机械制图两直线的相互关系
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直角定理
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a′ ′ c′ ′ k′ ′ C A a c b′ ′ d′ ′ K D d k
交点是两直 线的共有点
B c′ ′ a′ ′ b′ ′ k′ ′ d′ ′
x
o
b H
x
a c k d b
o
判别方法： 判别方法：
若空间两直线相交，则其同名投影必 若空间两直线相交， 相交， 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 影规律。
②
c′ ′ a′ ′ d′ ′ c b d a 如何判断？ 如何判断？ b′ ′ b″ ″ c″ ″ Βιβλιοθήκη Baidu″ ″ d″ ″
对于特殊位置直线， 对于特殊位置直线， 只有两个同名投影互相 平行， 平行，空间直线不一定 平行。 平行。 求出侧面投影后可知： 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。 不平行。 与 不平行
k
k
k
a X a
b X
a
m
b X
a
m
b
a
m
a
m M0
k
b
k
b
k
LKM
b 返回
过点E作线段 作线段AB、 的公垂线 的公垂线EF。 例6 过点 作线段 、CD的公垂线 。 b′ e′ c′ x e b a d a′ d′ o f′
c
f
返回
[例题7] 作三角形ABC，∠ABC为直角，使BC在MN 例题7 例题 上，且BC:AB =2:3。
a′ b′ c′ AB b′c′=BC a′b′
c
b
|yA-yB|
a
小 结
重点掌握： 重点掌握：
★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性、直角三角形法。 直线的投影特性、直角三角形法。 ★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 法及投影特性。 定比定理。 ★定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。 ★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
直角边BC//H面 面 直角边 BC⊥AB ⊥ BC⊥Bb BC∥bc ⊥ ∥ 所以 BC⊥ABba平面 ⊥ 平面 bc ⊥ABba平面 故 平面 因此 bc⊥ab ⊥ ∠abc为直角 即 为直角
直线在H面上的 直线在 面上的 投影互相垂直
x
a
.
垂直相交的两直线的投影
a A B C c a b x a c b c o b
b′ ′
●
●
2
●
b d
a
1 3(4 )
●
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 面的重影点， 面的重影点。 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 面的重影点
★ 同名投影可能相交， 同名投影可能相交， 交点” 但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。 一个点的投影规律。 交点” ★ “交点”是两直线上 交点 重影点的投影， 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。 的空间位置。
一、点的投影规律 ① a′a⊥OX轴 ′ ⊥ 轴 a′a″⊥OZ轴 ′ ″ 轴 ② aax= a″az=y=A到V面的距离 ″ 到 面的距离 a′ax= a″ay=z=A到H面的距离 ′ ″ 到 面的距离 aay= a′az=x=A到W面的距离 ′ 到 面的距离
二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
相交。 例3：过C点作水平线 与AB相交。 ： 点作水平线CD与 相交
b′ ′ c′● ′ a′ ′ k′ ′ d′ ′
x
a c k
●
o
d b
先作正面投影
思考：如果给出CD的长度，解题 过程有何变化？
⒊ 两直线交叉
a′ ′ c' c
●
1′(2′ ) 3′ ′ ′ ′ 4′ ′
●
d′ ′
为什么？ 为什么？ 投影特性： 两直线相交吗？ 两直线相交吗？
x
a
例1：判断图中两条直线是否平行。 ：判断图中两条直线是否平行。
①
a′ ′ b′ ′ d′ ′ c′ ′ c b d
x
a
对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行， 投影互相平行，空间 两直线就平行。 两直线就平行。
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。 ：判断图中两条直线是否平行。
两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为： 空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉(错 、 平行、相交、交叉 错)、垂直
⒈ 两直线平行
b′ ′ a′ ′ A B c′ ′ C c b d H D d′ ′ V
投影特性： 投影特性：
空间两直线平 则其各同名投 行，则其各同名投 必相互平行， 影必相互平行，反 之亦然。 之亦然。
五、相互垂直的两直线的投影特性 ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。 两直线中有一条平行于某一投影面时， ⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。 在该投影面上的投影反映直角。 ⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。
投影特性: 投影特性 a'b'∥ox, ∠bac＝90° ∥ ＝ °
返回
交叉垂直的两直线的投影
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ⊥ ac
过点A作 线段的垂线 线段的垂线AB 例4 过点 作EF线段的垂线
b′
f′
e′ x e
b
a′
o
a f
返回
以最短线KM连接 ，确定 点，并求出 连接AB，确定M点 例5 以最短线 连接 KM实长。 实长。 实长
三个投影与各投影轴都倾斜。 三个投影与各投影轴都倾斜。 利用直角三角形法求投影、实长、 利用直角三角形法求投影、实长、倾角
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。 应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
三、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 点分线段成定比， ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 定比定理。 成定比 定比定理 四、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 且符合空间一个点的投影规律。 且符合空间一个点的投影规律。 交叉（交错） ⒊ 交叉（交错） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空 同名投影可能相交， 交点” 间一个点的投影规律。 交点” 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。 对重影点的投影。
两直线垂直相交（或垂直交叉） ⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉）
定理：相互垂直的两直线， 定理：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投 影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
B A b a a′ ′ b′ ′ b c c H c′ ′
证明： 证明：设 因 C
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a′ ′ c′ ′ k′ ′ C A a c b′ ′ d′ ′ K D d k
交点是两直 线的共有点
B c′ ′ a′ ′ b′ ′ k′ ′ d′ ′
x
o
b H
x
a c k d b
o
判别方法： 判别方法：
若空间两直线相交，则其同名投影必 若空间两直线相交， 相交， 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 影规律。
②
c′ ′ a′ ′ d′ ′ c b d a 如何判断？ 如何判断？ b′ ′ b″ ″ c″ ″ Βιβλιοθήκη Baidu″ ″ d″ ″
对于特殊位置直线， 对于特殊位置直线， 只有两个同名投影互相 平行， 平行，空间直线不一定 平行。 平行。 求出侧面投影后可知： 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。 不平行。 与 不平行
k
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a X a
b X
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b 返回
过点E作线段 作线段AB、 的公垂线 的公垂线EF。 例6 过点 作线段 、CD的公垂线 。 b′ e′ c′ x e b a d a′ d′ o f′
c
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返回
[例题7] 作三角形ABC，∠ABC为直角，使BC在MN 例题7 例题 上，且BC:AB =2:3。
a′ b′ c′ AB b′c′=BC a′b′
c
b
|yA-yB|
a
小 结
重点掌握： 重点掌握：
★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性、直角三角形法。 直线的投影特性、直角三角形法。 ★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 法及投影特性。 定比定理。 ★定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。 ★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
直角边BC//H面 面 直角边 BC⊥AB ⊥ BC⊥Bb BC∥bc ⊥ ∥ 所以 BC⊥ABba平面 ⊥ 平面 bc ⊥ABba平面 故 平面 因此 bc⊥ab ⊥ ∠abc为直角 即 为直角
直线在H面上的 直线在 面上的 投影互相垂直
x
a
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垂直相交的两直线的投影
a A B C c a b x a c b c o b
b′ ′
●
●
2
●
b d
a
1 3(4 )
●
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 面的重影点， 面的重影点。 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 面的重影点
★ 同名投影可能相交， 同名投影可能相交， 交点” 但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。 一个点的投影规律。 交点” ★ “交点”是两直线上 交点 重影点的投影， 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。 的空间位置。
一、点的投影规律 ① a′a⊥OX轴 ′ ⊥ 轴 a′a″⊥OZ轴 ′ ″ 轴 ② aax= a″az=y=A到V面的距离 ″ 到 面的距离 a′ax= a″ay=z=A到H面的距离 ′ ″ 到 面的距离 aay= a′az=x=A到W面的距离 ′ 到 面的距离
二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
相交。 例3：过C点作水平线 与AB相交。 ： 点作水平线CD与 相交
b′ ′ c′● ′ a′ ′ k′ ′ d′ ′
x
a c k
●
o
d b
先作正面投影
思考：如果给出CD的长度，解题 过程有何变化？
⒊ 两直线交叉
a′ ′ c' c
●
1′(2′ ) 3′ ′ ′ ′ 4′ ′
●
d′ ′
为什么？ 为什么？ 投影特性： 两直线相交吗？ 两直线相交吗？
x
a
例1：判断图中两条直线是否平行。 ：判断图中两条直线是否平行。
①
a′ ′ b′ ′ d′ ′ c′ ′ c b d
x
a
对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行， 投影互相平行，空间 两直线就平行。 两直线就平行。
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。 ：判断图中两条直线是否平行。
两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为： 空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉(错 、 平行、相交、交叉 错)、垂直
⒈ 两直线平行
b′ ′ a′ ′ A B c′ ′ C c b d H D d′ ′ V
投影特性： 投影特性：
空间两直线平 则其各同名投 行，则其各同名投 必相互平行， 影必相互平行，反 之亦然。 之亦然。
五、相互垂直的两直线的投影特性 ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。 两直线中有一条平行于某一投影面时， ⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。 在该投影面上的投影反映直角。 ⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。
投影特性: 投影特性 a'b'∥ox, ∠bac＝90° ∥ ＝ °
返回
交叉垂直的两直线的投影
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ⊥ ac
过点A作 线段的垂线 线段的垂线AB 例4 过点 作EF线段的垂线
b′
f′
e′ x e
b
a′
o
a f
返回
以最短线KM连接 ，确定 点，并求出 连接AB，确定M点 例5 以最短线 连接 KM实长。 实长。 实长
三个投影与各投影轴都倾斜。 三个投影与各投影轴都倾斜。 利用直角三角形法求投影、实长、 利用直角三角形法求投影、实长、倾角
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。 应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
三、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 点分线段成定比， ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 定比定理。 成定比 定比定理 四、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 且符合空间一个点的投影规律。 且符合空间一个点的投影规律。 交叉（交错） ⒊ 交叉（交错） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空 同名投影可能相交， 交点” 间一个点的投影规律。 交点” 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。 对重影点的投影。
两直线垂直相交（或垂直交叉） ⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉）
定理：相互垂直的两直线， 定理：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投 影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
B A b a a′ ′ b′ ′ b c c H c′ ′
证明： 证明：设 因 C