2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2_4_2抛物线的几何性质学案苏教版选修2_1

2.4.2 抛物线的几何性质

[学习目标] 1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线

有关的问题．

知识点一抛物线的几何性质

标准方程

y2＝2px

(p>0)

y2＝－2px

(p>0)

x2＝2py

(p>0)

x2＝－2py

(p>0) 图形

性

质

范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0

对称轴x轴x轴y轴y轴

顶点(0,0)

离心率e＝1

直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，AF＝x1＋

p

2

，BF＝x2＋

p

2

，故AB＝x1＋x2＋p.

知识点三直线与抛物线的位置关系

直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．

思考(1)抛物线x2＝2py(p>0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？

(2)影响抛物线开口大小的量是什么？是如何影响的？

答案(1)有一条对称轴即y轴，不是中心对称图形．

(2)影响抛物线开口大小的量是参数p.p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．

题型一抛物线的几何性质

例1 已知双曲线方程是x 28－y 2

9＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物

线的准线方程．

解 因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p

2＝22，且抛物线的焦点在x 轴

正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2

＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2.

反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．

(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．

跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．

解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2

＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2

＝4x ；

(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2

＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－1

2.

∴抛物线的标准方程为x 2

＝－12

y .

故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2

＝－12y .

准线方程为x ＝－1或y ＝1

8.

题型二 抛物线的焦点弦问题

例2 已知抛物线方程为y 2

＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AB ＝5

2

p ，求AB 所在的直线方程．

解 由题意知焦点F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p

2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则AB ＝2p <5

2p ，不满足题意．

所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

x －p 2，k ≠0.

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，

消去x ，整理得ky 2

－2py －kp 2

＝0.

由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2p k

，y 1y 2＝－p 2.

所以AB ＝x 1－x 2

2

＋y 1－y 2

2

＝ ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1k 2·y 1－y 22

＝

1＋1k

2·

y 1＋y 2

2

－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝5

2

p ，

解得k ＝±2.

所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝ ⎛

⎭⎪⎫

x －p 2

或y ＝－2⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

x －p 2.

反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．

跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2

＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求AB 的值； (2)若AB ＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3，

又F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，0.

所以直线l 的方程为

y ＝3⎝

⎛⎭

⎪⎫

x －32

.

联立⎩

⎪⎨⎪⎧

y 2

＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，

消去y 得x 2

－5x ＋94

＝0.

若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，