电磁场理论第六章

u E d
位移电流密度 J d
u (t ) , D E d D du
t d dt ( )
图4.1.8 传导电流与 位移电流
位移电流
du id J dS ( ) C ic S d dt dt
S du
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第 六 章
6.3 电 感
电磁感应
图3.7.7 两对传输线的互感
mB ΦmB
合成后
m mA mB
DBC ln 2π DBD
0 I l
DAD DBC ln 2π DAC DBD
0 I l
DAD DBC M ln 2π DAC DBD
0l
思考 1) 若回路方向相反，互感会改变吗？ 它反映 了什么物理意义？ 返 回 上 页 下 页
第 六 章
电磁感应
第六章 电磁感应
Time-Varying Electromagnetic Field 序 电磁感应定律和全电流定律 电磁场基本方程、分界面上的衔接条件 动态位及其积分解 坡印廷定理和坡印廷矢量 正弦电磁场 电磁辐射
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第 六 章
电磁感应
6.1 电磁感应定律和全电流定律
Faraday’s Law and Ampere’s Circuital Law 6.1.1 电磁感应定律（Faraday’s Law）
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第 六 章
电磁感应
3. 外自感
( 1 2 )
0 I B 2π
0 I dψ 0 dΦ0 ld 2 π
0 2 1 2 0 I L0 ld ln I I 1 2π 2π 1
总自感
0
L L0 Li1 Li 2
电磁感应
2. 用诺依曼公式计算回路的外自感 设电流 I 集中在导线的轴线 l1上，磁通穿过外 表面轮廓 l2 所限定的面积。
电流 I 在 l2 上产生的磁矢位为
A 4 π l1
0
I1dl1 R
与 l2 交链的磁通为
Φ
l2
0 I A dl 2 4π
dl1 dl 2 l2 l1 R
H（亨利）
可以证明 M 12
12
I2Fra Baidu bibliotek
M 21
计算互感的一般步骤： 设
图3.7.6 电流I1 产生与回路 L2交链的磁链
Ψ I1 H1 B1 Φ21 B1 dS2 Ψ21 M 21 s2 I1
A
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第 六 章
电磁感应
例 6.3.3 试求图示两对传输线的互感。 解： 设传输线 AB 带电，求穿过 CD 回路的磁链 0 I 导线 A 作用 B 2 π 0 Il DAD mA ΦmA B dS ln S 2π DAC 导线 B 作用
dΦi 2 BdS B ld
匝数
3 2 I N 2 I 3 2 2
' 2
图3.7.3 同轴电缆
1 3 Li 2 NBl d I 2 2 0l 32 2 3 0l32 0l ( 32 2 ) ( 2 ) ln 2 2 2 2 2π 3 2 2 2π( 3 2 ) 8π( 32 2 )
图3.7.12 线圈的自感
外自感
Φ 0 dl1 dl 2 L0 I 4π l2 l1 R
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第 六 章
6.4 磁场能量与力
电磁感应
Magnetic Energy and Force 6.4.1 恒定磁场中的能量（Magnetic Energy） 假设： • 媒质为线性； • 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）； • 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能 量的建立过程无关。 磁场能量的推导过程
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第 六 章
电磁感应
例 6.3.1 试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。 解: 1. 内导体的内自感
(0 1 )
H dl I
l
I
12

2

I
12
2
I I 2 H , 匝数 N 2 2π1 I 12
0 I ld 磁通 dΦ B dS 2 2π1
l H dl i
经过S1面
l H dl S1 J dS i
图4.1.6 交变电路用 安培环路定律
经过S2面
思考 为什么相同的线积分结果不同？电流不连续 吗？ 原因所在？ 返 回 上 页 下 页
l
H dl
S2
J dS 0
第 六 章
电磁感应
恒 定 场 电流连续性原理
积分形式
微分形式
不仅传导电流产生磁场，变化的电场也能产生
磁场。麦克斯韦预言电磁波的存在。
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第 六 章
电磁感应
例 6.1.1 已知平板电容器的面积 S , 相距 d , 介
质的介电常数
流 id；传导电流 ic与 id 的关系是什么? 解： 忽略边缘效应和感应电场 电场

， 极板间电压 u( t )。试求位移电
思考
至可以是假想回路），当回路是导体时，有感应电流
电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？
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第 六 章
电磁感应
6.1.2 感应电场（Inducted Electric Field） 麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种 电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称 之为感应电场 。 在静止媒质中
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第 六 章
电磁感应
例 6.3.2 试求半径为R的两平行传输线自感。
解: 内自感 Li 0l , 总自感 L 2Li L0
8π
解法一 由 B L0 设 I B I0 I0 2πx 2π( D x)
图3.7.4 两线传输线

0 I
2π
电机电势。
图4.1.3
动生电动势
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第 六 章
电磁感应
3.磁场随时间变化，回路切割磁力线
d B e (ν B ) dl dS l S t dt
实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回路中
就有感应电动势。 e 与构成回路的材料性质无关（甚 产生。
当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感
应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。
d 电磁感应定律： e dt
负号表示感应电流产
生的磁场总是阻碍原磁场
的变化。
图4.1.1 感生电动势的参考方向
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第 六 章
电磁感应
根据磁通变化的原因， e 分为三类： 1.回路不变，磁场随时间变化
图3.7.2 同轴电缆截面
因此， i1 S Nd 0
1
0 I l 2 Il d 0 8π 2π12 12
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内自感
Li1
i1
I

0l
8π
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电磁感应
2. 外导体内自感 ( 2 3 )
由例3.2.2 知
2 I 0 0 I 3 2 B 2 2 2π 2π 3 2
1 n 1 n n 1 n 2 Wm Lk I k M ij I i I j I k k 2 k 1 2 i 1 j 1 2 k 1
(i 0)
自有能
互有能
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电磁感应
6.4.2 磁场能量的分布及磁能密度
( Energy Distribution and Energy Density )
Inductance 6.3 .1 自感（Self-Inductance）
回路的电流与该回路交链的
磁链的比值称为自感。 即 SB dS LI
I L = 内自感 Li + 外自感 L0 L

H（亨利）
求自感的一般步骤：
图3.7.1 内磁链与外磁链
设 I H B Φ L ( Li , L0 ) 返 回 A
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( H ) 0 D 所以 H J t
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电磁感应
D lH dl S (J t ) dS

=
图4.1.7 交变电路用安培 环路定律
S1
J dS i
q dS i S2 t t

D dS S2 t
d B e dS S t dt
又称为感生电动势，这是变压器工作的原理，亦称
为变压器电势。
图4.1.2 感生电动势
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电磁感应
2.磁场不变，回路切割磁力线
d e (ν B ) dl l dt
称为动生电动势，这是发
电机工作原理，亦称为发
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电磁感应
若空间同时存在库仑电场,
即 E EC Ei , 则有
B E t
表明不仅电荷产生电场，变 化的磁场也能产生电场。 思考 根据自然界的对偶关系，变化的电场是否会产生 磁场呢？
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图4.1.5 变化的磁场 产生感应电场
第 六 章
电磁感应
6.1.3 全电流定律（Ampere’s Law） 问题的提出

变化的电场产生位移电流（Displacement Current），电流仍然是连续的。
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电磁感应
全电流定律
D l H dl S (J t ) dS ic id
D H J t
D J d ——位移电流密度 其中， t

D R
R
0 Il D R 1 1 x ( D x) ldx π ln R
DR L0 ln I π R

0l
0l 0l D R ln 总自感为 L 2 Li L0 4π π R
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第 六 章
电磁感应
解法二
由 A L0
0 I
2 A ln ez 2π 1
A1
xR
0 I D R ln ez 2π R
图3.7.5 双线传输线
A2
xDR
0 I R ln ez 2π D R
A dl A l A2 l 1
A 4π

l1
R
穿过回路 2 的磁通为
Φ21 A dl 2
l2

图3.7.11 两个细导线电流回路
( 4π
l2
0
l1
I1dl1 ) dl 2 R
互感
Φ21 o dl1 dl 2 M 21 M12 I1 4π l2 l1 R
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第 六 章
时 变 场 因为 J D t t D 所以 ( J )0 t 矢量恒等式
J 0
矢量恒等式
( H ) 0
所以
Stokes’ theorem
H J
l H dl S J dS
D l H dl S (J t ) dS
l
0 I l
DR ln L0 I π R
DR L0 ln I π R

0l
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电磁感应
6.3.2 互感（Mutual Inductance）
互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生
的磁链之比值，它与两个回路的几何尺寸，相对位
置及周围媒质有关。
21 21 M 21I1 , M 21 I1
e Ei dl
l
B l Ei dl s( Ei ) dS t dS B Ei 图4.1.4 变化的磁场产 t 生感应电场 感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化
的磁场 B 是产生 E 的涡旋源，故又称涡旋电场。 i
t
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第 六 章
电磁感应
2) 铁板放在两线圈的下方,互感增加否？ 如何计算？
图3.7.8 一块无限大铁板置于两线圈的下方
3） 铁板放在两线圈之间，互感、自感是否增加？
图3.7.9 一块无限大铁板置于两线圈之间
4）如何绕制无感电阻？
图 3.7.10 无感线圈
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第 六 章
电磁感应
6.3.3 诺依曼公式（Neumann’s Formula） 1. 求两导线回路的互感 设回路 1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为 0 I1dl1