压杆的临界应力

a
a
a
F
FNB
F
变形条 lB件 E1 2： lBC
A BC
D
FNc
由：
l Nl代入 EA
FNB 2
1
FNC 2
201 0903.14 0.025 2 121 0903.14 0.12
4
4
FNC4.8FNB 代入第一式后求解得：
E F
F N B 0 .2F 8 , 3 F N C 1 .3F 6 A
百度文库
例4：图示结构，CF为铸铁圆杆，直径
d1=10cm，[s]=120MPa , E=120GPa。 BE为A3钢圆杆, 直径d2=5cm，
[s]=160MPa, E=200GPa, 如横梁视为刚
性，a＝2m，求许可荷载F。
A
解：1、结构为一次超静定求杆内力
MA 0:
2FNB4FNC6F0
E F
D BC
§10-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及使用范围
1.临界应力：临界压力除以压杆横截面面积得到的压应力， 称为临界应力，用slj (scr)表示；
s = —— slj=
—P—lj
=
p2EI
———
A (l)2 A
p2E slj= ———
(l/i)2
lj
p2E
l2
式中， ① i I —横截面对微弯中性轴的惯性半径； A
I1 : I2 : I3 A1 A2 A3
pd4
64
pd2
pd4 :p6d42
pd4
2: 64
pd2
4
pd2
d224
2
4
44
4
1:1:5
s s s Fcra:Fcrb:Fcrc craA 1: crbA 2: A crc 3
1:2:20
例2：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用经验 公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最小杆长。
二压杆的临界压力Facr和Fbcr的关系为（ C ）。
A.Facr=Fbcr；B.Facr＜Fbcr；C.Facr＞Fbcr；D.不确定
材料和柔度都相同的两根压杆（ A ）。
A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等； B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等； C. 临界应力和压力都一定相等； D. 临界应力和压力都不一定相等。
①直线公式：
scrabl
1)∵scr<ss，∴
ss abl
，得到：l0
a
ss
b
2) lp≥l≥l0—中粗杆(中柔度杆)；
3)对于A3钢： l0a bss 31 0. 12 4240 60
4）对于式中的系数a,b，下表给出了一些常用材料的数值。
表 10-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
L y
h
z
z
y
图示三根压杆，横截面面积及材料各不相同，
但它们的（
）相B同。
A.长度因数；B.相当长度；C.柔度；D.临界压力。
F
F
F
l
2l
0.5l
坏，采用强度公式：
scr ss
三、临界应力总图
1. 细长杆 ( l l p ), 用欧拉公式
2. 中长杆 ( l s l l p ), 用经验公式 3. 粗短杆 ( l l s ), 用强度条件
s cr
p 2E
s
cr
l2
s cr
a
bl
s s
cr
s
s s scr ss
sp
scr abl
s cr
F
解 ： ls
ass
b
30423561.6
1.12
由lills 得 ：
l 0.04
l ls
i 61.6
4 0.7
0.88m
目录
§10-4 压杆的稳定性计算
一、稳定性条件：
Fmax
Fcr [nst ]
式中 Fmax
Fcr
[nst ]
------压杆所受最大工作载荷 ------压杆的临界压力 ------压杆的规定稳定安全系数
2. 中长杆 2. 粗短杆
Fcr sc rAablA
影响因素主要是材料常数a和b，以 及压杆的长细比及压杆的横截面面 积
Fcr scrAss A
影响因素主要取决于材料的屈服强 度和杆件的横截面面积。
压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，（ 截面）形和状
（
约）束对临界压力的综合影响。
两根细长压杆a与b的长度、横截面面积、约束状态及 材料均相同，若其横截面形状分别为正方形和圆形，则
D BC
2、求杆许可荷载：
a
a
a
（1）以BE杆为标准：
s [F N]B []A 1 6 16 0 0 3 .4 1 4 0 .02 5 3k 1N 4
F10F .2N8B 3111 kN 0
2）按压杆FC计算： [FNC][sw]A
l
l
i
12 0.1
80
4
0 .26
[s w ] 0 .26 [s y ]
稳定性条件也可以表示成：
nst
Fcr Fmax
[nst ]
式中 n s t 为压杆实际的工作稳定安全系数。
例3 ：托架，AB杆是圆管，外径D=50mm，内径d=40mm，两端为
球铰，材料为A3钢，E=206GPa,lp=100。若规定[nst]=3,试确 定许可荷载F。
解：一、分析受力
1500
取CBD横梁研究
目录
压杆稳定 \提高压杆稳定性的措施
2.减少压杆支承长度：
（1）直接减少压杆长度；
（2）增加中间支承；
（3）整体稳定性与局部稳定性相近；
F
F
F
角钢
l a
3.加固杆端约束： 尽可能做到使压杆两端部接近刚性固接。
缀条
y x
目录
影响压杆承载能力的因素:
1. 细长杆
Fcr
p 2 EI
L 2
影响因素较多,与弹性模量E，截 面形状，几何尺寸以及约束条件 等因素有关。
C 30o
m c 0 N A sB 3 i0 1 n 0 5 Q 2 0 0 0 000
F 500
BD
F83NAB
二、计算l并求临界荷载
A C
F
B
NAB
i
I A
p (D4d4)
64
p(D2d2)
D2d2 16 mm 4
4
1500
F 500
lAB c1o 3 5s 0 0 0 1 07m 30 m1 C 30o
a(MPa) 304 461 578 9807 332.2 373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
②抛物线公式： scra1b1l2
a
1和b
是与材料有关的常数，可从有关的手册中查到。
1
2、scr=sS时，不存在失稳问题，应考虑强度问题强度破
p 2E l2
小柔度杆
中柔度杆
O
ls
a ss
b
lp
大柔度杆
p 2E sp
l l
i
例1：三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的细 长杆结构，各自的截面形状如图，求三根杆的临界应力 之比以及临界力之比。
s s s 解：
cra:
crb:
crcpl21E2
p2E
:
l22
p2E
:
l32
i12:i22:i32
A
E BC
[ F NC ] 245 kN
F2
[N c] 1 .36
180
kN
a
a
F D a
10-5 提高压杆稳定性的措施
一、从材料方面考虑 1.细长压杆：提高弹性模量E
2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss
二、从柔度方面考虑 1.采用合理的截面形状：
（1）各方向约束相同时： 1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面； （2）压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等， 可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。
BD
ll 11730108
i 16
A
A3钢，λp=100,
λ＞λp，用欧拉公式
F crpl2 2 EA12 .5 1 4 13N 012 .5k 1 4N
三、根据稳定条件求许可荷载 由： F F N c m ra [ x n s]t F N ma [ x F n c s]tr13 .2 5 1 4 4.5 0 KN 从而求得： F8 3FNma x8 34.0 51.5 2KN
②柔度(细长比)： l L i
2.欧拉公式应用范围：
①线弹性状态下的大柔度杆：slj≤sp，即
p 2E l2
≤s
p
说明： 在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程，
在推导该方程时, 应用了胡克定律。因此，欧拉公式也 只有在满足胡克定律时才能适用。
∴
l≥
p 2E sp
lp
3.注意 对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：
图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（ ）。
B
A.临界压力Fcr＝π2EIy/L2，挠曲线位于xy面内； B.临界压力Fcr＝π2EIy/L2，挠曲线位于xz面内； C.临界压力Fcr＝π2EIz/L2，挠曲线位于xy面内； D.临界压力Fcr＝π2EIz/L2，挠曲线位于xz面内。
x
F b
lp
p2200109
200106
100
用柔度表示的临界压力：
p 2E Fcr l2 • A
l≥lp——细长杆(大柔度杆)，
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适用。在工程 上，一般采用经验公式。在我国的设计手册和规范中给
出的是直线公式和抛物线公式。
二、中柔度杆临界应力的经验公式
1.ss>scr>sp时采用经验公式：