2.2 平稳随机过程和各态历经过程(1)

2 X
2 当 0时, CX (0) RX (0) m2 X X
一阶平稳过程的概率密度满足f X ( x, t ) f X ( x) 二阶平稳过程的概率密度同时满足上式和下式 f X ( x1, x2 ; t1, t2 ) f X ( x1, x2 ; )
6
例2.2.1 随机过程X (t ) Ay(t ), 其中A是高斯变量 y(t )为 , 确定的时间函数判断X (t )是否为严平稳过程 . .
1、严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关 严平稳过程的数学期望和方差与时间无关
5
2、严平稳过程X(t)的二维概率密度只与两个时 刻t1和t2的间隔有关，与时间起点无关。
严平稳过程X(t)的自相关函数和协方差 函数都只是时间间隔 t2 t1 的函数。
C X ( ) RX ( ) m
2
2.2.1 严平稳过程
如果对于任意的 , 随机过程X (t )的任意n维概率密度满足 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) 则称X (t )为严平稳过程 .
f XY ( x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , ym ;
' ' t1 , t 2 , , t n , t1' , t 2 , , t m )
则称随机过程X (t )和Y (t )是联合严平稳过程 .
4
严平稳过程具有以下性质
X (t )平稳
10
例2.2.2 判断图示的四个随机过 程是否平稳 表达式中 . 的a, , 是常数, A, ,是互相独立的随机变量 . 随机变量在[0,2 ]上均匀分布 .
P59图2.6
X (t ) A cos(t )
(b) E[ X (t )] E[ A] cos(t )
严平稳过程的n维概率密度不随时间平 移而变化，或者说与时间起点无关。 在任何时刻计算严平稳过程的统计结果都是相同的
如果上式不是对任意的 都成立, 而是仅 n 在n N时成立, 则称X (t )是N阶平稳的 .
3
如果两个随机过程 (t )和Y (t )的任意n m维联合 X 概率密度满足:
' ' f XY ( x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , ym ; t1 , t 2 , , t n , t1' , t 2 , , t m )
2 2 A y 2 ( t )
1 2 X

( xmX )2
2 2 X
e
f X ( x, t )
1 e 2 y (t ) A
一维概率密度与 时间有关，故不 是严平稳过程。
7
2.2.2 宽平稳过程 （广义平稳过程）
若随机过程X (t )满足 : E[ X (t )] m X (t ) m X , RX (t1 , t 2 ) RX ( ), 且E[ X 2 (t )] , 则称X (t ) 为广义平稳随机过程式中 t 2 t1. ,
E[UW cost cos(t ) UV cost sin(t ) VW sin t cos(t ) V sin t sin(t )]
2
17
例 : 已知平稳过程 (t ) U cost V sin t , Y (t ) W cost V sin t , X 式中U ,V ,W是均值为零, 方差为6的互不相关的随机变量试 , 问X (t )和Y (t )联合平稳吗?
2.2 平稳随机过程和各态历经过程
噪声电压
1
随机相位的正弦信号
随机幅度的正弦信号
X (t ) a cos(t )
随机频率的正弦信号
X (t ) A cos(t )
幅度、相位和频率都是随机的
X (t ) a cos(t )
X (t ) A cos(t )
X (t )和Y (t )不是联合平稳过程
18
设随机过程Y (t ) X (t ) cos(0t ), 其中 X (t )为广义平稳 过程, 它是幅度调制的 角频率0为常数; 随机相位与X (t ) ; 无关, 且均匀分布在 , )上. (1) 求过程Y (t )的均值和自相 ( 关函数; (2) 过程Y (t )广义平稳吗?
0 (2t 0) 1 (2t 0)
(1) RX (t , t )与时间 t 有关, 所以X (t )不平稳
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例 : 已知平稳过程 (t ) U cost V sin t , Y (t ) W cost V sin t , X 式中U ,V ,W是均值为零, 方差为6的互不相关的随机变量试 , 问X (t )和Y (t )联合平稳吗?
E[cos] E[sin ] 0
E[ X (t )] 0
12
例2.2.2 判断图示的四个随机过 程是否平稳 表达式中 . 的a, , 是常数, A, ,是互相独立的随机变量 . 随机变量在[0,2 ]上均匀分布 .
P59图2.6
(d )
E[ X (t )] 0
X (t ) A cos(t )
9
例2.2.2 判断图示的四个随机过 程是否平稳 表达式中 . 的a, , 是常数, A, ,是互相独立的随机变量 . 随机变量在[0,2 ]上均匀分布 .
P59图2.6
(a) : E[ X (t )] 0
RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )]
P59图2.6
(d ) : E[ X (t )] E[ A cos(t )]
E[ A] E[cos(t )]
X (t ) A cos(t )
cos( ) cos cos sin sin
E[cos(t ) cos sin(t ) sin ]
X (t )为 平稳过程
RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )]
E[ A2 cos(t ) cos(t )]
E[ A2 ]E[cos(t ) cos(t )]
1 E[cos( 2t 2 ) cos( )] 2
0 (2) m X (t ) 1 2t [1 cos( 2t )]
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例 : 设有随机过程 (t ) sin ut, 其中u是均匀分布于 0,2 ] X [ 上的随机变量 试判断下面二种情况下 (t )的平稳性. , X (1) t T , T 0,1,2,; (2) t T , T [0, ).
(1) E[Y (t )] E[ X (t ) cos(0t )] E[ X (t )] E[cos(0t )] 0
RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )] E[ X (t ) cos(0t ) X (t ) cos(0t 0 )] E[ X (t ) X (t )]E[cos(0t ) cos(0t 0 )] RX ( ) E[cos(0t ) cos(0t 0 )]
X (t ) a cos(t )
(c ) 从图中就可看出X (t )
的数学期望与时间有
D[ X (t )]与时间有关 X (t )不是平稳过程 关, 故不是平稳过程.
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例2.2.2 判断图示的四个随机过 程是否平稳 表达式中 . 的a, , 是常数, A, ,是互相独立的随机变量 . 随机变量在[0,2 ]上均匀分布 .
E[ X (t )Y (t )] E[UW ] cost cos(t ) E[UV ] cost sin(t ) E[VW ] sin t cos(t ) E[V 2 ] sin t sin(t )]
E[ X (t )Y (t )] E[V 2 ] sin t sin(t ) 6 sin t sin(t ) RXY ( )
f A (a) 1 2 A
( a mA )2
2 2 A
e
在固定时刻, y (t )为常 数, X (t )为高斯分布
mX (t ) mA y(t ),
2 2 X (t ) A y 2 (t ).
X (t )的一维概率密度为: f X ( x, t )
[ x m A y ( t )]2
X (t ) a cos(t )
E[a 2 cos(t ) cos(t )]
a2 E[cos(2t 2 ) cos( )] 2
a2 RX ( ) cos( ) 2
a2 E[ X 2 (t )] RX (0) 2
一个严平稳过程只要它的均方值有限，则它必 定是广义平稳的。但是，反之则不一定成立。 广义平稳的高斯过程必定也是严平稳的，即对 于高斯过程来说，严平稳与宽平稳是等价的。
8
当两个随机过程 (t )和Y (t )分别是广义 X 平稳过程时, 若它们的互相关函数满 : 足 R XY (t1 , t1 ) E[ X (t1 )Y (t1 )] R XY ( ) 则称X (t )和Y (t ) 是联合广义平稳过程 或 , 称为联合宽平稳过程 .
1 RX ( ) E[ A2 ] E[cos( )] 2
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例 : 设有两个随机过程X 1 (t ) Y , X 2 (t ) tY , 式中Y是随 机变量.试分析讨论随机过程X 1 (t )和X 2 (t )的平稳性.
(1) E[ X 1 (t )] E[Y ] 常数 RX1 (t1 , t2 ) E[ X 1 (t1 ) X 1 (t2 )] E[Y 2 ] 常数 E[ X 1 (t )]和RX1 (t1 , t 2 )均与时间无关 , 所以X 1 (t )为平稳随机过程
RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[sin ut sin(ut u )] 1 E[cosu (2t ) cos(u )] 2
1 2 1 1 cos u (2t )du E[cos u ] 2 0 2 2
若X (t ), Y (t )都为广义平稳, 且RXY ( ) E[ X (t )Y (t )] 则X (t )和Y (t )联合平稳
源自文库
E[ X (t )Y (t )] E{[U cost V sin t ][W cos(t ) V sin(t )]}
(2) E[ X 2 (t )] E[tY ] tE[Y ] D[ X 2 (t )] D[tY ] t 2 D[Y ]与时间有关 X 2 (t )不是平稳的随机过程
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例 : 设有随机过程 (t ) sin ut, 其中u是均匀分布于 0,2 ] X [ 上的随机变量 试判断下面二种情况下 (t )的平稳性. , X (1) t T , T 0,1,2,; (2) t T , T [0, ).
m X (t ) E[ X (t )] E[sin ut ]
1 m X (t ) [1 cos( 2t )] 2t
(1) mX (t ) 0, 为常数与t 无关
2
0
1 sin utdu 2
mX (t ) 0 (t 0)
(2) X (t )不平稳
(t 0) (t 0) 与时间有关