第2篇 集合论之函数

• 例5.3 设IA为集合A上函数，aA，IA (a)=a，称IA为A 上双射函数。
• 例5.5设An={a1,a2,…,an },Bn为全体n位二进制数的集合，
1 bi 0
ai S ai S
• 对 S An ，令f(S)=b1,b2,…,bn,
• 则f是P(An)到Bn的一个双射。
5.2 逆函数和复合函数
• 我们已经知道函数是一种特殊的关系，关系有逆运算和复 合运算，因此函数也有复合运算和逆运算。
• 一、逆函数
• 定理 5.4 设f：XY是一个双射函数，那么f c：YX也
是双射函数。
• 定义 5.4 设f：XY是一个双射函数，称f c：YX为f的
逆函数。记为:f-1。
果对任意bY，均有aX，使b= f(a)，即Ran(f)=Y。满射 函数也称到上的函数。 • （3）称f为X到Y的双射函数，或双射（bejection），如 果f既是单射又是满射。双射又称为一一对应的映射。
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5.1 函数的基本概念
5.1 函数的基本概念
• 设X，Y为集合，称f为X到Y的函数（functions），记为f： X→Y，如果f为X到Y的关系（f XY），且对每一xX， 都有唯一的yY，使<x,y>f 。函数也称映射(mapping)。
• 换言之，函数是特殊的关系，它满足 • （1）前域与定义域重合。 • （2）若<x,y>f，<x,y’>f，则y＝y’（单值性）。 • 由于函数的第二个特性，人们常把<x,y>f或xfy这两种关
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5.1 函数的基本概念
• 下面定理给出了一个函数是单射、满射、双射的必要条件。 • 定理5 .3 设f是集合A到集合B的函数 • 1）如果f是单射，则有 |A|≤|B|；、 • 2）如果f是满射，则有 |A|≥|B|； • 3）如果f是双射，则有 |A|=|B|。 • 其中1)也称为鸽巢原理（抽屉原则），其通俗说法就是如
• x X ， f (x) x 2， g(x) x 2 ，h(x) 3x
• 求： f g , g f , f f , g g
f h , h f , f h g
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5.2 逆函数和复合函数
• 解： f g(x) f (g(x)) f (x 2) (x 2) 2 x
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5.2 逆函数和复合函数
• 定理5.6 若 g f 是一个复合函数，
• (1) 如果g和f为满射，则 g f 为满射。 • (2) 如果g和f为入射，则 g f 为入射。 • (3) 如果g和f为双射，则 g f 为双射。
• 解 17到20ห้องสมุดไป่ตู้共有4个岁数，班上共有49人，所以平均放 进4个岁数之中，每个岁数有12人外，其中有一个岁数至 少有13人，即有13人在同一年出生，而13人在同一年的12 个月中出生，这样必有两人在同一月出生，所以49人中必 有两人同年同月出生。
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到集合 B 的关系，其中哪些是函数，哪些不是，为什么？ • R={<1，a>，<2，c>，<3，e>} • S={<1，e>，<2，b>，<3，a>，<4，a>} • T={<1，c>，<2，a>，<3，a>，<3，c>，<4，b>} • 解： • 关系R和T不是函数，R的定义域不是集合A，T中3对应的
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5.2 逆函数和复合函数
• 例5.8 设A={1,2,3}，B={a,b,c}， • f = {<1 , a> , <2 , c> , <3 , b>}是A到B的双射函数，则f的逆
关系
• f c = {<a , 1> , <c , 2> , <b , 3>}是B到A的双射函数。 • 若 g = {<1 , a> , <2 , b> , <3 , b>}则g的逆关系g c = {<a , 1> ,
第2篇 集合论
主讲人：任长安 计算机与信息科学系
2009.07
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引言
• 集合论是现代数学的重要组成部分，在科学和技术的诸多领 域里都得了到广泛的应用。在计算机科学中，集合论是不可 缺少的数学工具，在程序设计、形式语言、自动机、人工智 能、数据库等许多领域都有着重要的作用。 集合论产生于16 世纪末。当时，只是由于微积分学的需要，人们只对数集进 行 了 研 究 。 1872 一 1883 年 间 ， 康 托 尔 （ Gaorge Cantor 1845一1918年，德国数学家）对任意元素的集合进行了系 统的研究，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了 集合论的基础，从而建立起了集合论。
• 与集合和关系的概念一样，函数的概念对于计算机科学来 说也是必不可少的。它直接应用到诸如开关理论，自动机 理论和可计算性等领域中。
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第5章 函数
• 主要内容： • 5.1 函数的基本概念
5.2 逆函数和复合函数
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果m只鸽子（物体）放入n个鸽巢（盒子）里，且m>n，则 某个鸽巢（盒子）里一定有两个或更多的鸽子（物体）。
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5.1 函数的基本概念
• 例5.7 某校某个班有49人，其中年龄最大的是20岁，最 小的17岁，试证其中必有两个学生是同年同月生。
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引言
• 集合论是一门研究数学基础的学科，它试图从一个比“数” 更简单的概念——集合（sets）出发，定义数及其运算，进 而发展到整个数学。在这一点上它取得了极大的成功。我们 介绍集合论则不仅因为此，而且因为计算机科学及应用的研 究，也和集合论理论有着极密切的关系。集合不仅可用来表 示数及其运算，更可以用于非数值信息的表示和处理。像数 据的删节、插入、排序，数据间关系的描述，数据的组织和 查询都很难用传统的数值计算来处理，但却可以用集合运算 来实现。
• 本篇介绍集合论的基础知识，主要内容包括集合及其运算、 性质、序偶、关系、映射、函数等。
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主要内容
1 集合 2 二元关系 3 函数
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第5章 函数
• 函数是数学中一个重要而基本的概念，在高等数学中，函 数是在实数集合上进行讨论的。本章把函数概念予以推广， 把它看作是一种特殊的关系——单值二元关系，在此基础 上讨论函数的性质，介绍几类常见的函数。
定理5.1 设X、Y都是有限集合，|X|= m，|Y|=n，则|YX|=nm。
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5.1 函数的基本概念
• 定义5.3 设f是集合X到集合Y的函数，称 • (1) 称f为X到Y的单射函数，或单射（injection），如果
对任意a，bA，a≠b, 均有f(a)≠f(b) 。单射也称为入射； • （2）称f为X到Y的满射函数，或满射（surjection），如
<b , 2> , <b , 3>}就不是一个函数。
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5.2 逆函数和复合函数
• 二、复合函数 • 定义 5.5 设 f : X Y, g :W Z 若 f (X ) W ，则称
g f { x, z (x X) (z Z) y((y Y) ( x, y f ) ( y, z g))} • 为g对f的左复合。
f h(x) f (h(x)) f (3x) 3x 2 h f (x) h( f (x)) h(x 2) 3(x 2) 3x 6
• 所以， f h h f
f h g(x) f (h(g(x))) f (h(x 2)) f (3(x 2)) 3(x 2) 2 3x 4
值不唯一。只有关系S是函数。
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5.1 函数的基本概念
• 例5.2 设A={a，b，c}，B={0，1，2}，A到B的关系
• f1={<a，1>，<b，2>，<c，0>}，f1={<a，1>，<b，1>，<c， 0>}是A到B的一个函数，而
• 若X、Y为同一集合，f：X→X，则称f为集合X上的函数， XX即表示集合X上所有函数的集合。
• 我们知道的任一子集都是X到Y的关系，但不能都构成X到
Y的函数，例如，设X={a , b , c}，Y={0 , 1}，|X|=3，
|Y|=2，则|X×Y|=2×3=6，所以XY的子集共有26个， 但是其中只有23个子集可定义为从X到Y的函数。即YX中 的元素如下:
• f2={<a，0>，<b，1>，<b，0>}，f3={ <a，0>，<c，1> }不 是A到B的函数。
• 定义5.2 集合X到集合Y的所有函数的集合，称为指数集， 记为YX，即
•
YX={ f| f：X→Y }
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5.1 函数的基本概念
• 从X到Y的函数f ={<1 , p> , <2 , p> , <3 , q>}，从Y到Z的函 数g = {<p , b> , <q , b>}，求 g f 。
• 解：
•
g f ＝{<1 , b> , <2 , b> , <3 , b>}。
• 例5.10 设R是实数集，R到R的函数f定义如下：
• 注意：函数的复合是不可交换的。另外，根据复合函数的 定义，显然有。
• 定理5.5 函数的复合是可以结合的。
• 复合函数定义中的条件ranf domg不满足，则为空。
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5.2 逆函数和复合函数
• 例5.9 设X={1 , 2 , 3}，Y={ p , q}，Z={a , b}
g f (x) g( f (x)) g(x 2) (x 2) 2 x
• 所以， f g g f
f f (x) f ( f (x)) f (x 2) (x 2) 2 x 4 g g(x) g(g(x)) g(x 2) (x 2) 2 x 4
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系表示形式，在f为函数时改为y = f(x) 。这时称x为自变 元，y为函数在x处的值；也称y为x的像点，x为y的源点。
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5.1 函数的基本概念
• 注意，函数的上述表示形式不适用于一般关系。 • 例5.1 A={1,2,3,4} ， B={a,b,c,d,e} 下列关系都是集合 A
f0 { a,0 , b,0 , c,0 }
f1 { a,0 , b,0 , c,1 }
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5.1 函数的基本概念
f2 { a,0 , b,1 , c,0 }
f3 { a,0 , b,1 , c,1 } f4 { a,1 , b,0 , c,0 } f5 { a,1 , b,0 , c,1 } f6 { a,1 , b,1 , c,0 } f7 { a,1 , b,1 , c,1 }