资料---分式方程应用题归类及常见题型
(完整版)分式方程应用题总汇和答案(可编辑修改word版)
分式方程应用题总汇及答案1、A、B 两地的距离是 80 公里.一辆公共汽车从 A 地驶出 3 小时后.一辆小汽车也从A 地出发.它的速度是公共汽车的3 倍.已知小汽车比公共汽车迟20 分钟到达B 地.求两车的速度。
【提示】设共交车速度为 x.小汽车速度为 3x.列方程得：80/(3x) +3=80/x +20/602、为加快西部大开发.某自治区决定新修一条公路.甲、乙两工程队承包此项工程。
如果甲工程队单独施工.则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过 6 个月才能完成.现在甲、乙两队先共同施工 4 个月.剩下的由乙队单独施工.则刚好如期完成。
问原来规定修好这条公路需多长时间？【提示】设时间为 x 个月.列方程得：[1/x+1/(x+6)]*4+(x-4)/(x+6)=13、某工人原计划在规定时间内恰好加工 1500 个零件.改进了工具和操作方法后. 工作效率提高为原来的 2 倍.因此加工 1500 个零件时.比原计划提前了五小时.问原计划每小时加工多少个零件？【提示】设原计划每小时加工 x 个零件.列方程得：1500/2x +5=1500/x4、甲、乙两组学生去距学校 4.5 千米的敬老院打扫卫生.甲组学生步行出发半小时后.乙组学生骑自行车开始出发.结果两组学生同时到达敬老院.如果步行的速度是骑自行车的速度的 1/3.求步行和骑自行车的速度各是多少？【提示】设步行的速度是每小时 x 千米.则 4.5/3x +0.5=4.5/x5、某质检部门抽取甲、乙两个相同数量的产品进行质量检测.结果甲厂有 48 件合格产品.乙厂有 45 件合格产品.甲厂合格率比乙厂高 5%.求抽取检验的产品数量及甲厂的合格率。
【提示】设抽取检验的产品数量为 x.则(48/x -45/x)*100％=5％6、某车间加工 1200 个零件后.采用了新工艺.工效提高 50%.这样加工同样多的零件就少用 10 小时.采用新工艺前后每小时分别加工多少个零件？7、A、B 两地相距 48 千米.一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地.又立即从 B 地逆流返回A 地.共用去 9 小时.已知水流速度为 4 千米/时.若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时.则可列方程求解。
分式方程篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。
3.解分式方程。
具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。
把分式方程化成整式方程。
②解整式方程。
③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。
若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。
若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。
1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
分式方程应用题及解题技巧
分式方程应用题及解题技巧分式方程是代数中的重要内容之一，它的应用广泛而且深远。
分式方程常常出现在实际生活中的各种问题中，比如物体的速度、加速度、浓度、比例关系等等。
学习分式方程的应用，不仅可以帮助我们解决实际生活中的问题，还可以提高我们的数学分析和解决问题的能力。
在本文中，我们将介绍分式方程的应用题，并给出解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这一部分知识。
一、分式方程的应用题1.速度问题小明骑自行车以每小时10公里的速度向前行驶，小李以每小时8公里的速度向前追赶小明，问小李追上小明需要多长时间？解：设小李追上小明需要t小时，那么小明与小李的相对速度为10-8=2公里/小时，根据速度=路程/时间，可得速度的分式方程为：10t = 8t + 8解得t=4，所以小李追上小明需要4小时。
2.浓度问题一瓶含有30%酒精的溶液200毫升，现在加了一些蒸馏水，使得酒精浓度变为20%，问加了多少蒸馏水？解：设加了x毫升的蒸馏水，那么酒精的量为0.3*200，水的量为x，根据浓度=溶质的量/溶液的总量，可得浓度的分式方程为：0.3*200 / (200+x) = 0.2解得x=100，所以加了100毫升的蒸馏水。
二、分式方程的解题技巧1.设未知数在应用题中，需要根据实际情况设立未知数，一般来说，设立一个未知数是最为合适的。
比如速度问题中，可以设小明与小李相对速度t小时后能相遇；浓度问题中，可以设加了x毫升的蒸馏水。
2.建立方程根据实际情况，可以建立出分式方程，一般是根据速度=路程/时间，浓度=溶质的量/溶液的总量等公式建立分式方程。
3.求解方程利用分式方程的性质，将方程化简为一元方程，然后求解，得到未知数的值。
4.检验解将求得的未知数代入原方程中，检验是否符合实际情况，如果符合则说明解是正确的。
通过以上的介绍，相信大家对分式方程的应用题及解题技巧有了一定的了解。
在解决实际问题时，我们可以根据问题中的实际情况设立未知数，建立分式方程，并通过求解方程来得到问题的解。
专题09分式方程(2大考点4种题型)(原卷版)
专题09分式方程（2大考点+4种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：分式方程及其解法考点二：分式方程应用题题型一：分式方程的解法题型二：根据分式方程解的情况求值题型三：分式方程无解问题题型四：分式方程的实际应用考点一：分式方程及其解法1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．考点二：分式方程应用题列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．题型一：分式方程的解法题型二：根据分式方程解的情况求值题型三：分式方程无解问题值．题型四：分式方程的实际应用【例4】．（2022下·上海·八年级上海市田林第三中学校考期中）5G的速度很快，比4G速度每秒多95MB，一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G的速度．【变式1】．（2022下·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？【变式2】．（2022下·上海普陀·八年级校考期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？【变式3】．（2023下·上海静安·八年级统考期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元．(1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______；(2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件．A．1-B．3C．1-或3D．无法确定22．（2023下·上海黄浦·八年级校考阶段练习）甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．23．（2022下·上海·八年级期末）学校到学习基地的公路距离为15千米，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘坐汽车出发，结果他们同时到达，如果汽车的平均速度与自行车的平均速度的比是3:1，问：汽车与自行车的平均速度分别是多少？24．为庆祝“六一”活动,镇活动中心需要600个环保纸袋,原计划由初二(1)班全体同学制作完成、在实际制作时,又有初二(2)班10名同学自愿加入参与制作,这样,实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划少5个,那么初二(1)班共有多少名同学?25．（2021下·上海·八年级上海市西南模范中学校考期中）学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？26．（2022下·上海宝山·八年级校考阶段练习）如图反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A 地到B 地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x （小时）之间关系的部分图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求乙的行驶路程y 和行驶时间x ()13x ≤≤之间的函数解析式；（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B 地，求A 、B 两地之间的距离．。
分式方程应用题分类讲解与训练(很全面)
分式方程应用题分类讲解与训练一、【行程中的应用性问题】例1 甲、乙两个车站相距96千米,快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？分析：等量关系:慢车用时=快车用时+ （小时)例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1。
5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．解:设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意,得xx 6828-=x 5.1828，解得46x =， 经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =，即普通快车车的平均速度为46km ／h,直达快车的平均速度为69km ／h ．评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解,要要检验是否符合题意,即满足实际意义．4060例3 A 、B 两地相距87千米,甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度.分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+ (小时）例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解： 设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得：方程两边都乘以2x ，去分母,得 30—15＝x ， 所以，x ＝15． 检验：当x ＝15时，2x ＝2×15≠0，所以x ＝15是原分式方程的根，并且符合题意．∵，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．所行距离 速度 时间甲（87-45）千米x 千米/小时乙45千米（x+4)千米/小时30608745x-454x +例5 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．解: 设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意,得:解得x＝15．经检验x＝15是这个方程的解．当x＝15时，3x＝45．即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．例6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B；若从原地出发,但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。
分式方程应用题汇总课件
分式方程应用题汇总 课件
汇报人：
202X-12-22
目录
CONTENTS
• 分式方程基础知识 • 实际生活中的分式方程应用题 • 数学中的分式方程应用题 • 分式方程在物理中的应用题 • 分式方程在化学中的应用题 • 分式方程在生物中的应用题
01
分式方程基础知识
分式方程的定义
定义
分式方程是分母中含有未知数的方程 。分式方程是方程中的一种，是指分 母里含有未知数或含有未知数整式的 方程叫作分式方程。
数量问题
总结词
数量问题是分式方程应用题中的另一种常见类型，主要涉及到物品的数量、速度 、时间等参数的计算。
详细描述
在数量问题中，通常会给出一些物品的数量或速度，然后通过分式方程来表示它 们之间的关系。解决这类问题需要掌握各种数量之间的关系，并能够根据题目要 求建立分式方程。
几何问题
总结词
几何问题是分式方程应用题中的另一种常见类型，主要涉及 到图形的形状、大小、位置等参数的计算。
详细描述
这类问题通常涉及到细胞分裂的速率和时间的关系，通过建立分式方程来描述细胞分裂 的速率和时间的关系，从而解决相关问题。
药物浓度问题
总结词
药物浓度问题是分式方程在生物学中的 另一个重要应用，主要涉及药物在生物 体内的吸收、分布、代谢和排泄过程。
VS
详细描述
这类问题通常涉及到药物在生物体内的吸 收、分布、代谢和排泄过程，通过建立分 式方程来描述药物浓度的变化过程，从而 解决相关问题。
02
实际生活中的分式 方程应用题
速度与时间问题
总结词
应用题示例
在匀速直线运动中，速度与时间的关 系是基础且重要的概念。
分式方程应用题专题解析
分式方程应用题专题复习一．行程问题（1）一般行程问题1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
3.甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．（2）水航问题3、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
二．工程问题1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。
乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？例2 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．三．利润（成本、产量、价格、合格）问题1、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
分式方程应用题的常见类型汇总(含答案)
分式方程应用题的常见类型汇总类型1 工程问题1．某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工20天可完成；若甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队在单独施工45天可完成．求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设乙工程队单独完成此工程需要x天，可列方程为________________．2．(十堰中考)甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1 000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字，问：甲、乙两人每分钟各打多少个字？3．(扬州中考)某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．求原来每天制作多少件？4．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 500元．(1)甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？类型2 行程问题5．小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回．出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花的时间比去时节省了14.设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是( )A.40x＋20＝34×40xB.40x＝34×40x＋20C.40x＋20＋14＝40xD.40x＝40x＋20－146．(贵阳中考)2014年12月26日，西南真正意义上的第一条高铁——贵阳至广州高速铁路将开始试运行．从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1 800 km，高铁开通后，高铁列车的行程约为860 km，运行时间比特快列车所用的时间减少了16 h．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的2.5倍，求特快列车的平均速度．类型3 销售问题7．某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元．请问该学校九年级学生有多少人？8．华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2 500元，购买B品牌足球花费了2 000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌的足球多花30元．(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；(2)华昌中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个．恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3 260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球？9．某商场销售的一款空调机，每台的标价是1 635元．在一次促销活动中，按标价的8折销售，仍有9%的利润率．(1)求这款空调机每台的进价；(利润率＝利润进价＝售价－进价进价)(2)在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台．问：共盈利多少元？参考答案1.520＋45x＝12.设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x＋5)个字，由题意得1 000x＋5＝900x，解得x＝45.经检验：x＝45是原方程的解．答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．3.设原来每天制作x件，由题意，得480x－480（1＋50%）x＝10，解得x＝16.检验：x＝16时，1.5x≠0，所以x＝16是原分式方程的解．答：原来每天制作16件．4.(1)设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．根据题意，得1x＋11.5x＝112，解得x＝20，经检验x＝20是方程的解且符合题意.1.5x＝30.故甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天．（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为(y－1 500)元，根据题意得12(y＋y－1 500)＝102 000，解得y＝5 000，甲公司单独完成此项工程所需的施工费为：20×5 000＝100 000(元)；乙公司单独完成此项工程所需的施工费为：30×(5 000－1 500)＝105 000(元)．故甲公司的施工费较少．5.A6.设特快列车的平均速度为x km/h，根据题意可列出方程为1 800x＝8602.5x＋16，解得x＝91.检验：当x＝91时，2.5x≠0.所以x＝91是方程的根．答：特快列车的平均速度为91 km/h.7.设九年级学生有x人，根据题意，列方程得：1 936x×0.8＝1 936x＋88，整理得0.8(x＋88)＝x，解得x＝352.经检验x＝352是原方程的解．答：这个学校九年级学生有352人．8.(1)设购买一个A品牌足球x元，则购买一个B品牌足球(x＋30)元，根据题意得2 500x＝2 000x＋30×2，解得x＝50.经检验，x＝50是原方程的解．x＋30＝80.答：购买一个A品牌足球需50元，购买一个B品牌足球80元．（2）设本次购买a个B品牌足球，则购进A品牌足球(50－a)个，根据题意得50×(1＋8%)(50－a)＋80×0.9a≤3 260，解得a≤3119 .∵a取正整数，∴a最大值为31.答：此次华昌中学最多可购买31个B品牌足球．9.(1)设这款空调机每台的进价为x元，则根据利润率公式有：9%＝1 635×0.8－xx.解这个方程，得x＝1 200.检验略．答：这款空调机每台的进价为1 200元．(2)1 200×0.09×100＝10 800.答：商场盈利10 800元．。
初中常见分式方程应用题汇编
方程应用题1.工程问题1．工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量工作时间 ，工作时间＝工作量工作效率2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝12.营销问题1．商品利润＝商品售价一商品成本价2．商品利润率＝商品利润商品成本价×100% 3．商品销售额＝商品销售价×商品销售量4．商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量3.行程问题1．路程＝速度×时间，速度＝路程时间 ，时间＝路程速度； 2．在航行问题中，其中数量关系是（同样适用于航空）：顺水速度＝静水速度＋水流速度逆水速度＝静水速度－水流速度3．两车相遇问题，其中数量关系是： 两车相向：车头车尾相错时间＝甲车长+乙车长速度和两车同向：车头车尾相错时间＝甲车长+乙车长速度差（速度差=较大车速减较小车速）【例】某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每0.5kg 少3元，比乙种原料每0.5kg 多1元，问混合后的单价每0.5kg 是多少元？解析：设混合后的单价为每0.5kg x 元，则甲种原料的单价为每0.5kg(x ＋3)元，乙种原料的单价为每0.5kg(x －1)元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为x 48002000+斤，甲种原料的重量为32000+x 斤，乙种原料的重量为14800-x 斤， 依题意，得：32000+x ＋14800-x ＝x48002000+，解得x ＝17 经检验，x ＝17是原方程的根，所以x ＝17．即混合后的单价为每0.5kg 17元．总结升华：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解．同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考的热点问题．举一反三：【变式】A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A 每次购买1000千克，采购员B 每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？【答案】设两次购买的饲料单价分别为每1千克m 元和n 元(m>0,n>0,m ≠n)，依题意，得：采购员A 两次购买饲料的平均单价为21000100010001000n m n m +=++ (元/千克)， 采购员B 两次购买饲料的平均单价为n m mn n m +=++2800800800800 (元/千克)． 而 ()()n m n m n m mn n m +-=+-+2222＞ 0 也就是说，采购员A 所购饲料的平均单价高于采购员B 所购饲料的平均单价，所以选用采购员B 的购买方式合算．【例】某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的2/3，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．思路点拨：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组．解析：⑴设甲队单独做需x 天完成，乙队单独做需y 天完成，丙队单独做需z 天完成，依题意，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+33211521*********z x z y y x ①×61＋②×101＋③×51，得x 1＋y 1＋z 1＝51．④ ④－①×61， 得z 1＝301，即30=z ， ④－②×101，得x 1＝101，即10=x ， ④－③×51， 得y 1＝151，即15=y ． 经检验，x ＝ 10，y ＝ 15，z ＝ 30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付a 元，乙队做一天厂家需付b 元，丙队做一天厂家需付c 元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱800010=a 元；此工程由乙队单独完成需花钱975015=b 元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．总结升华：在求解时，把x1，y 1，z 1分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．举一反三：【变式1】 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？【答案】工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x 天，那么乙单独完成工程所需的天数就是()3+x 天.设工程总量为1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是31+x ，依题意，得1323112=+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x ，解得 6=x ． 即规定日期是6天．【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？【答案】设教师乙每分钟能输入x 名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入x 2名学生的成绩，依题意，得：260264022640⨯-=xx ， 解得11=x 经检验，11=x 是原方程的解，且当11=x 时，222=x ，符合题意．即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入11名学生的成绩．【例】甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程＝速度×时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系．解析：设普通快车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意，得：()xx 5.182842828=--，解得46=x 经检验，46=x 是方程的根，且符合题意．∴当46=x 时，695.1=x即普通快车的平均速度为46km ／h ，直达快车的平均速度为69km ／h ．总结升华：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，还要检验是否符合题意，即满足实际意义．举一反三：【变式1】 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？【答案】设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得：603021515=-x x 方程两边都乘以x 2，去分母，得x =-1530， 所以 15=x ．检验：当15=x 时，01522≠⨯=x所以15=x 是原分式方程的根，并且符合题意．∵213015=，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．【变式2】农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．【答案】设自行车的速度为x 千米/小时，那么汽车的速度为x 3千米/小时，依题意，得：604015315-=x x 解得 15=x经检验15=x 是这个方程的解．当15=x 时，453=x即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．【变式3】轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度．【答案】设船在静水中速度为千米／时，则顺水航行速度为()2+x 千米／时，逆水航行速度为()2+x 千米／时，依题意，得：220230-=+x x ，解得10=x ． 经检验，10=x 是原方程的根．即船在静水中的速度是10千米／时．。
资料---分式方程应用题归类及常见题型
列分式方程解应用题的常见类型分析列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验。
这里的检验应包括两层含义：第一，检验得到的根是不是分式方程的根；第二，检验得到的根是不是使实际问题有意义。
一、路程问题：这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。
它们的数量关系是：路程=速度×时间。
列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。
例1 A、B两地相距60千米。
甲骑自行车从A地出发到B地，出发1小时后，乙骑摩托车也从A地出发到B地，且比甲早到3小时。
已知乙的速度是甲的3倍，求甲、乙的速度。
相等关系：二、工程问题这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。
它们的数量关系是：工作量=工作效率×工作时间。
列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。
例2某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成。
已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍。
甲、乙单独完成这项工作各需多少天？相等关系：三、销售问题:解决这类问题，首先要弄清一些有关的概念：商品的进价：商店购进商品的价格；商品的标价：商店销售商品时标出的价格；商品的售价：商店售出商品时的实际价格；利润：商店在销售商品时所赚的钱；利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分率；打折：商店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率。
其次，还要弄清它们之间的关系：商品的售价=商品的标价×商品的打折率；商品的利润=商品的售价-商品的进价；商品的利润率=商品的利润/商品的进价。
例3 某超市销售一种钢笔，每枝售价为12元。
后来，钢笔的进价降低了4%，从而使超市销售这种钢笔的利润率提高了5%。
这种钢笔原来每枝进价是多少元？本题中的主要等量关系：练习：1.某地为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？2.甲乙两车在A、B两城间连续往返行驶，甲车从A城出发，乙车从B城出发，且比甲车早出发1小时，两车在途中分别距离200千米和240千米的C处第一次相遇。
(完整版)分式方程应用题专题(含答案)
1分式方程 应用题专题1、我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道温（州）福（州）——铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）．2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．3、南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高（污水处理率）．40% 污水处理量污水排放量（1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数）（2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加，按照国家要求“2010年省会城市的污水处理20%率不低于”，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每70%天污水处理量的基础上至少还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？24、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ）Ａ．6天Ｂ．4天Ｃ．3天Ｄ．2天5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．66602x x =-66602x x =-66602x x =+66602x x=+6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量．7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜kg ，根据x 题意，可得方程（ ）A ．B ．9001500300x x =+9001500300xx =-C ．D ．9001500300x x =+9001500300x x=-a38、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:9、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？4510、南水北调东线工程已经开工，某施工单位准备对运河一段长2240m 的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20m ，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固河堤m ，则得x 方程为 ．通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.411、某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利4%润提高了．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润售5%=价进价，利润率）-100%=⨯利润进价12、某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修m ，则根据题意可得方程 x ．13、今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用小871时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？14、某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？15、甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度．16、某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的倍；甲、乙两队合作完成工程需要天；甲队每天的工作费用220为元、乙队每天的工作费用为元．根据以上信息，从节1000550约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？517、A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？18、轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是千米/时．672007分式方程的应用题 答案1、解：设通车后火车从福州直达温州所用的时间为小时．1分x 依题意，得． 5分29833122xx =⨯+解这个方程，得． 8分14991x =经检验是原方程的解． 9分14991x =．148 1.6491x =≈答：通车后火车从福州直达温州所用的时间约为1.64小时．10分2、解：设每盒粽子的进价为x 元，由题意得 1分20%x ×50（50）×5350 4分-x2400-=化简得x 210x 12000 5分--=解方程得x 140，x 230（不合题意舍去） 6分==-经检验，x 140，x 230都是原方程的解，==-但x 230不合题意，舍去． 7分=-答： 每盒粽子的进价为40元． 8分3、解：（1）设年平均每天的污水排放量为万吨，2006x 则2007年平均每天的污水排放量为1.05x 万吨，依题意得：1分341040%1.05xx-=4分解得56x ≈5分经检验，是原方程的解56x ≈6分1.0559x ∴≈ 答：2006年平均每天的污水排放量约为56万吨，2007年平均每天的污水排放量约为59万吨．87分（可以设2007年平均每天污水排放量约为x 万吨，2007年的平均每天的污水排放量约为万吨）1.05x （2）解： 8分59(120%)70.8⨯+= 9分70.870%49.56⨯= 49.563415.56-= 答：2010年平均每天的污水处理量还需要在2007年的基础上至少增加万吨．15.56 10分4、Ｄ5、D6、解：设张明平均每分钟清点图书本，则李强平均每分钟清点x 本，(10)x +依题意，得． 3分20030010x x =+解得．20x =经检验是原方程的解．20x =答：张明平均每分钟清点图书20本． 5分注：此题将方程列为或其变式，同样得分．30020020010x x -=⨯7、C8、解：设原来每天加固x 米，根据题意，得 1分． 3分926004800600=-+xx 去分母，得 1200+4200=18x （或18x =5400） 5分解得 ． 6分300x =检验：当时，（或分母不等于0）．300x =20x ≠∴是原方程的解． 7分300x =答：该地驻军原来每天加固300米． 8分9、解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，则乙施工队单独完成此项工程需x 天， 45……………………1分9根据题意，得 ＋＝1 10x 1245x………………………………… 4分解这个方程，得x ＝25 ………………………………………6分经检验，x ＝25是所列方程的根 ……………………………7分当x ＝25时，x ＝20 45…………………………………………9分答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天． ……………10分10、22402240220x x-=-11、解：设这种计算器原来每个的进价为元， 1分x 根据题意，得．5分4848(14)1005100(14)x xxx---⨯+=⨯-%%%%%解这个方程，得． 8分40x =经检验，是原方程的根． 9分40x =答：这种计算器原来每个的进价是40元．10分12、240024008(120)xx-=+%13、 解：设第五次提速后的平均速度是x 公里/时，则第六次提速后的平均速度是（x +40）公里/时．根据题意，得：－=，……………………………………2分x1500401500+x 815去分母，整理得：x 2+40x －32000=0，解之，得：x 1=160，x 2=－200， ……………………………… 4分经检验，x 1=160，x 2=-200都是原方程的解，但x 2=－200＜0，不合题意，舍去．∴x =160，x +40=200．10…………………………………………6分答：第五次提速后的平均时速为160公里/时，第六次提速后的平均时速为200公里/时． ……………………… 7分14、解：设第一次购书的进价为元，则第二次购书的进价为x 元．根据题意得：(1)x +1200150010 1.2xx+=4分解得：5x =经检验是原方程的解5x =6分所以第一次购书为（本）．12002405=第二次购书为（本）24010250+=第一次赚钱为（元）240(75)480⨯-=第二次赚钱为（元）200(75 1.2)50(70.45 1.2)40⨯-⨯+⨯⨯-⨯=所以两次共赚钱（元） 848040520+=分答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．9分15、解法一：设列车提速前的速度为千米/时，则提速后的速度为x 千米/时，根据题意，得． 3.2x 12801280113.2xx-=4分解这个方程，得．80x =5分经检验，是所列方程的根．80x =6分（千米/时）．80 3.2256∴⨯=所以，列车提速后的速度为256千米/时．7分解法二： 设列车提速后从甲站到乙站所需时间为小时，x 则提速前列车从甲站到乙站所需时间为小时，根据题(11)x +意，得．．128012803.211x x⨯=+5x ∴=则 列车提速后的速度为＝256（千米/时）11 答：列车提速后的速度为256千米/时．16、解：设甲队单独完成需天，则乙队单独完成需要天．根据题x 2x 意得1分 ， 111220x x +=3分 解得 ．30x = 经检验是原方程的解，且，都符合题意．530x =30x =260x =分 应付甲队（元）．∴30100030000⨯= 应付乙队（元）．30255033000⨯⨯= 公司应选择甲工程队，应付工程总费用元． 8∴30000分17、解：设甲工程队每周铺设管道公里,x 则乙工程队每周铺设管道()公里 1+x ………………………1分根据题意, 得 311818=+-x x………………………4分解得， 21=x 32-=x ………………………6分经检验，都是原方程的根 21=x 32-=x 但不符合题意,舍去 32-=x ………………………7分∴31=+x 答: 甲工程队每周铺设管道2公里,则乙工程队每周铺设管道3公里． ………………………8分18、 20。
七年级数学下册-分式方程及分式应用题
分式方程及分式应用题【知识点归纳】知识点一、分式方程1分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.2解分式方程：基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
《1》理解分式方程的有关概念例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）①21123x x -=5 ②223x x -=5x 2-5x=0x +3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．《2》掌握分式方程的解法步骤（注意分式方程最后要验根。
（易错点））例2 解方程：100307x x =-.例3. 解关于x 的方程x a b c x b c b x c ab a bc --+--+--=>30()，， 解：原方程化为：x a b c x b c b x c ab---+---+---=1110即x a b c c x b c a a x c a b b---+---+---=0∴---++=>>>∴++≠∴---=∴=++()()x a b c a b c a b c a b cx a b c x a b c11100011100 ，，说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式x a b c ---。
若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适的办法。
例4. 解关于x 的方程。
ax x a bx x b a b x a x b ab ()()()()()()+++=+++≠0解：去括号：ax a x bx b x a b x a b x ab a b 222222+++=+++++()()()()()()()a b x a b x ab a b abx ab a b ab x a b222202+-+=+-=+≠∴=-+说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。
(完整)分式与分式方程题型分类讲义
分式方程及其应用一、基本概念1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程。
2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母,在方程的两边都乘以 ，约去分母,化成整式方程; （2）解这个整式方程；（3)验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3。
用换元法解分式方程的一般步骤:① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用:分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2)检验所求的解是否 。
二、题型分类考点一:分式方程题型（一)分式方程去分母 1、解分式方程22311x x x时,去分母后变形为（ ）。
A ．()()1322-=++x xB ．()1322-=+-x xC ．()()x x -=+-1322D ．()()1322-=+-x x 2、下列方程是分式方程的是（ ）A ．0322=--x xB ．13-=x x C ．x x =1 D ．12=-πx题型（二)解分式方程用常规方法解下列分式方程：25211111 332552323x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；题型（三）分式方程的解 1。
已知方程261=311xax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－22。
方程13462232622+++++++x x x x x x -5=0的解是( ）A 。
无解 B. 0 ， 3 C 。
—3 D 。
0, ±33。
如果)2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A 那么A-B 的值是（ ) A ．34 B 。
35C. 41 D 。
培优专题18 分式方程应用题的常见类型-解析版
专题18 分式方程应用题的常见类型◎类型一：工程问题1．（2022·四川成都·八年级期末）某车间加工1300个零件后，采用了新工艺，工效提升了30%，这样加工同样多的零件就少用10小时．若设采用新工艺前每小时加工x 个零件，则可列方程为（ ）A ．()1300130010130%x x -=-B ．()1300130010130%x x -=+C ．()1300130010130%x x -=-D ．()1300130010130%x x -=+2．（2022·浙江湖州·七年级期末）某帐篷生产企业承接生产7000顶帐篷的任务，原计划每天生产x 顶，但后因帐篷急需，该企业加大生产投入，提高生产效率，实际每天生产数量提高到原计划的1.4倍，结果提前4天完成任务．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．7000700041.4x x x -=+B ．7000700041.4x x =-C ．7000700041.4x x x -=+D ．7000700041.4x x-=【答案】D3．（2022·甘肃·武威第九中学八年级期末）建筑公司修建一条400米长的道路，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务．如果设建筑公司实际每天修x米，那么可得方程是________．4．（2022·江苏泰州·八年级期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数比原计划多50%，结果提前4天完成任务，设原计划每天植树x 棵，根据题意列出方程________．5．（2022·河南信阳·八年级期末）在学习“分式方程应用”时，张老师板书了如下的问题，小明和小亮两名同学都列出了对应的方程．15.3分式方程例：有甲乙两个工程队，甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等，乙队每天比甲队多修40m，求甲队每天修路的长度小明：800120040x x=+小亮：120080040y y-=根据以上信息，解答下列问题：(1)小明同学所列方程中x表示______，列方程所依据的等量关系是________________________________；小亮同学所列方程中y表示______，列方程所依据的等量关系是________________________________；(2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．6．（2022·福建·莆田二中八年级期末）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？【答案】甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米【分析】可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x-0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；【详解】解：设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，◎类型二：行程问题（1）基本数量关系：路程=速度×时间（2）常见应用题中的等量关系：①同一路程慢速－同一路程快速＝时间差②顺水速度=船的速度+水速 逆水速度=船的速度-水速③一段路程原计划按甲速度行驶完，但行驶途中速度变为乙速度，则：全部路程甲速度＝原计划时间，甲速度行驶路程＋乙速度行驶路程＝全部路程，全部路程甲速度－甲速度行驶路程甲速度－乙速度行驶路程乙速度＝时间差7．（2022·浙江金华·七年级期末）某校组织七年级同学乘坐大巴到金华万福塔开展社会实践活动．该塔距离学校5千米．1号车出发4分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.5倍，求2号车的平均速度．设1号车的平均速度为x km/h ，可列方程为 （ ）A ．5541.5x x -=B ．5541.5x x -=C ．5541.560x x -=D ．5541.560x x -=8．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km，根据题意，所列方程正确的是（ ）A．60x﹣601.5x＝3060B．601.5x﹣60x＝3060C．60x﹣601.5x＝30D．601.5x﹣60x＝309．（2022·山西·寿阳县教研室九年级期末）斑马线前“礼让行人”，不仅体现着对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段“A﹣B﹣C”横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用20秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.5倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为____．10．（2022·浙江浙江·二模）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度．设自行车的速度为x千米/时，则根据题意可列方程为________．11．（2022·辽宁沈阳·一模）小明家距学校980m．(1)若他从家跑步上学，路上时间不超过490s，请直接写出小明跑步的平均速度至少为______m/s．(2)若他从家出发，先步行了350m后，发现上学要迟到了，因此换骑上了共享单车，达到学校时，全程共花了480s．已知小明骑共享单车的平均速度是步行平均速度的3倍，求小明骑共享单车的平均速度是多少？（转换出行方式时，所需时间忽略不计，假设家到学校随时都有共享单车）．【点睛】本题考查实际运用题的求解，熟练掌握解实际应用题的步骤“设、列、解、答”，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．12．（2022·山东潍坊·八年级期末）甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海．已知北京到上海的距离约为1320千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的43倍，全程运行时间比列车乙少1.5小时，求列车甲从北京到上海运行的时间．◎类型三：打折销售问题总售价=单价×销售量总利润=单价利润×销售量=总售价-总成本1--%100成本售价成本成本售价成本利润利润率==⨯=利润率售价成本+=1利润=成本×利润率=售价-成本价（进价）售价=成本×(1+利润率)=标价×打折数(不打折时，售价=标价)=成本价+利润=成本价×(1+利润率)标价=成本价×(1+提高成数)成本价=售价-利润13．（2022·安徽合肥·七年级期末）母亲节前夕，某花店购进若干束花，很快售完，接着又在原总进价的基础上增加12.5%购进第二批花．已知第二批所购花束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少8元，设第一批花束每束的进价为x 元，依据题意可得方程（ ）A ．1.5112.5%8x x +=-B ．1.512.5%8x x =-C ．1112.5%81.5x x+-=D ．112.5%181.5x x +-=14．（2022·内蒙古巴彦淖尔·八年级期末）某图书馆计划选购甲、乙两种图书，已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．求甲、乙两种图书每本价格分别为多少元，我们设乙图书每本价格为x 元，则可得方程（ ）A ．8008002.5x x -＝4B ．8008002.5x x -＝24C ．800 2.5800x x ⨯-＝24D ．800800 2.5x x⨯-＝24故答案为A．【点睛】本题主要考查了列分式方程，正确理解等量关系是解答本题的关键．15．（2022·贵州铜仁·八年级期末）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？设乙种消毒液零售价x元/桶，则可立方程为：________．16．（2022·辽宁·沈阳市第七中学八年级阶段练习）某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是60元，最后剩下200件按7折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利______元．2760000840080000176000=+--=（元）28400∴在这两笔生意中，商厦共盈利28400元．故答案为：28400．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．17．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级期中）购买甲、乙两种物品，已知乙种物品的单价比甲种物品的单价贵10元，用480元购买乙种物品的数量与用360元购买甲种物品的数量相同，求甲、乙两种物品的单价各是多少元？18．（2022·甘肃·民勤县第六中学八年级期末）列方程解应用题：某商店用2000元购进一批小学生书包，出售后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了2元，结果购买第二批书包用了6600元．(1)请求出第一批每只书包的进价；(2)该商店第一批和第二批分别购进了多少只书包；(3)若商店销售这两批书包时，每个售价都是30元，全部售出后，商店共盈利多少元？【答案】(1)20元(2)第一批购进100只，第二批购进300只(3)3400元【分析】（1）设第一批书包的单价为x元，然后可得到第二批书包的单价，最后依据第二所购书包的数量◎类型四：方案选择问题19．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）某校组织540名学生去外地参观，现有A，B两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆．设A型客车每辆坐x人，根据题意可列方程（ ）A．54015x-﹣540x=6B．540x﹣54015x+=6C．54015x+﹣540x=6D．540x﹣54015x-=620．（2013·山东泰安·九年级期末）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意得A．B．C．D．21．（2020·黑龙江哈尔滨·二模）为了配合新型冠状病毒的防控工作，某社区欲购进一批酒精对社区进行消毒，现有A、B 两种酒精可供选择，B 种酒精比 A 种酒精每瓶贵 2 元，用600 元购买 A 种酒精和用800 元购买B 种酒精的数量相同，现要求出A、B 两种酒精每瓶的价格.设A 种酒精每瓶的价格为x 元，则可列方程为__________．22．（2019·浙江温州·中考模拟）某校组织1080名学生去外地参观，现有A、B两种不同型号的客车可供选择．每辆B型客车的载客量比每辆A型客车多坐15人，若只选择B型客车比只选择A型客车少租12辆（每辆客车均坐满）．设B型客车每辆坐x人，则列方程为_____．23．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学八年级阶段练习）某公司有960件新产品需经加工后才能投放市场，现有甲、乙两家工厂都想加工加工这批产品．已知甲工厂单独完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用20天，而甲工厂每天加工数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费每天80元，需付乙工厂加工费每天120元．(1)甲、乙两工厂每天能加工多少件新产品？(2)公司制定的方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以有两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师进行技术指导，并担负每天25元的午餐补助，请帮公司需出一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．16a+24a＝960∴a＝24∴需要的总费用为：24×（80+120+25）＝5400元综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．24．（2022·浙江舟山·七年级期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明．根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训．经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟．(1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班m人，8八年级有6个班，每班n 人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求m和n的值；(3)该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下，有哪几种分装方案？【答案】(1)甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；(2)3645 mn=ìí=î(3)有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；②3个10人试管，2个20人试管；③1个10人试管，3个20人试管；④7个10人试管，0个20人试管．【分析】（1）可设乙速度为平均每分钟采集x人，甲为2x人，根据所用的时间可列出方程，解方程即可；（2）根据题意列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可；（3）设10人试管有x个，20人试管有y个，从而得到10x+20y=70，根据x与y都是正整数，从而可求解．（1）解：设乙速度为平均每分钟采集x人，则甲为每分钟采集2x人，。
初中常见分式方程应用题汇编
分式方程应用题常见的实际问题中等量关系1.工程问题1．工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量工作时间，工作时间＝工作量工作效率2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝ 12.营销问题1．商品利润＝商品售价一商品成本价商品利润2．商品利润率＝商品成本价×100%3．商品销售额＝商品销售价×商品销售量4．商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量3.行程问题1．路程＝速度×时间，速度＝路程时间，时间＝路程速度；2．在航行问题中，其中数量关系是（同样适用于航空）：顺水速度＝静水速度＋水流速度逆水速度＝静水速度－水流速度3．两车相遇问题，其中数量关系是：两车相向：车头车尾相错时间＝两车同向：车头车尾相错时间＝甲车长+乙车长速度和甲车长+乙车长速度差（速度差=较大车速减较小车速）营销类应用性问题【例】某校办工厂将总价值为2000 元的甲种原料与总价值为4800 元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每0.5kg 少3 元，比乙种原料每0.5kg 多1 元，问混合后的单价每0.5kg 是多少元？解析：设混合后的单价为每0.5kg x 元，则甲种原料的单价为每0.5kg( x＋3) 元，乙种原料的单价为每0.5kg( x－1) 元，混合后的总价值为(2000 ＋4800) 元，混合后的重量为2000 4800 斤，甲种原料的重量为2000 斤，乙种原料的重量为4800 斤，x依题意，得：x 3 x 12000 ＋4800 ＝2000 4800 ，解得x＝17x 3 x 1 x经检验，x＝17 是原方程的根，所以x＝17．即混合后的单价为每0.5kg 17 元．总结升华：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解．同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强 的时代气息，因而成为中考常考的热点问题．举一反三 ：【 变式 】A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化， 但两位采购员的购货方式不同． 其中，采购员 A 每次购买 1000 千克，采购员 B 每次用去 800 元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？【 答案 】 设两次购买的饲料单价分别为每1 千克 m 元和 n 元 (m>0,n>0,m ≠ n) ，依题意，得：采购员 A 两次购买饲料的平均单价为1000m 1000 1000n 1000m n ( 元/ 千克 ) ，2采购员 B 两次购买饲料的平均单价为800 800 2mn ( 元 / 千克 ) ．而m n 2mn2m n ＞ 0800 m800 m nn2m n2 m n也就是说，采购员 A 所购饲料的平均单价高于采购员 B 所购饲料的平均单价，所以选用采购员B 的购买方式合算．工程类应用性问题【例】 某工程由甲、乙两队合做6 天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700 元，乙、丙两队合做10 天完成，厂家需付 乙、丙两队工程费共9500 元，甲、丙两队合做5 天完成全部工程的 2/3 ，厂家需付甲、丙两队工程费共5500 元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ ⑵若工期要求不超过15 天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．思路点拨 ：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为x 天， y 天， z 天，可列出分式方程组．解析 ： ⑴设甲队单独做需 x 天完成，乙队单独做需y 天完成，丙队单独做需z 天完成，依题意，得1 1 61 1 x y 101 1 12 y z 1 1 2 5 3xz3①× 1 ＋②×1 ＋③× 1 ，得 1 ＝ 1 ．④ 5④－①×④－②×④－③× 1 ， 得 61 ，得 101 ， 得 51 ＝1，即 z z301 ＝ 1 ，即 x x 10 1 ＝ 1，即 yy 15 30 ，10 ，15 ． 经检验， x ＝ 10 ，y ＝ 15 ，z ＝ 30 是原方程组的解． ⑵设甲队做一天厂家需付 a 元，乙队做一天厂家需付 b 元，丙队做一天厂家需付 c 元，根据题意，得＋ 1 ＋ 1 610 5 x y z由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱10a 8000 元；此工程由乙队单独完成需花钱15b 9750 元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．总结升华：在求解时，把 1 ，1 ，x y 1 分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．z举一反三：【变式1】某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？【答案】工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x 天，那么乙单独完成工程所需的天数就是x 3 天.设工程总量为1，甲的工作效率就是1，乙的工作效率是x1，依题意，得x 31 1 2x x 3 x 21 ，解得x 6 ．x 3即规定日期是 6 天．【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640 名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致. 已知教师甲的输入速度是教师乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完. 问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？【答案】设教师乙每分钟能输入x 名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入依题意，得：2x 名学生的成绩，2640 2 x 2640x60 2 ，解得x 11经检验，x11 是原方程的解，且当x 11时，2x22 ，符合题意．即教师甲每分钟能输入22 名学生的成绩，教师乙每分钟能输入11 名学生的成绩．行程中的应用性问题【例】甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5 倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程＝速度×时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系．解析：设普通快车的平均速度为x km／h，则直达快车的平均速度为 1.5 x km／h，依题意，得：8282 4 x 828，解得x 46 1.5x经检验，x46 是方程的根，且符合题意．∴当x46 时，1.5x 69即普通快车的平均速度为46km／h，直达快车的平均速度为69km／h．总结升华：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，还要检验是否符合题意，即满足实际意义．举一反三：【变式1】一队学生去校外参观．他们出发30 分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的 2 倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15 千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？【答案】设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得：15 15 30x 2 x 60方程两边都乘以2x ，去分母，得30 15 x ，所以x15 ．检验：当x15 时，2x 2 15 0所以x15 是原分式方程的根，并且符合题意．∵15301，∴骑车追上队伍所用的时间为30 分钟．2【变式2】农机厂职工到距工厂15 千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40 分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度．【答案】设自行车的速度为x 千米/ 小时，那么汽车的速度为3x 千米/ 小时，依题意，得：15 15 3x x 解得x 经检验x40601515 是这个方程的解．当x 15 时，3x 45即自行车的速度是15 千米/ 小时，汽车的速度为45 千米/ 小时．【变式3】轮船在顺水中航行30 千米的时间与在逆水中航行20 千米所用的时间相等，已知水流速度为 2 千米／时，求船在静水中的速度．【答案】设船在静水中速度为千米／时，则顺水航行速度为x 2 千米／时，逆水航行速度为x 2 千米／时，依题意，得：30 20 ，解得x10 ．x 2 x 2经检验，x10 是原方程的根．即船在静水中的速度是10 千米／时．实战练习1、某校学生进行急行军训练，预计行60 千米的路程在下午 5 时到达。
专题09 分式方程(归纳与讲解)(解析版)
专题09 分式方程【专题目录】技巧1：分式的意义及性质的四种题型 技巧2：分式运算的八种技巧技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 技巧4：分式求值的方法 【题型】一、分式有意义的条件 【题型】二、分式的运算 【题型】三、分式的基本性质 【题型】四、解分式方程 【题型】五、分式方程的解 【题型】六、列分式方程 【考纲要求】1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分．2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件．3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。
4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论． 【考点总结】一、分式形如AB(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式．A A【考点总结】二、分式方程【注意】1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 分式混合运算的运算运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；3.确定分式的符号，然后约分；4.结果应是最简分式.【技巧归纳】分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即a b ·c d ＝acbd .分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a b ÷c d ＝a b ·d c ＝adbc在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．技巧1：分式的意义及性质的四种题型 【类型】一、分式的识别1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2m中，不是分式的式子有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个． 【类型】二、分式有无意义的条件3．若代数式1a －4在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围为( )A ．a ＝4B ．a>4C ．a<4D ．a≠4 4．当x ＝________时，分式x －1x 2－1无意义． 5．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5x 2－6x ＋m 总有意义，试求m 的取值范围．【类型】三、分式值为正、负数或0的条件6．若x ＋2x 2－2x ＋1的值为正数，则x 的取值范围是( )A ．x ＜－2B ．x ＜1C ．x ＞－2且x≠1D ．x ＞1 7．若分式3x －42－x 的值为负数，则x 的取值范围是________．8．已知分式a －1a 2－b 2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．【类型】四、分式的基本性质及其应用 9．下列各式正确的是( )A .a b ＝a 2b 2B .a b ＝ab a ＋bC .a b ＝a ＋c b ＋cD .a b ＝ab b 2 10．要使式子1x －3＝x ＋2x 2－x －6从左到右的变形成立，x 应满足的条件是( ) A ．x ＞－2 B ．x ＝－2 C ．x ＜－2 D ．x≠－2 11．已知 x 4＝y 6＝z7≠0，求 x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z 的值．12．已知x ＋y ＋z ＝0，xyz≠0，求x |y ＋z|＋y |z ＋x|＋z|x ＋y|的值． 参考答案1．C 点拨：4x －25，2m ，x 2π＋1不是分式．2．6 点拨：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式． 3．D 4.±15．解：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)．因为(x －3)2≥0，所以当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．6．C 点拨：x 2－2x ＋1＝(x －1)2.因为分式的值为正数，所以x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x≠1. 7．x ＞2或x ＜438．解：因为分式a －1a 2－b 2的值为0，所以a －1＝0且a 2－b 2≠0.解得a ＝1且b≠±1.9．D 10.D11．解：设x 4＝y 6＝z7＝k(k≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7k.所以x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k ＋3×7k 6×4k －5×6k ＋4×7k ＝37k 22k ＝3722.12．解：由x ＋y ＋z ＝0，xyz≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正．当x ，y ，z 为两正一负时，不妨设x ＞0，y ＞0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1＋1－1＝1；当x ，y ，z 为两负一正时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1－1－1＝－1.综上所述，所求式子的值为1或－1. 值的分式消元求值． 技巧2：分式运算的八种技巧 【类型】一、约分计算法 1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9a 2＋6a ＋9.【类型】二、整体通分法 2．计算：a －2＋4a ＋2.【类型】三、顺次相加法3．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1.【类型】四、换元通分法4．计算：(3m －2n)＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n)2＋2n －3m3m －2n －1.【类型】五、裂项相消法⎝⎛⎭⎫即1n （n ＋1）＝1n －1n ＋15．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1（a ＋99）（a ＋100）.【类型】六、整体代入法6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abcab ＋bc ＋ac 的值．【类型】七、倒数求值法7．已知 x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2x 4－9x 2＋1的值．【类型】八、消元法8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．参考答案1．解：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2＝a ＋6a ＋3－a －3a ＋3＝9a ＋3. 点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程． 2．解：原式＝a －21＋4a ＋2＝a 2－4a ＋2＋4a ＋2 ＝a 2a ＋2. 点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减． 3．解：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）（x 2－1）（x 2＋1）＋4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1）＝8x 7x 8－1. 点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．4．解：设3m －2n ＝x ，则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－x x －1＝x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝－2x（x ＋1）（x －1）＝4n －6m（3m －2n ＋1）（3m －2n －1）.5．解：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100＝1a －1a ＋100＝100a （a ＋100）.点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项． 6．解：1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，上面各式两边分别相加，得⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ×2＝16＋19＋115， 所以1a ＋1b ＋1c ＝31180.易知abc≠0，所以abc ab ＋bc ＋ac ＝11c ＋1a ＋1b ＝18031.7．解：由xx 2－3x ＋1＝－1，知x≠0，所以x 2－3x ＋1x ＝－1.所以x －3＋1x ＝－1.即x ＋1x ＝2.所以x 4－9x 2＋1x 2＝x 2－9＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－11＝22－11＝－7. 所以x 2x 4－9x 2＋1＝－17.8．解：以x ，y 为主元，将已知的两个等式化为⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z.解得x ＝3z ，y ＝2z. 因为xyz≠0，所以z≠0.所以原式＝5×9z 2＋2×4z 2－z 22×9z 2－3×4z 2－10z 2＝－13.点拨：此题无法直接求出x ，y ，z 的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值．【类型】二、利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x 的方程x －2x －3＝mx －3＋2有解，求m 的取值范围．【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值 3．如果解关于x 的分式方程m x －2－2x 2－x＝1时出现增根，那么m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．4 D ．－44．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．【类型】四、利用分式方程无解求字母的值5．若关于x 的分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a ＝________.6．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m3－x 无解，求m 的值．7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x＝1.(1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值； (2)若方程有增根，求a 的值； (3)若方程无解，求a 的值． 参考答案1．解：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3.经检验，x ＝3是该方程的解． 将x ＝3代入2x ＋4＝mx ，得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝⎝⎛⎭⎫672－2×67＝－4849.2．解：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m.∵分式方程有解， ∴x ＝4－m 不能为增根． ∴4－m≠3.解得m≠1.∴当m≠1时，原分式方程有解． 3．D4．解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0，所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3. 当x ＝3时，m ＋2×(3－3)＝3＋3，解得m ＝6； 当x ＝－3时，m ＋2×(－3－3)＝－3＋3， 解得m ＝12.综上所述，原方程的增根是x ＝3或x ＝－3. 当x ＝3时，m ＝6； 当x ＝－3时，m ＝12.点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．5．1或－16．解：原方程可化为(m ＋3)x ＝4m ＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：(1)若整式方程无实根，则m ＋3＝0且4m ＋8≠0，此时m ＝－3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，则4m ＋8m ＋3＝3，解得m ＝1.经检验，m ＝1是方程4m ＋8m ＋3＝3的解．综上所述，m 的值为－3或1.7．解：原方程去分母并整理，得(3－a)x ＝10.(1)因为原方程的增根为x ＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2. (2)因为原分式方程有增根，所以x(x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.因为x ＝0不可能是整式方程(3－a)x ＝10的解，所以原分式方程的增根为x ＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2.(3)①当3－a ＝0，即a ＝3时，整式方程(3－a)x ＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，a ＝－2.综上所述，a 的值为3或－2.点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解． 技巧4：分式求值的方法 【类型】一、直接代入法求值 1．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1，其中a ＝5.【类型】二、活用公式求值2．已知实数x 满足x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1x 4的值．3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2的值．【类型】三、整体代入法求值4．已知x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ＝1，且x ＋y ＋z≠0，求x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y 的值．【类型】四、巧变形法求值5．已知实数x 满足4x 2－4x ＋1＝0，求2x ＋12x 的值．【类型】五、设参数求值6．已知x 2＝y 3＝z4≠0，求x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz 的值．参考答案1．解：原式＝[2a ＋1＋a ＋2（a ＋1）（a －1）]·a －1a＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）·a －1a＝3a ＋1. 当a ＝5时，3a ＋1＝35＋1＝12.2．解：由x 2－5x ＋1＝0得x≠0，∴x ＋1x＝5.∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝25.∴x 2＋1x 2＝23. ∴x 4＋1x 4＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22－2＝232－2＝527 点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答． 3．解：x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2＝x 2＋2xy ＋y 2＋xy xy （x ＋y ）＝（x ＋y ）2＋xyxy （x ＋y ）.因为x ＋y ＝12，xy ＝9， 所以（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）＝122＋99×12＝1712.4．解：因为x ＋y ＋z≠0，所以等式的两边同时乘x ＋y ＋z ，得x （x ＋y ＋z ）y ＋z ＋y （x ＋y ＋z ）z ＋x ＋z （x ＋y ＋z ）x ＋y＝x ＋y ＋z ，所以x 2y ＋z ＋x （y ＋z ）y ＋z ＋y 2z ＋x ＋y （z ＋x ）z ＋x ＋z 2x ＋y ＋z （x ＋y ）x ＋y ＝x ＋y ＋z.所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y ＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z.所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y＝0.点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想． 5．解：∵4x 2－4x ＋1＝0，∴(2x －1)2＝0.∴2x ＝1. ∴2x ＋12x ＝1＋11＝2.6．解：设x 2＝y 3＝z4＝k≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k.所以x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz＝（2k ）2－（3k ）2＋2（4k ）22k·3k ＋3k·4k ＋2k·4k＝27k 226k 2＝2726. 【题型讲解】【题型】一、分式有意义的条件例1x 的取值范围是（ ） A ．x≥4 B ．x ＞4C ．x≤4D ．x ＜4【答案】D【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．4﹣x ＞0，解得：x ＜4 即x 的取值范围是：x ＜4故选D ． 【题型】二、分式的运算 例2、分式222111a a a a++---化简后的结果为（ ） A ．11a a +-B ．31a a +-C ．1a a --D ．2231a a +--【答案】B【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算． 【详解】解：222111a a a a++--- ()()()()()21221111a a a a a a ++=-+--+ ()()()222111a a a a +++=+-()()2222111a a a a a ++++=+-()()()()3111a a a a +=++- 31a a +=- 故选：B ．【题型】三、分式的基本性质 例3、若b a b -=14，则ab的值为（ ） A ．5B ．15C ．3D ．13【答案】A 【解析】因为b a b -=14， 所以4b=a -b ．，解得a=5b① 所以a b ①55b b=. 故选A.【题型】四、解分式方程 例4、方程2152x x =+-的解是（ ） A ．1x =- B ．5x =C ．7x =D ．9x =【答案】D【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解． 【详解】 解：方程可化简为()225x x -=+ 245x x -=+9x =经检验9x =是原方程的解 故选D【题型】五、分式方程的解 例5、关于x 的分式方程2mx -﹣32x-＝1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2 B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可． 【详解】解：去分母得：m +3＝x ﹣2， 由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．【题型】六、列分式方程例6、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．3000420080x x=-B．3000420080x x+=C．4200300080x x=-D．3000420080x x=+【答案】D【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：3000420080x x=+，故选：D．分式方程（达标训练）一、单选题1．（2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）关于x的分式方程3122m xx x++=--有解，则实数m应满足的条件是（）A．m=-1B．m≠-1C．m=1D．m≠1【答案】D【分析】解分式方程得：m + x-3=2-x即x=52m，由题意可知x≠2，即可得到m．【详解】解：31 22m xx x++= --方程两边同时乘以2-x得：m+x-3=2-x, 2x=5-m，x=52m①分式方程有解① x ≠2， 即52m≠2， ①m ≠1． 故选D ．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键．2．（2022·海南省直辖县级单位·二模）分式方程211x =+的解为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C【分析】按照分式方程的解法求解判断即可． 【详解】①211x =+， 去分母，得2=x +1， 移项，得 x =2-1=1，经检验，x =1是原方程的根 故选C ．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 3．（2022·天津南开·二模）化简2222432x y x yx y y x -----的结果是（ ）A ．5x y- B ．5x y+ C ．225x y -D ．223x yx y +-【答案】B【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可．【详解】解：2222432x y x yx y y x ----- 2222432x y x yx y x y --=+--55()()x yx y x y -=+-5()()()x y x y x y -=+-5x y=+，【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 4．（2022·贵州贵阳·三模）计算222m m m ---的结果是（ ） A ．2 B ．－2C ．1D ．－1【答案】C【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可． 【详解】解：221222m m m m m --==---， 故选：C ．【点睛】本题考查了分式的减法，正确运算是解题关键，注意运算后需要约分化简． 5．（2022·江苏淮安·一模）若分式2xx +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≠ B ．2x ≠- C ．2x >- D ．2x ≥-【答案】B【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到． 【详解】要分式2xx +有意义，则20x +≠， 解得：2x ≠-． 故选：B【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．二、填空题6．（2022·四川省遂宁市第二中学校二模）分式方程31311x x x -=-+的解为 ______． 【答案】x =-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：3x (x +1)-(x -1)=3(x +1)(x -1)， 解得：x =-2，经检验x =-2是分式方程的解， 故答案为x =-2．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算52x x ++﹣32x +＝_____． 【答案】1【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【详解】解：52x x ++﹣32x +=532122x x x x +-+==++ 故答案为：1．【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减．三、解答题8．（2022·浙江丽水·一模）解方程：13233x x-=--． 【答案】=5x【分析】这是一道可化为一元一次方程的分式方程，根据解分式方程的一般步骤：去分母，转化为求解整式方程，然后检验得到的解是否符合题意，最后得出结论． 【详解】两边同时乘以(3)x -，得132(3)x +=-， 去括号，得426x =-， 化简，得=5x ，检验：当=5x 时，30x -≠， ∴原分式方程的解为=5x ．【点睛】此题考查可化为一元一次方程的分式方程，熟练掌握解分式方程的方法与步骤是解此题的关键，但是要特别注意：检验是不可少的环节．分式方程（提升测评）一、单选题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱．某特许零售店准备购进一批吉祥物销售．已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同，已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“冰墩墩”的单价为x 元，则列出方程正确的是（ ）A ．60050010x x=+ B ．60050010x x =+ C ．60050010x x=- D ．60050010x x =- 【答案】D【分析】设“冰墩敏”的销售单价为x ，则 “雪容融”的销售单价为（x -10）元，然后根据用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同即可列出方程．【详解】解：设“冰墩敏”的销售单价为x ，则 “雪容融”的销售单价为（x -10）元， 根据题意，得60050010x x =-。
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列分式方程解应用题的常见类型分析列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验。
这里的检验应包括两层含义：第一，检验得到的根是不是分式方程的根；第二，检验得到的根是不是使实际问题有意义。
一、路程问题：这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。
它们的数量关系是：路程=速度×时间。
列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。
例1 A、B两地相距60千米。
甲骑自行车从A地出发到B地，出发1小时后，乙骑摩托车也从A地出发到B地，且比甲早到3小时。
已知乙的速度是甲的3倍，求甲、乙的速度。
相等关系：二、工程问题这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。
它们的数量关系是：工作量=工作效率×工作时间。
列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。
例2某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成。
已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍。
甲、乙单独完成这项工作各需多少天？相等关系：三、销售问题:解决这类问题，首先要弄清一些有关的概念：商品的进价：商店购进商品的价格；商品的标价：商店销售商品时标出的价格；商品的售价：商店售出商品时的实际价格；利润：商店在销售商品时所赚的钱；利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分率；打折：商店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率。
其次，还要弄清它们之间的关系：商品的售价=商品的标价×商品的打折率；商品的利润=商品的售价-商品的进价；商品的利润率=商品的利润/商品的进价。
例3 某超市销售一种钢笔，每枝售价为12元。
后来，钢笔的进价降低了4%，从而使超市销售这种钢笔的利润率提高了5%。
这种钢笔原来每枝进价是多少元？本题中的主要等量关系：练习：1.某地为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？2.甲乙两车在A、B两城间连续往返行驶，甲车从A城出发，乙车从B城出发，且比甲车早出发1小时，两车在途中分别距离200千米和240千米的C处第一次相遇。
相遇后，乙车改为按甲车的速度行驶，而甲车却提速了，之后两车又在C处第二次相遇，之后如果甲车再提速5千米每小时，乙车再提速50千米每小时，那么两车将在C处再次相遇，求乙车出发时的速度。
3.一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可以雇佣。
已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用了2a次、a次能运完。
若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨。
现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运1吨付运费20元计算）分式方程的应用题精选一、填空：1、有一项工程，甲独做x天完成，乙独做比甲多用4天完成任务，那么乙独做需要 (x＋4)天完成。
甲一天完成总工程的x 1，乙一天完成总工程的41+x 。
甲、乙合做一天完成总工程的411++x x 。
若合做2天完成总工程的158，则可列方程：422++x x ＝158。
2、农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达。
已知汽车的速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为3235315-=x x 。
3、若对于实数a ，b 定义一种运算：a ☆b ＝abb a -+1，则当2☆x ＝－1时，x ＝ 3 。
4、甲、乙两人承包一项工程，合做10天完成，若他们单独做，甲比乙少用8天，设甲单独做需要x 天完成，则所列方程是181010=++x x 。
5、已知yx 11-＝3，那么y xy x y xy x ----22142的值是 4 。
6、当x ＝ －1 时，分式315+-x 与11-x 的值相等。
7、当a ＝ 0.2 时，关于x 的方程53221+-=-+a a x x 的解为0。
8、某打字员经过培训后，打字效率相当于原来的3倍，现在打900个所用的时间比原来少用30分，设现在这个打字员每分打个字，则依题意可列方程是309009003+=⨯xx 。
9、二、选择题1、大车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同，已知小车每小时比大车多行驶20千米，求两车的速度分别是多少。
设大车的速度为x 千米/时，根据题意列方程正确的是【 C 】 (A)203525-=x x ； (B) x x 352025=-； (C) 203525+=x x ； (D) xx 352025=+。
2、李曼玉同学借了一本《清雅集》，共350页，要在两周借期内读完。
当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完。
问：她读前一半时平均每天读多少页？如果设她读前一半时平均每天读x 页，则下面所列方程中正确的是【 C 】(A)1421175175=-+x x ； (B) 121175175=-+x x (C) 1421175175=++x x ； (D) 121175175=++x x 3、一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，问：江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程【 A 】(A)x x -=+306030100； (B) 306030100-=+x x (C) x x +=-306030100； (D) 306030100+=-x x 4、某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20%，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
设原计划行军的速度为x 千米/时，则可列方程【 C 】(A) 1%206060++=x x ； (B) 1%206060-+=x x (C)()1%2016060++=x x ； (D) ()1%2016060-+=x x 5、有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期内完成。
若乙队单独做，要超过规定日期3天才能完成。
现在先由甲、乙两合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期内完成。
设规定日期为天，下面的方程中错误的是【 D 】(A) 132=++x x x ； (B) 32+=x x x (C) 1323112=+-+⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x ； (D) 1311=++x x 6、一支蜡烛经凸透镜成一实像，物距u 、像距v 和凸透镜的焦距f 满足关系：fv u 111=+。
若u ＝12cm ，f ＝3cm ，则v 的值为【 C 】 (A)8cm ； (B) 6cm ； (C)4cm ； (D) 2cm 。
三、列方程解下列各题8、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。
问：乙单独整理需多少分钟完工？解：设乙单独整理需x 分钟完工，则120204020=++x解，得x ＝80 经检验：x ＝80是原方程的解。
答：乙单独整理需80分钟完工。
9、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？解：设第一块试验田每亩收获蔬菜x 千克，则3001500900+=x x 解，得x ＝450 经检验：x ＝450是原方程的解。
答：第一块试验田每亩收获蔬菜450千克。
10、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。
已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。
求步行的速度和骑自行车的速度。
解：设步行速度是x 千米/时，则247197=-+xx 解，得x ＝5 经检验：x ＝5是原方程的解。
进尔4x ＝20（千米/时）答：步行速度是5千米/时，骑自行车的速度是20千米/时。
11、小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？解：⑴设她第一次在供销大厦买了x 瓶酸奶，则2.053140.185.12+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 解，得x ＝5 经检验：x ＝5是原方程的解。
答：她第一次在供销大厦买了5瓶酸奶。
12、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。
⑴ 求这种纪念品4月份的销售价格。
⑵ 若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元？解：⑴设4月份销售价为每件x 元，则xx 9.07002000202000+=+ 解，得x ＝50 经检验：x ＝50是原方程的解。
⑵4月份销售件数：2000÷50＝40（件）每件进价：(2000－800)÷40＝30（元）5月份销售这种纪念品获利：(2000＋700)－30×(40＋20) ＝900（元）答：4月份销售价为每件50元，5月份销售这种纪念品获利900元。
13、王明和李刚各自加工15个零件，王明每小时比李刚多加工1个，结果比李刚少用半小时完成任务，问：两人每小时各加工多少个零件？解：设李刚每小时加工x 个，则列方程为：xx 155.0115=++ （注：此方程去分母后化为一元二次方程）14、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款1.5万元，乙工程队款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。
试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。