画出的函数1y 与x 的函数图象，观察图象．当x=1时，1y =_____；并写出函数的一条性质：________________________________________．（2）请帮助可可写出2y 与x 的函数关系式（不用写出取值范围）__________________．（3）请按照列表、描点、连线的步骤在同一直角坐标系中，画出函数2y 的图象．（4）结合画出函数图象，解决问题：当BDP DCQ S S ∆∆=时，点P 运动的路程x=_______．25．已知直线l1：y＝kx+b经过点A（12，2）和点B（2，5）．（1）求直线l1的表达式；（2）求直线l1与坐标轴的交点坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣4）2＝0（1）求a，b的值；（2）在y轴上是否存在一点M，使△COM的面积＝12△ABC的面积，求出点M的坐标．27．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？28．四个容量相等的容器形状如图1所示，用同一流量的水管分别向这四个容器注水，所需时间都相同，如图2所示的是容器水位(h)与时间(t)的关系的图象．请把适当的图象序号与相应容器形状的字母代号用线段相连接．29．在平面直角坐标系xOy中，函数ayx=（x＞0）的图象与直线l1：y＝x＋b交于点A（3，a－2）．（1）求a，b的值；（2）直线l2：y＝－x＋m与x轴交于点B，与直线l1交于点C，若S△ABC≥6，求m的取值范围参考答案1．A2．D3．A4．B5．B6．D7．A8．B9．C10．C11．D12．C13．S=()((1022{12221(42)2242 2t ttt t≤≤<≤++<≤+－14．-115．（4，1）16．0＜y＜2 x＞4 17．3x=-18．P(1，－3)19．120．（a ，b ）．21．（1）①22y x =--，② 2y x =；（2）画图见解析；（3）2k ≥或2k ≤-．22．（1）0.032299y x =-+；（2）260.6克/立方米23．（1）甲种牲畜的单价为1100元，乙种牲畜的单价为2400元；（2）购买两种牛各25头时，费用最低.24．（1）32，当02x ≤≤时，1y 随x 的增大而增大；（2）2132y x =-；（3）见详解；（4）1.5cm 或4cm ．25．（1）y ＝2x+1；（2）（0，1）和（﹣12，0） 26．（1）a ＝﹣2，b ＝4；（2）存在，M （0，6）或（0，﹣6）27．（1）z ＝﹣2x 2+136x ﹣1800；（2）25元或43元；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；（3）648万元．29．（1）a=3,b=-2;(2) m ≥8或m ≤－2。

中考数学-函数与几何综合问题(共25题)(解析版)

中考数学-函数与几何综合问题(共25题)(解析版)

专题32函数与几何综合问题(25题)一、填空题1(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为【答案】M-8,6或M-8,2 3【分析】如图，由△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，MN= AN，可得N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，符合题意，可得M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，证明△MNK≌△NAJ，设N x,-2x-6，可得MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB =8，则-2x-12-x=8，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴N在以AM为直径的圆H上，MN=AN，∴N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，∵B-8,6，则H-4,3，∴MH=AH=NH=4，符合题意，∴M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，∴∠NAJ+∠ANJ=90°，∵AN=MN，∠ANM=90°，∴∠MNK+∠ANJ=90°，∴∠MNK=∠NAJ，∴△MNK≌△NAJ，设N x,-2x-6，∴MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB=8，∴-2x-12-x=8，解得：x =-203，则-2x -6=223，∴CM =CK -MK =223-203=23，∴M -8,23 ；综上：M -8,6 或M -8,23 ．故答案为：M -8,6 或M -8,23．【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．2(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点D 是线段AB 上一动点，点H 是直线y =-43x +2上的一动点，动点E m ，0 ，F m +3，0 ，连接BE ，DF ，HD ．当BE +DF 取最小值时，3BH +5DH 的最小值是．【答案】392【分析】作出点C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，此时BE +DF 的最小值为CD 的长，利用解直角三角形求得F 113，0 ，利用待定系数法求得直线CD 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，此时3BH +5DH 的最小值是5DG 的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，∴B 0，2 ，A 6，0 ，作点B 关于x 轴的对称点B 0，-2 ，把点B 向右平移3个单位得到C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，过点B 作B E ∥CD 交x 轴于点E ，则四边形EFCB 是平行四边形，此时，BE =B E =CF ，∴BE +DF =CF +DF =CD 有最小值，作CP ⊥x 轴于点P ，则CP =2，OP =3，∵∠CFP =∠AFD ，∴∠FCP =∠FAD ，∴tan ∠FCP =tan ∠FAD ，∴PF PC =OB OA ，即PF 2=26，∴PF =23，则F 113，0 ，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则3k +b =-2113k +b =0，解得k =3b =-11 ，∴直线CD 的解析式为y =3x -11，联立，y =3x -11y =-13x +2 ，解得x =3910y =710，即D 3910，710；过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，直线y =-43x +2与x 轴的交点为Q 32，0 ，则BQ =OQ 2+OB 2=52，∴sin ∠OBQ =OQ BQ =3252=35，∴HG =BH sin ∠GBH =35BH ，∴3BH +5DH =535BH +DH =5HG +DH =5DG ，即3BH +5DH 的最小值是5DG =5×3910=392，故答案为：392．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023·江苏无锡·统考中考真题)二次函数y =a (x -1)(x -5)a >12的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过点M 3，1 的直线将△ABC 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a 的值为．【答案】910或2+25或2+12【分析】先求得A 1,0 ，B 5,0 ，C 0,5a ，直线BM 解析式为y =-12x +52，直线AM 的解析式为y =12x -12，1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线AM 过BC 中点，②如图2，直线BM 过AC 中点，直线BM 解析式为y =-12x +52，AC 中点坐标为12,52a ，待入直线求得a =910；③如图3，直线CM 过AB 中点，AB 中点坐标为3,0 ，直线MB 与y 轴平行，必不成立；2)当分成三角形和梯形时，过点M 的直线必与△ABC 一边平行，所以必有“A ”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:2．④如图4，直线EM ∥AB ，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线ME ∥AC ，⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得AE AB =12，进而根据tan ∠MEN =tan ∠CBO ，即可求解．【详解】解：由y =a (x -1)(x -5)，令x =0，解得：y =5a ，令y =0，解得：x 1=1,x 2=5，∴A 1,0 ，B 5,0 ，C 0,5a ，设直线BM 解析式为y =kx +b ，∴5k +b =03k +b =1解得：k =-12b =52 ∴直线BM 解析式为y =-12x +52，当x =0时，y =52，则直线BM 与y 轴交于0,52，∵a >12，∴5a >52，∴点M 必在△ABC 内部．1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线设直线AM 的解析式为y =mx +n∴k +b =03k +b =1解得：m =12n =-12 则直线AM 的解析式为y =12x -12①如图1，直线AM 过BC 中点，，BC 中点坐标为52, 52a ，代入直线求得a =310<12，不成立； ②如图2，直线BM 过AC 中点，直线BM 解析式为y =-12x +52，AC 中点坐标为12,52a ，待入直线求得a =910；③如图3，直线CM 过AB 中点，AB 中点坐标为3,0 ，∴直线MB 与y 轴平行，必不成立；2)、当分成三角形和梯形时，过点M 的直线必与△ABC 一边平行，所以必有“A ”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:2．④如图4，直线EM ∥AB ，∴△CEN ∽△COA∴CE CO =CN CA =12，∴5a -15a =12，解得a =2+25；⑤如图5，直线ME∥AC，MN∥CO，则△EMN∽△ACO∴BE AB =12，又AB=4，∴BE=22，∵BN=5-3=2<22，∴不成立；⑥如图6，直线ME∥BC，同理可得AEAB=12，∴AE=22，NE=22-2，tan∠MEN=tan∠CBO，∴1 22-2=5a5，解得a=2+12；综上所述，a=910或2+25或2+12．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．二、解答题4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根(OB>OC)．请解答下列问题：(1)求点B的坐标；(2)若OD:OC=2:1，直线y=-x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；(3)在(2)的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)B-4,0(2)tan∠MND=13(3)存在，等腰三角形的个数是8个，Q16-522,52-42，Q26+522,-52+42，Q34,-3，Q4 -4,3【分析】(1)解方程得到OB，OC的长，从而得到点B的坐标；(2)由OD:OC=2:1，OC=2，得OD=4．由AD=BC=6，M是AD中点，得到点M的坐标，代入直线y =-x+b中，求得b的值，从而得到直线的解析式，进而求得点E，点F的坐标，由坐标特点可得∠FEO= 45°．过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．从而△DOC∽△NKC，DO:OC=NK:CK=2: 1，进而得到NK=2CK，易证∠KEN=∠KNE=45°，可得EK=NK=2CK，因此EC=CK，由EC=OC -OE=2-1=1可得CK=1，NK=2，EK=2，从而通过解直角三角形在Rt△ENK中，得到EN=EK cos∠KEN =22，在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cos∠CEH=22，因此求得NH=EN-EH=322，最终可得结果tan∠MND=CHNH=13；(3)分PN=PQ，PN=NQ，PQ=NQ三大类求解，共有8种情况．【详解】(1)解方程x2-6x+8=0，得x1=4，x2=2．∵OB>OC，∴OB=4，OC=2．∴B-4,0；(2)∵OD:OC=2:1，OC=2∴OD=4．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6．∵M是AD中点，∴MD=3．∴M-3,4．将M-3,4代入y=-x+b，得3+b=4．∴b=1．∴E1,0，F0,1．∴∠FEO=45°．过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．∵△DOC∽△NKC，DO:OC=NK:CK=2:1．∴NK=2CK∵∠KEN=∠FEO=45°∴∠KNE=90°-∠KEN=45°∴∠KEN=∠KNE∴EK=NK=2CK∴EC=CK∵EC=OC-OE=2-1=1∴CK=1，NK=2，EK=2∴在Rt△ENK中，EN=EKcos∠KEN =2cos45°=22在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cos∠CEH=1⋅cos45°=22∴NH =EN -EH =22-22=322∴tan ∠MND =CH NH =22322=13(3)解：由(2)知：直线EF 解析式为y =-x +1，N 3,-2 ，设P 0,p ，Q q ,-q +1 ，①当PN =QN =5时，3-0 2+-2-p 2=52，3-q 2+-2+q -1 2=52，解得p =-6或p =2，q =6+522或q =6-522，∴Q 16-522,52-42 ，Q 26+522,-52+42 ，P 10,-6 ，P 20,2 ，如图，△P 1Q 1N 、△P 1Q 2N 、△P 2Q 1N 、△P 2Q 2N 都是以5为腰的等腰三角形，；②当PQ =QN =5时，由①知：Q 16-522,52-42 ，Q 26+522,-52+42 ，∵6+522>5，∴PQ 2不可能等于5，如图，△P 3Q 1N ，△P 4Q 1N 都是以5为腰的等腰三角形，；③当PN=PQ=5时，由①知：P10,-6，P20,2，当P10,-6时，0-q2+-6+q-12=5，解得q1=3(舍去)，q2=4，∴Q34,-3，如图，当P20,2时，0-q2+2+q-12=5，解得q1=3(舍去)，q2=-4，∴Q4-4,3，如图，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q坐标为Q16-522,52-42，Q26+522,-52+42，Q34,-3，Q4-4,3【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．5(2023·湖南·统考中考真题)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上运动，满足AB 2=BC 2+AC 2，延长AC 至点D ，使得∠DBC =∠CAB ，点E 是弦AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交⊙O 于点M (点M 在劣弧AC上)．(1)BD 是⊙O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记△BDC ，△ABC ，△ADB 的面积分别为S 1，S 2，S ，若S 1⋅S =S 2 2，求tan D 2的值；(3)若⊙O 的半径为1，设FM =x ，FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】(1)BD 是⊙O 的切线，证明见解析(2)1+52(3)y =x 0<x ≤1【分析】(1)依据题意，由勾股定理，首先求出∠ACB =90°，从而∠CAB +∠ABC =90°，然后根据∠DBC =∠CAB ，可以得解；(2)由题意，据S 1⋅S =S 2 2得CD CD +AC =AC 2，再由tan ∠D =BC CD =tan ∠ABC =AC BC ，进而进行变形利用方程的思想可以得解；(3)依据题意，连接OM ，分别在Rt △OFM 、Rt △AFE 、Rt △BFN 中，找出边之间的关系，进而由FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，可以得解．【详解】(1)解：BD 是⊙O 的切线．证明：如图，在△ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，∴∠ACB =90°．又点A ，B ，C 在⊙O 上，∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠ABC =90°．又∠DBC =∠CAB ，∴∠DBC +∠ABC =90°．∴∠ABD =90°．∴BD 是⊙O 的切线．(2)由题意得，S 1=12BC ⋅CD ，S 2=12BC ⋅AC ，S =12AD ⋅BC ．∵S 1⋅S =S 2 2，∴12BC ⋅CD ⋅12AD ⋅BC =12BC ⋅AC 2．∴CD •AD =AC 2．∴CD CD +AC =AC 2．又∵∠D +∠DBC =90°，∠ABC +∠A =90°，∠DBC =∠A ，∴∠D =∠ABC ．∴tan ∠D =BC CD =tan ∠ABC =AC BC．∴CD =BC 2AC．又CD CD +AC =AC 2，∴BC 4AC2+BC 2=AC 2．∴BC 4+AC 2⋅BC 2=AC 4．∴1+AC BC 2=AC BC4．由题意，设tan D 2=m ，∴AC BC2=m ．∴1+m =m 2．∴m =1±52．∵m >0，∴m =1+52．∴tan D 2=1+52．(3)设∠A =α，∵∠A +∠ABC =∠ABC +∠DBC =∠ABC +∠N =90°，∴∠A =∠DBC =∠N =α．如图，连接OM ．∴在Rt △OFM 中，OF =OM 2-FM 2=1-x 2．∴BF =BO +OF =1+1-x 2，AF =OA -OF =1-1-x 2．∴在Rt △AFE 中，EF =AF ⋅tan α=1-1-x 2 ⋅tan α，AE =AF cos α=1-1-x 2cos α．在Rt △ABC 中，BC =AB ⋅sin α=2sin α．(∵r =1，∴AB =2)AC =AB ⋅cos α=2cos α．在Rt △BFN 中，BN =BF sin α=1+1-x 2sin α，FN =BF tan α=1+1-x 2tan α．∴y =FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=x 2⋅12+21-x 2+12-21-x 2=x 2⋅2-21-x 2+2+21-x 24-41-x 2 =x 2⋅1x 2=x 2⋅1x=x ．即y =x ．∵FM ⊥AB ，∴FM 最大值为F 与O 重合时，即为1．∴0<x ≤1．综上，y =x 0<x ≤1 ．【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用．6(2023·湖南·统考中考真题)我们约定：若关于x 的二次函数y 1=a 1x 2+b 1x +c 1与y 2=a 2x 2+b 2x +c 2同时满足a 2-c 1+(b 2+b 1)2+c 2-a 1 =0，b 1-b 22023≠0，则称函数y 1与函数y 2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：(1)若关于x 的二次函数y 1=2x 2+kx +3与y 2=mx 2+x +n 互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；(2)对于任意非零实数r ，s ，点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，函数y 1与y 2互为“美美与共”函数．①求函数y 2的图像的对称轴；②函数y 2的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数y 1=ax 2+bx +c 与它的“美美与共”函数y 2的图像顶点分别为点A ，点B ，函数y 1的图像与x 轴交于不同两点C ，D ，函数y 2的图像与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD =EF 时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．【答案】(1)k 的值为-1，m 的值为3，n 的值为2(2)①函数y 2的图像的对称轴为x =-13；②函数y 2的图像过两个定点0，1 ，-23,1 ，理由见解析(3)能构成正方形，此时S >2【分析】(1)根据题意得到a 2=c 2，a 1=c 2，b 1=-b 2≠0即可解答；(2)①求出y 1的对称轴，得到s =-3r ，表示出y 2的解析式即可求解；②y 2=-3rx 2-2rx +1=-3x 2+2x r +1，令3x 2+2x =0求解即可；(3)由题意可知y 1=ax 2+bx +c ，y 2=cx 2-bx +a 得到A 、B 的坐标，表示出CD ，EF ，根据CD =EF 且b 2-4ac >0，得到a =c ，分a =-c 和a =c 两种情况求解即可．【详解】(1)解：由题意可知：a 2=c 2，a 1=c 2，b 1=-b 2≠0，∴m =3，n =2，k =-1．答：k 的值为-1，m 的值为3，n 的值为2．(2)解：①∵点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，∴对称轴为x =r +s 2=-2r 2，∴s =-3r ，∴y 2=sx 2-2rx +1，∴对称轴为x =--2r 2s =r s =-13．答：函数y 2的图像的对称轴为x =-13．②y 2=-3rx 2-2rx +1=-3x 2+2x r +1，令3x 2+2x =0，解得x 1=0,x 2=-23，∴过定点0，1，-2 3 ,1．答：函数y2的图像过定点0，1，-2 3 ,1．(3)解：由题意可知y1=ax2+bx+c，y2=cx2-bx+a，∴A-b2a ,4ac-b24a,B b2c,4ac-b24c，∴CD=b2-4aca ，EF=b2-4acc，∵CD=EF且b2-4ac>0，∴a =c ；①若a=-c，则y1=ax2+bx-a,y2=-ax2-bx+a，要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，∴CD=2y A ，∴b2+4a2|a|=2⋅-4a2-b24a，∴2b2+4a2=b2+4a2，∴b2+4a2=4，∴S正=12CD2=12⋅b2-4aca2=12⋅b2+4a2a2=2a2，∵b2=4-4a2>0，∴0<a2<1，∴S正>2；②若a=c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S>2．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．7(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB C Q．(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB C C的面积；(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB C C的面积为S，求S关于x的函数表达式．【答案】(1)43+8(2)S=323xx2+12+43【分析】(1)连接BD、BQ，根据菱形的性质以及已知条件可得△BDC为等边三角形，根据∠QPB=45°，可得△PBQ为等腰直角三角形，则PB=23，PQ=26，根据翻折的性质，可得∠BPB =90°，PB=PB ，则BB =26，PE=6；同理CQ=2，CC =22，QF=2；进而根据S四边形BB C C=2S梯形PBCQ-S△PBB+S △CQC，即可求解；(2)等积法求得BE =23x x 2+12，则QE =12x 2+12，根据三角形的面积公式可得S △QEB =123x x 2+12，证明△BEQ ∼△QFC ，根据相似三角形的性质，得出S △QFC =43x x 2+12，根据S =2S △QEB +S △BQC +S △QFC 即可求解．【详解】(1)如图，连接BD 、BQ ，∵四边形ABCD 为菱形，∴CB =CD =4，∠A =∠C =60°，∴△BDC 为等边三角形．∵Q 为CD 中点，∴CQ =2，BQ ⊥CD ，∴BQ =23，QB ⊥PB ．∵∠QPB =45°，∴△PBQ 为等腰直角三角形，∴PB =23，PQ =26，∵翻折，∴∠BPB =90°，PB =PB ，∴BB =26，PE =6；.同理CQ =2，∴CC =22，QF =2，∴S 四边形BB C C =2S 梯形PBCQ -S △PBB +S △CQC =2×12×2+23 ×23-12×23 2+12×22=43+8；(2)如图2，连接BQ 、B Q ，延长PQ 交CC 于点F ．∵PB =x ，BQ =23，∠PBQ =90°，∴PQ =x 2+12．∵S △PBQ =12PQ ×BE =12PB ×BQ ∴BE =BQ ×PB PQ =23x x 2+12，∴QE =12x 2+12，∴S △QEB =12×23x x 2+12×12x 2+12=123x x 2+12．∵∠BEQ =∠BQC =∠QFC =90°，则∠EQB =90°-∠CQF =∠FCQ ，∴△BEQ ∼△QFC ，∴S △QFC S △BEQ =CQ QB 2=223 2=13，∴S △QFC =43x x 2+12．∵S △BQC =12×2×23=23，∴S =2S △QEB +S △BQC +S △QFC =2123x x 2+12+23+43x x 2+12=323x x 2+12+43．【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．8(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数y=-3x2+23x的图象与x 轴分别交于点O,A，顶点为B．连接OB,AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点F,∠DEA=60°．(1)求点A,B的坐标；(2)随着点E在线段BC上运动．①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE的面积为．【答案】(1)A2，0，B1，3；(2)①∠EDA的大小不变，理由见解析；②线段BF的长度存在最大值为12；(3)239【分析】(1)y=0得-3x2+23x=0，解方程即可求得A的坐标，把y=-3x2+23x化为顶点式即可求得点B的坐标；(2)①在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，证明△AED是等边三角形即可得出结论；②由BM= AB-AF=2-AF，得当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，进而解直角三角形即可求解；(3)设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，证四边形OACB是菱形，得BC∥OA，进而证明△MBE≌△MHD得DH=BE，再证△BME∽△NAM，得ANBM=MNBE=AMME即1BM=MNBE=3，结合三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)解：∵y=-3x2+23x=-3x-12+3，∴顶点为B1，3，令y=0，-3x2+23x=0，解得x=0或x=2，∴A2，0；(2)解：①∠EDA的大小不变，理由如下：在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，∵y=-3x-12+3，∴抛物线对称轴为x=1，即ON=1，∵将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，∴∠BAC=60°，AB=AC，∴△BAC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠C=60°，∵A2，0，B1，3，O0，0，ON=1，∴OA=2，OB=12+32=2，AB=2-12+32=2，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AC=BC=2，∴∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，∵∠MBE=60°，BM=BE，∴△BME是等边三角形，∴∠BME=60°=∠ABE，ME=BE=BM，∴∠AME=180°-∠BME=120°，BD∥EM，∵∠DBE=∠ABO+∠ABC=120°，∴∠DBE=∠AME，∵BD∥EM，∴∠FEM+∠BED=180°-120°=60°=∠AEF=∠MEA+∠FEM，∴∠BED=∠MEA，∴△BED≌△MEA，∴DE=EA，又∠AED=60°，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE=60°，即∠ADE的大小不变；②，∵BF=AB-AF=2-AF，∴当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，∵△DAE是等边三角形，∴∠DAF=12∠DAE=30,∴∠OAD=60°-∠DAF=30°，∴AD⊥OB，∴AD=OA×cos∠OAD=2×cos30°=3，∴AF=AD×cos∠DAF=2×cos30°=32，∴BF=AB-AF=2-32=12，即线段BF的长度存在最大值为12；(3)解：设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，∵OA=OB=AC=BC=2，∴四边形OACB是菱形，∴BC∥OA，∵DH⊥BN，AN⊥BN，∴DH∥BC∥OA，∴∠MBE=∠MHD，∠MEB=∠MDH，∵DE的中点为点M，∴MD=ME，∴△MBE≌△MHD，∴DH =BE ，∵∠ANM =90°，∴∠MBE =180°-90°=90°=∠ANM ，∠NMA +∠NAM =90°，∵DE 的中点为点M ，△DAE 是等边三角形，∴AM ⊥DE ，∴∠AME =90°，∴∠BME +∠NMA =180°，∴∠BME =∠NAM ，∴△BME ∽△NAM ，∴AN BM =MN BE =AM ME 即1BM =MN BE=3，∴BM =33， ∴MN =BN -BM =233，∴DH =BE =MN 3=23，∴S △BDE =S △BDM +S △BEM =12×33×23+12×33×23=239，故答案为239．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．【答案】(1)C (3,1)，D (0,2)，E (6,0)(2)①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或(7,37-6)【分析】(1)根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；(2)①设F (m ,0),然后利用勾股定理求解，m =2，过点C 作CG ⊥x 轴，垂足为G ．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出tan ∠PFK =13，设点P 的坐标为t ,-t 2+3t +1 ，根据题意得13<t <3．分两种情况分析：(i )当点P 在直线KF 的左侧抛物线上时，tan ∠P 1FK =13,13<t <2．(ii )当点P 在直线KF 的右侧抛物线上时，tan ∠P 2FK =13,2<t <3．求解即可．【详解】(1)解：∵直线y =-13x +2交y 轴于点D ，交x 轴于点E ，当x =0时，y =2,∴D 0,2 ，当y =0时，x =6,∴E 6,0 ．∵直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点，∴-x 2+3x +1=-13x +2，∴3x 2-10x +3=0，解得x 1=13,x 2=3．∵点B 在点C 的左侧，∴点C 的横坐标为3，当x =3时，y =1．∴C (3,1)；(2)如图，①抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，当x =0时，y =1,．∴A (0,1),∴OA =1,在Rt △AOF 中，∠AOF =90°，由勾股定理得AF 2=OA 2+OF 2，设F (m ,0),∴OF =m ,∴AF 2=1+m 2，∵E (6,0),．∴OE =6,∴EF =OE -OF =6-m ，∵AF 2+EF 2=21,∴1+m 2+(6-m )2=21,∴m 1=2,m 2=4，∵OF <EF ,∴m =2,∴OF =2，∴F (2,0)．∵D (0,2),∴OD =2，∴OD =OF ．∴△DOF 是等腰直角三角形，∴∠OFD=45°．过点C作CG⊥x轴，垂足为G．∵C(3,1),∴CG=1,OG=3，∵GF=OG-OF=1,∴CG=GF,∴△CGF是等腰直角三角形，∴∠GFC=45°,∴∠DFC=90°,∴△DFC是直角三角形．②∵FK平分∠DFC,∠DFC=90°,∴∠DFK=∠CFK=45°∴∠OFK=∠OFD+∠DFK=90°,∴FK∥y轴．∵3tan∠PFK=1，∴tan∠PFK=13．设点P的坐标为t,-t2+3t+1，根据题意得13<t<3．(i)当点P在直线KF的左侧抛物线上时，tan∠P1FK=13,13<t<2．过点P1作P1H⊥x轴，垂足为H．∴P1H∥KF,∠HP1F=∠P1FK，∴tan∠HP1F=13．∵HF=OF-OH,∴HF=2-t，在Rt△P1HF中，∵tan∠HP1F=HFP1H =13,∴P1H=3HF，∵P1H=-t2+3t+1，∴-t2+3t+1=3(2-t),∴t2-6t+5=0,∴t1=1,t2=5(舍去)．当t=1时，-t2+3t+1=3,∴P1(1,3)(ii)当点P在直线KF的右侧抛物线上时，tan∠P2FK=13,2<t<3．过点P2作P2M⊥x轴，垂足为M．∴P2M∥KF,∴∠MP2F=∠P2FK，∴tan∠MP2F=13,∵MF=OM-OF,∴MF=t-2在Rt △P 2MF 中，∵tan ∠MP 2F =MF P 2M=13,∴P 2M =3MF ，∵P 2M =-t 2+3t +1，∴-t 2+3t +1=3(t -2),∴t 2=7,∴t 3=7,t 4=-7(舍去)．当t =7时，-t 2+3t +1=37-6,∴P 2(7,37-6)∴点P 的坐标为(1,3)或(7,37-6)．【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．10(2023·吉林·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =4cm ，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC -CD 向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA -AB 于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x (s )(0<x <4)，四边形PQMN 的面积为y (cm 2)(1)BP 的长为cm ，CM 的长为cm ．(用含x 的代数式表示)(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．【答案】(1)4-x ；x(2)y =4x 2-12x +160<x ≤2 -4x +162<x ≤4(3)x =43或x =83【分析】(1)根据正方形中心对称的性质得出OM =OP ,OQ =ON ，可得四边形PQMN 是平行四边形，证明△ANP ≌△CQM 即可；(2)分0<x ≤2，2<x ≤4两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；(3)根据(2)的图形，分类讨论即可求解．【详解】(1)解：依题意，AP =x ×1=x cm ，则PB =AB -AP =4-x cm ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ,∠DAB =∠DCB =90°，∵点O 是正方形对角线AC 的中点，∴OM =OP ,OQ =ON ，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ =PN ，MQ ∥NP ，∴∠PNQ =∠MQN ，又AD ∥BC ，∴∠ANQ =∠CQN ，∴∠ANP =∠MQC ，在△ANP ,△CQM 中，∠ANP =∠MQC∠NAP =∠QCM NP =MQ，∴△ANP ≌△CQM ，∴MC =AP =x cm故答案为：4-x ；x ．(2)解：当0<x ≤2时，点Q 在BC 上，由(1)可得△ANP ≌△CQM ，同理可得△PBQ ≌△MDN ，∵PB =4-x ,QB =2x ,MC =x ，QC =4-2x ，则y =AB 2-2S △MCQ -2S △BPQ=16-4-x ×2x -x 4-2x=4x 2-12x +16；当2<x ≤4时，如图所示，则AP =x ，AN =CQ =2x -CB =2x -4，PN =AP -AN =x -2x -4 =-x +4，∴y =-x +4 ×4=-4x +16；综上所述，y =4x 2-12x +160<x ≤2-4x +162<x ≤4 ；(3)依题意，①如图，当四边形PQMN 是矩形时，此时∠PQM =90°，∴∠PQB +∠CQM =90°，∵∠BPQ +∠PQB =90°，∴∠BPQ =∠CQM ，又∠B =∠BCD ，∴△BPQ ~△CQM ，∴BP CQ =BQCM ，即4-x 4-2x =2x x，解得：x =43，当四边形PQMN 是菱形时，则PQ =MQ ，∴4-x 2+2x 2=x 2+4-2x 2，解得：x =0(舍去)；②如图所示，当PB =CQ 时，四边形PQMN 是轴对称图形，4-x =2x -4，解得x =83，当四边形PQMN 是菱形时，则PN =PQ=4，即-x +4=4，解得：x =0(舍去)，综上所述，当四边形PQMN 是轴对称图形时，x =43或x =83．【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．11(2023·广东·统考中考真题)综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC绕点O 逆时针旋转，旋转角为α0°<α<45°，AB交直线y=x于点E，BC交y轴于点F．(1)当旋转角∠COF为多少度时，OE=OF；(直接写出结果，不要求写解答过程)(2)若点A(4,3)，求FC的长；(3)如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN，将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2，设S=S1-S2，AN=n，求S关于n的函数表达式．【答案】(1)22.5°(2)FC=154(3)S=1n22【分析】(1)根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出∠AOG=∠AOE，再由题意得出∠EOG=45°，即可求解；(2)过点A作AP⊥x轴，根据勾股定理及点的坐标得出OA=5，再由相似三角形的判定和性质求解即可；(3)根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出FN=ON，∠FNO=90°，过点N作GQ⊥BC于点G，交OA于点Q，利用全等三角形及矩形的判定和性质得出CG=OQ,CO=QG，结合图形分别表示出S1，S2，得出S=S1-S2=NQ2，再由等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】(1)解：∵正方形OABC，∴OA=OC，∠A=∠C=90°，∵OE=OF，∴Rt△OCF≌Rt△OAE(HL)，∴∠COF=∠AOE，∵∠COF=∠AOG，∴∠AOG=∠AOE，∵AB交直线y=x于点E，∴∠EOG=45°，∴∠AOG=∠AOE=22.5°，即∠COF=22.5°；(2)过点A作AP⊥x轴，如图所示：∵A (4,3)，∴AP =3,OP =4，∴OA =5，∵正方形OABC ，∴OC =OA =5，∠C =90°，∴∠C =∠APO =90°，∵∠AOP =∠COF ，∴△OCF ∽△OPA ，∴OC OP =FC AP即54=FC 3，∴FC =154；(3)∵正方形OABC ，∴∠BCA =∠OCA =45°，∵直线y =x ，∴∠FON =45°，∴∠BCA =∠FON =45°，∴O 、C 、F 、N 四点共圆，∴∠OCN =∠FON =45°，∴∠OFN =∠FON =45°，∴ΔFON 为等腰直角三角形，∴FN =ON ，∠FNO =90°，过点N 作GQ ⊥BC 于点G ，交OA 于点Q ，∵BC ∥OA ，∴GQ ⊥OA ，∵∠FNO =90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∴△FGN ≌△NQO (AAS )∴GN =OQ ,FG =QN ，∵GQ ⊥BC ，∠FCO =∠COQ =90°，∴四边形COQG 为矩形，∴CG =OQ ,CO =QG ，∴S 1=S ΔOFN =12ON 2=12OQ 2+NQ 2 =12GN 2+NQ 2 =12GN 2+12NQ 2，S 2=S ΔCOF =12CF ⋅CO =12GC -FG GN +NQ =12GN 2-NQ 2 =12GN 2-12NQ 2，∴S =S 1-S 2=NQ 2，∵∠OAC =45°，∴△AQN 为等腰直角三角形，∴NQ =22AN =22n ，∴S =NQ 2=22n 2=12n2【点睛】题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．12(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．【答案】(1)32，2，-1,0 ，12(2)2,3(3)m =217，13≤k <17【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可求得b =32、c =2，从而可得OB =4，OC =2，由y =0，可得-12x 2+32x +2=0，求得A -1,0 ，在Rt △COB 中，根据正切的定义求值即可；(2)过点C 作CD ∥x 轴，交BP 于点D ，过点P 作PE ∥x 轴，交y 轴于点E ，由tan ∠OCA =tan ∠ABC =12，即∠OCA =∠ABC ，再由∠PCB =2∠ABC ，可得∠EPC =ABC ，证明△PEC ∼△BOC ，可得EP OB=EC OC，设点P 坐标为t ,-12t 2+32t +2 ，可得t4=-12t 2+32t 2，再进行求解即可；(3)①作DH ⊥DQ ，且使DH =BQ ，连接FH ．根据SAS 证明△BQE ≌△HDF ，可得BE +QF =FH +QF ≥QH ，即Q ，F ，H 共线时，BE +QF 的值最小．作QG ⊥AB 于点G ，设G (n ,0)，则Q n ,-12n 2+32n +2 ，根据QG =BG 求出点Q 的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；②作PT ∥y 轴，交BC 于点T ，求出BC 解析式，设T a ,-12a +2 ，P a ,-12a 2+32a +2 ，利用三角形面积公式表示出S ，利用二次函数的性质求出S 的取值范围，结合①中结论即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点B (4,0)，C (0,2)，∴-8+4b +c =0c =2 ，解得：b =32c =2 ，∴抛物线解析式为：y =-12x 2+32x +2，∵抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B (4,0)两点，∴y =0时，-12x 2+32x +2=0，解得：x 1=-1，x 2=4，∴A -1,0 ，∴OB =4，OC =2，在Rt △COB 中，tan ∠ABC =OC OB=24=12，故答案为：32，2，-1,0 ，12；(2)解：过点C 作CD ∥x 轴，交BP 于点D ，过点P 作PE ∥x 轴，交y 轴于点E ，∵AO =1，OC =2，OB =4，∴tan ∠OCA =AOCO=12，由(1)可得，tan ∠ABC =12，即tan ∠OCA =tan ∠ABC ，∴∠OCA =∠ABC ，∵∠PCB =2∠OCA ，∴∠PCB =2∠ABC ，∵CD ∥x 轴，EP ∥x 轴，∴∠ACB =∠DCB ，∠EPC =∠PCD ，∴∠EPC =ABC ，又∵∠PEC =∠BOC =90°，∴△PEC ∽△BOC ，∴EP OB =EC OC，设点P 坐标为t ,-12t 2+32t +2 ，则EP =t ，EC =-12t 2+32t +2-2=-12t 2+32t ，∴t4=-12t 2+32t 2，解得：t =0(舍)，t =2，∴点P 坐标为2,3 ．(3)解：①如图2，作DH ⊥DQ ，且使DH =BQ ，连接FH ．∵∠BQD +∠BDQ =90°，∠HDF +∠BDQ =90°，∴∠QD =∠HDF ，∵QE =DF ，DH =BQ ，∴△BQE ≌△HDF (SAS )，∴BE =FH ，∴BE +QF =FH +QF ≥QH ，∴Q ，F ，H 共线时，BE +QF 的值最小．作QG ⊥AB 于点G ，∵OB =OD ，∠BOD =90°，∴∠OBD =45°，∵∠QBD =90°，∴∠QBG =45°，∴QG=BG．设G(n,0)，则Q n,-12n2+32n+2，∴-12n2+32n+2=4-n，解得n=1或n=4(舍去)，∴Q(2,3)，∴QG=BG=4-1=3，∴BQ=DH=32，QD=52，∴m=QH=322+522=217；②如图3，作PT∥y轴，交BC于点T，待定系数法可求BC解析式为y=-12x+2，设T a,-12a+2，P a,-12a2+32a+2，则S=12-12a2+32a+2+12a-2×4=-a-22+4，∴0<S≤4，∴0<14m2-k≤4，∴0<17-k≤4，∴13≤k<17．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．13(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．【答案】(1)等腰直角三角形(2)详见解析(3)①t=3；②t=6；③D125,6 5【分析】(1)由A(0,2),B(2,0)得到OA=OB=2，又由∠AOB=90°，即可得到结论；(2)由∠EOD=90°，∠AOB=90°得到∠AOE=∠BOD，又有AO=OB，OD=OE，利用SAS即可证明△AOE≌△BOD；(3)①求出直线AC的解析式和抛物线y1的解析式，联立得x2-t+3x+3t=0，由Δ=(t+3)2-4×3t= (t-3)2=0即可得到t的值；②抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4向左平移2个单位得到抛物线y2=-2tx-t-222+(t-2)22t，则抛物线y2的顶点Pt-22,(t-2)22t，将顶点P t-22,(t-2)22t代入y AC=-2t x+2得到t2-6t=0，解得t1=0,t2=6,根据t>2即可得到t的值；③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，先证明△ODN≌△EOM(AAS)，则ON=EM,DN=OM，设EM=2OM=2m,由OA∥EM得到OC:CM=OA:EM,则tt+m =22m,求得m=tt-1,得到D2tt-1,tt-1，由抛物线y2再向下平移2(t-1)2个单位，得到抛物线y3=-2tx2+2t(t-2)x-2(t-1)2,把D2tt-1,tt-1代入抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,得到3t2-19t+6=0,解得t1=13,t2=6,由t>2，得t=6,即可得到点D的坐标．【详解】(1)证明：∵A(0,2),B(2,0)，∴OA=OB=2，∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形(2)如图，∵∠EOD=90°，∠AOB=90°，∴∠AOB-∠AOD=∠DOE-∠AOD，∴∠AOE=∠BOD，∵AO=OB,OD=OE，∴△AOE≌△BOD(SAS)；(3)①设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A(0,2),C(t,0)，∴b=2kt+b=0 ，∴y AC=-2tx+2，将C(t,0),B(2,0)代入抛物线y1=ax2+bx-4得，0=at2+bt-40=4a+2b-4，解得a=-2t,b=2t(t+2)，∴y1=-2t x2+2t(t+2)x-4，∵直线y AC=-2t x+2与抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4有唯一交点∴联立解析式组成方程组解得x2-t+3x+3t=0∴Δ=(t+3)2-4×3t=(t-3)2=0∴t=3②∵抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4向左平移2个单位得到y2，∴抛物线y2=-2tx-t-222+(t-2)22t，∴抛物线y2的顶点P t-22,(t-2)22t，将顶点Pt-22,(t-2)22t代入y AC=-2t x+2，∴t2-6t=0，解得t1=0,t2=6,∵t>2，∴t=6；③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N,∴∠EMO=∠OND=90°，∵∠DOE=90°，∴∠EOM+∠MEO=∠EOM+∠NOD=90°，∴∠MEO=∠NOD，∵OD=OE，∴△ODN≌△EOM(AAS)，∴ON=EM,DN=OM，∵OE的解析式为y=-2x，∴设EM=2OM=2m,∴DN=OM=m，∵EM⊥x轴,∴OA∥EM,∴△CAO~△CEM，∴OC:CM=OA:EM,∴t t+m =2 2m,∴m=tt-1,∴EM=ON=2OM=2m=2tt-1，DN=OM=m=tt-1，∴D2tt-1,t t-1,∵抛物线y2再向下平移2(t-1)2个单位，得到抛物线y3，∴抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,∴D2tt-1,t t-1代入抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,∴3t2-19t+6=0,解得t 1=13,t 2=6,由t >2，得t =6,∴2t t -1=126-1=125,t t -1=66-1=65，∴D 125,65．【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键．14(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一边OC 在x 轴正半轴上，顶点A 的坐标为2,23 ，点D 是边OC 上的动点，过点D 作DE ⊥OB 交边OA 于点E ，作DF ∥OB 交边BC 于点F ，连接EF ．设OD =x ,△DEF 的面积为S ．(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．【答案】(1)S =-32x 2+23x(2)当x =2时，S 的最大值为23【分析】(1)过点A 作AG ⊥OC 于点G ，连接AC ，证明△AOC 是等边三角形，可得DE =x ，进而证明△CDF ∽△COB ，得出DF =34-x ，根据三角形面积公式即可求解；(2)根据二次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：如图所示，过点A 作AG ⊥OC 于点G ，连接AC ，∵顶点A 的坐标为2,23 ，∴OA =22+232=4，OG =2，AG =23∴cos ∠AOG =OG AO=12，∴∠AOG =60°∵四边形OABC 是菱形，∴∠BOC =∠AOB =30°，AC ⊥BD ,AO =OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠ACO =60°，∵DE ⊥OB ，∴DE ∥AC ,∴∠EDO =∠ACO =60°∴△EOD 是等边三角形，。

一次函数综合题(解析版)--2024年中考数学压轴题专项训练

一次函数综合题(解析版)--2024年中考数学压轴题专项训练

一次函数综合题通用的解题思路：(1)一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．(2)一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．(3)用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．1(2024•鼓楼区一模)如图，直线y =-3x +6与⊙O 相切，切点为P ，与x 轴y 轴分别交于A 、B 两点．⊙O 与x 轴负半轴交于点C ．(1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【分析】(1)由OP =OA ⋅sin60°，即可求解；(2)由图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC ，即可求解．【解答】解：(1)对于直线y =-3x +6，令y =-3x +6=0，则x =23，即OA =23，由一次函数的表达式知，OB =6，则tan ∠BAC =OB AO =623=3，则∠BAC =60°连接OP ，则OP ⊥AB ，则OP =OA ⋅sin60°=23×32=3；(2)过点P 作PH ⊥AC 于点H ，∵∠POH =30°，则∠POC =150°，PH =12OP =32，则图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC =150°360°×π×32-12×3×32=15π-94．【点评】本题考查了一次函数和圆的综合运用，涉及到圆切线的和一次函数的性质，解直角三角形，面积的计算等，综合性强，难度适中．2(2023•宿豫区三模)如图①，在平面直角坐标系中，直线l 1:y =x +1与直线l 2:x =-2相交于点D ，点A 是直线l 2上的动点，过点A 作AB ⊥l 1于点B ，点C 的坐标为(0,3)，连接AC ，BC ．设点A 的纵坐标为t ，ΔABC 的面积为s ．(1)当t =2时，求点B 的坐标；(2)s 关于t 的函数解析式为s =14t 2+bt -54t -1或t 5 a t +1 t -5 (-1<t <5)，其图象如图②所示，结合图①、②的信息，求出a 与b 的值；(3)在直线l 2上是否存在点A ，使得∠ACB =90°，若存在，请求出此时点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)解法一：先根据t =2可得点A (-2,2)，因为B 在直线l 1上，所以设B (x ,x +1)，利用y =0代入y =x +1可得G 点的坐标，在Rt ΔABG 中，利用勾股定理列方程可得点B 的坐标；解法二：根据可以使用y =x +1与x 轴正半轴夹角为45度来解答；(2)先把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中计算得b 的值，计算在-1<t <5范围内图象上一个点的坐标值：当t =2时，根据(1)中的数据可计算此时s =94，可得坐标2,94，代入s =a (t +1)(t -5)中可得a 的值；(3)存在，设B (x ,x +1)，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．【解答】解：(1)解法一：如图1，连接AG ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，在y =x +1中，当x =0时，y =1，∴G (0,1)，∵AB ⊥l 1，∴∠ABG =90°，∴AB 2+BG 2=AG 2，即(x +2)2+(x +1-2)2+x 2+(x +1-1)2=(-2)2+(2-1)2，解得：x 1=0(舍)，x 2=-12，∴B -12，12；解法二：如图1-1，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，过点A 作AH ⊥BE 于H ，当x =0时，y =1，当y =0时，x +1=0，则x =-1，∴OF =OG =1，∵∠GOF =90°，∴∠OGF =∠OFG =45°，∴BE =EF ，∵∠ABD =90°，∴∠ABH =∠BAH =45°，∴ΔABH 是等腰直角三角形，∴AH =BH ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，∴x +2=2-(x +1)，∴x =-12，∴B -12，12 ；(2)如图2可知：当t =7时，s =4，把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中得：494+7b -54=4，解得：b =-1，如图3，过B 作BH ⎳y 轴，交AC 于H ，由(1)知：当t =2时，A (-2,2)，B -12，12 ，∵C (0,3)，设AC 的解析式为：y =kx +n ，则-2k +n =2n =3 ，解得k =12n =3 ，∴AC 的解析式为：y =12x +3，∴H -12，114，∴BH =114-12=94，∴s=12BH⋅|x C-x A|=12×94×2=94，把2,9 4代入s=a(t+1)(t-5)得：a(2+1)(2-5)=94，解得：a=-1 4；(3)存在，设B(x,x+1)，当∠ACB=90°时，如图5，∵∠ABD=90°，∠ADB=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形，∴AB=BD，∵A(-2,t)，D(-2,-1)，∴(x+2)2+(x+1-t)2=(x+2)2+(x+1+1)2，(x+1-t)2=(x+2)2，x+1-t=x+2或x+1-t=-x-2，解得：t=-1(舍)或t=2x+3，RtΔACB中，AC2+BC2=AB2，即(-2)2+(t-3)2+x2+(x+1-3)2=(x+2)2+(x+1-t)2，把t=2x+3代入得：x2-3x=0，解得：x=0或3，当x=3时，如图5，则t=2×3+3=9，∴A(-2,9)；当x=0时，如图6，此时，A(-2,3)，综上，点A的坐标为：(-2,9)或(-2,3)．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023•溧阳市一模)如图1，将矩形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A坐标为(0,4)，点B坐标为(5,0)，点P是x轴正半轴上的动点，连接AP，ΔAQP是由ΔAOP沿AP翻折所得到的图形．(1)当点Q落在对角线OC上时，OP=　165　；(2)当直线PQ经过点C时，求PQ所在的直线函数表达式；(3)如图2，点M是BC的中点，连接MP、MQ．①MQ的最小值为；②当ΔPMQ是以PM为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【分析】(1)通过Q 点在OC 上，可以通过∠BOC 的三角函数和∠OAP 的三角函数来导出对应的边的关系，求得结果；(2)通过直角ΔAQC 中，得到QC 的长度，然后通过OP =PQ =x ，可以在Rt ΔBCP 中，得到对应的x 值然后求出结果；(3)通过QA =OA =4，可得出Q 点的运动轨迹，是以A 点为圆心，4为半径长度的圆弧，从而可知，MA 的连线上的Q 点为最短的MQ 长度，通过分类讨论，PM =PQ ，PM =QM ，PQ =QM 来求得对应的P 的坐标．【解答】解：(1)如图1，∵∠OAP +∠AOE =90°，∠BOC +∠AOE =90°，∴∠OAP =∠BOC ，又∵∠AOP =∠OBC =90°，∴ΔOAP ∽ΔBOC ，∴OP BC =OA OB ，即OP 4=45，∴OP =165，故答案为：165；(2)如图，∵AQ ⊥PQ ，∴∠AQC =90°，∴QC =AC 2-AQ 2=52-42=3，∵AQ =AO =4，设OP =PQ =x ，则CP =3+x ，PB =5-x ，∴CP 2=BP 2+BC 2，(3+x )2=(5-x )2+42，x =2，∴P 点的坐标为(2,0)，将P (2,0)和C (5,4)代入y =kx +b 中，0=2k +b 4=5k +b ，解得：k =43b =-83，∴PQ 所在直线的表达式为：y =43x -83；(3)如图，①∵AQ =AO =4，∴Q 点的运动轨迹，是以A 为圆心，4为半径的圆弧，∴MQ 的最小值在AM 的连线上，如图，MQ ′即为所求，∵M 是BC 中点，CM =12BC =2，∴AM =52+22=29，MQ ′=MA -AQ ′=29-4，故答案为：29-4；②如图，设OP =PQ =x ，BP =5-x ，∴PM 2=(5-x )2+22=x 2-10x +29，当PM =PQ 时，PM 2=PQ 2，∴x 2-10x +29=x 2，x =2910，∴P 2910，0，当MP =MQ 时，如图，若点Q 在AC 上，则AQ =OA =4，∵MP =MQ ，MB =MC ，∠PBM =∠QCM ，∴ΔPMB ≅ΔQMC (HL )，∴PB =QC ，QC =AC -AQ =5-4=1，∴PB =1，∴OP =BO -PB =5-1=4，∴P (4,0)；若点Q 在AC 上方时，由对称性可知OM =MQ ，∵MQ =MQ ，∴MO =MP ，∴P (10,0)；当MQ =PQ 时，不符合题意，不成立，故P 点坐标为P 2910，0或P (4,0)或(10,0)．【点评】本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，三角函数的性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解．4(2022•启东市模拟)我们知道一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)互为“M ”函数．(1)请直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)如果一对“M ”函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象交于点A ，且与x 轴交于B ，C 两点，如图所示，若∠BAC =90°，且ΔABC 的面积是8，求这对“M ”函数的解析式；(3)在(2)的条件下，若点D 是y 轴上的一个动点，当ΔABD 为等腰三角形时，请求出点D 的坐标．【分析】(1)根据互为“M ”函数的定义，直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)现根据已知条件判断ΔABC 为等腰直角三角形，再根据互为“M ”函数的图象关于y 轴对称，得出OA =OB =OC ，再根据函数解析式求出点A 、B 、C 的坐标，再根据ΔABC 的面积是8求出m 、n 的值，从而求出函数解析式；(3)ΔABD 为等腰三角形，分以A 为顶点，以B 为顶点，以D 为顶点三种情况讨论即可．【解答】(1)解：根据互为“M ”函数的定义，∴函数y =2x +5的“M ”函数为y =-2x +5；(2)解：根据题意，y =mx +n 和y =-mx +n 为一对“M 函数”．∴AB =AC ，又∵∠BAC =90°，∴ΔABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC =∠ACB =45°，∵OB =OC ，∴∠BAO =∠CAO =45°，∴OA =OB =OC ，又∵S ΔABC =12×BC ×AO =8且BC =2AO ，∴AO =22，∵A 、B 、C 是一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象于坐标轴的交点，∴A (0,n )，B -n m ，0 ，C n m ，0，∵OA =OB =n ，∴n m=22，∴m =1，∴y =x +22和y =-x +22；(3)解：根据等腰三角形的性质，分情况，∵AO =BO =22，∴AB =4，由(2)知，A (0，22)，B (-22，0)，C (22，0)，∴①以A 为顶点，则AB =AD ，当点D 在点A 上方时，AD =22+4，当点D 在点A 下方时，AD =22-4，∴D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，②以B 为顶点，则BA =BD ，此时点D 在y 轴负半轴，∴D 3(0,-22)，③以D 为顶点，则DA =DB ，此时D 为坐标原点，∴D 4(0,0)．∴D 点坐标为D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，D 3(0,-22)，∴D 4(0,0)．【点评】本题考查一次函数的综合应用，以及新定义、等腰三角形的性质等知识，关键是理解新定义，用新定义解题．5(2024•新北区校级模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =4，NH =1，点G 的坐标为(8,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为　85　；AB AD的值为；(2)如果OM =15．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②求FG 所在曲线的函数表达式；③是否存在某个时刻t ，使得S ≥154？若存在，求出t 的取值范围：若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =15，AB =CD =53AD =10，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②设FG 所在的曲线的数解析式为S =a (t -6)2+k (a ≠0)，把F 5,154，G (8,0)代入解析式求得a ，k 值即可求解答；③利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =154时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =4，NH =1，G (8,0)，∴N (4,0)，H (5,0)，由图象可知：t =4时，Q 与E 重合，t =5时，P 与B 重合，t =8时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 5，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB5DE 4=AB 5⋅4DE =85，∵P 从A 到B 用了5秒，从B 到C 用了3秒，∴AB =5v 1，BC =3v 1，∴AB =53BC ，∴AB :AD 的值为53，故答案为：85，53；(2)①∵OM =15，∴M (0,15)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =15，∵AB :AD =53，DE =12AB ，∴DE =56AD ，∴12AD ⋅56AD =15，∴AD =BC =6(舍去负值)，∴AB =CD =53AD =10，∴v 2=DE 4=54，当t =5时，DQ =v 2t =54×5=254，∴QE =DQ -DE =254-5=54，此时P 与B重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×54×6=154，∴F 5,154 ，设直线NF 的解析式为S =kt +b (k ≠0)，将N (4,0)与F 5,154 代入得：4k +b =05k +b =154，∴k =154b =-15 ，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =154t -15(4<t ≤5)；②设FG所在的曲线的数解析式为S=1254t-5(16-2t)=-54t2+15t-40，∴FG所在的曲线的函数解析式为S=-54t2+15t-40(5≤t≤8)；③存在，分情况讨论如下：当Q在DE上，P在AB上时，∵直线MN经过点M(0,15)，N(4,0)，可求得直线MN的解析式为S=-54t+15(0≤t≤4)，当s=154时，-154t+15=154，∴x=3，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤3时，S≥154，当Q在CE上，P在BC上时，直线NF的解析式为S=154t-15(4<t≤5)；由F5,15 4知：当t=5时，S=154，当S=154时，-54t2+15t-40=154，∴t=7或5，由图象知：当5≤x≤7，x的取值范围为0≤t≤3或5≤t≤7．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．6(2024•梁溪区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =-ax 2+3ax +4a 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴正半轴交于点C ，直线y =12x 交于第一象限内的D 点，且ΔABC 的面积为10．(1)求二次函数的表达式；(2)点E 为x 轴上一点，过点E 作y 轴的平行线交线段OD 于点F ，交抛物线于点G ，当GF =5OF 时，求点G 的坐标；(3)已知点P (n ,0)是x 轴上的点，若点P 关于直线OD 的对称点Q 恰好落在二次函数的图象上，求n 的值．【分析】(1)在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得A (-1,0)，B (4,0)，根据ΔABC 的面积为10，即得OC =4，C (0,4)，用待定系数法即得二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，由GF =5OF ，可得-m 2+52m +4=5×52m ，即可解得G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，设Q (r ,s )，可得K n +r 2，s 2 ，即得s 2=12×n +r 2，n +r =2s ①，又r 2+s 2=n 2，(n +r )(n -r )=s 2②，可解得r =35n ，s =45n ，故Q 35n ，45n ，代入y =-x 2+3x +4得45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209．【解答】解：(1)如图：在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得-ax 2+3ax +4a =0，解得x =4或x =-1，∴A (-1,0)，B (4,0)，∴AB =5，∵ΔABC 的面积为10，∴12AB ⋅OC =10，即12×5⋅OC =10，∴OC =4，∴C (0,4)，把C (0,4)代入y =-ax 2+3ax +4a 得：4a =4，∴a =1，∴二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)如图：设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，∴OF =m 2+12m 2=52m ，GF =-m 2+3m +4-12m =-m 2+52m +4，∵GF =5OF ，∴-m 2+52m +4=5×52m ，解得m =2或m =-2(舍去)，∴G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，如图：∵P (n ,0)关于直线对称点为Q ，∴OQ =OP =|n |，K 是PQ 中点，设Q (r ,s )，∴K n +r 2，s 2，∵K 在直线y =12x 上，∴s 2=12×n +r 2，整理得：n +r =2s ①，∵OT 2+QT 2=OQ 2，∴r 2+s 2=n 2，变形得：(n +r )(n -r )=s 2②，把①代入②得：2s (n -r )=s 2，∵s ≠0，∴n -r =s2③，由①③可得r =35n ，s =45n ，∴Q 35n ，45n ，∵Q 在抛物线y =-x 2+3x +4上，∴45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209，答：n 的值为5或-209．【点评】本题考查一次函数、二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，解题的关键是用含n 的代数式表示Q 的坐标．7(2023•邗江区校级一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线l :y =-33x +43分别与x 轴、y 轴交于点A 点和B 点，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，以OD 为边构造等边ΔEDF (F 点在x 轴的正半轴上)．(1)求A 、B 点的坐标，以及OD 的长；(2)将等边ΔEDF ，从图1的位置沿x 轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t (s )，同时点P 从E 出发，以每秒2个单位的速度沿着折线ED -DF 运动(如图2所示)，当P 点到F 点停止，ΔDEF 也随之停止．①t =3或6(s )时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点；②当点P 在线段DE 上运动，若DM =2PM ，求t 的值；③当点P 在线段DF 上运动时，若ΔPMN 的面积为3，求出t 的值．【分析】(1)把x =0，y =0分别代入y =-33x +43，即可求出点A 、B 的坐标，求出∠BAO =30°，根据直角三角形的性质，即可得出OD =12OA =6；(2)①当直线l 分别过DE 、DF 、EF 的中点，分三种情况进行讨论，得出t 的值，并注意点P 运动的最长时间；②分点P 在直线l 的下方和直线l 上方两种情况进行讨论，求出t 的值即可；③分点P 在DN 之间和点P 在NF 之间两种情况进行讨论，求出t 的值即可．【解答】解：(1)令x =0，则y =43，∴点B 的坐标为(0,43)，令y =0，则-33x +43=0，解得x =12，∴点A 的坐标为(12,0)，∵tan ∠BAO =OB OA=4312=33，∴∠BAO =30°，∵OD ⊥AB ，∴∠ODA =90°，∴ΔODA 为直角三角形，∴OD =12OA =6；(2)①当直线l 过DF 的中点G 时，∵ΔDEF 为等边三角形，∴∠DFE =60°，∵∠BAO =30°，∴∠FGA =60°-30°=30°，∴∠FGA =∠BAO ，∴FA =FG =12DF =3，∴OF =OA -FA =9，∴OE =OF -EF =9-6=3，∴t =3；当l 过DE 的中点时，∵DE ⊥l ，DG =EG ，∴直线l 为DE 的垂直平分线，∵ΔDEF 为等边三角形，∴此时点F 与点A 重合，∴t =12-61=6；当直线l 过EF 的中点时，运动时间为t =12-31=9；∵点P 从运动到停止用的时间为：6+62=6，∴此时不符合题意；综上所述，当t =3s 或6s 时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点，故答案为：3或6；②∵OE =t ，AE =12-t ，∠BAO =30°，∴ME =6-t2，∴DM =DE -EM =t2，∵EP =2t ，∴PD =6-2t ，当P 在直线l 的下方时，∵DM =23DP ，∴t 2=23(6-2t )，解得：t =2411；当P 在直线l 的上方时，∵DM =2DP ，∴t2=2(6-2t )，解得t =83；综上所述：t 的值为2411或83；③当3<t ≤6时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DN -DP =t -(2t -6)=6-t ，∵∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =3-12t ，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 3-12t =3，整理得：t 2-6t +8=0，解得t =2(舍)或t =4当点P 在NF 之间时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DP -DN =2t -6-t =t -6，∵∠DNM =30°，∴∠FNA =∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =12t -3，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 12t -3 =3，解得t =3+17(舍)或t =3-17(舍)，综上所述，t 的值为4s ．【点评】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含30°的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键．8(2023•武进区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|；若|x 1-x 2|<|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1-y 2|．例如：点P 1(1,2)，点P 2(3,5)，因为|1-3|<|2-5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 交点)．(1)已知点A -12，0，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；(2)已知C 是直线y =34x +3上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是(0,1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标．【分析】(1)①根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为(0,y )．由“非常距离”的定义可以确定|0-y |=2，据此可以求得y 的值；②设点B 的坐标为(0,y )．因为-12-0 ≥|0-y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为-12-0 =12；(2)①设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ．根据材料“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”知，C 、D 两点的“非常距离”的最小值为-x 0=34x 0+2，据此可以求得点C 的坐标；②根据“非常距离”的定义，点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且C 与E 的横纵坐标差相等时，点C 与点E 的“非常距离”取最小值，据此求出C 与E 的坐标及“非常距离”的最小值．【解答】解：(1)①∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为(0,y )．∵-12-0 =12≠2，∴|0-y |=2，解得，y =2或y =-2；∴点B 的坐标是(0,2)或(0,-2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12．(2)①如图2，当点C 与点D 的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”解答，此时|x 1-x 2|=|y 1-y 2|．即AC =AD ，∵C 是直线y =34x +3上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，∴设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，∴-x 0=34x 0+2，此时，x 0=-87，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：|x 0|=87，此时C -87，157；②如图3，当点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且CF =EF 时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设E (x ,y )(点E 位于第二象限)．则y x=-43x 2+y 2=1 ，解得x =-35y =45，故E -35，45．设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，-35-x 0=34x 0+3-45，解得x0=-8 5，则点C的坐标为-8 5，95，点C与点E的“非常距离”的最小值为1．【点评】本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．9(2023•海安市一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P，给出如下定义：F为图形W上任意一点，将P，F两点间距离的最小值记为m，最大值记为M，称M与m的差为点P到图形W的“差距离”，记作d(P,W)，即d(P,W)=M-m，已知点A(2,1)，B(-2,1)(1)求d(O,AB)；(2)点C为直线y=-1上的一个动点，当d(C,AB)=1时，点C的横坐标是　(2-5)或(5-2，)　；(3)点D为函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，当d(D,AB)≤2时，直接写出b的取值范围．【分析】(1)画出图形，根据点P到图形W的“差距离”的定义即可解决问题．(2)如图2中，设C(m,-1)．由此构建方程即可解决问题．(3)如图3中，取特殊位置当b=6时，当b=-4时，分别求解即可解决问题．【解答】解：(1)如图1中，∵A(2,1)，B(-2,1)，∴AB⎳x轴，∴点O到线段AB的最小距离为1，最大距离为5，∴d(O,AB)=5-1．(2)如图2中，设C(m,-1)．当点C在y轴的左侧时，由题意AC-2=1，∴AC=3，∴(2-m)2+22=9，∴m=2-5或2+5(舍弃)，∴C(2-5，-1)，当点C在y轴的右侧时，同法可得C(5-2，-1)，综上所述，满足条件的点C的坐标为(2-5，-1)或(5-2，-1)．故答案为：(2-5，-1)或(5-2，-1)．(3)如图3中，当b=6时，线段EF:y=x+6(-2≤x≤2)上任意一点D，满足d(D,AB)≤2，当b=-4时，线段E′F′:y=x-4(-2≤x≤2)上任意一点D′，满足d(D′,AB)≤2，观察图象可知：当b≥6或b≤-4时，函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，满足d(D,AB)≤2．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点P到图形W的“差距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考创新题型．10(2022•姑苏区校级模拟)平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M(4,1)，N(-2,3)，点P(m,n)．(1)①若m=2，n=4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为18，面积为；②若m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；(2)若点P在直线y=-2x+5上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；(3)若点P(m,n)在抛物线y=ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，-2≤m≤-1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【分析】(1)①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；(2)①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，5，点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．【解答】解：(1)①如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3=18，面积为3×6=18；故答案为：18，18．②∵M(4,1)，N(-2,3)，∴|x M-x N|=6，|y M-y N|=2．又∵m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．∴n=-1或5．(2)如图，①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+5，可得x分别为1，2；结合图象可知：1≤m≤2；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，4；∴点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，经过点(-1,1)，(1,1)，(3,3)，∴a -b +c =1a +b +c =19a +3b +c =3，a =14b =0c =34，∴y =14x 2+34，同理抛物线经过点(-1,3)，(1,3)，(3,1)，可求得抛物线的解析式为y =-14x 2+134，∴抛物线的解析式y =14x 2+34或y =-14x 2+134．【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义．11(2022•太仓市模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =3，NH =1，点G 的坐标为(6,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为　32　；AB :AD 的值为；(2)如果OM =2．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②是否存在某个时刻t ，使得S ≥23？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =23时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =3，NH =1，G (6,0)，∴N (3,0)，H (4,0)，由图象可知：t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB4DE 3=AB 4⋅3DE =AB 4⋅312AB =32，∵P 从A 到B 用了4秒，从B 到C 用了2秒，∴AB =4v 1，BC =2v 1，∴AB =2BC ，∴AB :AD 的值为2，故答案为：32,2；(2)①∵OM =2，∴M (0,2)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =2，∵AB :AD =2，∴AD =DE =12AB ，∴12AD 2=2，∴AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，∴v 2=DE 3=23，当t =4时，DQ =v 2t =23×4=83，∴QE =DQ -DE =83-2=23，此时P 与B 重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×23×2=33，∴F 4,23，设直线NF 的解析式为S =kx +b (k ≠0)，将N (3,0)与F 4,23 代入得：3k +b =04k +b =23 ，∴k =23b =-2，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =23x -2(3<x ≤4)；②存在，分情况讨论如下：当Q 在DE 上，P 在AB 上时，∵直线MN 经过点M (0,2)，N (3,0)，同理求得直线MN 的解析式为S =-23x +2(0≤x ≤3)，当s =23时，-23x +2=2，∴x =2，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤2时，S≥23，当Q在CE上，P在AB上时，直线NF的解析式为S=23x-2(3<x≤4)，由F4,2 3知：当x=4时，S=23，当Q在CE上，P在BC上时，SΔEPQ=12EQ⋅CP，∵DQ=v2t=23t，∴EQ=DQ-DE=23t-2，∵v1=AB4=44=1，∴AB+BP=v1t=t，∵AB+BC=4+2=6，∴CP=6-t，∴S=1223t-2(6-t)=-13t2+3t-6(4<x≤6)，当S=23时，-13t2+3t-6=23，∴t=4或5，由图象知：当4<x≤5时，S≥2 3，综上，S≥23时，x的取值范围为0≤x≤2或4≤x≤5．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．12(2022•邗江区校级一模)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k=PSST(PS<PT)PTST(PS≥PT) ．(1)已知点A(0,1)，B(1,0)．①点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=　22　；②点C(0,c)关于线段AB的线段比k=2，求c的值．(2)已知点M(m,0)，点N(m+2,0)，直线y=x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤14，直接写出m的取值范围．【分析】(1)①求出QA、QB、AB，根据线段比定义即可得到答案；②方法同①，分c>0和c≤0讨论；(2)分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在M(N)为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．【解答】解：(1)①∵A(0,1)，B(1,0)，Q(2,0)，∴AB=2，QA=5，QB=1，根据线段比定义点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=QBAB=22；故答案为：22；②∵A (0,1)，B (1,0)，C (0,c )，∴AB =2，AC =|1-c |，BC =1+c 2，AC 2=1+c 2-2c ，BC 2=1+c 2，当c >0时，AC 2<BC 2，即AC <BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：|1-c |2=2，解得c =3或c =-1(舍去)，∴c =3，当c ≤0时，AC 2≥BC 2，即AC ≥BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：1+c 22=2，解得c =3(舍去)或c =-3，∴c =-3，综上所述，点C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2，c =3或c =-3；(2)∵直线y =x +2与坐标轴分别交于E ，F 两点，∴E (-2,0)，F (0,2)，∵点M (m ,0)，点N (m +2,0)，∴MN =2，N 在M 右边2个单位，当线段EF 上的点到N 距离较小时，分两种情况：①当M 、N 在点E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴NE MN≤14，即-2-(m +2)2≤14，解得：m ≥-92，②当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，过M 作MG ⊥EF 于G ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴GM MN ≤14，即GM 2≤14，∴GM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴GM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[(m +2)-(-2)]≤12，解得m ≤-4+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到N 距离较小时，-92≤m ≤-4+22，当线段EF 上的点到M 距离较小时，也分两种情况：①当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴ME MN≤14，即-2-m 2≤14，解得m ≥-52，②当M 、N 在点E 右侧时，过M 作MH ⊥EF 于H ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴HM MN ≤14，即HM 2≤14，∴HM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴HM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[m -(-2)]≤12，解得：m ≤-2+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到M 距离较小时，-52≤m ≤-2+22，综上所述，线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，则-92≤m ≤-4+22或-52≤m ≤-2+22．【点评】本题考查一次函数应用，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．13(2022•泰州)定义：对于一次函数y 1=ax +b 、y 2=cx +d ，我们称函数y =m (ax +b )+n (cx +d )(ma +nc ≠0)为函数y 1、y 2的“组合函数”．(1)若m =3，n =1，试判断函数y =5x +2是否为函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，并说明理由；(2)设函数y 1=x -p -2与y 2=-x +3p 的图像相交于点P ．①若m +n >1，点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图像的上方，求p 的取值范围；②若p ≠1，函数y 1、y 2的“组合函数”图像经过点P ．是否存在大小确定的m 值，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图像与x 轴交点Q 的位置不变？若存在，请求出m 的值及此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，可知函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得P (2p +1,p -1)，当x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p-1)(m +n )，根据点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，有p -1>(p -1)(m +n )，而m +n >1，可得p <1；②由函数y 1、y 2的“组合函数” y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，知p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，即(p -1)(1-m -n )=0，而p ≠1，即得n =1-m ，可得y =(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，即(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，即可得m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【解答】解：(1)函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，理由如下：∵3(x +1)+(2x -1)=3x +3+2x -1=5x +2，∴y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，∴函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得x =2p +1y =p -1 ，∴P (2p +1,p -1)，∵y 1、y 2的“组合函数”为y =m (x -p -2)+n (-x +3p )，∴x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p -1)(m +n )，∵点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，∴p -1>(p -1)(m +n )，∴(p -1)(1-m -n )>0，∵m +n >1，∴1-m -n <0，∴p -1<0，∴p <1；②存在m =34时，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)，理由如下：由①知，P (2p +1,p -1)，∵函数y 1、y 2的“组合函数”y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，∴p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，∴(p -1)(1-m -n )=0，∵p ≠1，∴1-m -n =0，有n =1-m ，∴y =m (x -p -2)+n (-x +3p )=m (x -p -2)+(1-m )(-x +3p )=(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，变形整理得：(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，∴当3-4m =0，即m =34时，12x -32=0，∴x =3，∴m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．14(2024•钟楼区校级模拟)在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．(1)下列图形中两个三角形不是“共边全等”是③；AB，点E、F分别在AC、BC边(2)如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD=13上，满足ΔBDF和ΔEDF为“共边全等”，求CF的长；(3)如图2，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+12分别与直线y=x、x轴相交于A、B两点，点C是OB 的中点，P、Q在ΔAOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与ΔPCB“共边全等”时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】(1)由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；(2)DF为两个全等三角形的公共边，由于F点在BC边上，E在AC边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形(将图③的两条最长边重合形成)，分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到ΔADE为等边三角形，计算边长即可求得；(3)由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为PB边，由于要构成ΔPCB，所以P点只能在OA和OB边上，当P在OA边上，两个三角形可以在PB同侧，也可以在PB异侧，当在PB异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在PB同侧构图时，可以得到图6，当P在OB边上时，Q只能落在OA上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出Q点坐标．【解答】解：(1)①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，∴答案是③；(2)①如图1，当ΔBDF≅ΔEFD，且是共边全等时，∠BFD=∠EDF，∴DE⎳BC，∵ΔABC是等边三角形，∴ΔADE是等边三角形，AB=2，∵AD=13∴DE=AE=BF=2，∴CF=BC-BF=4，②如图2，当ΔBDF≅ΔEDF，且是共边全等时，BD=DE=6-AD=4，∠DEF=∠B=60°，EF=BF，∴∠AED+∠FEC=120°，又∠AED+∠EDA=120°，。

2018年中考数学专题训练__函数综合题(人版精选]

2018年中考数学专题训练__函数综合题(人版精选]

yx O CB A中考数学专题训练（函数综合）1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数x y 4=的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1，又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标.2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。

（1）求m 的取值范围；（2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是4.5 ，求这个一次函数的解析式。

3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2）， 点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y轴相交于点D ． （1）求点C 、D 的坐标；（2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标．4．如图四，已知二次函数223y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A ，点B ， 与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+，又tan 1OBC ∠=．（1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式；图2 O y x1 2 -1 1 -12y D C（图四）yO BCD xA（2）求ABC △的面积．5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90°得到OB .(1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式； (3)设点B 关于抛物线的对称轴 的对称点为C ，求△ABC 的面积。

6．如图，双曲线x y 5=在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B .(1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式；(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积.7．在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为)1m ，（，且3<m ，若△ABP 是等腰三角形，求点B 的坐标。

2023年中考数学专题训练——二次函数最值问题的综合

2023年中考数学专题训练——二次函数最值问题的综合

2023年中考数学专题训练——二次函数最值问题的综合一、综合题1．已知2318x t y t S x y =-=+=+，，.（1）求S 与t 的函数关系式；（2）当2t =时，求S 的值；（3）求S 的最大值或最小值.2．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+mx+5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（5，0）.（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标.（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标.3．已知函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b ，c 的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y 的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．4．已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为A （-1，0），与y 轴的交点坐标为C （0，3） .（1）求抛物线的解析式及与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）根据图象回答：当x 取何值时，y ＜0？（3）在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PA PC +的值最小时的点P 的坐标．5．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点()02F ，的距离与到x 轴的距离相等，如图，点M 的坐标为)3，，P 是抛物线2114y x =+上一动点，则（1）当POF 面积为4时，求P 点的坐标； （2）求PMF 周长的最小值．6．某商店销售一种成本为40元千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg ，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg（1）当销售单价为55元时，计算月销售量和销售利润；（2）当售价定为多少元时，会获得最大利润?求出最大利润.7．如图，用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB 的长为x 米，苗圃园的面积为y 平方米.（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）当x 为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？8．已知二次函数22y x bx b =++（b 为常数）．（1）若图象过28（，），求函数的表达式． （2）在（1）的条件下，当22x -≤≤时，求函数的最大值和最小值． （3）若函数图象不经过第三象限，求b 的取值范围9．如图，一次函数y kx b =+与二次函数2y ax =的图象交于()1A m ，和()24B -，（1）直接写出两个函数的解析式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线线上一个动点，过P 作PH y 轴与AB 交于H 点，当PH 为最大值时，求P 点坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）经过点()10A ，，点()03B ，．点P 在此抛物线上，其横坐标为m ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P 在x 轴上方时，结合图象，直接写出m 的取值范围．（3）若此抛物线在点P 左侧部分（包括点P ）的最低点的纵坐标为2m -．求m 的值．11．如图，已知抛物线过点()00O ，，()55A ，，其对称轴为2x =．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限．①当OAB 的面积为15时，求点B 的坐标；②P 是抛物线上的动点，当PA PB -取得最大值时，求点P 的坐标．12．如图，二次函数的图象过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC.（1）求二次函数的表达式，并求出函数的最大值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使PA ＋PC 最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m ）．（1）若二次函数的对称轴是直线x ＝3，求m 的值．（2）当m ＞2，0≤x≤3时，二次函数的最大值是7，求函数表达式．14．已知抛物线y ＝﹣x 2+bx ﹣c 的部分图象如图．（1）求b 、c 的值；（2）分别求出抛物线的对称轴和y 的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，过点()04A ，、()59B ，两点的抛物线的顶点C 在x 轴正半轴上．（1）求抛物线的解析式； （2）求点C 的坐标；（3）()P x y ，为线段AB 上一点，14x ≤≤，作//PM y 轴交抛物线于点M ，求PM 的最大值与最小值．16．已知二次函数y ＝3mx 2+2nx+p ．（1）若m ＝1，n ＝﹣1．①p ＝﹣8时，求该函数图象的顶点坐标；②当﹣2≤x≤2时，该函数图象与x 轴有且只有一个公共点，求p 的取值范围； （2）若m ＝﹣13，p ＝n+2019，﹣2≤x≤2时，该函数取得最大值2021，求n 的值．17．如图，在平面直角坐标系中，过点()04A ，、()59B ，两点的抛物线的顶点C 在x 轴正半轴上．（1）求抛物线的解析式； （2）求点C 的坐标；（3）()P x y ，为线段AB 上一点，14x ≤≤，作PMy 轴交抛物线于点M ，求PM 的最大值与最小值．18．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()10A ，，()30B ，两点，与y 轴交于点C ，3OC =．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．19．已知二次函数图象的顶点是()12-，，且过点302（，）．（1）求二次函数的表达式．（2）求当24x -<<时，函数的最大值和最小值． （3）求当x 取何值时，0y >20．绿色生态农场生产并销售某种有机产品，每日最多生产130kg ，假设生产出的产品能全部售出，每千克的销售价y 1（元）与产量x （kg ）之间满足一次函数关系y 1＝﹣ 35x+168，生产成本y 2（元）与产量x （kg ）之间的函数图象如图中折线ABC 所示.（1）求生产成本y 2（元）与产量x （kg ）之间的函数关系式； （2）求日利润为W （元）与产量x （kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少kg 时，这种产品获得的日利润最大？最大日利润为多少元？答案解析部分1．【答案】（1）解：将231x t y t =-=+，代入8S x y =+得：()()2238185S t t t t =-++=++，∴S 与t 的函数关系式为：285S t t =++.（2）解：将2t =代入285S t t =++得：2282525S =+⨯+=， ∴当2t =时25S =.（3）解：()2285411S t t t =++=+-， ∴当4t =-时，函数S 有最小值-11.【解析】【分析】（1）将第一个与第二个函数解析式代入第三个函数解析式中即可得出 S 与t 的函数关系式；（2）将t=2代入（1）所得函数解析式，即可算出s 的值；（3）将（1）所得函数解析式配成顶点式，由于二次项系数a=1＞0，图象开口向上，故可得出该函数的最小值.2．【答案】（1）解：将点（5，0）代入y ＝﹣x 2+mx+5得，0＝﹣25+5m+5，m ＝4， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x+5 y ＝﹣x 2+4x+5＝﹣（x ﹣2）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（2，9）（2）解：如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA+PC ＝PC+PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC+PB ＝BC 为最小值，即为PA+PC 的最小值，由抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x+5＝﹣（x ﹣2）2+9，可得点C 坐标为（0，5），点B 坐标为（5，0），对称轴l 为x ＝2，设直线BC 的解释为y ＝kx+b ，将点C （0，5），点B （5，0），代入y ＝kx+b 得， {0=5k +b 5=b， 解得15k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+5，联立方程，{y =−x +5x =2，解得 23x y =⎧⎨=⎩∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为（2，3）.【解析】【分析】（1）将点（5，0）代入y ＝﹣x 2+mx+5中，求出m 值得其解析式，从而求出顶点坐标；（2） 由点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，当点C 、点P 、点B 共线时，PC+PB ＝BC 为最小值，即为PA+PC 的最小值， 利用待定系数法求出直线BC 解析式，在求其与对称轴的交点坐标即可.3．【答案】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y ＝2x bx c -++，得∶{c =−3−36−6b +c =−3，解得：{b =−6c =−3； （2）解：由（1）得：该函数解析式为y ＝263x x ---＝2(3)6x -++， ∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），∵-1＜0∴抛物线开口向下， 又∵-4≤x≤0，∴当x ＝-3时，y 有最大值为6．（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，∴当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3时，y 随x 的增大而增大， ①当-3＜m≤0时，当x ＝0时，y 有最小值为-3，当x ＝m 时，y 有最大值为263m m ---，∴263m m ---+（-3）＝2，∴m ＝-2或m ＝-4（舍去）．②当m≤-3时，当x ＝-3时，y 有最大值为6， ∵y 的最大值与最小值之和为2， ∴y 最小值为-4， ∴2(3)6m -++=-4，∴m ＝310--m ＝310-+．综上所述，m ＝-2或310--【解析】【分析】（1） 把（0，-3），（-6，-3）代入y ＝2x bx c -++ 中求出b 、c 的值；（2） 由（1）得：该函数解析式为y ＝263x x ---＝2(3)6x -++， 可得顶点（-3，6），开口向下，可知当x=-3时y 值最大；（3） 由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，可得当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3时，y 随x 的增大而增大，分两种情况： ①当-3＜m≤0时，②当m≤-3时， 分别求出最大值与最小值，根据“ y 的最大值与最小值之和为2 ”列出方程并解之即可.4．【答案】（1）解：把点 a （-1，0）， C （0，-3）代入抛物线 y=x 2+bx+c 可得方程组103b c c -+=⎧⎨=-⎩ ，解方程组得：23b c =-⎧⎨=-⎩ ， 所以函数表达式为 2y x 2x 3--＝当 y 0= 时， 2x 2x 30--= ，解得 12x 1x 3=-=， ；另一个交点B 的坐标为（3，0）.（2）解：由图象可得：当 1x 3-<< 时， y ＜0.（3）解：如图，作对称轴，作直线BC ，交点P 就是所求的点。

人教中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类含答案

人教中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类含答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】解：作BF CE ⊥于F ，在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝，3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝，在Rt ADE ∆E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE的值．（用含α的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE=（3）1tan2BFPEα=【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．（2）BF1PE2=．证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=900—∠BMN ， ∠NPE=900—∠BMN ，∴∠MBN=∠NPE ． ∴△BMN ≌△PEN （ASA ）．∴BM=PE ．∵∠BPE=12∠ACB ，∠BPN=∠ACB ，∴∠BPF=∠MPF ． ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP=∠MFP=900．又∵PF=PF ， ∴△BPF ≌△MPF （ASA ）．∴BF="MF" ，即BF=12BM ． ∴BF=12PE ， 即BF 1PE 2=． （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．由（2）同理可得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．∴BM BNPE PN=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF=tan PEα． ∴BF 1=tan PE 2α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BNtan =PNα即可求得BF 1=tan PE 2α．3．已知Rt △ABC 中，AB 是⊙O 的弦，斜边AC 交⊙O 于点D ，且AD=DC ，延长CB 交⊙O 于点E ．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．4．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【考点】二次函数综合题．5．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ， 在△ADG 和△ABE 中，ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）． （2）解：∠FCN ＝45°，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°， ∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ， ∴EH ＝AD ＝BC ＝8， ∴CH ＝BE ， ∴EH FH FHAB BE CH==； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝8463FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标； （2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）． 【解析】 【分析】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx+c ，即可求解； （2）求出则点E （3，0），EH ＝EB•sin ∠OBC ＝5，CE ＝32，则CH ＝5，即可求解；（3）分点F 在y 轴负半轴和在y 轴正半轴两种情况，分别求解即可． 【详解】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3， 则点B 、C 的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c ＝﹣3， 将点B 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx ﹣3得：0＝﹣14×36+6b ﹣3，解得：b ＝2， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣14x 2+2x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6或2， 即点A （2，0），则点D （4，1）； （2）过点E 作EH ⊥BC 交于点H ，C 、D 的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1）， 直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3，则点E （3，0）， tan ∠OBC ＝3162OC OB ==，则sin ∠OBC 5，则EH ＝EB•sin ∠OBC 5CE＝32，则CH＝5，则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝35，∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：5＝2m，解得：m＝5CF22GF CG+5＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC ＝∠DBA+∠DCB ＝∠AEC ＝45°，是本题的突破口．7．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）如图1，求证：KE ＝GE ； （2）如图2，连接CABG ，若∠FGB ＝12∠ACH ，求证：CA ∥FE ； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CG 交AB 于点N ，若sin E ＝35，AK ＝10，求CN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD 是等腰三角形．证明见解析；（3201013【解析】 试题分析：（1）连接OG ，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA 可得∠AGO=∠OAG ，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG ，这样即可得到KE=GE ；（2）设∠FGB=α，由AB 是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE 可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE 中可得∠E=2α，由∠FGB=12∠ACH 可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH ，由此即可得到CA ∥EF ； （3）如下图2，作NP ⊥AC 于P ，由（2）可知∠ACH=∠E ，由此可得sinE=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，可得AC=5a ，CH=4a ，则tan ∠CAH=43CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=3AHHK=，10a ，结合10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ， 在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=43PN AP=，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=513，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：（1）如图1，连接OG ．∵EF 切⊙O 于G ， ∴OG ⊥EF ，∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD ⊥AB 于H ， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG ， ∴∠AGO=∠OAG ， ∴∠AGE=∠AKH ， ∵∠EKG=∠AKH ， ∴∠EKG=∠AGE ， ∴KE=GE ． （2）设∠FGB=α， ∵AB 是直径， ∴∠AGB=90°，∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，∵∠FGB=12∠ACH ， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E ， ∴CA ∥FE ．（3）作NP ⊥AC 于P ． ∵∠ACH=∠E ， ∴sin ∠E=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ， 则224AC CH a -=，tan ∠CAH=43CH AH =， ∵CA ∥FE ， ∴∠CAK=∠AGE ， ∵∠AGE=∠AKH ，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH=AHHK =3，AK=2210AH HK a+=，∵AK=10，∴1010a=，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH=43PNAP=，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN=PNCP=3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=513，∴CN=22PN CP+=410b⋅=2010 13．8．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求证：PA AD PC CD；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝35，CF＝5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）BE=12．【解析】【分析】（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=35，得到BEAB＝35，于是求得结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，∵AB⊥CG，∴弧AC=弧AG，∴∠ACF=∠ABC，∵∠PCA=∠ABC，∴∠ACF=∠CAF，∴CF=AF，∵CF=5，∴AF=5，∵AE∥PC，∴∠FAD=∠P，∵sin∠P=35，∴sin∠FAD=35，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，∴FD=3，AD=4，∴CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，∴r2=（r﹣4）2+82，∴r=10，∴AB=2r=20，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，∵sin∠EAD=35，∴35BEAB，∵AB=20，∴BE=12．【点睛】本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．9．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米，求条幅AE的长度．(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】在Rt ACF 中求AF 的长, 在Rt CEF 中求EF 的长,即可求解. 【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知：四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF 中，45ACF ∠=︒tan 1AFACF CF∴∠== 12AF ∴=在Rt CEF 中，30ECF ∠=︒ tan EFECF CF∴∠= 3123EF ∴=43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.10．已知：如图，在Rt △ABO 中，∠B =90°，∠OAB =30°，OA =3．以点O 为原点，斜边OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以点P （4，0）为圆心，PA 长为半径画圆，⊙P 与x 轴的另一交点为N ，点M 在⊙P 上，且满足∠MPN =60°．⊙P 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向左运动，设运动时间为ts ，解答下列问题： （发现）（1）MN 的长度为多少；（2）当t =2s 时，求扇形MPN （阴影部分）与Rt △ABO 重叠部分的面积．（探究）当⊙P 和△ABO 的边所在的直线相切时，求点P 的坐标．（拓展）当MN 与Rt △ABO 的边有两个交点时，请你直接写出t 的取值范围．【答案】【发现】（1）MN 的长度为π3；（23P 的坐标为10（，）；或230）或230（）；【拓展】t 的取值范围是23t ≤＜或45t ≤＜，理由见解析．【解析】 【分析】发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论； （2）先求出PA =1，进而求出PQ ，即可用面积公式得出结论； 探究：分圆和直线AB 和直线OB 相切，利用三角函数即可得出结论；拓展：先找出MN 和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论． 【详解】 [发现]（1）∵P （4，0），∴OP =4． ∵OA =3，∴AP =1，∴MN 的长度为6011803ππ⨯=． 故答案为3π； （2）设⊙P 半径为r ，则有r =4﹣3=1，当t =2时，如图1，点N 与点A 重合，∴PA =r =1，设MP 与AB 相交于点Q ．在Rt △ABO 中，∵∠OAB =30°，∠MPN =60°． ∵∠PQA =90°，∴PQ 12=PA 12=，∴AQ =AP ×cos30°3=∴S 重叠部分=S △APQ 12=PQ ×AQ 3= 即重叠部分的面积为38． [探究]①如图2，当⊙P 与直线AB 相切于点C 时，连接PC ，则有PC ⊥AB ，PC =r =1． ∵∠OAB =30°，∴AP =2，∴OP =OA ﹣AP =3﹣2=1； ∴点P 的坐标为（1，0）；②如图3，当⊙P 与直线OB 相切于点D 时，连接PD ，则有PD ⊥OB ，PD =r =1，∴PD ∥AB ，∴∠OPD =∠OAB =30°，∴cos ∠OPD PD OP =，∴OP 123303cos ==︒，∴点P 的坐标为（233，0）； ③如图4，当⊙P 与直线OB 相切于点E 时，连接PE ，则有PE ⊥OB ，同②可得：OP 233=； ∴点P 的坐标为（233-，0）；[拓展]t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5，理由：如图5，当点N 运动到与点A 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =2； 当t ＞2，直到⊙P 运动到与AB 相切时，由探究①得：OP =1，∴t 411-==3，MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，∴2＜t ≤3．如图6，当⊙P 运动到PM 与OB 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，此时t =4； 直到⊙P 运动到点N 与点O 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =5； ∴4≤t ＜5，即：t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键．。

2022-2023学年人教版中考数学复习《一次函数综合解答题》专题提升训练(附答案)

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2022-2023学年人教版中考数学复习《一次函数综合解答题》专题提升训练（附答案）1．直线y＝kx﹣2与坐标轴所围图形的面积为3，点A（3，m）是直线y＝kx﹣2上一点．（1）求点A的坐标；（2）点P在y轴上，且∠P AO＝30°，直接写出点P坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4（k＜0）交x轴于点A，交y轴于点B．已知△ABO为等腰直角三角形．（1）请直接写出k的值为；（2）将一次函数y＝kx+4（k≠0）中，直线y＝﹣1下方的部分沿直线y＝﹣1翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为图象G．已知在x轴有一动点P（n，0），过点P作x轴的垂线，交于点M，交图象G于点N．当点M在点N上方时，且MN＜2，求n的取值范围；（3）记图象G交x轴于另一点C，点D为图象G上一点，点E为图象G的对称轴上一点．当以A，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形时，则点D的坐标为．3．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．4．如图，一次函数y＝x+3的图象分别与y轴，x轴交于点A，B，点P从点B出发，沿射线BA以每秒1个单位的速度运动，设点P的运动时间为t秒．（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OP A的面积为3，求此时P的坐标；（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？请直接写出t的值．5．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”，（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的“坐标菱形”的面积为；（2）若点C（1，2），点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD解析式．6．在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的“中点形”的定义如下：对于图形W上的任意一点Q，连接PQ，取PQ的中点，由所有这些中点所组成的图形，叫做点P和图形W的“中点形”．已知C（﹣2，2），D（1，2），E（1，0），F（﹣2，0）．（1）若点O和线段CD的“中点形”为图形G，则在点H1（﹣1，1），H2（0，1），H3（2，1）中，在图形G上的点是；（2）已知点A（2，0），请通过画图说明点A和四边形CDEF的“中点形”是否为四边形？若是，写出四边形各顶点的坐标；若不是，说明理由；（3）点B为直线y＝2x上一点，记点B和四边形CDEF的中点形为图形M，若图形M 与四边形CDEF有公共点，直接写出点B的横坐标b的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，2），B（3，2），连接AB．若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“临近点”．（1）在点C（0，2），D（2，），E（4，1）中，线段AB的“临近点”是；（2）若点M（m，n）在直线y＝﹣x+2上，且是线段AB的“临近点”，求m的取值范围；（3）若直线y＝﹣x+b上存在线段AB的“临近点”，求b的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的中间点的定义如下：Q是图形W上一点，若M为线段PQ的中点，则称M为点P和图形W的中间点．C（﹣2，3），D（1，3），E（1，0），F（﹣2，0）（1）点A（2，0），①点A和原点的中间点的坐标为；②求点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围；（2）点B为直线y＝2x上一点，在四边形CDEF的边上存在点B和四边形CDEF的中间点，直接写出点B的横坐标n的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若PQ≤1，则称点P为直线l的关联点，当PQ＝1时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记PQ＝0．例如，点P（1，2）是直线y＝x的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝﹣x+3，l2：y＝2x+b．（1）已知点A（0，4），B（，1），C（2，3），上述各点是直线l1的关联点是；（2）若点D（﹣1，m）是直线l1的最佳关联点，则m的值是；（3）在（1）的条件下，点E在x轴的正半轴上，以OA、OE为边作正方形AOEF．若直线l2与正方形AOEF相交，且交点中至少有一个是直线l1的关联点，则b的取值范围是．10．对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是与；（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为；（3）若点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标；（4）如图，直线l经过点（0，﹣3）且平行于x轴．若点C是直线l上的一个动点，点M与N是点C的一对“相伴点”，在图中画出所有符合条件的点M，N组成的图形．11．在平面直角坐标系xOy中，对于点P与▱ABCD，给出如下的定义：将过点P的直线记为l P，若直线l P与▱ABCD有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线l P与▱ABCD的“穿越距离”，记作d（l P，▱ABCD）．例如，已知过点O的直线l O：y＝x与▱HIJK，其中H（﹣2，﹣1），I（1，﹣1），J（2，1），K（﹣1，1），如图1所示，则d（l O，▱HIJK）＝2．请解决下面的问题：已知▱ABCD，其中A（1，2），B（3，2），C（t，4），D（t﹣2，4）．（1）当t＝3时，已知M（2，3），l M为过点M的直线y＝kx+b．①当k＝0时，d（l M，▱ABCD）＝；当k＝1时，d（l M，▱ABCD）＝；②若d（l M，▱ABCD）＝，结合图象，求k的值；（2）已知N（﹣1，0），l N为过点N的直线，若d（l N，▱ABCD）有最大值，且最大值为2，直接写出t的取值范围．12．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF ＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．在此基础上，同学们进行了进一步的探究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？（填“是”或“否”）；（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．13．定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝x+3上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF是以EF为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．14．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为，即P'（3，6）（1）①点P（1，2）的“2属派生点”P′的坐标为；②若点P的“k属派生点”P′的坐标为（4，4），请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且OP＝2PP′，则k 的值；（3）如图，点Q的坐标为（0，4），点A在函数的图象上，且点A是点B的“−1属派生点”，当线段BQ最短时，求A点坐标．15．在平面直角坐标系xOy 中，若P ，Q 为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．图1为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．已知点A 的坐标为（1，2）．（1）如图2，点B 的坐标为（b ，0）．①若b ＝﹣2，则点A ，B 的“相关矩形”的面积是 ；②若点A ，B 的“相关矩形”的面积是8，则b 的值为 ．（2）如图3，点C 在直线y ＝﹣1上，若点A ，C 的“相关矩形”是正方形，求直线AC 的表达式．16．已知函数y ＝，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质：（1）自变量x 的取值范围是 ；（2）x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格：x… ﹣2.5 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 ﹣0.2 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 … y … 5.85 3.5 1.58 0 ﹣1.75 ﹣4.965.04 m n 2.92 4.56.65 …其中m ＝ ，n ＝ ．（3）图中画出了函数的一部分图象，请根据表中数据，用描点法补全函数图象；（4）请写出这个函数的一条性质：；（5）结合图象，直接写出方程的所有实数根：．17．在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF 的投影矩形，其投影k＝．（1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比的值为；（2）已知点C（4，0），在函数y＝﹣2x+4（其中x＞0）的图象上有一点D，若△OCD 的投影比k＝2，求点D的坐标；（3）已知点E（3，2），点F（3，4），在直线y＝x+1上有一动点P，若△PEF的投影比k＜2，则点P的横坐标m的取值范围是（直接写出答案）．18．在平面直角坐标系xOy中，对任意两点A（x A，y B）与B（x B，y B）的“识别距离”，给出如下定义：若|x A﹣x B|≥|y A﹣y B|，则点A（x A，y A）与B（x B，y B）的“识别距离”D AB ＝|x A﹣x B|；若|x A﹣x B|＜|y A﹣y B|，则A（x A，y A）与B（x B，y B）的“识别距离”D AB＝|y A ﹣y B|；即D AB＝max{|x A﹣x B|，|y A﹣y B|}．已知点A（1，0），点B（﹣1，4），（1）A、B两点之间的识别距离D AB＝．（2）在图1中的平面直角坐标系中描出到点A的识别距离为2的点．（3）如图2，点C，点D，和点E分别是直线m，直线n，和直线p上的点，若点C、D、E到点A的识别距离最小，求出C、D、E的坐标．19．如图1，A、C是平面内的两个定点，∠BAC＝20°，点P为射线AB上一动点，过点P 作PC的垂线交直线AC于点D．设∠APC的度数为x°，∠PDC的度数为y°．小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）如图1，当x＝40°时，依题意补全图形；（2）在图2中，按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；x°406080100y°（3）在平面直角坐标系xOy中，①描出表中各组数值所对应的点（x，y）；②通过研究①中点构成的图象，当y＝50时，x的值为；（4）用含x的代数式表示y为：．20．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）如表是y与x的几组对应值．m的值为；x﹣2﹣﹣1﹣1234…y0﹣m﹣1…（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．（5）结合函数图象估计﹣x﹣4＝0的解的个数为个．参考答案1．解：（1）直线y＝kx﹣2，当x＝0，则y＝﹣2，当y＝0，则x＝，∴直线y＝kx﹣2与坐标轴的交点坐标为（0，﹣2）和（，0），∵直线y＝kx﹣2与坐标轴所围图形的面积为3，∴×|2|×||＝3，解得k＝±，∴直线的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x﹣2，把点A（3，m）代入y＝x﹣2，得m＝0，∴A（3，0），把点A（3，m）代入y＝﹣x﹣2，得m＝﹣4，∴A（3，0），∴点A的坐标为（3，0）或（3，﹣4）；（2）①当点A的坐标为（3，0）时，如图，在Rt△POA中，∠P AO＝30'，∠POA＝90°，OA＝3，∴OP＝，∴点P（0，）或点P（0．﹣）；②当点A的坐标是（3，﹣4）时，如图，作PB⊥AO于B，AC⊥y轴于点C，则∠PBO＝∠ACO＝90°，AC＝3．OC＝4，AO＝＝5，设PB＝3a（a＞0），∵∠POB＝∠AOC，∴△PBO∽△ACO，∴，∴，∴PO＝5a，∴PC＝PO+OC＝5a+4，∵∠P AO＝30°，∴P A＝2PB＝6a，∵AC2+PC2＝P A2，∴32+（5a+4）2＝（6a）2，解得a＝（负值不合题意，舍去），∴OP＝，∴点P（0，）；③当点A的坐标是（3，﹣4）时，如图，作PB⊥AO于B，AC⊥y轴于点C，则∠PBO＝∠ACO＝90°，AC＝3．OC＝4，AO＝＝5，设PB＝3a（a＞0），∵∠POB＝∠AOC，∴△PBO∽△ACO，∴，∴，∴PO＝5a，∴PC＝OC﹣PO＝4﹣5a，∵∠P AO＝30°，∴P A＝2PB＝6a，∵AC2+PC2＝P A2，∴32+（4﹣5a）2＝（6a）2，解得a＝（负值不合题意，舍去），∴OP＝，∴点P（0，）．综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．2．（1）对于一次函数y＝kx+4（k＜0），令x＝0，则y＝4，故点B（0，4），则OB＝4，∵△ABO为等腰直角三角形，故OA＝OB＝4，故点A（4，0），将点A的坐标代入y＝kx+4并解得k＝﹣1，故答案为﹣1；（2）设图象的翻折点为R，当y＝﹣1时，则﹣x+4＝﹣1，解得x＝5，即点R（5，﹣1），图象的对称轴为x＝5，①当点P在对称轴左侧时，则图象G的解析式为：y＝﹣x+4，∴点N在直线y＝﹣x+4上运动．当M，N重合时，此时n有最小值为，当MN＝2时，此时n有最大值，则根据题意有：，∴解得，∴；②当点P在对称轴右侧时，则图象G的解析式为：y＝x﹣6，∴点N在直线y＝x﹣6上运动．当MN＝2时，此时n有最小值，则根据题意有：，∴解得n＝12，当M，N重合时，此时n有最大值为16，∴12＜n＜16，综上，或12＜n＜16；（3）则设直线RC的表达式为y＝x+b，将点R的坐标代入上式并解得：b＝﹣6，故直线RC的表达式为y＝x﹣6，令y＝0，即x﹣6＝0，解得x＝6，故点C（6，0），①当AC是边时，当点D在点E的左侧时，则ED＝AC＝6﹣4＝2，故点D的横坐标为5﹣2＝3，当x＝3时，y＝﹣x+4＝1，故点D（3，1），此时，点E（5，1），符合条件；当点E在点E的右侧时，同理可得，点D（7，1）；②当AC是对角线时，如上图，则点D（5，﹣1），而点E（5，1），AD＝CD＝AE＝EC＝，故符合条件，故点D（5，﹣1）；综上，点D的坐标为（5，﹣1）或（3，1）或（7，1），故答案为：（5，﹣1）或（3，1）或（7，1）．3．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），∴AB＝＝2，由题意可知，AB是正方形对角线的一半，∴正方形的边长为2，∴正方形的面积为40，∴顶点A、B的“领域”的面积为40；故答案为40；（2）①如图，∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，∴AB与x轴的所成锐角为45°，当点B在A左侧，设B（2﹣a，a），∴AB＝＝a，∵点A、B的“领域”的面积为16，∴16＝，∴a＝2，∴点B（0，2），当点B在点A右侧，设B'（2+a，a）∴AB'＝a，∵点A、B的“领域”的面积为16，∴16＝，∴a＝2，∴点B（4，2），综上所述：B（4，2）或B（0，2）；②如图2，过点B作BM⊥AM，∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，∴AB与直线x＝2的所成锐角为45°，∴BM＝AM，设点B（a，﹣3a+2），∴AM＝|m+3a﹣2|，BM＝|2﹣a|∴AB＝|2﹣a|，∵点A、B的“领域”的面积不超过16，∴≤16∴0≤a≤4，∵BM＝AM，∴|m+3a﹣2|＝|2﹣a|∴m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，∴﹣12≤m≤4，或﹣8≤m≤0，综上所述：﹣12≤m≤4．4．解：（1）当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝4，则A（0，3），B（4，0），∴AO＝3，BO＝4，设点P的坐标为（m，﹣m+3），∵△OP A的面积为3，∴×3×|m|＝3，解得：m＝±2，∴点P的坐标为（﹣2，）或（2，）．（2）由题意可知BP＝t，AP＝5﹣t，当△AOP为等腰三角形时，有AP＝AO、AP＝OP和AO＝OP三种情况．①当AP＝AO时，则有5﹣t＝3，解得t＝2；或t﹣5＝3，解得t＝8；②当AP＝OP时，过P作PM⊥AO，垂足为M，如图1，则M为AO中点，故P为AB中点，此时t＝；③当AO＝OP时，过O作ON⊥AB，垂足为N，如图2，则NP＝AN＝AP＝（5﹣t），∵S△AOB＝∴ON＝，∵OB2＝ON2+NB2，∴16＝+（t+﹣）2，∴t＝综上可知当t的值为2、8、和时，△AOP为等腰三角形．5．解：（1）如图1∵点A（2，0），B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝2∴AC＝4，BD＝4∴以AB为边的“坐标菱形”的面积＝＝8，故答案为：8；（2）如图2，∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y＝5的夹角是45°，过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），设直线CD解析式为y＝kx+b，由题意可得或解得：或∴直线CD的表达式为：y＝x+1或y＝﹣x+3；6．解：（1）∵点C的坐标为（﹣2，2），点D的坐标为（1，2），∴线段OC的中点坐标为（﹣1，1），线段OD的中点坐标为（，1）．∵﹣1＝﹣1，﹣1＜0＜，∴点H1（﹣1，1），H2（0，1）在图形G上．故答案为：H1，H2．（2）∵C（﹣2，2），D（1，2），E（1，0），F（﹣2，0），A（2，0），∴线段AC的中点坐标为（0，1），线段AD的中点坐标为（，1），线段AE的中点坐标为（，0），线段AF的中点坐标为（0，0）．依照题意，画出图形，如图1所示．∴点A和四边形CDEF的“中点形”是四边形，各定点的坐标分别为：（0，1），（，1），（，0），（0，0）．（3）∵点B在直线y＝2x上，且点B的横坐标为b，∴点B的坐标为（b，2b）．∵C（﹣2，2），D（1，2），E（1，0），F（﹣2，0），A（2，0），∴线段BC的中点坐标为（b﹣1，b+1），线段BD的中点坐标为（b+，b+1），线段BE的中点坐标为（b+，b），线段BF的中点坐标为（b﹣1，b）．依照题意，画出图形，如图2所示．∵图形M与四边形CDEF有公共点，∴或，解得：﹣1≤b≤0或1≤b≤2．7．解：（1）C（0，2），D（2，）是线段AB的“临近点”．理由是：∵点P到直线AB的距离≤1，A、B的纵坐标都是2，∴AB∥x轴，2﹣1＝1，2+1＝3，∴当横坐标1≤x≤3纵坐标1≤y≤3范围内时，该点是线段AB的“临近点”，∵D（2，），∴D（2，）是线段AB的“临近点”；∵C（0，2），A（1，2），∴AC＝2﹣1＝1，∴C（0，2）是线段AB的“临近点”．故答案为：C和D．（2）如图，设y＝﹣x+2与y轴交于M，与A2B2交于N，易知M（0，2），∴m≥0，易知N的纵坐标为1，代入y＝﹣x+2，可求横坐标为，∴m≤∴0≤m≤．（3）当直线y＝﹣x+b与半圆A相切时，b＝2﹣．当直线y＝﹣x+b与半圆B相切时，b＝2+．∴2﹣．8．解：（1）①∵点A的坐标为（2，0），∴点A和原点的中间点的坐标为（，），即（1，0）．故答案为：（1，0）．②如图1，点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′．由题意可知：点C′为线段AC的中点，点D′为线段AD的中点．∵点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（﹣2，3），点D的坐标为（1，3），∴点C′的坐标为（0，），点D′的坐标为（，），∴点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围为0≤m≤．（2）∵点B的横坐标为n，∴点B的坐标为（n，2n）．当点B和四边形CDEF的中间点在边EF上时，有，解得：﹣≤n≤0；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，有，解得：1≤n≤3．综上所述：点B的横坐标n的取值范围为﹣≤n≤0或1≤n≤3．9．解：（1）如图1，将点A（0，4）的纵坐标分别代入直线l1：y＝﹣x+3，得：x＝﹣1∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是﹣1，0﹣（﹣1）＝1，∴点A是直线l1的关联点；将点B（，1）的纵坐标分别代入直线l1：y＝﹣x+3，得：x＝2，∴2﹣＝＜1，∴点B是直线l1的关联点；将点C（2，3）的纵坐标分别代入直线l1：y＝﹣x+3，得：x＝0，∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是0，2﹣0＝2＞1，∴点C不是直线l1的关联点；故答案为：A，B；（2）将点D的纵坐标分别代入直线l1：y＝﹣x+3，得：x＝3﹣m，∴过点D垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是3﹣m，∵点D（﹣1，m）是直线l1的最佳关联点，∴丨3﹣m﹣（﹣1）丨＝丨4﹣m丨＝1，解得：m＝3或5，故答案为：3或5；（3）如图2，由图可得，直线l2的位置l3与l4之间或l5与l6之间时，符合要求，直线与l3正方形AOEF相交于A（0，4）时，b＝4，直线l4与正方形AOEF相交于A（0，2）时，b＝2，直线l5与正方形AOEF相交于F（4，4）时，b＝﹣4，直线l6与正方形AOEF相交于E（4，0）时，b＝﹣8，∴b的取值范围为2≤b≤4或﹣8≤b≤﹣4．故答案为：2≤b≤4或﹣8≤b≤﹣4．10．解：（1）∵Q（4，﹣1），∴a＝4+（﹣1）＝3，b﹣（﹣1）＝1，∴点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是（1，3）与（3，1），故答案为：（1，3），（3，1）；（2）∵点A（8，y），∴a＝8+y，b＝﹣y，∴点A（8，y）的一对“相伴点”的坐标是（8+y，﹣y）和（﹣y，8+y），∵点A（8，y）的一对“相伴点”重合，∴8+y＝﹣y，∴y＝﹣4，故答案为：﹣4；（3）设点B（x，y），∵点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），∴或，∴或，∴B（6，﹣7）或（6，1）；（4）设点C（m，﹣3），∴a＝m﹣3，b＝3，∴点C的一对“相伴点”的坐标是M（m﹣3，3）与N（3，m﹣3），当点C的一个“相伴点”的坐标是M（m﹣3，3），∴点M在直线m：y＝3上，当点C的一个“相伴点”的坐标是N（3，m﹣3），∴点N在直线n：x＝3上，即点M，N组成的图形是两条互相垂直的直线m与直线n，如图所示，11．解：（1）当t＝3时，A（1，2），B（3，2），C（3，4），D（1，4），∴此时四边形ABCD为正方形，如图1所示，∵直线l M过点M（2，3），∴3＝2k+b，即b＝3﹣2k，∴①当k＝0时，直线l M为y＝3，由图知，此时d（l M，▱ABCD）＝2，故答案为：2，当k＝1时，直线l M为y＝x+1，由图知，此时d（l M，▱ABCD）＝2，故答案为：2，②由①知，直线l M为y＝kx+3﹣2k，如图1②，设直线l M与AD交于点F，与BC交于点G，∴F（1，﹣k+3），G（3，k+3），过F作FH⊥BC于H，则FH＝2，∵FG＝，∴GH＝＝1，∴k+3﹣（﹣k+3）＝1，∴k＝，由正方形的对称性可知，k＝﹣也符合题意，故k的值为±；如图1③，设直线l M与CD交于点P，与AB交于点Q，∴P（，4），Q（，2），过Q作QN⊥CD于N，则QN＝2，∵PQ＝，∴PN＝＝1，∴﹣＝1，解得k＝2，由正方形的对称性可知，k＝﹣2也符合题意，故k的值为±2；综上，k的值为或±2；（2）如图2，设直线l N与CD边的交点为P，作PH⊥AB交AB延长线于H，由题知PB＝，PH＝2，∴BH＝＝4，即P点坐标为（7，4），由题知P点在CD上，且不能与C点重合，∴7＜t≤7+2，即7＜t≤9．12．解：（1）仍然成立，如图2，在AB上截取BH＝BE，连接HE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵BH＝BE，AB＝BC，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，AH＝CE，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF，故答案是：是；（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝＝a，∴BM＝1+a，∴点F（1+a，a），∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴点E（，0）．13．解：（1）∵A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，∴点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，m+3），①∵M是点D、E的“美妙点”．∴x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+3）＝m+9，∴m＝x﹣3，∴y＝（x﹣3）+9＝x+；②由①得，点M（9+3m，m+9），如图1，当∠MEF为直角时，则点M（3，6），∴9+3m＝3，解得：m＝﹣2；∴点D（﹣2，2）；当∠MFE是直角时，如图2，则9+3m＝m，解得：m＝﹣，∴点D（﹣，）；综上，点D（﹣2，2）或（﹣，）．14．解：（1）①由题意得：1+＝2，2×1+2＝4，则点P'的坐标为P'（2，4），故答案为：（2，4）；②设点P的坐标为P（a，b），由题意得：，可得4k＝4，即k＝1，∴a+b＝4，当a＝1时，b＝4﹣a＝3，此时点P的坐标为P（1，3），故答案为：（1，3）（答案不唯一）；（2）由题意，设点P的坐标为P（c，0），且c＞0则点P'的坐标为P′（c+，kc+0），即P'（c，kc），∴OP＝c，PP'＝|kc|＝|k|c，∵OP＝2PP'，∴c＝2|k|c，即2|k|＝1，解得k＝±，故答案为：±；（3）设点B的坐标为B（x，y），则点A的坐标为A（x﹣y，﹣x+y），∵点A在函数y＝x+2+2的图象上，∴−x+y＝（x−y）+2+2，整理得：y＝x+2，则点B在直线y＝x+2上，如图，过点Q作直线y＝x+2的垂线，垂足为点B，则此时线段BQ最短，设直线y＝x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，则C（﹣2，0），D（0，2），∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝45°，DQ＝2，∴∠BDQ＝45°，∴BD＝，过点B作BH⊥y轴于H，∴BH＝DH＝1，∴OH＝3，∴B（1，3），∴点A的坐标为A（﹣2，2）．15．解：（1）①如图：∵b＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），∵点A的坐标为（1，2），∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（1+2）×2＝6，故答案为：6；②如图：由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣1|×2＝8，∴|b﹣1|＝4，∴b＝5或b＝﹣3，故答案为：5或﹣3；（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3，∵点C在直线y＝﹣1上，点A，C的“相关矩形”AGCH是正方形，∴正方形AGCH的边长为3，当点C在直线x＝1右侧时，如图：∴CG＝AG＝3，∴C（4，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3，当点C在直线x＝1左侧时，如图：∴CG＝AG＝3，∴C（﹣2，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝k′x+b'，则，解得：，∴直线AC的表达式为：y＝x+1，综上所述，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；16．解：（1）x≠0．故答案为：x≠0．（2）x＝0.5时，m＝0.25+2＝2.25，x＝1时，n＝1+1＝2，故答案为：2.25，1．（3）函数图象如图所示：（4）当x＜0时，y随x的增大而减小．（5）观察图象可知方程的所有实数根为x＝﹣0.5或1或1.8．故答案为：x＝﹣0.5或1或1.8．17．解：（1）过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为D、C，如答图1．则矩形ODBC为△OAB的投影矩形，∵B（3，5），∴BD＝5，OC＝3，∴△OAB的投影比k的值为．故答案为：．（2）∵点D在直线y＝﹣2x+4上，∴设点D坐标为（m，﹣2m+4），m＞0，分以下两种情况：①当0≤m≤2时，如答图2．作投影矩形OCQP，∵OC＞QC，∴投影比k＝，得m＝1．故点D坐标为（1，2）；②当2＜m≤4时，如答图3．作投影矩形OCMN，∵OC＞ON，∴投影比k＝，得m＝3．故点D坐标为（3，﹣2）；③当m＞4时，如答图4．作投影矩形OEDF，∵OE＝m，OF＝2m﹣4，∴OF＞OE，∴投影比k＝，解此方程无解．∴当m＞4时，满足条件的点D不存在．综上所述，点D坐标为（1，2）或（3，﹣2）．（3）令y＝x+1中y＝2，解得x＝1．设点P坐标为（m，m+1）．①当m≤1时，作投影矩形P AFB，如答图5所示．∵P A＝3﹣m，F A＝4﹣（m+1）＝3﹣m，∴△PEF的投影比k＝＜2．∴m≤1符合题意；②当1＜m＜2时，作投影矩形CEFD，如答图6所示．∵EF＝4﹣2＝2，EC＝3﹣m，EF＞EC，∴△PEF的投影比k＝，∵1＜m＜2，∴1＜k＜2．∴当1＜m＜2时符合题意；③当2＜m＜3时，作投影矩形GEFH，如答图7所示．∵EF＝4﹣2＝2，EG＝3﹣m，EF＞EG，∴△PEF的投影比k＝，∵2＜m＜3，∴k＞2，不符合题意；④当m＞3时，作投影矩形EIPJ，如答图8所示．∵PI＝m+1﹣2＝m﹣1，EI＝m﹣3，m﹣1＞m﹣3，∴△PEF的投影比k＝，当m＞3时，k＜2．符合题意．综上所述，点P的横坐标m的取值范围是m＜2或m＞3．故答案为：m＜2或m＞3．18．解：（1）∵＝＝2，＝＝4，∴＜，∴D AB＝max{|x A﹣x B|，|y A﹣y B|}＝＝4．故答案为：4．（2）如图1，四边形EFGH边上的所有点均为到点A的识别距离为2的点．（3）【解法1】如图2，点C在直线m上，CQ⊥OA于Q，取点C与点A的“识别距离”的最小值时，根据运算定义：若|x A﹣x B|≥|y A﹣y B|，则点A（x A，y A）与B（x B，y B）的“识别距离”D AB＝|x A﹣x B|；此时，|x A﹣x B|＝|y A﹣y B|，即AQ＝CQ，直线m经过原点O，设直线m解析式为y＝kx，∵直线m经过（1，1），∴k＝1∴直线m解析式为y＝x，设点C（x C，y C），则y C＝x C，根据识别距离的定义，得：1﹣x C＝x C，解得：x C＝，∴y C＝，∴C（，）；如图3，点D在直线n上，DQ⊥OA于Q，取点D与点A的“识别距离”的最小值时，根据运算定义：若|x A﹣x B|≥|y A﹣y B|，则点A（x A，y A）与B（x B，y B）的“识别距离”D AB＝|x A﹣x B|；此时，|x A﹣x B|＝|y A﹣y B|，即AQ＝DQ，直线n经过（﹣2，1），（0，2），可求得直线n解析式为y＝x+2，设D（x D，+2），则：1﹣x D＝+2解得：x D＝，∴y D＝，∴D（，）；如图4，直线p经过（1，﹣3），（2，﹣1），运用待定系数法可得：直线p解析式为：y ＝2x﹣5，设点E（x E，2x E﹣5），则：x E﹣1＝0﹣（2x E﹣5），解得：x E＝2，∴E（2，﹣1）．综上所述，C（，），D（，），E（2，﹣1）．【解法2】如图2，∵直线m经过（0，0），（1，1），∴直线m上的点横坐标＝纵坐标，∵点C在直线m上，∴C（a，a），∴|a﹣1|＝|a﹣0|，∴a﹣1＝a或a﹣1＝﹣a，解得：a＝，∴C（，）；如图3，∵直线n经过（0，2），（2，3），∴直线n上的点变化规律为横坐标±2，纵坐标±1，∴D（0+b，2+b），∴|b﹣1|＝|2+b﹣0|，∴b﹣1＝2+b或b﹣1＝﹣（2+b），解得：b＝6（舍去）或b＝﹣，∴D（，）；如图4，直线p经过（1，﹣3），（2，﹣1），∴直线n上的点变化规律为横坐标±1，纵坐标±2，∴E（1+k，﹣3+2k），∴|1+k﹣1|＝|﹣3+2k﹣0|，∴k＝2k﹣3或k＝3﹣2k，解得：k＝3（舍去）或k＝1，∴E（2，﹣1）；综上所述，C（，），D（，），E（2，﹣1）．19．解：（1）依题意补全的图形如图1：（2）当x＝40°时，即∠APC＝40°，从图1看∠APD＝90°，∠P AD＝∠BAC＝20°，∴∠PCD＝∠P AD+∠APC＝60°，则∠PDC＝90°﹣60°＝30°＝y，同理可得：x＝60时，y＝10，x＝80时，y＝10，x＝100时，y＝30，故答案为：30，10，10，30；（3）①描点连线绘出函数图象如下（图2）：②从图上看，当y＝50时，x＝20或120，故答案为20或120；（4）当x＞70时，从图象看，函数为一次函数，设函数的表达式为y＝kx+b，将（70，0）、（80，10）代入上式并解得，故函数的表达式为y＝x﹣70；当x＜70时，同理可得：函数的表达式为y＝﹣x+70，故答案为：y＝．20．解：（1）由题意得：x+2≥0且x≠0，解得x≥﹣2且x≠0，故答案为x≥﹣2且x≠0；1（2）当x＝﹣1时，y＝＝＝﹣1＝m，故答案为﹣1；（3）描点连线绘出如下函数图象：（4）从图象看，在每个象限内，函数y随x增大而减小，故答案为在每个象限内，函数y随x增大而减小（答案不唯一）；（5）在（3）的基础上，画出y＝x+4的图象，从图象看，两个函数有1个交点，故答案为1．。

2021中考数学专题训练--函数综合题(人教版精选)含解析

2021中考数学专题训练--函数综合题(人教版精选)含解析

中考数学专题训练〔函数综合〕1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数x y 4=的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1，又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . 〔1〕求一次函数的解析式；〔2〕求点B 的坐标.2．一次函数y=〔1-2x 〕m+x+3小。

〔1〕求m 的取值范围；〔2的解析式。

3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 〔1〕求点C 、D 的坐标；〔2〕求图象经过B 、D 、A 4．如图四，二次函数223y ax ax =-+的图像与x 轴交于点与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y 又tan 1OBC ∠=．〔1〕求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式；〔2〕求ABC △的面积． 5．在直角坐标系中，点A 的坐标是〔-3，1〕，将线段OA (1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O (3)设点B 关于抛物线的对称轴 的对称点为C ，求△ABC 6．如图，双曲线x y 5=在第一象限的一支上有一点C 〔1，5轴交于点A 〔a ，0〕、与y 轴交于点B .(1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； (2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是7．在直角坐标系中，把点A 〔－1，a 〕〔a A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． 〔1〕求这条抛物线的解析式； 〔2为)1m ，（，且3<m ，假设△ABP 是等腰三角形，求点B 8．在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数2y x bx c =-++过A 〔-1，0〕和点B 〔0，3〕，顶点为P 。

（1） 求二次函数的解析式及点P 的坐标；（2） 假如点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c=-++〔1〕求抛物线的表达式及其顶点坐标；〔2〕过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ， ①求△ABC 的面积；②在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P 点坐标．10．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x =沿y 轴向上平移1x 轴向右平移两个单yx图7OAB C y x 〔图16〕位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3x =与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ． 〔1〕求△ABC 面积；〔2〕点P 在平移后抛物线的对称轴上，假如△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标． 11．如图，直线OA 与反比例函数的图像交于点A(3，3)，向下平移直线OA ，与反比例函数的图像交于点B(6，m)与y 轴交于点C ．〔1〕求直线BC 的解析式； 〔2〕求经过A 、B 、C 三点的二次函数的解析式；〔3〕设经过A 、B 、C 三点的二次函数图像的顶点为D ，对称轴与x 轴的交点为E ．问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P ，使以O 、E 、P 为顶点的三角形与△BCD 相似？假设存在，恳求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．12．二次函数图像过A 〔2，1〕B 〔0，1〕和C 〔1，-1〕三点。

中考数学二次函数专题训练50题(含参考答案)

中考数学二次函数专题训练50题(含参考答案)

中考数学二次函数专题训练50题含答案一、单选题1．二次函数y ＝﹣2x 2﹣1图象的顶点坐标为（ ） A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（﹣2，1）2．下列函数图象不属于中心对称图形的是（ ） A ．20222023yxB ．220222023yx x C ．2023y =- D ．2022xy =-3．下列关系式中，属于二次函数的是（ ）A ．22y x =-B ．y =C ．31y x =-D ．1y x=4．若抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，则a 的取值范围是（ ） A ．2a <B ．2a >C ．a<0D ．0a >5．已知点1(4)y -，、2(1)y -，、353y ⎛⎫⎪⎝⎭，都在函数245y x x =--+的图象上，则123y y y 、、的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >> 6．在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =+-，绕原点旋转180°，所得到的抛物线的函数关系式是（ ） A ．221y x x =-+ B ．221y x x =--- C ．221y x x =-+-D ．221y x x =-++7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限，则（ ） A ．0,0,0a b c >>> B ．0,0,0a b c <<= C ．0,0,0a b c <D ．0,0,0a b c >>=8．二次函数241y mx x =-+有最小值3-，则m 等于（ ） A ．1B ．1-C ．1±D ．12±9．已知点 A （−1，a ），B （1，b ），C （2，c ）是抛物线 y = -2x + 2x 上的三点，则 a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>c>bB ．b>a>cC ．b>c>aD ．c>a>b10．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是（）A．235B．5C．6D．25411．如图，已知直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，则①abc、①a﹣b+c、①a+b+c、①2a﹣b、①3a﹣b，其中是负数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x+4）2+7C．y=（x﹣4）2﹣25D．y=（x+4）2﹣2513．若二次函数y=（x﹣k）2+m，当x≤2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k=2B．k＞2C．k≥2D．k≤214．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：则方程ax2＋bx＋3＝0的根是（）A．0或4B．1或3C．-1或1D．无实根15．二次函数图像如图所示，下列结论：①0abc >，①20a b +=，①，①方程20ax bx c ++=的解是-2和4，①不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0，①3a ﹣b ＝0，①a ＋b ＋c ＝0，①9a ﹣3b ＋c ＜0，①b 2﹣4ac ＞0.其中正确的有（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①17．将抛物线y=2x2向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ） A ．y=2（x+1）2B ．y=2（x ﹣1）2C ．y=2x2﹣1D ．y=2x2+118．如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac <0；①2a ﹣b=0；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；①方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，x 2=3；①30a c +=；①对于任意实数m ，2am bm a b +≥+总是成立的．正确的说法有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．519．如图是二次函数21y ax bx c =++，反比例函数2my x=在同一直角坐标系的图象，若y 1与y 2交于点A (4，yA )，则下列命题中，假命题是( )A ．当x ＞4时，12y y ＞B ．当1x <-时，12y y ＞C ．当12y y ＜时，0＜x ＜4D ．当12y y ＞时，x ＜020．如图是二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为x =12， 且经过点（2，0），下列结论正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．2-4ac<0bC ．a+b=1D ．当x ＞2或x ＜-1时，y ＜0二、填空题21．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；①在第一象限内函数y 随自变量x 的增大而减少，则这个函数的表达式为__________． 22．抛物线()269y x =-++的顶点坐标是______． 23．抛物线244y x x =+-的对称轴是直线______． 24．抛物线y ＝－（x －1）2－2的顶点坐标是________．25．二次函数210y ax bx a =+≠-（）的图象经过点（1，1），则代数式1a b --的值为______． 26．将抛物线2yx 向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是______；27．若抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是（1，4），（5，4），则这条抛物线的对称轴是直线____________．28．抛物线 245y x x =-+，当34x -≤≤时，y 的取值范围是___________ 29．已知二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是______．30．如图，抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点B ，C 作一条直线l ． （1）ABC ∠的度数是______；（2）点P 在线段OB 上，且点P 的坐标为()2,0，过点P 作PM x ⊥轴，交直线l 于点N ，交抛物线于点M ，则线段MN 的长为______．31．如图，一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m ＝_____．32．二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的图象的解析式为_____．33．如图，直角梯形OABC 的直角顶点是坐标原点，边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．OA ①BC ，D 是BC 上一点，BD =14OA AB =3，①OAB =45°，E ，F 分别是线段OA ，AB 上的两个动点，且始终保持①DEF =45°．设OE =x ，AF =y ，则y 与x 的函数关系式为_____．34．已知某抛物线上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是_____．35．已知点A(－3，m)在抛物线y ＝x 2＋4x ＋10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为________．36．若二次函数()22212y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为：________．此函数图象的顶点和它与x 轴的两个交点所确定的三角形的面积为：________.37．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如表下列结论：①ac ＜0； ①当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小； ①当2x =时，5y =； ①3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根. 其中正确的结论是_________（填正确结论的序号）.38．如图所示，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象，下列结论中：0abc >①； 40a c +>②；③若t 为任意实数，则有2a bt at b -≥+； ④若函数图象经过点()2,1，则311222a b c ++=；⑤当函数图象经过()2,1时，方程210ax bx c ++-=的两根为1x ，212()x x x <，则1228x x -=-．其中正确的结论有______．39．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的动点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ．则四边形EFGH 面积的最小值为___．40．如图，已知二次函数2y x 2x 3=-++的图象与y 轴交于点A ，MN 是该抛物线的对称轴，点P 在射线MN 上，连结PA ，过点A 作AB AP ⊥交x 轴于点B ，过A 作AC MN ⊥于点C ，连结PB ，在点P 的运动过程中，抛物线上存在点Q ，使QAC PBA ∠∠=，则点Q 的横坐标为______．三、解答题41．已知抛物线y =x 2+（b -2）x +c 经过点M （-1，-2b ）． （1）求b +c 的值．（2）若b =4，求这条抛物线的顶点坐标．42．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ≤14）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？43．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D 点”根据该约定，完成下列各题．(1)在下列关于x 的函数中，是“D 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“D 函数”的打“×”，my x=（0m ≠）（_______）；31y x =-（_______）；2y x =（_______）．(2)若点A （1，m ）与点B （n ，4-）是关于x 的“D 函数”2y ax bx c =++（0a ≠）的一对“D 点”，且该函数的对称轴始终位于直线1x =的右侧，求a ，b ，c 的值或取值范围；(3)若关于x 的“D 函数”223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=；①()()2230c b a c b a +-++<；求该“D 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．44．（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A 为全程25km 的普通道路，路线B 包含快速通道，全程30km ，走路线B 比走路线A 平均速度提高50%，时间节省6min ，求走路线B 的平均速度；（2）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD ＝50m ，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，求居民楼AB 的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣32t2，求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．45．已知二次函数222y x x k=-+++与x轴的公共点有两个．求：()1求k的取值范围；()2当1k=时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；()3观察图象，当x取何值时0y>？46．如图，抛物线245y x x=-++与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．(1)求出A、B、C三点的坐标；(2)将抛物线245y x x=-++图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像，得到的新图像记作M，图像M与直线y t=恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图像N．①在图像M上找一点P，使得PAB的面积为3，求出点P的坐标；①当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．47．如图，在△ABC 中，AB=4，D 是AB 上的一点（不与点A、B 重合），DE①BC，交AC 于点E.设△ABC 的面积为S，△DEC 的面积为S'.（1）当D是AB中点时，求SS'的值；（2）设AD=x，SS'=y，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据y的范围，求S-4S′的最小值．48．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣38x2+34x+3与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．（1）求直线BC的解析式；（2）过P作PM①x轴，交BC于M，当PM﹣CM的值最大时，求P的坐标和PM﹣CM的最大值；（3）如图2，将该抛物线向右平移1个单位，得到新的抛物线y1，过点P作直线BC 的垂线，垂足为E，作y1对称轴的垂线，垂足为F，连接EF，请直接写出当PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标．49．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：（1）点A 、B 的坐标；（2）抛物线的函数表达式；（3）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM 的最小值及点M 的坐标； （4）在抛物线对称轴上是否存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．50．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的图象过(03)A ，，()10B -，，0(3)C ，三点，顶点为P ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点G 在y 轴上，且OGB OAB ACB ∠+∠=∠，求AG 的长；(3)若//AD x 轴且D 在抛物线上，过D 作DE BC ⊥于E ，M 在直线DE 上运动，点N 在x 轴上运动，是否存在这样的点M 、N 使以A 、M 、N 为顶点的三角形与APD △相似若存在，请求出点M 、N 的坐标．参考答案：1．B【分析】根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y 轴对称，可得出其顶点坐标．【详解】解：①221y x =-- ,①其图象关于y 轴对称，①其顶点在y 轴上，当0x =时，1y =-，所以顶点坐标为（0，﹣1），故选择：B.【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数y=ax 2+c 的图象关于y 轴对称是解题的关键．2．B【分析】分别根据一次函数图象，二次函数图象，常数函数的图象的对称性分析判断即可得解．【详解】解：A ．直线20222023y x 是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．抛物线220222023y x x 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．直线2023y =-是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．直线2022x y =-是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，常数函数的图象，熟记各图形以及其对称性是解题的关键．3．A【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．【详解】22y x =-符合二次函数的定义，故A 符合题意；y B 不符合题意； 31y x =-是一次函数，故C 不符合题意；1y x=中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式()20y ax bx c a =++≠是解题的关键．4．B【分析】根据抛物线的开口向上，可得20a ->，进而即可求得a 的取值范围．【详解】解：①抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，①20a ->即2a >故选B【点睛】本题考查了二次函数2y ax =图象的性质，掌握0a >时，抛物线的开口向上是解题的关键．5．C【分析】根据函数解析式求出对称轴，在根据函数的性质求解即可；【详解】解：①245y x x =--+，①函数图像的对称轴是直线422x -=-=--，图象的开口向下， ①当<2x -时，y 随x 的增大而增大， 点353y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于对称轴的对称点是⎛⎫- ⎪⎝⎭317,3y ， ①17413-<-<-， ①213y y y >>；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6．D【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据旋转求出旋转后的抛物线顶点坐标，然后根据顶点式写出抛物线的解析式即可．【详解】解：①()222112y x x x =+-=+-，①抛物线的顶点坐标为()1,2--，①将抛物线221y x x =+-，绕原点旋转180︒后顶点坐标变为()1,2，1a =-，①旋转后的函数关系式为()221221y x x x =--+=-++．故选：D ．【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标和a 的值．7．D【详解】试题分析：由题意得，二次函数经过原点可知，,又只经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，对称轴在轴的负半轴，综合可知，故选D.考点：二次函数的对称轴及开口方向综合问题.8．A【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．【详解】①二次函数241y mx x =-+有最小值3-， ①41634m m-=-， 解得1m =．故选A ．9．C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =-x 2+2x 的开口向下，对称轴为直线x =1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【详解】解：①抛物线y =-x 2+2x =-（x -1）2+1，①抛物线y =-x 2+2x 的开口向下，对称轴为直线x =1，而A （-1，a ）离直线x =1的距离最远，B （1，b ）在直线x =1上，①b ＞c ＞a ，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．10．B【分析】易证△CFE ∽△BEA ，可得CF CE BE AB=，根据二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，列出方程式即可解题．【详解】若点E 在BC 上时，如图∵∠EFC +∠AEB ＝90°，∠FEC +∠EFC ＝90°，∴∠CFE ＝∠AEB ，∵在△CFE 和△BEA 中，90CFE AEB C B ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩， ∴△CFE ∽△BEA ，由二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，此时CF CE BE AB=，BE ＝CE ＝x ﹣52，即525522x y x -=-， ∴225()52y x =-， 当y ＝25时，代入方程式解得：x 1＝32（舍去），x 2＝72， ∴BE ＝CE ＝1，∴BC ＝2，AB ＝52， ∴矩形ABCD 的面积为2×52＝5； 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E 为BC 中点是解题的关键．11．B【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴的交点判定系数符号,及运用一些特殊点解答问题.【详解】由抛物线的开口向下可得:a ＜0,根据抛物线的对称轴在y 轴左边可得:a ,b 同号，所以b ＜0,根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c ＞ 0,直线x ＝－1是抛物线y ＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴，所以－b 2a＝－1,可得b ＝2a ,由图知，当x ＝－3时y ＜0,即9a －3b ＋c ＜ 0,所以9a －6a ＋c ＝3a ＋c ＜0,因此①abc ＞0;①a －b ＋c ＝a －2a ＋c ＝c －a ＞ 0;①a ＋b ＋c ＝ a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＜ 0;①2a －b ＝2a － 2a ＝ 0;①3a －b ＝3a － 2a ＝ a ＜0所以①①小于0,故负数有2个，故答案选B.【点睛】本题主要考查了结合图形判断抛物线方程的系数，解本题的要点在于熟知抛物线的基本性质.12．C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=（x -4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．13．C【详解】试题分析：根据二次函数的增减性可得：当x≤k 时，y 随x 的增大而减小，则k≥2．考点：二次函数的性质14．B【分析】将（0，2）（3，-1）（4，2）代入到二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，分别求出a 、b 的值，即可求出方程的解.【详解】由题意得：29311642c a b c a b c =⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得：142a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩①方程230ax bx ++=为2430x x -+=(1)(3)0x x --=解得：121,3x x ==故选B【点睛】本题考查二次函数抛物线与坐标轴的交点以及待定系数法函数解析式和一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.15．C【详解】试题分析： ①抛物线开口向上，①0a >，①抛物线对称轴为直线2b x a =-=1，①0b <，①抛物线与y 轴交点在x 轴下方，①0c <，①0abc >，所以①正确； ①2b x a=-=1，即2b a =-，①20a b +=，所以①正确； ①抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0），而抛物线对称轴为直线x=1，①抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0），①当3x =时，0y <，①，所以①错误． ①抛物线与x 轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），①方程20ax bx c ++=的解是-2和4，①①正确；由图像可知：不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ，①①正确．①正确的答案为：①①①①．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．16．B【分析】根据二次函数的图像和性质逐一进行判断即可【详解】解：①抛物线开口朝下，①a ＜0，①对称轴x =3-22b a=- ①b =3a ＜0，①3a ﹣b ＝0，故①正确；①抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，①c ＞0，①abc ＞0，故①错误；①抛物线的对称轴x =3-2，与x 轴的一个交点为（-4，0）， ①抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），①a +b +c =0，故①正确；根据图象知道当x =-3时，y =9a -3b +c ＞0，故①错误；根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点，①b 2-4ac ＞0，故①正确．①正确答案为：①①①．故选：B【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．17．B【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【详解】二次函数y=2x 2的图象向右平移1个单位，得：y=2（x-1）2，故选B ．【点睛】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．18．D【分析】根据二次函数系数与图像性质，二次函数与方程，二次函数与不等式之间的关系判断每一个结论，从而得出答案．【详解】①由图像可知，抛物线的开口向上，①a ＞0，①抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，①c ＜0，①ac ＜0，故此选项正确；①由图像可知，对称轴为x=1， ①12b x a=-=， ①-b=2a ，①2a+b=0，故此选项错误；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故此选项正确；①由图像可知，方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，且对称轴为x=1， ①1212x x +=， ①2122(1)3x x =-=--=，故此选项正确；①由①可知，12133c x x a==-⨯=-， 3c a ∴=-，30a c ∴+=，故此选项正确；①由图像可知，抛物线的顶点坐标为(1,)a b c ++，∴当x=1时，二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值a+b+c ，∴2ax bx c a b c ++≥++，当x=m 时，则有2am bm c a b c ++≥++，∴2am bm a b +≥+，故此选项正确；①正确的说法有①①①①①共5个．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、方程、不等式之间的知识点，要掌握如何利用图像上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如x=1，x=-1时对应的y 值是解题的关键．19．D【分析】结合图形、利用数形结合思想解答．【详解】由函数图象可知，当x ＞4时，y 1＞y 2，A 是真命题；当x ＜-1时，y 1＞y 2，C 是真命题；当y 1＜y 2时，0＜x ＜4，C 是真命题；y 1＞y 2时，x ＜0或x ＞4，D 是假命题；故选D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．20．D【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号；根据对称轴求出b=-a ；把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关. ．【详解】：①二次函数的图象开口向下，①a<0，①二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，①c>0，①对称轴是直线x=12，①−2b a =12， ①b=−a>0，①abc<0.故A 错误；①抛物线与x 轴有两个交点，①b 2-4ac>0, 故B 错误①b=−a ，①a+b=0，故C 错误；故答案选D【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系.21．1y x= 【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答． 【详解】解：该题答案不唯一，可以为1y x=等． 故答案为：1y x =． 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质，熟知函数的增减性是解答此题的关键．22．()6,9-【分析】直接根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：()269y x =-++的顶点为()6,9-， 故答案为：()6,9-．【点睛】本题考查了抛物线顶点式解析式的顶点坐标，解题关键是理解抛物线()()20y a x h k a =-+≠的顶点坐标为()h k ，． 23．2x =-【分析】将题目的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决．【详解】解：①抛物线2244(2)8y x x x =+-=+-，①该抛物线的对称轴是直线2x =-，故答案为：2x =-．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．24．(1，－2)【分析】对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ，． 【详解】由y ＝－（x －1）2－2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为()12-，故答案为：()12-，． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ，，掌握顶点式是解题的关键．25．-1【详解】①二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1，1)，①a+b−1=1，①a+b=2，①1−a−b=1−(a+b)=1−2=−1.故答案为-1.26．()22y x =+或244y x x =++【分析】根据函数的平移规律：左加右减；上加下减即可求解．【详解】解：①抛物线2y x 向左平移2个单位，①平移后抛物线的解析式为()22y x =+故答案为：()22y x =+【点睛】本题考查了抛物线的平移变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 27．x =3【分析】因为点（1，4），（5，4）的纵坐标都为4，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x =122x x +求解即可．【详解】解：抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是（1，4），（5，4）， ①两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x =1532+=，即x =3． 故答案为：3．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的平行线交点问题．掌握抛物线的性质，会利用关于对称轴对称的两点坐标求对称轴是解题关键．28．126y ≤≤【分析】先化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：①2245(2)1y x x x =-+=-+，①抛物线开口向上，对称轴为直线=2x ，函数有最小值1，当3x =-时，26y =，当=4x 时， 5.y =，①当34x -≤≤时，y 的取值范围是126y ≤≤；故答案为：126y ≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．29．14m >-且0m ≠ 【分析】根据题意可得0m ≠，且判别式0∆>，求解不等式即可．【详解】解：①二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点①0m ≠，且判别式240b ac ∆=->①14(1)0m ∆=-⨯⨯->，0m ≠ 解得14m >-且0m ≠ 故答案为：14m >-且0m ≠ 【点睛】此题考查了二次函数的定义以及二次函数与x 轴交点问题，掌握二次函数的定义以及性质是解题的关键．30． 45°； 2【分析】（1）分别求出A,B,C 的坐标，得到OB OC =，故可求解；（2）先求出直线l 的解析式，再得到M,N 的坐标即可求解．【详解】（1）当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，①点A 在点B 的左侧， ①点A 坐标为()1,0-，点B 坐标为()3,0．当0x =时，=3y -，①点C 坐标为()0,3-，①OB OC =，①=45ABC ∠︒．（2）设直线l 的函数表达式为y kx b =+，根据题意得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， ①直线l 的函数表达式为3y x =-；当2x =时，31=-=-y x ，①点N 的坐标为2,1；当2x =时，22232433=--=--=-y x x ，①点M 的坐标为()2,3-；①()132=---=MN ．故答案为：45°；2．【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是求出各点坐标． 31．m=2【分析】根据图像的旋转变化规律及二次函数的平移规律得出平移后的解析式，进而即可求值．【详解】①一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3），①点O （0,0），A 1（3,0）①将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；如此进行下去，直至得C 13．①C 13的解析式与x 轴的坐标为（36,0）、（39,0）①C 13的解析式为：y ＝﹣（x －36）（x －39）当x ＝37时，m=y ＝﹣1×（﹣2）＝2故答案为：2【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，解题的关键是得出二次函数平移后的解析式．32．y ＝2（x+2）2﹣5【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x+2）2，即y ＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y ＝2（x+2）2向下平移5个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x+2）2﹣5，即y ＝2（x+2）2﹣5．故答案为：y ＝2（x+2）2﹣5．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．33．213y x x =【分析】首先过B 作x 轴的垂线，设垂足为M ，由已知易求得OA Rt①ABM 中，已知①OAB 的度数及AB 的长，即可求出AM 、BM 的长，进而可得到BC 、CD 的长，再连接OD ，证①ODE ①①AEF ，通过得到的比例线段，即可得出y 与x 的函数关系式．【详解】解：过B 作BM ①x 轴于M ．在Rt①ABM 中，①AB =3，①BAM =45°，①AM =BM =2， ①BD =14OA ，OA ∴=，①BC =OA﹣AM =，CD =BC ﹣BD ，①D ，3OD ∴== ． 连接OD ，则点D 在①COA 的平分线上，所以①DOE =①COD =45°．又①在梯形DOAB 中，①BAO =45°，①由三角形外角定理得：①ODE =①DEA ﹣45°，又①AEF =①DEA ﹣45°，①①ODE=①AEF ，①①ODE ①①AEF ，OE OD AF AE∴= 即x y =①y 与x 的解析式为：213y x =-．故答案为：213y x =-．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．34．（1，﹣4）【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．【详解】①抛物线过点（0，﹣3）和（2，﹣3），①抛物线的对称轴方程为直线x＝022+＝1，①当x＝1时，y＝﹣4，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为（1，﹣4）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．35．(－1，7)【详解】先根据抛物线上点的特点求出点A的坐标，再利用抛物线的对称性即可得出答案.解：把点A(－3，m)代y＝x2＋4x＋10得，m＝(-3)2＋4×(-3)＋10=7,①点A(－3，7),①对称轴42 22ba-=-=-，①点A(－3，7)关于对称轴x＝2的对称点坐标为（－1，7）.故答案为（－1，7）.36．11【分析】由图象关于y轴对称可知对称轴为x=0，由此可求解m的值；代入m值后，分别求解抛物线与x 轴的两个交点以及与y 轴的交点，利用三角形面积公式计算三角形面积.【详解】①图象关于y 轴对称，①对称轴为x=0， ①()211022m b m a --=-=-=- 解得m=1，代入原方程得：21y x =-+当y=0时，210x -+=，x=±1，当x=0时，y=1，则S △=2112⨯=. 【点睛】本题考查了二次函数对称轴及其与x 、y 轴的交点.37．①①①．【详解】试题解析：①x =-1时y =-1，x =0时，y =3，x =1时，y =5，①1{35a b c c a b c -+-++＝＝＝，解得1{33a b c -＝＝＝，①y =-x 2+3x +3，①ac =-1×3=-3＜0，故①正确；对称轴为直线x =-33212=⨯-（）， 所以，当x ＞32时，y 的值随x 值的增大而减小，故①错误； 当x =2时，y =-4+4+3=3；故①正确.方程为-x 2+2x +3=0，整理得，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，所以，3是方程ax 2+（b -1）x +c =0的一个根，正确，故①正确.综上所述，结论正确的是①①①．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．38．①①①【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断即可．【详解】解：由抛物线开口向上，因此0a >， 对称轴是直线12b x a=-=-，因此a 、b 同号，所以0b >， 抛物线与y 轴的交点在负半轴，因此0c <． ，所以0abc <，故①不正确； 由对称轴12b x a=-=-可得2b a =， 由图象可知，当1x =时，0y a b c =++>，即20a a c ++>，30a c ∴+>，又0a >，40a c ∴+>，因此①正确；当=1x -时，y a b c =-+最小值，∴当()1x t t =≠-时，2a b c at bt c -+<++，即2a bt at b -<+，x t ∴=（t 为任意实数）时，有2a bt at b -≤+，因此①不正确；函数图象经过点()2,1，即421a b c ++=，而2b a =，231a b c ∴++=，311222a b c ∴++=， 因此①正确；当函数图象经过()2,1时，方程21ax bx c ++=的两根为1x ，212()x x x <，而对称轴为=1x -， 14x ∴=-，22x =，122448x x ∴-=--=-，因此①正确；综上所述，正确的结论有：①①①，故答案为：①①①．【点睛】本查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a 、b 、c 的关系以及二次函数与一元二次方程的根的关系是正确判断的前提． 39．8【分析】由已知可证明①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH （SAS ），再证明四边形EFGH 是正方形，设AE ＝x ，则AH ＝DG ＝BE ＝CF ＝4﹣x ，在Rt①EAH 中，由勾股定理得EH 2＝x 2+（4﹣x ）2，所以S 四边形EFGH ＝EH 2＝2（x ﹣2）2+8，可知当x ＝2时，S 四边形EFGH 有最小值8，【详解】解：设AE ＝x ，则AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x ，①正方形ABCD ，边长为4，①AH ＝DG ＝BE ＝CF ＝4﹣x ，①A =①B =①C =①D =90°①①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH （SAS ），①①AEH +①BEF ＝90°，①EFB +①GFC ＝90°，①FGC +①HGD ＝90°，①①HEF ＝①EFG ＝①FGH ＝90°，①EF ＝EH ＝HG ＝FG ，①四边形EFGH 是正方形，在Rt ①EAH 中，EH 2＝AE 2+AH 2，即EH 2＝x 2+（4﹣x ）2，①S 四边形EFGH ＝EH 2＝2x 2﹣8x +16＝2（x ﹣2）2+8，当x ＝2时，S 四边形EFGH 有最小值8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.40．53【分析】通过作辅助线，连接CO ，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ，先证明AOB 与ACP 相似，得到ABP AOC ∠∠=，再证QDA 与CAO 相似，设出点Q 的坐标，通过相似比即可求出点Q 坐标．【详解】如图，连接CO ，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ，。

人教版中考数学专题总复习《一次函数》练习题及答案精品教学课件

人教版中考数学专题总复习《一次函数》练习题及答案精品教学课件
【解析】设y=kx+b;根据题意得: ∴y=-2x+3.把x=5代入得y=-7,即m=-7. 答案：-7
7．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图， 则下列结论①k<0;②a>0;③当x<3时， y1<y2中，正确的是_____.(填序号) 答案：①
8．一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为
5.(2020·黔南州中考)已知正比例函数
y=kx(k≠0)的图象如图所示，则在下列选
项中k值可能是( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】选B.若正比例函数y= kx经过(3，5)，此时k=
5 3
；若
经过(2，6)此时k=3，由图象可知 5 ＜k＜3，故选B.
3
二、填空题(每小题6分，共24分) 6．已知y是x的一次函数，下表给出了部分对应值，则m的值 是_____.
【解析】设采购玫瑰x株，百合y株，毛利润为W元.
①当1 000≤x≤1 200时，
得4x+5y=9 000，y= W=x+1.5y=2 700- x ，
5
当x取1 000时，W有最大值2 500.
②当1 200＜x≤1 500时， 得3x+5y=9 000，y= 9 000-3x W=2x+1.5y=2 700+ 11x，5
()
(A)y=x－ 2 3
3
(C)y= 3x－1
(B)y= 3x－2 (D)y=x－2
【解析】选B.求出E点的坐标( 2 3,0),再用待定系数法求直
3
线AE的函数解析式.
4.(2020·连云港中考)某公司准备与汽 车租凭公司签订租车合同，以每月用车 路程x km计算，甲汽车租凭公司每月收 取的租赁费为y1元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为y2 元，若y1、y2与x之间的函数关系如图所示，其中x＝0对应的 函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是( )

人教版九年级数学中考函数专项练习及参考答案

人教版九年级数学中考函数专项练习及参考答案

人教版九年级数学中考函数专项练习例1. 如图，已知1(4,)2A -，(1,2)B -是一次函数y kx b =+与反比例函数(0,0)m y m x x=≠<图象的两个交点，AC x ⊥轴于C ，BD y ⊥轴于D ．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m 的值；（3）P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若PCA ∆和PDB ∆面积相等，求点P 坐标．【解答】解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，41x -<<-，当41x -<<-时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y kx b =+，y kx b =+的图象过点1(4,)2-，(1,2)-，则 1422k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩， 解得1252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 一次函数的解析式为1522y x =+， 反比例函数m y x=图象过点(1,2)-， 122m =-⨯=-；（3）连接PC 、PD ，如图， 设15(,)22P x x +由PCA ∆和PDB ∆面积相等得11115(4)|1|(2)22222x x ⨯⨯+=⨯-⨯--，52x =-，155224y x =+=，P ∴点坐标是5(2-，5)4．例2. 如图，反比例函数(0,0)k y k x x=≠>的图象与直线3y x =相交于点C ，过直线上点(1,3)A 作AB x ⊥轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且3AB BD =．（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d MC MD =+最小，求点M 的坐标．【解答】解：（1）(1,3)A ，3AB ∴=，1OB =，3AB BD =，1BD ∴=，(1,1)D ∴将D 坐标代入反比例解析式得：1k =；（2）由（1）知，1k =，∴反比例函数的解析式为；1y x =， 解：31y xy x=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，0x >，C ∴； （3）如图，作C 关于y 轴的对称点C '，连接C D '交y 轴于M ，则d MC MD =+最小，(3C ∴'-，设直线C D '的解析式为：y kx b =+，∴31k b k b =-+⎪=+⎩，∴32k b ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，(32y x ∴=-+，当0x =时，2y =，(0M ∴，2)．例3. 如图， 在直角坐标系中， 直线1(0)y kx k =+≠与双曲线2(0)y x x=>相交于点(1P ，m )． （1） 求k 的值；（2） 若点Q 与点P 关于直线y x =成轴对称， 则点Q 的坐标是(Q 2 ， 1 )；（3） 若过P 、Q 二点的抛物线与y 轴的交点为5(0,)3N ，求该抛物线的函数解析式， 并求出抛物线的对称轴方程 ．【解答】解： （1）直线1y kx =+与双曲线2(0)y x x =>交于点(1,)A m ，2m ∴=，把(1,2)A 代入1y kx =+得：12k +=，解得：1k =；（2） 连接PO ，QO ，PQ ，作PA y ⊥轴于A ，QB x ⊥轴于B ，则1PA =，2OA =，点Q 与点P 关于直线y x =成轴对称，∴直线y x =垂直平分PQ ，OP OQ ∴=，POA QOB ∴∠=∠，在OPA ∆与OQB ∆中，PAO OBQPOA QOB OP OQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，POA QOB ∴∆≅∆，1QB PA ∴==，2OB OA ==，(2,1)Q ∴；故答案为： 2 ， 1 ；（3） 设抛物线的函数解析式为2y ax bx c =++，过P 、Q 二点的抛物线与y 轴的交点为5(0,)3N ， ∴214253a b c a b c c ⎧⎪=++⎪=++⎨⎪⎪=⎩， 解得：23153a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，∴抛物线的函数解析式为22533y x x =-++， ∴对称轴方程132423x =-=-⨯．例4. 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线2y x ax b =-++交x 轴于(1,0)A ，(3,0)B 两点， 点P 是抛物线上在第一象限内的一点， 直线BP 与y 轴相交于点C ．（1） 求抛物线2y x ax b =-++的解析式；（2） 当点P 是线段BC 的中点时， 求点P 的坐标；（3） 在 （2） 的条件下， 求sin OCB ∠的值 ．【解答】解： （1） 将点A 、B 代入抛物线2y x ax b =-++可得， 2201033a b a b ⎧=-++⎨=-++⎩， 解得，4a =，3b =-，∴抛物线的解析式为：243y x x =-+-；（2）点C 在y 轴上，所以C 点横坐标0x =，点P 是线段BC 的中点，∴点P 横坐标03322P x +==， 点P 在抛物线243y x x =-+-上，2333()43224P y ∴=-+⨯-=， ∴点P 的坐标为3(2，3)4；（3）点P的坐标为3(2，3)4，点P是线段BC的中点，∴点C的纵坐标为33 2042⨯-=，∴点C的坐标为3 (0,)2，BC∴==，sin52OBOCBBC∴∠===．例5. 如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将(0,3)-代入y x m =+， 可得：3m =-；（2）将0y =代入3y x =-得：3x =， 所以点B 的坐标为(3,0)，将(0,3)-、(3,0)代入2y ax b =+中， 可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以二次函数的解析式为：2133y x =-；（3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则451560ODC ∠=︒+︒=︒，tan 30OD OC ∴=︒= 设DC 为3y kx =-，代入0)，可得：k =联立两个方程可得：23133y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：12120,36x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩所以1M ，6)；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则451560OEC ∠=︒+︒=︒，tan 60OE OC ∴=︒=， 设EC 为3y kx =-，代入0)可得：3k =，联立两个方程可得：23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：12120,32x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩所以2M ，2)-，综上所述M的坐标为6)或2)-．。

中考数学专题练习 函数及一次函数(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

中考数学专题练习 函数及一次函数(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

函数及一次函数一、选择题1．一次函数y=2x﹣3的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=﹣x图象上的两点，则下列判断正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．当x1＜x2时，y1＞y2D．当x1＜x2时，y1＜y23．一个水池接有甲，乙，丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，同时打开丙，直到水池中的水排空．水池中的水量v（m3）与时间t（h）之间的函数关系如图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是（）A．乙＞甲B．丙＞甲C．甲＞乙D．丙＞乙4．如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，点G，D，C在直线a上，点E，F，A，B在直线b上，若a∥b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（）A．B．C．D．6．已知整数x满足﹣5≤x≤5，y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m 的最大值是（）A．1 B．2 C．24 D．﹣9二、填空题7．已知关于x，y的一次函数y=（m﹣1）x﹣2的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么m的取值X围是．8．如图，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB=10，点P在边CD上运动（C，D两点除外），EP与AB相交于点F，若CP=x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是．9．如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，则AC的长为（保留根号）．10．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则B2014的坐标是．三、解答题11．由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖，某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台，并预付了5万元押金．他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元，但不高于40万元．若一年内该产品的售价y（万元/台）与月次x（1≤x≤12且为整数）满足关系式：y=，一年后发现实际每月的销售量p（台）与月次x之间存在如图所示的变化趋势．（1）直接写出实际每月的销售量p（台）与月次x之间的函数关系式；（2）求前三个月中每月的实际销售利润w（万元）与月次x之间的函数关系式；（3）试判断全年哪一个月的售价最高，并指出最高售价；（4）请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量．12．如图①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收人减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③，（1）说明图①中点A和点B的实际意义；（2）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是，反映公交公司意见的是．（3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图④中画出符合这种办法的y与x的大致函数关系图象．13．（12分）某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图①所示；每个售票窗口票数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图②所示．某天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图③所示，已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口．（1）求a的值；（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？14．某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm．现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材．一X标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）裁法一裁法二裁法三A型板材块数 1 2 0B型板材块数 2 m n设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁xX、按裁法二裁yX、按裁法三裁zX，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．（1）上表中，m=，n=；（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；（3）若用Q表示所购标准板材的X数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少X？15．如图，已知直线l1的解析式为y=3x+6，直线l1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，直线l2经过B，C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2从点C向点B移动．点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t ＜10）．（1）求直线l2的解析式；（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？函数及一次函数参考答案与试题解析一、选择题1．一次函数y=2x﹣3的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数的图象．【分析】根据一次函数y=ax+b（a≠0）的a、b的符号判定该一次函数所经过的象限即可．【解答】解：∵一次函数y=2x﹣3的k=2＞0，b=﹣3＜0，∴一次函数y=2x﹣3经过第一、三、四象限，即一次函数y=2x﹣3不经过第二象限．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象，即直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．2．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=﹣x图象上的两点，则下列判断正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．当x1＜x2时，y1＞y2D．当x1＜x2时，y1＜y2【考点】正比例函数的性质．【分析】根据正比例函数图象的性质可知．【解答】解：根据k＜0，得y随x的增大而减小．①当x1＜x2时，y1＞y2，②当x1＞x2时，y1＜y2．故选：C．【点评】熟练掌握正比例函数图象的性质，正比例函数图象是经过原点的一条直线．①当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．3．一个水池接有甲，乙，丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，同时打开丙，直到水池中的水排空．水池中的水量v（m3）与时间t（h）之间的函数关系如图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是（）A．乙＞甲B．丙＞甲C．甲＞乙D．丙＞乙【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】依题意，如图可知，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，同时打开丙．按此关系可知甲的水流量大于乙．【解答】解：由题意可得，甲是注水管，乙、丙是排水管，由“先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲”，可得，甲＞乙，否则是不会注满水的．故选C．【点评】此题主要考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．4．如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题；动点型．【分析】正确理解函数图象横纵坐标表示的意义．【解答】解：动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿BC，CD的顺序运动，则△ABP面积y 在BC段随x的增大而增大；在CD段，△ABP的底边不变，高不变，因而面积y不变化．由图2可以得到：BC=2，CD=3，△BCD 的面积是=3．故选A．【点评】理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．5．如图，点G，D，C在直线a上，点E，F，A，B在直线b上，若a∥b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题；动点型；图表型．【分析】理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．【解答】解：根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积，②F、A重叠之后到E与A重叠前，设AE=a，EF被重叠部分的长度为（t﹣a），则重叠部分面积为S=（t﹣a）•（t﹣a）tan∠EFG=（t﹣a）2tan∠EFG，∴是二次函数图象；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积等于S=S△EFG﹣（t﹣a）2tan∠EFG，符合二次函数图象，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故选：B．【点评】本题考查动点问题的函数图象，学会分段讨论是解题的关键，需要构建函数解决问题，属于中考常考题型．6．已知整数x满足﹣5≤x≤5，y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m 的最大值是（）A．1 B．2 C．24 D．﹣9【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】联立两个函数的解析式，可求得两函数的交点坐标为（1，2），在﹣5≤x≤5的X围内；由于m总取y1，y2中的较小值，且两个函数的图象一个y随x的增大而增大，另一个y随x的增大而减小；因此当m最大时，y1、y2的值最接近，即当x=1时，m的值最大，因此m的最大值为m=2．【解答】解：联立两函数的解析式，得：，解得；即两函数图象交点为（1，2），在﹣5≤x≤5的X围内；由于y1的函数值随x的增大而增大，y2的函数值随x的增大而减小；因此当x=1时，m值最大，即m=2．故选B．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．二、填空题7．已知关于x，y的一次函数y=（m﹣1）x﹣2的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么m的取值X围是m＞1 ．【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据题意得m﹣1＞0，然后解不等即可得到m的取值X围．【解答】解：∵y=（m﹣1）x﹣2的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，∴m﹣1＞0，∴m＞1．故填空答案：m＞1．【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，要求学生能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．8．如图，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB=10，点P在边CD上运动（C，D两点除外），EP与AB相交于点F，若CP=x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是y=（0＜x＜10）．【考点】三角形中位线定理；根据实际问题列一次函数关系式；梯形．【专题】压轴题；动点型．【分析】BF是△ECP的中位线，四边形FBCP为梯形，根据公式求解．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为10，CP=x，EB=10∴BF是ECP的中位线，∴BF=CP=x∵AB∥CD∴四边形FBCP是梯形，S梯形FBCP=（BF+CP）•BC=•×10=即y=（0＜x＜10）．故答案为：y=（0＜x＜10）．【点评】本题很简单，只要熟知三角形的中位线定理及梯形的面积公式即可解答．9．如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，则AC的长为（保留根号）．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】由于△AOB的面积为1，根据反比例函数的比例系数k的几何意义可知k=2，解由y=x+1与联立起来的方程组，得出A点坐标，又易求点C的坐标，从而利用勾股定理求出AC的长．【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，∴k=2．解方程组，得，．∴A（1，2）；在y=x+1中，令y=0，得x=﹣1．∴C（﹣1，0）．∴AB=2，BC=2，∴AC==2．【点评】本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．10．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则B2014的坐标是（22014﹣1，22013）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．【专题】规律型．【分析】首先求得直线的解析式，分别求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．【解答】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），代入y=kx+b得，解得：．则直线的解析式是：y=x+1．∵点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴点B3的坐标为（7，4），…，∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1．B n的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）∴B2014的坐标是（22014﹣1，22013）．故答案为：（22014﹣1，22013）．【点评】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．三、解答题11．由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖，某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台，并预付了5万元押金．他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元，但不高于40万元．若一年内该产品的售价y（万元/台）与月次x（1≤x≤12且为整数）满足关系式：y=，一年后发现实际每月的销售量p（台）与月次x之间存在如图所示的变化趋势．（1）直接写出实际每月的销售量p（台）与月次x之间的函数关系式；（2）求前三个月中每月的实际销售利润w（万元）与月次x之间的函数关系式；（3）试判断全年哪一个月的售价最高，并指出最高售价；（4）请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）要根据自变量的不同取值X围，运用待定系数法分段计算出p与x的函数关系式；（2）可根据实际销售利润=单件的利润×销售的数量，然后根据题目中给出的售价与月次的函数式以及（1）中销售量与月次的关系式，得出实际销售利润与月次的函数关系式；（3）要根据自变量的不同的取值X围分别进行讨论，然后找出最高售价；（4）可根据“完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元，但不高于40万元”作为判断依据来计算出它能否完成年初的销售计划．【解答】解：（1）由题意得：；+0.25﹣0.1）（﹣5x+40）=（x﹣3）（x﹣8）=即w与x间的函数关系式w=；（3）①当1≤x＜+∴x=1时，y最大②当4≤x≤6时，y=0.1万元，保持不变③当6＜x≤+∴x=12时，y最大×12+综合得：全年1月份售价最高，最高为0.2万元/台；（4）设全年计划销售量为a台，则：34≤+5≤40解得：290≤a≤350∵全年的实际销售量为：35+30+25+20+22+24+26+28+30+32+34+36=342（台）＞290台∴这一年他完成了年初计划的销售量．【点评】本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，由此看来一次函数是常用的解答实际问题的数学模型，是中考的常见题型．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．12．如图①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收人减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③，（1）说明图①中点A和点B的实际意义；（2）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是 3 ，反映公交公司意见的是 2 ．（3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图④中画出符合这种办法的y与x的大致函数关系图象．【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）读题看图两结合，从中获取信息做出判断．点A表示这条线路的运营成本为1万元；点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡；（2）结合点的意义可知反映乘客意见的是③，反映公交公司意见的是②；（3）将图④中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移即可得到符合题意的直线．【解答】解：（1）点A表示这条线路的运营成本为1万元；点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡；（2）反映乘客意见的是图③；反映公交公司意见的是图②；（3）将图④中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移．（平移距离和旋转角不可太大，点A 平移到x轴或其上方，不给分）．【点评】本题有着浓厚的时代气息，题意与人们的日常出行密切相关，关键是能否正确理解题意，读取信息，作出正确解答．13．某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图①所示；每个售票窗口票数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图②所示．某天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图③所示，已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口．（1）求a的值；（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】这是个动态问题，比较复杂，需从新增人数和售出票数两个方面同时考虑．（1）a分钟新增4a人，两个窗口售出2×3aX票，此时窗口有240人，据此得方程求解；（2）运用待定系数法求直线解析式，求x=60时的函数值；（3）根据题意列不等式求解．【解答】解：（1）由图①②可知，每分钟新增购票人数4人，每个售票窗口每分钟售票3人，则：300+4×a﹣3×2×a=240解这个方程，得a=30．（2）设第30﹣78分钟时，售票厅排队等候购票的人数y与售票时间x的函数关系式y=kx+b，则30k+b=240；78k+b=0．解得k=﹣5，b=390．∴y=﹣5x+390．当x=60时，y=﹣5×60+390=90．因此，售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有90人．（3）设至少同时开放n个售票窗口，依题意得：300+30×4≤30×3×n解得n≥．因此至少同时开放5个售票窗口．【点评】本题是函数与实际问题的综合应用大题，要注意函数图象的运用及方程、不等式的联合运用．14．某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm．现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材．一X标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）裁法一裁法二裁法三A型板材块数 1 2 0B型板材块数 2 m n设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁xX、按裁法二裁yX、按裁法三裁zX，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．（1）上表中，m= 0 ，n= 3 ；（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；（3）若用Q表示所购标准板材的X数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少X？【考点】多元一次方程组．【专题】压轴题．【分析】（1）按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120cm，150﹣120=30，所以无法裁出B型板，按裁法三裁剪时，3块B型板材块的长为120cm，120＜150，而4块块B型板材块的长为160cm＞150所以无法裁出4块B型板；（2）由题意得：共需用A型板材240块、B型板材180块，又因为满足x+2y=240，2x+3z=180，然后整理即可求出解析式；（3）由题意，得Q=x+y+z=x+120﹣x+60﹣x和，[注：事实上，0≤x≤90且x是6的整数倍]．由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．此时按三种裁法分别裁90X、75X、0X．【解答】解：（1）按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120cm，150﹣120=30，所以无法裁出B 型板，按裁法三裁剪时，3块B型板材块的长为120cm，120＜150，而4块块B型板材块的长为160cm＞150cm，所以无法裁出4块B型板；∴m=0，n=3；（2）由题意得：共需用A型板材240块、B型板材180块，又∵满足x+2y=240，2x+3z=180，∴整理即可求出解析式为：y=120﹣x，z=60﹣x；（3）由题意，得Q=x+y+z=x+120﹣x+60﹣x．整理，得Q=180﹣x．由题意，得解得x≤90．[注：事实上，0≤x≤90且x是6的整数倍]由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．由（2）知，y=120﹣x=120﹣×90=75，z=60﹣x=60﹣×90=0；故此时按三种裁法分别裁90X、75X、0X．【点评】本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，在做题时要明确所裁出A型板材和B型板材的总长度不能超过150cm．15．如图，已知直线l1的解析式为y=3x+6，直线l1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，直线l2经过B，C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2从点C向点B移动．点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t ＜10）．（1）求直线l2的解析式；（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？【考点】二次函数综合题；一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）因为l1过点B，所以代入直线l1的解析式求得点B的坐标，又因为直线l2经过B，C 两点，所以将点B、C的坐标代入直线y=kx+b（k≠0），列方程组即可求得；（2）过Q作QD⊥x轴于D，则△CQD∽△CBO，得出，由题意，知OA=2，OB=6，OC=8，BC==10，得出，故QD=t，即可求得函数解析式；（3）要想使△PCQ为等腰三角形，需满足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ．【解答】解：（1）由题意，知B（0，6），C（8，0），设直线l2的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得k=﹣，b=6，则l2的解析式为y=﹣x+6；（2）解法一：如图，过P作PD⊥l2于D，∵∠PDC=∠BOC=90°，∠DCP=∠OCB∴△PDC∽△BOC∴由题意，知OA=2，OB=6，OC=8∴BC==10，PC=10﹣t∴=，∴PD=（10﹣t）∴S△PCQ=CQ•PD=t•（10﹣t）=﹣t2+3t；解法二：如图，过Q作QD⊥x轴于D，∵∠QDC=∠BOC=90°，∠QCD=∠BCO∴△CQD∽△CBO∴由题意，知OA=2，OB=6，OC=8∴BC==10∴∴QD=t∴S△PCQ=PC•QD=（10﹣t）•t=﹣t2+3t；（3）∵PC=10﹣t，CQ=t，要想使△PCQ为等腰三角形，需满足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ，∴当CP=CQ时，由题10﹣t=t，得t=5（秒）；当QC=QP时， =，即=解得t=（秒）；当PC=PQ时， =，即=，解得t=（秒）；即t=5或或．【点评】此题考查了一次函数与三角形的综合知识，要注意待定系数法的应用，要注意数形结合思想的应用．。

九年级数学中考复习：函数专题训练(含答案)

九年级数学中考复习：函数专题训练(含答案)

中考复习函数专题训练（含答案解析）1. 如图，已知A、B是反比例面数kyx=(k>0,x>0)图象上的两点，BC∥x轴,交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形0MPN 的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为【答案】A2.坐标平面上，二次函数362+-=xxy的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点？A． x＝50 B． x＝－50 C． y＝50 D． y＝－50【答案】Ｄ3. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A．4米B．3米 C．2米 D．1米【答案】D4. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A ．50mB ．100mC ．160mD ．200m【答案】C5. 一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下列函数关系式：61t 5h 2+--=）（，则小球距离地面的最大高度是（ ）A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米【答案】C二、填空题 1. 出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出（8-x ）个，则当x=________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大.【答案】42. 如图，已知函数x y 3-=与bx ax y +=2（a>0，b>0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程bx ax +2x 3+=0的解为【答案】－3三、解答题1. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。

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中考数学专题训练（函数综合）1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数x y 4=的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1，又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标.2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。

（1）求m 的取值范围；（2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是4.5 ，求这个一次函数的解析式。

3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2）， 点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ．（1）求点C 、D 的坐标；（2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标．4．如图四，已知二次函数223y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+又tan 1OBC ∠=．（1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式； （2）求ABC △的面积．（图四）5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90°得到OB .(1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式； (3)设点B 关于抛物线的对称轴 的对称点为C ，求△ABC 的面积。

6．如图，双曲线x y 5=在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B .(1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式；(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积.7．在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B为)1m ，（，且3<m ，若△ABP 是等腰三角形，求点B 的坐标。

x图78．在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过A （-1，0）和点B （0，3），顶点为P 。

（1） 求二次函数的解析式及点P 的坐标；（2） 如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标。

9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c=-++经过点(1,3)A ，(0,1)B ．（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ， ①求△ABC 的面积；②在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P 点坐标．10．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x =沿y 轴向上平移1个单位，再沿x 轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3x =与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ． （1）求△ABC 面积；（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标．11．如图，直线OA 与反比例函数的图像交于点A(3，3)，向下平移直线OA ，与反比例函数的图像交于点B(6，m)与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式； （2）求经过A 、B 、C 三点的二次函数的解析式；（3）设经过A 、B 、C 三点的二次函数图像的顶点为D ，对称轴与x 数的对称轴上是否存在一点P ，使以O 、E 、P 为顶点的三角形与△BCD P的坐标；若不存在，请说明理由．图812．二次函数图像过A（2，1）B（0，1）和C（1，-1）三点。

（1）求该二次函数的解析式；（2）该二次函数图像向下平移4个单位，向左平移2个单位后，原二次函数图像上的A、B两点相应平移到A1、B1处，求∠BB1A1的余弦值。

13．如图，在直角坐标系中，直线421+=xy与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点A作CA⊥AB，CA＝52,并且作CD⊥x轴. (1) 求证:△ADC∽△BOA (2) 若抛物线cbxxy++-=2经过B、C两点.①求抛物线的解析式；②该抛物线的顶点为P，M是坐标轴上的一个点，若直线PM与y轴的夹角为30°，请直接写出点M的坐标.14．如图，已知二次函数y=ax2-2ax+3（a<0）的图像与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图像经过点A、点B．（1）求一次函数的解析式；（2）求顶点P的坐标；（3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM=23，求点M的坐标．BAB O xyP（图16）15．如图16，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，但是点P 不与点0、点A 重合．连结CP ， D 点是线段AB 上一点，连结PD.(1)求点B 的坐标；(2)当∠C PD=∠OAB，且AB BD =85，求这时点P 的坐标.16. 如图，二次函数cbx x y ++-=241的图像经过点()()4,4,0,4--B A，且与y 轴交于点C .（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：CAO BAO ∠=∠（其中O 是原点）；（3）若P 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使QH PH 2=？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴正半轴上，边CO 在y 轴的正半轴上，且322==OB AB ，，矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ，且点A 落在y 轴上的E 点，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D . (1)求F 、E 、D 三点的坐标；（2）若抛物线c bx ax y ++=2经过点F 、E 、D ，求此抛物线的解析式；（3）在x 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标，使得三角形QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积？ABCDEFx y O18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2，0）、（1，33）. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322-=经过点A ，点D 是该抛物线的顶点.（1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求a 的值并说明点B 在抛物线上；（3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD=∠OAB ，求点P 的坐标；(4) 若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D写出点P 的坐标.19．已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A xy 32-=与边BC 相交于点D ，(1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。

20．如图，在平面直角坐标系中，直线343+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 和点B ．二次函数c ax ax y +-=42的图象经过点B 和点C （-1，0），顶点为P .（1）求这个二次函数的解析式，并求出P 点坐标；（2）若点D 在二次函数图象的对称轴上，且AD ∥BP ，求PD 的长；x32-参考答案1、 解：（1）由点A 在反比例函数图像上，则414==y ，—（1分） 又点()4,1A 与()0,3-C 在一次函数图像上， 则⎩⎨⎧+-=+=b k b k 304，—（2分）解得⎩⎨⎧==31b k . （1分） ∴一次函数解析式为3+=x y .——（1分）（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 43,———（2分） 消元得0432=-+x x ,—（1分）解得1,421=-=x x （舍去）,——（1分） ∴点B 的坐标是()1,4--.——（1分）2． 解：（1）∵一次函数y=（1-2x ）m+x+3 即y=（1-2m ）x+m+3 图像不经过第四象限且函数值y 随自变量x 的减小而减小 ∴ 1-2m>0 ， m+3≥0, (2分） ∴ ………（2分）根据题意，得：函数图像与y 轴的交点为（0，m+3）， 与x 轴的交点为 …（1分）则 ………（1分） 解得m=0 或 m=-24（舍） …（1分）∴一次函数解析式为：y=x+3……（1分）3．解：（1）过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为点E ．……1′∵点A 的坐标为（2，2）， ∴点E 的坐标为（2，0）．…1′∵AB=AC ，BC =8， ∴BE=CE ， ………1′ 点B 的坐标为（-2，0），点C 的坐标为（6，0）．…1′ 设直线AC 的解析式为：y kx b =+（0k ≠）， 将点A 、C 得到： 132y x =-+．…1′ ∴点D 的坐标为（0，3）． ……1′（3） 设二次函数解析式为：2y ax bx c =++（0a ≠）， ∵ 图象经过B 、D 、A 三点， ∴4230,423 2.a b a b -+=⎧⎨++=⎩…2′解得：1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴此二次函数解析式为：211322y x x =-++……1′ 顶点坐标为（2，38）． …………1′4．解：(1) tan 1OBC ∠=，∴OB=OC=3, ∴B （3,0） ………（2分）将B （3,0）代入223y ax ax =-+ 0963a a =-+，∴1a =- ……（1分） ∴223y x x =-++；∴2(1)4y x =--+…（1分） ∴D(1,4)，A(-1,0) …（2分） 将D(1,4)代入3y kx =+，∴1k =，3y x =+ ……………（2(2)14362ABC S ∆=⨯⨯= …………………（4分）213<≤-m ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0,123m m ()293m 213m 21=+⋅-+⋅m（图八）5．解：（1）过点A 作AH ⊥x 轴，过点B 作BM ⊥y 轴，由题意得OA=OB,∠AOH=∠BOM, ∴△AOH ≌△BOM-------------1分∵A 的坐标是（-3，1）， ∴AH=BM=1,OH=OM=3 ∴B 点坐标为（1，3）---------2分 （2）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c则⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++01393c c b a c b a --------3分 得0,613,65===c b a ∴抛物线的解析式为x x y 613652+=-----2分 （3）对称轴为1013-=x -------1分 ∴C 的坐标为(3,518-)--------1分∴ 5232)5181(2121=⋅+⋅=⋅⋅=∆BC ABC h BC S --------------2分6．解：（1）∵点C （1，5）在直线)0(>+-=k b kx y 上，∴b k +⋅-=15， ∴5+=k b ，…1′ ∴5++-=k kx y .…1′∵点A （a ，0）在直线5++-=k kx y 上， ∴50++-=k ka .…1′ ∴15+=k a .………1′（2）∵直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9， 设点D （9，y ），………1′∴95=y . ∴点D （9，95）.……1′ 代入5++-=k kx y ， 可解得：95=k ，………1′95095+-=x y . ………1′ 可得：点A （10，0），点B （0，950）. ………2′∴BOCAODAOB COD S S S S ∆∆∆∆--= =1950219510219501021⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ …1′=)1110(95021--⨯ = )1110(95021--⨯ = 9200 =9222.……1′7．解：（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++ 点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点 A '（3，a ）…………（1分） ∵抛物线与y 轴的交点的纵坐标为2 ∴2=c …………（1分）∵ 图像经过点A （－1，a ）、A '（3，a ） ∴⎩⎨⎧=++=++a c b a a c b a 9…（1分） 解得⎩⎨⎧=-=21b a ……（2分）∴222++-=x x y …………………（1分） （2）由222++-=x x y =()312+--x 得P(1，3) 52=AP ……………（1分） ∵△ABP 是等腰三角形,点B 的坐标为)1m ，（,且3<m （Ⅰ）当AP=PB 时， 52=PB ，即 523=-m …（1分） ∴523-=m ……（1分）（Ⅱ）当AP=AB 时 ()()()()22221113111m --+--=--+--解得5,3-==m m ……（1分） 3=m 不合题意舍去， ∴5-=m ………（1分） （Ⅲ）当PB=AB 时()()()()2222111311m m --+--=-+-解得21=m ………（1分）综上：当523-=m 或-5或21时，△ABP 是等腰三角形.8．解：（1） 由题意，得103b c c --+=⎧⎨=⎩ （2分） 解得2b =，3c = （1分）∴二次函数的解析式是223y x x =-++ （1分） ()222314y x x x =-++=--+， ∴点P 的坐标是（1，4） （2分）（2） P （1，4），A （-1，0）∴2AP =20．（1分） 设点Q 的坐标是（x ，0） ∠PAQ =90°不合题意则()221AQ x =-，()22116PQ x =-+ （1分）当∠AQP =90°时，222AQ PQ AP +=，()()22111620x x ++-+=，解得11x =，21x =-（舍去） ∴点Q 的坐标是（1，0） （2分） 当∠APQ =90°时，222AP PQ AQ +=，()()22201161x x +-+=+，解得9x =，∴点Q 的坐标是（9，0） （2分）综上所述，所求点P 的坐标是（1，0）或（9，0）．9．解：（1）将(1,3)A ，(0,1)B ，代入212y x bx c=-++， 解得52b =，1c =． …………2分 ∴抛物线的解析式为211225y x x =-++．………1分 ∴顶点坐标为(,)53328．……1分（2）①由对称性得(4,3)C ．……1分 ∴1231413ABC S =--=．…1分②将直线AC 与y 轴交点记作D ， ∵12ADBDBD CD ==，∠CDB 为公共角，∴△ABD ∽△BCD ． ∴∠ABD =∠BCD ．………1分1°当∠PAB =∠ABC时，PBAB ACBC=，∵BC ==AB ==，3AC =∴32PB =，∴1(0,5)2P ． …………2分2°当∠PAB =∠BAC时，PBAB BCAC=， =， ∴310PB =， ∴2(0,13)3P ．……2分综上所述满足条件的P 点有5(0,)2，13(0,)3． …………1分10．解：平移后抛物线的解析式为22(2)1y x =-+．……2分 ∴A 点坐标为（2，1），……1分 设直线OA 解析式为y kx =，将A （2，1）代入 得12k =，直线OA 解析式为12y x=，将3x =代入12y x =得32y =，∴C 点坐标为（3，32）．…………1分 将3x =代入22(2)1y x =-+得3y =， ∴B 点坐标为（3，3）．…1分 ∴ABC34S=…2分（2）∵PA ∥BC ，∴∠PAB =∠ABC 1°当∠PBA =∠BAC 时，PB ∥AC ，∴四边形PACB 是平行四边形，∴32PA BC ==．…1分 ∴15(2,)2P ． …1分2°当∠APB =∠BAC 时，APAB ABBC=，∴2AB AP BC =．又∵AB =103AP =…1分 ∴2P 综上所述满足条件的P 点有5(2,)2，13(2,)3．…………1分11．解：（1）由直线OA 与反比例函数的图像交于点A(3，3)双曲线为：x y 9=，点B(6，m)代入x y 9= 得 23=m ，点设直线BC 的解析式为 b x y +=，由直线BC 经过点B ，将x 得29-=b…（1分） 所以，直线BC 的解析式为29-=x y … （1分）(2)由直线29-=x y 得点C(0，29-)， 设经过A 、B 、C 三点的二次函数的解析式为292-+=bx ax y将A 、B 两点的坐标代入292-+=bx ax y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+232963632939b a b a … （1分）解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=421b a （1分）所以，抛物线的解析式为294212-+-=x x y ………（1分） （3）存在 把294212-+-=x x y 配方得27)4(212+--=x y ， 所以得点D(4，27)， 对称轴为直线4=x …（1分） 得对称轴与x 轴交点的坐标为E(4，0). ………（1分）由BD=8，BC=72，CD=80,得222BD BC CD +=， 所以，∠DBC=90 ……（1分）又∠PEO=90，若以O 、E 、P 为顶点的三角形与△BCD 相似，则有：① DB PE BC OE =即22264PE = 得34=PE ，有1P (4，34) ，2P (4，34-) ② BC PEDB OE =即26224PE = 得12=PE ， 有3P(4，12) ，4P (4，12-). …（3分） 所以，点P 的坐标为 (4，34) ， (4，34-)， (4，12) ， (4，12-).12．（1）设y=ax 2+bx+c … 1’，代入A 、B 、C 坐标得⎪⎩⎪⎨⎧'++=-=++=311241 c b a cc b a 解得'1142 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a得142+-=x x y … 1’（2）BB 1=52 … 1’ cos ∠BB 1A 1=55 … 3’13．(1) ∵CD ⊥AB ∴∠BAC ＝90° ∴∠BAO ＋∠CAD ＝90°………（1分）∵CD ⊥x 轴 ∴∠CDA ＝90° ∴∠C ＋∠CAD ＝90°……（1分）∴∠C ＝∠BAO ……（1分） 又∵∠CDO ＝∠AOB ＝90° ∴△ADC ∽△BOA …………（1分） (2)①由题意得，A(－8，0)，B(0，4) …（1分） ∴OA ＝8，OB ＝4，AB ＝54……（1分） ∵△ADC ∽△BOA ，CA ＝52 ∴AD ＝2，CD ＝4 ∴C(－10，4) ……（1分） 将B(0，4)，C(－10，4)代入c bx x y ++-=2⎩⎨⎧=+--=4101004c b c ∴⎩⎨⎧-==104b c ∴4102+--=x x y ………（1分）③ M(0，3529+)，M(0，3529-) M(53329--,0)，M(53329-,0) ……（4分）14．解：（1）y =ax 2-2ax +3， 当0=x 时,3=y ∴)3,0(B ……… (1分) ∴3=OB ，又OB =3OA ， ∴1=AO ∴)0,1(-A ………（2分）设直线AB 的解析式b kx y +=⎩⎨⎧==+-30b b k ，解得 3=k ，3=b∴直线AB 的解析式为33+=x y ．……… (1分) （2）)0,1(-A ， ∴320++=a a ，∴1-=a ∴322++-=x x y 4)1(2+--=x …(2分)∴抛物线顶点P 的坐标为（1，4）．………… (1分) （3）设平移后的直线解析式m x y +=3 点P 在此直线上，∴m +=34， 1=m∴平移后的直线解析式13+=x y ………… (1分)设点M 的坐标为)13,(+x x ，作ME x ⊥轴-若点M 在x 轴上方时， 13+=x ME ，1+=x AE在Rt △AME 中，由11323tan ++===∠x x AE ME OAM ，∴31=x ……(1分) ∴)2,31(M ……(1分) 若点M 在x 轴下方时， 13--=x ME ，x AE +=1在Rt △AME 中，由x x AE ME OAM +--===∠11323tan ，∴95-=x ∴)32,95(--M …… (1分) 综上所述： M 的坐标是)2,31(或)32,95(--……（1分）15．解：（1）作BQ ⊥x 轴于Q. ∵四边形OABC 是等腰梯形， ∴∠BAQ =∠COA =60° 在Rt △BQA 中，BA =4， BQ =AB ·sin ∠BAO =4×sin60°=32…（1分） AQ =AB ·cos ∠BAO =4×cos60°=2，……（1分） ∴OQ=OA －AQ=7－2=5 点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为（5，32）……(1分) （2）∵∠CPA =∠OCP +∠COP 即∠CPD +∠DPA =∠COP +∠OCP 而∠CPD =∠OAB=∠COP =60° ∴∠OCP =∠APD ……（1分） ∵∠COP =∠PAD ……（1分）∴△OCP ∽△APD ……（1分） ∴AP OCAD OP =，∴OP ·AP =OC ·AD ……(1分) ∵85=AB BD∴BD =85AB=25，AD=AB －BD=4－25=23∵AP =OA －OP =7－OP ∴OP （7－OP ）=4×23 …（1分） 解得OP =1或6∴点P 坐标为（1，0）或（6，0）…………（2分）16、解：（1）∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上，∴⎩⎨⎧+--=-++-=c b c b 444440， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==221c b ，∴二次函数解析式为221412++-=x x y .————（2+1+1分）（2）过B 作x BD ⊥轴于点D ，由（1）得()2,0C ，———（1分）则在AOC Rt ∆中，2142tan ===∠AO CO CAO ，又在ABD Rt ∆中，2184tan ===∠AD BD BAD ，———（1分） ∵BAD CAO ∠=∠tan tan ，—（1分） ∴BAO CAO ∠=∠.———（1分）（3）由()0,4A 与()4,4--B ，可得直线AB 的解析式为221-=x y ，—（1分）设()44,221, x x x P -⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 则⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22141,2x x x Q ， ∴22141,2122212++-=-=-=x x QH x x PH . ∴2214122122++-=-x x x .——（1分）当4212122++-=-x x x ， 解得 4,121=-=x x （舍去），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,1P .———（1分） 当4212122--=-x x x ，解得 4,321=-=x x （舍去），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,3P .———（1分） 综上所述，存在满足条件的点，它们是⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,1与⎪⎭⎫⎝⎛--27,3.17．解：（1）联结AO ,矩形ABOC 322==OB AB ，40=∴A ---------------（1分）矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ,A 落在y 轴上的点E4==∴EO AO )4,0(E ∴ ----------------(1分)过D 点作DH ⊥X 轴于H ，AOB DOH ABO DHO ∠=∠∠=∠, ， DHO ∆∴∽ABO ∆AO DOOB HO AB DH ==∴4,2,32,2====AO DO OB AB 3,1==∴OH DH )1,3(-∴D ----------------(1分) 同理求得)3,3(F ∴-------------(1分)（2）因为抛物线c bx ax y ++=2经过点F 、E 、D ⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=∴43314333b a b a求得：4,33,32==-=c b a --（3分） 所求抛物线为：433322++-=x x y -（1分）（3）因为在x 轴上方的抛物线上有点Q ，使得三角形QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积设三角形QOB 的OB 边上的高为h ，则3223221⨯=⨯⨯h ，所以4=h --------------（1分）因为点Q 在x 轴上方的抛物线上, )4,(x Q ∴23.0,433324212==++-=∴x x x x ------（1分）所以Q 的坐标是)4,0(或)4,23(------------------（2分）18．（1）证明：∵△AOC 绕AC 的中点旋转180°， 点O 落到点B 的位置，∴△ACO ≌△CAB . ………1′ ∴AO=CB ，CO=AB ，……1′ ∴四边形ABCO 是平行四边形. …………1′（2）解：∵抛物线x ax y 322-=经过点A ， 点A 的坐标为（2，0），……1′ ∴0344=-a ，解得：3=a . …1′ ∴x x y 3232-=.∵四边形ABCO 是平行四边形， ∴OA ∥CB .∵点C 的坐标为（1，33），…………1′ ∴点B 的坐标为（3，33）. ………1′把3=x 代入此函数解析式，得：333639332332=-=⨯-⨯=y . ∴点B 的坐标满足此函数解析式，点B 在此抛物线上. …1′ ∴顶点D 的坐标为（1，-3）. …1′（3）联接BO ， 过点B 作BE ⊥x 轴于点E ， 过点D 作DF ⊥x 轴于点F . tan ∠BOE =3，tan ∠DAF=3， ∴tan ∠BOE=tan ∠DAF . ∴∠BOE=∠DAF . …1′ ∵∠APD=∠OAB ， ∴△APD ∽△OAB . ……1′设点P 的坐标为（x ，0）， ∴OB AD OA AP =， ∴6222=-x ，解得：34=x ………1′ ∴点P 的坐标为（34，0）.（4）)0,1(1P ，)0,1(2-P ，3(3,0)P ………2′19．解：（1） D 在BC 上，BC ∥x 轴，设D （x ，-2）---------（1分）D在直线xy 32-=上 ∴3322=-=-x x------（2分） ∴D （3，-2）-----（1分）（2） 抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++==++23900416c b a c c b a 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==03832c b a ------（3分）所求的二次函数解析式为x x y 38322-=----（1分）（3）假设存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形①若以OA 为底，BC ∥x 轴，抛物线是轴对称图形 ∴点M 的坐标为（21-，）--------（1分） ②若以OD 为底，过点A 作OD 的平行线交抛物线为点M直线OD 为x y 32-= ∴直线AM 为3832+-=x y ∴=+-3832x x x 38322- 解得：4,121=-=x x （舍去） ∴点M 的坐标为（310,1-）----------（2分）若以AD 为底，过点O 作AD 的平行线交抛物线为点M直线AD 为82-=x y ∴直线OM 为x y 2= ∴=x 2xx 38322- 解得：0,721==x x （舍去） ∴点M 的坐标为（14,7）-----------（1分）∴综上所述，当点M 的坐标为（21-，）、（310,1-）、（14,7）时以O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形第2520.解：（1）因为直线343+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 和点B ．由,0=x 得3=y ，0=y ，得4=x ， 所以)0,4(A )3,0(B ………1分把)0,1(-C )3,0(B 代入c ax ax y +-=42中，得 ⎩⎨⎧=++=043c a a c ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==533a c ……2分 ∴这个二次函数的解析式为3512532++-=x x y ……1分527)2(532+--=x y ，P 点坐标为P )527,2( ………1分（２）设二次函数图象的对称轴与直线343+-=x y 交于E 点，与x 轴交于F 点 把2-=x 代入343+-=x y 得，23=y ， ∴)23,2(E ， ∴103923527=-=PE ………1分 ∵PE//OB ，OF=AF ， ∴AE BE = ∵AD ∥BP ，∴DE PE =，5392==PE PD …2分。

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