数学发展史
数学的历史介绍数学的历史发展和重要数学家
数学的历史介绍数学的历史发展和重要数学家数学作为一门古老而又深刻的学科，在人类文明的历史长河中扮演着重要的角色。
从古代至今，数学不断发展演变，培育出许多伟大的数学家，他们为数学的进步做出了巨大的贡献。
本文将为大家介绍数学的历史发展并重点介绍一些重要的数学家。
一、古希腊时期数学的发展古希腊是数学史上一个重要的里程碑，许多重要的数学思想和概念都在这个时期诞生。
最为人熟知的是毕达哥拉斯学派提出的一系列数学原理，包括著名的毕达哥拉斯定理。
另外，欧几里得的《几何原本》对后世数学发展起到了巨大的影响，成为许多数学家研究的基础。
二、中世纪数学的低谷与复兴中世纪数学的发展相对较慢，部分原因是欧洲的文化环境受到了战争和政治动荡的影响。
然而，阿拉伯数学家在这个时期对数学的发展做出了重要贡献。
他们将印度和希腊的数学知识引入阿拉伯世界，并进行了整理和发展，为欧洲数学的复兴打下了基础。
著名的《阿拉伯数学传统》成为了数学史上的重要文献之一。
三、文艺复兴时期的数学突破文艺复兴时期是欧洲数学复兴的重要时期，众多数学家在这个时期涌现出来。
其中，意大利数学家斯忒芬诺为代数学的发展做出了杰出贡献，他提出了方程三次及以上的根的求解方法。
另外，日耳曼数学家勒让德也是这个时期的重要人物，他以发展微积分理论而闻名。
四、近代数学的革命近代数学的革命主要发生在17至19世纪，这一时期见证了许多基础性数学理论的诞生。
哥德巴赫猜想、费马大定理等一系列重要的数学难题在这一时期得到了提出。
著名的数学家牛顿和莱布尼茨几乎同时独立发现了微积分学，为后来的物理学和工程学等学科提供了基础。
五、现代数学的拓展与应用20世纪以来，数学已经发展成为一门庞大而复杂的学科体系。
代数学、几何学、概率论、数论等各个分支都有了独立而深入的发展。
许多著名的数学家如高斯、黎曼、庞加莱等在这个时期做出了具有重要影响的贡献。
数学的应用也广泛渗透到自然科学、工程学与经济学等领域，为人类社会的进步做出了重要贡献。
数学发展历程
数学发展历程数学是一门古老而又重要的学科，它对人类的文明进程产生了深远的影响。
本文将介绍数学的发展历程，从古代数学的起源到现代数学的蓬勃发展。
1. 古代数学的起源数学的历史可以追溯到古代文明。
早在公元前3000年左右，古埃及人、古巴比伦人和古印度人就开始使用简单的几何学和代数学方法来解决实际问题。
古希腊的毕达哥拉斯学派则为几何学的发展做出了重要贡献。
2. 古希腊数学的巅峰古希腊数学是数学发展史上的重要里程碑。
众所周知的数学家如毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德等，他们的研究奠定了几何学和数论的基础。
毕达哥拉斯学派提出了著名的毕达哥拉斯定理，欧几里得则以其著作《几何原本》成为了这一时期最具影响力的数学著作。
3. 中世纪的数学复兴中世纪数学发展相对较缓慢，直到数学复兴的来临才迎来了重要的突破。
文艺复兴时期的欧洲，数学开始受到更多人的关注。
著名的数学家费马和笛卡尔等人的工作推动了代数学的发展，他们将代数学与几何学相结合，开辟了新的研究领域。
4. 数学的科学化17世纪，随着数学的科学化进程，数学开始独立于其他学科发展。
牛顿和莱布尼茨的发现了微积分，这一发现不仅为物理学和工程学等其他学科提供了重要的工具，也标志着数学成为一门真正的学科。
这个时期的数学家还研究了概率和解析几何等领域。
5. 现代数学的发展进入现代时期，数学的发展进入了一个全新的阶段。
20世纪对数学产生了巨大的影响，数学家们推动了许多重要的发现和理论。
例如，集合论和拓扑学的兴起推动了数学的新进展。
数论、代数学、数学分析等各个分支都在不断深化和拓展。
6. 当代数学的前沿当代数学拥有众多前沿领域，包括数学物理学、几何拓扑学、图论和数值计算等。
这些领域的研究不仅解决了许多现实问题，也丰富了数学的理论体系。
同时，数学的应用也与其他学科如计算机科学、金融学和生物学等有着密切的联系。
结语：数学的发展历程长期而丰富多样。
从古代的起源到现代的蓬勃发展，数学一直作为人类智慧的结晶，推动着人类文明的进步。
数学的发展历史
数学的发展历史一、古代数学的萌芽数学的历史可以追溯到公元前1800年的古巴比伦，那时候出现了一些代数问题和几何问题。
他们使用类似于解谜游戏的方法来解决问题，这些解题方法在那个时代已经很先进了。
在公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派开创了完整的数学理论，这阶段被认为是古代数学的黄金时代。
他们发现了自然数、几何元素和研究了三角形的一些基本理论。
二、欧几里得与数学元素欧几里得是古希腊的数学家、几何学家，他发表了著名的《几何原本》一书，成为了古代希腊数学理论的代表。
欧几里得的《几何原本》对许多几何概念和证明进行了全面的系统总结，成为了数学教育中的经典教材。
三、中世纪的数学沉寂中世纪的欧洲数学长期受到罗马帝国的灭亡和各种教会的禁忌的影响而停滞不前。
然而，在伊斯兰世界，穆斯林数学家保留下了希腊的数学遗产，发展出了乘法表和代数学，同时也为十进制数学系统提供了发展思路，这大大促进了基础数学的发展。
四、文艺复兴与数学的繁荣在文艺复兴时期，欧洲兴起的人文主义和启蒙思想极大地推动了数学的发展。
意大利数学家费拉利和巴西科等人提出了大量的代数方法和解决方案，而德国数学家克拉默在线性代数和矩阵理论上的突破对现代数学的发展产生了深刻的影响。
五、科技革命与数学的重要角色随着科技的飞跃，数学的应用价值也越来越受到重视。
数学提供了解决数值计算问题和控制系统问题的数学方法，使得机械、电子和计算机技术得到了迅速的发展。
现代数学的很多理论和方法都是为了解决这些工程和科学问题而发展起来的。
六、现代数学的哲学与未来现代数学不仅让人们更好的理解世界，更开启了理解科学和宇宙的新的宏观和微观层次。
随着技术的飞速发展，数学的应用也不断得到了创新和拓展，预示着数学将在未来担任越来越重要的角色，成为推动人类进步的重要力量。
《数学发展史》课件
解析几何的诞生可以追溯到17世纪，由法国数学家笛卡尔创立。笛卡尔通过引入坐标 系，将几何图形与代数方程联系起来，从而开启了用代数方法研究几何的新时代。解析 几何的诞生不仅为数学带来了新的研究工具，还为物理学、工程学等领域的发展奠定了
基础。
微积分的诞生
要点一
总结词
微积分是数学中研究连续变化和速度的分支，它的诞生标 志着数学进入了一个新的时代。
欧几里得
古希腊数学家，他撰写了《几何原 本》，系统地总结了当时的几何知 识，并建立了欧几里得几何学。
古代印度数学
印度数学家发明了阿拉伯数字 和阿拉伯数字的计数系统，为 现代数学的发展奠定了基础。
印度数学家阿叶彼海特发明了 阿拉伯数字的十进制位值记数 法，使得数字的表示和计算变 得更加简便。
印度数学家婆罗摩笈多研究了 三角形的各种恒等式，并给出 了三角函数的计算方法。
解决复杂的优化和控制问题。
量子计算与数学
量子计算原理
量子计算利用量子力学的原理进行信息处理，而数学是理解和应 用量子计算的重要工具。
线性代数与量子力学
线性代数在描述量子态和量子操作中起到关键作用，为理解量子计 算提供了数学框架。
概率论与量子测量
概率论在描述量子测量和量子随机性中也有重要应用，有助于理解 量子计算的局限性和优势。
了深远影响。
古巴比伦数学
古巴比伦数学是数学发展史上的 另一个重要阶段，其数学成就主 要表现在天文学和土地测量等方
面。
古巴比伦人使用楔形文字记录数 学问题，最早的数学文献可以追
溯到公元前18世纪左右。
古巴比伦人发展出了60进制的计 数法，以及三角形、平方根等数 学概念，这些概念对后来的数学
发展产生了重要影响。
数学发展史大全(到2008年)
1679，德国数学家戈特弗里德。莱布尼兹最早使用只用 两个数的二进制算术。 1683，日本数学家关孝和首次将行列式引进数学。行列 式是由正方矩阵的元素所决定的数，用于解决联立方程 式及其它数学问题。 1706，威尔士数学家威廉。琼斯首先将符号π作为圆周 1717，英国天文学家亚伯拉罕。夏普交将圆周率的数值 计算到小数点后72位 1718，法国数学家亚伯拉罕。德。棣莫弗创作出《机会 论》，这是他的关于概率的第一本书。 1719，英国数学家布鲁克。泰勒验证了透视图中的消失 1743，法国数学家让。达朗贝尔因其著作《论动力学》 一书而建立数学动力学。三年后他提出复数理论。 1743，英国数学家托马斯。辛普森提出辛普森法则，计 算曲线围成的面积的系统方法。 1767，瑞士数学家莱昂哈德。欧拉发表著作《代数学完 整引论》，制定了代数规则。 1777，瑞士数学家莱昂哈德。欧拉将i引入数学概念， 成为-1的平方根。 1784，法国数学家阿德里安-玛丽。勒让德确定了勒让 德多项式，这个多项式的数学意义在于与物理学难题相 关的微分方程有了解决方法。 1796，德国物理学业家卡尔。高斯提出了直线或者曲线 与图形上的点的距离的最小二乘法。 1796，丹麦数学家卡斯帕尔。韦塞尔提出了用矢量表示 复数。 1806，瑞士科学家让。罗伯特。阿尔冈修改了阿尔冈图 表，用坐标平面里的点表示复数z=x+y,X轴表示实数部 分，Y轴表示虚拟部分 1815，英国学者彼得。罗杰修改了计算尺，增加了对数 坐标，极大简化了简洁和除法 1822，法国数学家约瑟夫。傅里叶提出傅里叶分析，用 正统函数和余弦函数分析连续函数 1824，德国天文学家、数家家弗里德里希。贝塞尔提出 了贝塞乐函数（最早是11817年提出的）。贝塞尔函数 形成一个无穷极函数，能解决天文和物理学方面的偏微 分方程的问题。 1827，德国物理学家卡尔。高斯发展了微分几何 1830，英国数学家乔治。皮考克在他的《代数论》中首 次提出了数字法则 1837，法国数学家、物理学家西蒙。泊松发现了泊松分 布曲线，一种在统计研究中非常重要的标准分布曲线 1843，爱尔兰数学家威廉。哈密顿修改了四元法，复数 第不能交替的。 1847，英国数学家奥古斯都。德。摩根提出了德。摩根 定律，为逻辑学奠定了基础 1851，法国数学家约瑟夫。刘维尔发表了著作，确认了 超越数的存在（不是代数概念里的数） 1854，英国数学家乔治。布尔引入了布尔代数概念 1854，德国数学家伯纳德。黎曼形成了非欧几德几何 学，后来这个理论又应用于相对论 1872，德国数学家理查德。戴德金发表了他的无理数理 1873，法国数学家查尔斯。赫密特证明了e（自然对数 的底数）是超级数（代数中无法用等式表现的无理数 1873，黄精数学家威廉。申克斯将π计算到小数点后
数学的发展历史概述
数学的发展历史概述数学作为一门古老而又重要的学科，经历了悠久的发展历程。
本文将从古代数学的起源开始，逐步介绍数学的发展历史，并重点关注数学在不同时期的重要贡献和突破。
1. 古代数学的起源数学的起源可以追溯到古代文明时期，最早的数学发展可以追溯到公元前3000年的古埃及和美索不达米亚。
古埃及人和美索不达米亚人使用数学来解决土地测量、建筑和贸易等实际问题。
他们发展了一些基本的数学概念，如整数、分数和几何图形。
2. 古希腊数学的兴起古希腊是数学发展的重要时期，著名的数学家包括毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德等。
毕达哥拉斯学派提出了许多重要的数学理论，如毕达哥拉斯定理和数学证明方法。
欧几里得的《几何原本》成为了古代数学的经典著作，其中包含了许多几何学的基本原理和证明方法。
阿基米德则在数学物理方面做出了重要贡献，他发明了浮力定律，并使用数学方法解决了许多物理问题。
3. 中世纪数学的发展在中世纪，数学的发展受到了宗教和哲学的限制，但仍有一些重要的数学成果。
阿拉伯数学家阿尔-花拉子米在其著作《算法的归纳和检验》中介绍了代数学的基本概念和方法。
同时，印度数学家布拉马叶在其著作《布拉马叶算法》中介绍了二次方程的解法和无穷级数的概念。
4. 文艺复兴时期的数学革命文艺复兴时期是数学发展的重要时期，数学家们开始对古代数学进行重新研究，并开展了许多新的数学研究。
意大利数学家费马提出了费马定理，这是数论中的一个重要问题。
法国数学家笛卡尔发明了解析几何，将代数和几何联系起来。
同时，牛顿和莱布尼茨发明了微积分，为物理学和工程学的发展提供了重要工具。
5. 现代数学的发展19世纪和20世纪是现代数学发展的时期，数学的各个分支得到了快速发展。
代数学、几何学、数论、概率论等领域都取得了重要的成果。
著名数学家高斯、黎曼、庞加莱等人在各自领域做出了重要贡献。
同时，数学的应用也得到了广泛的发展，如在物理学、经济学和计算机科学等领域的应用。
总结起来，数学的发展历史可以追溯到古代文明时期，经过古希腊、中世纪、文艺复兴和现代数学的发展阶段。
数学发展史
数学发展简史数学发展史大致可以分为四个阶段：一、数学起源时期二、初等数学时期三、近代数学时期四、现代数学时期一、数学起源时期（远古——公元前5世纪）这一时期：建立自然数的概念；认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。
数学起源于四个“河谷文明”地域：非洲的尼罗河；这个区域主要是埃及王国：采用10进制，只有加法。
埃及的主要数学贡献：定义了基本的四则运算，并推广到了分数；给出了求近似平方根的方法；他们的几何知识主要是平面图形和立体图形的求积法。
西亚的底格里斯河与幼发拉底河；这个区域主要是巴比伦：采用10进制，并发明了60进制。
巴比伦王国的主要数学贡献可以归结为以下三点：度量矩形，直角三角形和等腰三角形的面积，以及圆柱体等柱体的体积；计数上，没有“零”的概念；天文学上，总结出很多天文学周期，但绝对不是科学。
中南亚的印度河与恒河；东亚的黄河与长江在四个“河谷文明”地域，当对数的认识(计数)变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数。
人类现在主要采用十进制，与“人的手指共有十个”有关。
而记数也是伴随着计数的发展而发展的。
四个“河谷文明”地域的记数归纳如下：刻痕记数是人类最早的数学活动，考古发现有3万年前的狼骨上的刻痕。
古埃及的象形数字出现在约公元前3400年；巴比伦的楔形数字出现在约公元前2400年；中国的甲骨文数字出现在约公元前1600年。
古埃及的纸草书和羊皮书及巴比伦的泥板文书记载了早期数学的内容，年代可以追溯到公元前2000年，其中甚至有“整勾股数”及二次方程求解的记录。
二、初等数学时期（前6世纪——公元16世纪）这个时期也称常量数学时期，这期间逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。
该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要内容。
这一时期又分为三个阶段：古希腊；东方；欧洲文艺复兴。
下面我们分别介绍：1．古希腊（前6世纪——公元6世纪）毕达哥拉斯——“万物皆数”欧几里得——几何《原本》阿基米德——面积、体积阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》托勒密——三角学丢番图——不定方程2．东方（公元2世纪——15世纪）1）中国西汉（前2世纪）——《周髀算经》、《九章算术》魏晋南北朝（公元3世纪——5世纪）——刘徽、祖冲之：出入相补原理，割圆术，算术。
数学的发展历史
开创写下了不可磨灭的一章
阿基米德的墓碑上刻的图
此后是千余年的停滞
• 随着希腊科学的终结,在欧洲出现了科学萧条,数学 发展的中心移到了印度、中亚细亚和阿拉伯国 家．在这些地方从5世纪到15世纪的一千年中间, 数学主要由于计算的需要而发展．印度人发明了 现代记数法 后来传到阿拉伯,从发掘出的材料看, 中国是使用十进制最早的国家 ,引进了负数．
的大小关系,平行线理论,三角形和多角形等积 面积相等 的条件,第一卷最 后两个命题是 毕达哥拉斯定理的正逆定理；
第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、 13命题相当于余弦定理。
第三卷：本卷阐述圆,弦,切线,割线,圆心角,圆周角的一些定理。 第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质； 第五卷：讨论比例理论,多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为 是"最重要的数学杰作之一" 第六卷：讲相似多边形理论,并以此阐述了比例的性质。 第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十 卷是篇幅最大的一卷,主要讨论无理量 与给定的量不可通约的量 ,其中第 一命题是极限思想的雏形。 第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容.
学的内容,年代可以追溯到公元前2000年,其中甚至有“整勾 股数”及二次方程求解的记录。
莱茵德纸草书 1650 B.C.
莫斯科纸草书 vh(a2 abb2)
3
古巴比伦的“记事泥板”中关于 “整勾股数”的记载”
约公元前1000年
马其顿,1988年
20世纪在两河流域有约50万块泥版文 书出土,其中300多块与数学有关
秦九韶的《数书九章》 卷一“大衍总数术”
“贾宪三角”, 也称“杨辉三角”
数学发展史时间轴
数学发展史时间轴
数学发展史可以追溯到人类文明的起源，几乎与人类思维和社会发展同步进行。
下面是一个简要的数学发展史时间轴：
1. 古代数学（约公元前3000年-公元5世纪）：
古代数学主要集中在古巴比伦、古埃及、古希腊、古印度和古中国等地。
这个时期的数学主要涉及算术、几何和代数等基本概念和方法的发展。
2. 中世纪数学（公元5世纪-15世纪）：
中世纪数学主要由阿拉伯数学家和欧洲学者推动。
阿拉伯人引入了印度-阿拉伯数字系统和代数的进一步发展。
欧洲学者则致力于恢复和传播古代数学知识，推动了几何学的发展。
3. 文艺复兴时期（15世纪-17世纪）：
文艺复兴时期是数学发展的黄金时期，涌现出许多伟大的数学家。
代表性的有勒内·笛卡尔和伽利略·伽利雷，他们为代数和几何学的发展做出了重要贡献。
4. 近代数学（17世纪-19世纪）：
近代数学的突破主要来自于微积分学的发展。
牛顿和莱布尼茨同
时独立发现了微积分的基本原理。
这一时期还涌现出许多其他重要的数学家，如欧拉、高斯和拉格朗日等。
5. 现代数学（20世纪至今）：
现代数学涉及的领域非常广泛，包括数学分析、代数学、几何学、概率论、统计学、拓扑学等。
数学家们不断提出新的理论、方法和应用，推动着数学的不断发展和应用的扩展。
这只是一个简要的数学发展史时间轴，数学的发展一直在不断演进，影响着我们的生活和科学技术的进步。
数学的发展历史概述
数学的发展历史概述
数学的发展历史可以追溯到古代文明时期。
以下是数学发展的一些重要阶段和
里程碑：
古代数学（约公元前3000年-公元前500年）：古代数学主要发展在古埃及、
古巴比伦、古印度和古希腊等地。
这个时期的数学主要集中在计数、测量和几何等方面。
古巴比伦人发明了基于60进制的数制系统和计算法则，古希腊人则在几何
学方面作出了重要贡献。
中世纪数学（公元500年-公元1500年）：在中世纪，数学的发展主要由阿拉
伯数学家推动。
阿拉伯数学家将印度的十进制数制和零的概念引入欧洲，这对于现代数学的发展起到了重要作用。
同时，他们还对代数学和三角学等领域做出了贡献。
近代数学（公元1500年-1900年）：在这个时期，数学经历了重大的变革和发展。
文艺复兴时期的欧洲浮现了许多重要的数学家，如勒内·笛卡尔、伽利略·伽利
雷和爱尔兰的威廉·罗万等人。
他们对代数学、几何学和力学等领域做出了重要贡献。
此外，牛顿和莱布尼茨的微积分的发明也是这个时期的重要成就。
现代数学（20世纪至今）：20世纪以来，数学的发展取得了巨大的发展。
在
这个时期，数学分支日益细分，如数理逻辑、抽象代数、拓扑学、数论、概率论和统计学等。
数学在物理学、工程学、计算机科学和经济学等领域的应用也日益广泛。
总的来说，数学的发展历史是一个不断积累和演化的过程，每一个时代都有其
独特的贡献和突破。
数学的发展不仅为人类认识世界提供了工具和方法，也为其他学科的发展提供了基础和支持。
数学的发展历史
数学的发展历史数学，作为一门古老而又深奥的学科，对人类文明的进步起到了不可忽视的作用。
数学的发展历史可以追溯到古代世界各地的文明时期，经过了漫长而辛苦的进程，才逐渐形成了今天我们所熟知的数学体系。
本文将为您介绍数学的发展历史，并从古代世界各地的贡献中感受到数学的伟大魅力。
1. 古代巴比伦和埃及的数学之旅数学在巴比伦和埃及文明中具有重要地位。
在巴比伦，人们编制了一系列的计量系统，推动了数学的发展。
巴比伦人创造了著名的巴比伦数字系统，具有较强的运算能力。
而埃及人则专注于土地测量和建筑工程，他们的技术和知识为几何学的发展奠定了基础。
2. 古希腊数学的辉煌时代古希腊是数学发展的黄金时代，许多著名的数学家纷纷涌现。
毕达哥拉斯学派提出了毕达哥拉斯定理，为几何学做出了重要贡献。
欧几里德整理了前人的几何学知识，创作了著名的《几何原本》，成为后世几何学的经典之作。
阿基米德则在数值计算和测量上取得了突破。
3. 印度数学的卓越贡献古代印度的数学成就也非常出色。
数学家阿耶尔巴塔提出了无穷级数和无理数的概念，对数学领域产生了深远影响。
他们还发展了一套高度精确的算术系统，并进行了广泛的记录。
此外，印度数学家在三角学和代数学方面也有杰出的成就。
4. 中国数学的辉煌历史中国古代的数学也有悠久的发展历史。
中国数学家刘徽提出并完善了二次方程求解方法，著名的《九章算术》系统地总结了当时数学的各个领域。
中国古代的负数概念也在数学发展中首次出现。
中国数学发展的一个重要特点是注重实用和实践，许多数学问题是源于实际生活中的困惑。
5. 近代数学的飞跃进步随着17世纪的到来，数学领域出现了突破性的发展。
牛顿和莱布尼茨发现了微积分学，为数学在物理学和工程学中的应用提供了强大的工具。
数论在欧拉和高斯的努力下逐渐成为独立的数学分支。
同时，矩阵论、概率论、数理逻辑等领域也取得了长足进展。
6. 现代数学的多样发展20世纪以来，数学的发展进入了一个多样而广泛的时代。
数学发展史时间轴及事件
数学发展史时间轴及事件1.古埃及数学（公元前3000年-公元前1000年）数学在古埃及有着悠久的历史。
古埃及人发展出了一套完整的计数系统，以及用于计算和测量的一系列实用技术和工具。
例如，他们使用了“象形数字”来表达数值，同时发明了一种称为“祭坛测量的土地”的算法，用于计算矩形或金字塔的面积。
2.古希腊数学（公元前600年-公元500年）古希腊数学在西方数学史上占据了重要的地位。
在这个时期，出现了许多杰出的数学家，如毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德等。
他们为数学界的发展做出了巨大的贡献，如毕达哥拉斯提出了著名的勾股定理，欧几里得写下了著名的《几何原本》，阿基米德则发明了微积分的基本原理。
3.中世纪欧洲数学（公元500年-1500年）在中世纪欧洲，数学得到了进一步的发展。
在这个时期，出现了许多修道士和学者，如奥尔本修道士和尼科马科斯等。
他们对数学进行了深入的研究，并在代数、几何和三角学等领域取得了一些重要成果。
同时，中世纪欧洲的数学教育也变得日益重要，一些大学纷纷开设数学课程。
4.文艺复兴时期数学（公元1500年-1700年）在文艺复兴时期，数学经历了巨大的变革和发展。
人们重新审视古希腊数学，并在此基础上进行创新。
代数学逐渐成为数学的主流，同时平面几何和立体几何也得到了极大的发展。
一些重要的数学思想和方法开始形成，如极限、导数和微积分等。
在这个时期，一些重要的数学家如雷科德、韦达和牛顿等为数学界的发展做出了巨大贡献。
雷科德在其著作《大术》中系统地阐述了代数符号和算术方法，韦达则发展出了符号代数，为现代代数奠定了基础。
牛顿则在微积分和物理学等领域做出了杰出的贡献。
5.近现代数学（公元1800年至今）近现代数学的发展可以说是日新月异。
在19世纪，数学家们开始研究更抽象的问题，如数论、抽象代数和拓扑学等。
同时，概率论和统计学也得到了迅速的发展。
20世纪初，数学开始与物理学、工程学等领域紧密联系，出现了许多应用数学分支，如量子力学、计算机科学、经济学等。
数学的发展历史
数学的发展历史数学，作为一门学科，经历了漫长的发展历程。
古希腊的毕达哥拉斯学派、我国古代的算学、近代的微积分学、现代的数理逻辑等都是数学史上的重要篇章，本文将从古希腊开始，简要介绍数学发展的历史。
一、古希腊时期古希腊是古代文明的重要代表之一，也是古代数学的重要中心之一。
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个著名学派，他们强调数学的重要性，并对数学的基础做出了一些贡献。
古希腊时期数学的发展主要包括以下几个方面：（一）几何学古希腊时期，几何学得到了很好的发展。
欧几里德是古希腊时期最著名的数学家之一，他根据早期希腊的几何学知识，写出了一本名为《几何原本》的巨著。
这本书主要讲述了平面几何学和立体几何学的基本理论，被誉为几何学的圣经。
欧几里德的贡献包括从公理出发发展了平面几何学，建立了如今所使用的公理体系；他对于数学的分类，也影响至今；他提出几何的递推法以及对于平面坐标系的基础建立，都是几何学中不可或缺的重要概念。
（二）代数学古希腊时期，代数学也有了一定的发展。
毕达哥拉斯学派被认为是代数学的创始学派，他们强调数的本质和有理数的存在，提出了数的概念，并且探讨了数的基本性质，以此为基础开展了整体学和方程学研究。
我们可以说，毕达哥拉斯理论的提出，为后世的数字理论提供了丰富的内容。
（三）三角学古希腊时期，三角学的基本概念已经形成并有了一定的应用。
科学家提高了三角函数的性质、以及在图形学、建筑学、天文学、地图制作等领域的实际应用。
二、中世纪中世纪，数学的发展相对缓慢，离开了古代数学之光辉，但也有一些重要的成果和贡献。
主要集中于阿拉伯数学、欧洲的代数学和三角学。
（一）阿拉伯数学阿拉伯人是拜占庭帝国的扩张者，他们将一些古希腊的数学文献翻译为阿拉伯文，在中世纪的欧陆得以广泛传播。
并且他们开展了数学的研究，特别是代数学和三角学，做出了重要的贡献。
阿拉伯人发明了一种新的计算方法“阿拉伯数字”，即我们今天所了解的数字。
阿拉伯人的贡献之一是开展了三角函数的研究、这又为后来的微积分学提供了良好的基础。
数学史及其发展历程
数学史及其发展历程数学史是研究数学学科的起源、发展和变革的历史学科。
随着人类文明的进步和科学技术的发展，数学作为一门基础学科，在人类的实践中起到了重要的作用。
下面将与你分享数学史及其发展历程。
数学可以追溯到古埃及和美索不达米亚文明时期，但它的发展在古希腊时期得到了重大的提升。
古希腊数学家如毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德等人，在数学领域做出了重要的贡献。
欧几里得的《几何原本》被认为是最早的系统性的数学著作，其中介绍了平面和立体的几何概念，并建立了严格的证明方法。
阿基米德则致力于研究浮力原理、古巴比伦梯形计算等问题，他的努力为今后的研究奠定了基础。
随着古希腊的繁荣，数学的发展逐渐向东方文明传播。
古印度数学家在几何、代数和三角学等方面做出了重要的贡献。
其中，贾它给出了开平方和求正弦函数的近似方法，在数值计算方面有了重要的突破。
此外，古印度数学还发明了“零”的概念，并将其应用到十进制数系统中。
随着时间的推移，中世纪的数学发展随着伊斯兰世界的繁荣而有所改善。
伊斯兰数学家在代数、几何和三角学等领域取得了重要的成就。
他们还将印度的十进制数制引入到欧洲，并发现了很多数学定理，如卡迈勒的定理和二项式定理等。
16世纪至17世纪，欧洲经历了一次重要的数学革命，即“科学革命”。
这一时期的数学家如笛卡尔、费马、牛顿和莱布尼茨，开创了现代数学的新纪元。
笛卡尔的坐标几何学为代数和几何学之间建立了重要的桥梁，费马的最后定理成为数论的基石，牛顿和莱布尼茨的发明导数和积分，奠定了微积分的基础。
18世纪至19世纪，数学的发展进入了一个新的阶段，即分析学和几何学的发展。
拉格朗日、欧拉、高斯等数学家，丰富了微积分、数论和代数学等领域的理论。
19世纪末至20世纪初，数学家们研究了非欧几何学和拓扑学等新的数学分支，促进了现代数学的发展和新的研究方向。
20世纪，随着计算机的发展和应用，数学又迎来了新的挑战和机遇。
数值分析、优化理论、应用数学等领域发展迅速，并为工程学科、经济学科等提供了重要的工具和方法。
简述数学发展史
简述数学发展史数学作为一门古老而又重要的学科，其发展历程可以追溯到古代文明的起源。
从最早的数数、计算到如今的高等数学和抽象代数，数学一直在不断演变和发展。
本文将以简述数学发展史为主题，介绍数学的起源、发展和重要里程碑。
一、古代数学的起源古代数学的起源可以追溯到古埃及、巴比伦和古印度等文明。
这些文明发展了一些基本的数学概念和计算方法。
比如，古埃及人通过观察天象来制定了一套365天的日历，巴比伦人发展了一种复杂的计算方法来解决土地测量和商业交易中的问题，古印度人则发展了一套用符号表示数的系统。
二、古希腊数学的发展古希腊是数学发展史上的重要里程碑。
在古希腊，数学开始从实用的计算方法转向了理论研究。
毕达哥拉斯学派提出了著名的毕达哥拉斯定理，开启了几何学的研究。
欧几里德则系统地总结和整理了古希腊数学的成果，编写了《几何原本》，成为后世数学教材的基石。
古希腊数学的理论研究为后来的数学发展打下了基础。
三、中世纪数学的发展中世纪是数学发展的一个相对停滞的时期，主要受到宗教和哲学的影响。
然而，中世纪的阿拉伯数学家却保留了古希腊数学的传统，并且在代数学和三角学方面有了重要的贡献。
他们引入了阿拉伯数字和十进制计数法，将古希腊的几何学和印度的代数学相结合，为后来的数学发展奠定了基础。
四、文艺复兴时期的数学革新文艺复兴时期是数学发展的一个重要阶段。
在这个时期，数学开始成为一门独立的学科，并且与现实生活的应用相结合。
伽利略和笛卡尔等科学家的贡献使得数学与物理学和天文学等自然科学产生了密切的联系。
同时，数学的符号表示也得到了进一步的发展，如笛卡尔坐标系的引入使得几何学和代数学的联系更加紧密。
五、近现代数学的发展近现代数学的发展是以数学的严格化和形式化为特点的。
19世纪，数学开始从几何学和代数学中分离出来，成为一门独立的学科。
数学家们开始研究更加抽象和普遍的概念，如集合论和数理逻辑。
同时，微积分的发展也为现代科学和工程学的发展提供了强大的工具。
数学发展史
“算法家”与“算盘家”的比赛 韦达
三、近代数学时期
变量数学（公元17世纪——19 世纪初）
对运动和变化的研究成了自 然科学的中心→→变量、函数
1.笛卡尔的坐标系（1637年《几何学》）
2.牛顿和莱布尼兹的微积分（17世纪后半期）
3.微分方程、变分法、微分几何、复变函数、概率论 4.代数基本定理（1799年）
数学家庞加莱说：“若 想预见数学的将来，正确 的方法是研究它的历史和 现状” ．
现代数学时期的结果，也成为高校数学、力学、 物理学等学科数学教学的内容，并被科技工作者所
使用。
希尔伯特， (D.Hilbert,David ， 阿贝尔 (1802-1829 ) 伽罗瓦 柯西（ (1811-1832) 1789-1857) 康托尔 (1845 ～1815-1897 1918) 魏尔斯特拉斯（ ） 罗巴切夫斯基 波约尓 黎曼 1862～1943)
牛顿：Isaac Newton 笛卡尔 (R.Descartes,15961650)
莱布尼茨(Gottfriend Wilhelm Leibniz，1646-1716)
高斯（C.F.Gauss,17771855）
四、现代数学时期
（19世纪20年代—— ） 进一步划分为三个阶段： 现代数学酝酿阶段（1820——1870年）； 现代数学形成阶段（1870——1950年）； 现代数学繁荣阶段（1950——现在）。
一、数学起源时期
（ 远古(4000年前) —— 公元前5世纪 ）
这一时期：建立自然数的概念； 认识简单的几何图形；算术与 几何尚未分开。
数学起源于四个“河谷文明”地域
非洲的 尼罗河---埃及：几何的故乡 西亚的 底格里斯河与幼发拉底河---巴比伦：代 数的源头； 中南亚的 印度河与恒河---印度：阿拉伯数字的 诞生地 东亚的 黄河与长江----中国 文明程度的主要标志之一就是数学的萌芽
数学发展史的四个阶段的主要成就
数学发展史的四个阶段的主要成就数学是人类最古老的科学之一，它的起源可以追溯到史前时期。
随着时间的推移，数学逐渐发展成为一门独立的学科，并在不同的历史阶段取得了重要的成就。
本文将介绍数学发展史的四个阶段及其主要成就。
第一阶段：古代数学古代数学起源于人类文明初期，主要研究的是计数、几何、算术和天文等方面的问题。
这个时期的数学成就有：1. 计数系统的发明：人类最早的计数系统是手指计数，后来逐渐发展出了石块计数、结绳计数等。
这些计数系统的发明为数学的发展奠定了基础。
2. 几何学的发展：古埃及人发明了象形文字，并开始使用几何学来测量土地和建造建筑物。
几何学的发展为后来的建筑设计、工程测量等领域提供了重要的工具。
3. 算术的发展：古代印度人发明了阿拉伯数字，并发展出了算术运算的基本规则和方法。
这些成就为后来的数学发展提供了重要的基础。
4. 天文学的发展：古代中国人和希腊人最早开始研究天文学，并使用数学方法来描述天体的运动规律。
天文学的发展为后来的物理学、宇宙探索等领域提供了重要的基础。
第二阶段：中世纪数学中世纪时期，欧洲的学术界开始逐渐复兴，数学也在这个时期取得了重要的成就。
这个时期的数学成就有：1. 代数的发展：阿拉伯数学家开始研究代数，并发明了代数符号和方程求解方法。
这些成就为后来的代数发展提供了重要的基础。
2. 平面几何的进步：欧几里得发表了《几何原本》，总结了当时所有的几何知识，并建立了完整的几何学体系。
这个体系的建立为后来的几何学发展提供了重要的基础。
3. 对数理论的完善：苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，并发展出了对数理论。
对数理论的完善为后来的科学计算、工程学等领域提供了重要的工具。
4. 三角学的兴起：三角学在这个时期逐渐发展成为一门独立的学科，并为后来的航海、天文学等领域提供了重要的工具。
第三阶段：近代数学随着科学技术的不断发展，数学也逐渐发展成为一门更加独立的学科。
这个时期的数学成就有：1. 微积分的发明：牛顿和莱布尼茨分别独立发明了微积分，并建立了微积分的基本理论。
数学发展史及其重要里程碑
数学发展史及其重要里程碑数学是一门自古至今都发挥重要作用的学科，它的发展史充满了无数精彩的故事和重要里程碑。
本文将介绍数学的发展历程并重点关注其中的几个重要里程碑。
一、古代数学的起源古代数学的起源可以追溯到古埃及、古巴比伦和古印度等地。
这些古代文明的数学研究主要集中在解决实际问题，如土地测量、商业交易、天文观测等。
其中，埃及人发明了基础的几何概念和技巧，巴比伦人运用了一套较为完整的数学体系，印度人则在代数和算术方面有着重要的贡献。
二、古希腊数学的发展古希腊是古代数学史上的重要里程碑。
希腊人将数学从实际应用中解放出来，开始纯粹地研究数学本身。
毕达哥拉斯、欧几里德和阿基米德等数学家的贡献，使得几何学成为古希腊数学的核心。
欧几里德的《几何原本》被称为几何学的圣经，成为后世几何学发展的基石。
三、印度数学的贡献印度数学家在代数和算术方面做出了重要的贡献。
他们首次使用了零的概念，并发展了代数学中的符号表示法和方程求解方法。
此外，印度数学家还提出了许多有关三角函数、指数和对数的重要概念，对整个数学领域的发展具有深远的影响。
四、近代数学的革新近代数学的革新主要发生在16世纪至19世纪期间。
这一时期，数学研究逐渐摆脱宗教和哲学的束缚，成为一门独立的学科。
伽利略的力学研究、牛顿的微积分、欧拉的分析力学等重要成果奠定了近代数学的基础。
同时，代数学和数论等分支学科也得到了极大的发展。
五、现代数学的突破20世纪是数学发展史上最激动人心的时期之一。
在这个时期，数学经历了一系列的突破和变革。
其中，集合论和逻辑学的发展奠定了数学基础的严谨性；数论领域的费马大定理和庞加莱猜想的解决引发了广泛的关注；拓扑学、数学分析和概率论等分支学科的快速发展为其他科学领域提供了强有力的工具和理论支持。
六、当代数学的前景当代数学正处于蓬勃发展的阶段，许多前沿领域如数理逻辑、图论、统计学等正在展开深入研究。
此外，随着计算机技术的迅速发展，计算数学和应用数学的地位越来越重要。
数学发展简史总结
数学发展简史总结数学，被誉为科学之母，其历史可以追溯到数千年前。
以下是对数学发展简史的总结：古代数学古埃及数学：埃及人使用了象形文字来表示数字和基本的算术运算，他们发展了分数，并进行了土地测量和几何学研究。
古巴比伦数学：巴比伦人使用了楔形文字记录数学，并发展出了六十进制数系，这在现代时间计量和角度测量中仍有体现。
古希腊数学：希腊数学家如毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德等人对数学进行了系统化的发展。
毕达哥拉斯学派研究了数论和音乐的关系，欧几里得编写了《几何原本》，奠定了几何学的基础，而阿基米德则对微积分学和力学做出了重要贡献。
古印度数学：印度数学家发展了阿拉伯数字的前身，并对代数、算术和三角学有深入的研究。
古中国数学：中国古代的《九章算术》是应用数学和算法的集大成之作，涉及农业、商业、工程和天文等领域。
中世纪数学在中世纪，阿拉伯世界成为数学的中心，阿拉伯数学家如穆罕默德·伊本·穆萨·花剌子密对代数学的发展起到了关键作用，他的著作《代数学》首次系统地讨论了方程的解法。
欧洲在文艺复兴时期重新发现了古希腊的数学遗产，并开始了新的数学研究。
近代数学17世纪和18世纪是数学的黄金时代，涌现出了一批杰出的数学家如笛卡尔、牛顿、莱布尼茨等。
他们发展了微积分学、解析几何学和其他重要的数学分支。
19世纪是数学的变革时期，非欧几何学的出现挑战了欧几里得几何的公理体系，实数理论的严格化也在这个时期完成。
同时，群论、数论、概率论等也取得了显著的进步。
现代数学20世纪至今，数学的发展更加多元化和抽象化。
集合论、拓扑学、泛函分析、复杂性理论等现代数学分支相继出现并迅速发展。
计算机科学的兴起为数学提供了新的应用领域，如计算数学、密码学、数据科学等。
数学与其他学科的交叉也日益增多，如生物数学、经济数学、物理数学等。
总结来说，数学的历史是一部不断发展、不断创新的历史。
从古代的计数和几何到现代的抽象理论和计算科学，数学的每一步发展都反映了人类对世界认知的深化和扩展。
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数学发展史数学的发展史大致可以分为四个时期。
第一时期数学形成时期，这是人类建立最基本的数学概念的时期。
人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。
第二时期初等数学，即常量数学时期。
这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容。
这个时期从公元前5世纪开始，也许更早一些，直到17世纪，大约持续了两千年。
这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算数、几何、代数、三角。
第三时期变量数学时期。
变量数学产生于17世纪，大体上经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分【微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
】的创立。
第四时期现代数学。
现代数学时期，大致从19世纪上半叶开始。
数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础--------代数、几何、分析中的深刻变化为特征。
研究成果引言中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族，在灿烂的文化瑰宝中数学在世界数学发展史中也同样具有许多耀眼的光环。
中国古代算数的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才设计的先进思想方法，近代也有不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的。
李氏恒定式数学家李善兰在级数求和方面的研究成果，在国际上被命名为【李氏恒定式】华氏定理“华氏定理”是我国著名数学家华罗庚的研究成果。
华氏定理为：体的半自同构必是自同构自同体或反同体。
数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。
苏氏锥面数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。
苏步青院士对仿射微分几何的一个极其美妙的发现是：他对一般的曲面，构做出一个访射不变的4次（3阶）代数锥面。
在访射的曲面理论中为人们许多协变几何对象，包括2条主切曲线，3条达布切线，3条塞格雷切线和仿射法线等等，都可以由这个锥面和它的3根尖点直线以美妙的方式体现出来，形成一个十分引人入胜的构图，这个锥面被命名为苏氏锥面。
悖论编辑：奇东《古今数学思想》书中（第四册45页）：指出：“实数系的逻辑结构问题为十九世纪后叶所重视，无理数被认为是主要难点，然而无理数的意义与性质的发展预先假定了有理数系的建立，对无理数理论不同的贡献者来说，或则认为有理数已为众所确认，无须什么基础，或则认为只给出一些匆促而临时应付的方案，…。
（316页）数学的第三种主要的哲学，称为形式派（形式主义），它的领导人是希尔伯特，他从1904年开始从事于这种哲学工作，他在那时的动机是给数系提供一个不用集合论的基础，并且确立算术相容性，因为他自己对于几何的相容性的证明已约化成算术的相容性，算术的相容性就成了一个没有解决的关键性问题，…。
”，超限归纳法也不是彻底解决了算术问题。
自亚里士多德直至高斯先生人们都不承认实无限而只承认潜无限，《古今数“Gauss（高斯）于1831年7月12日给Schumacher 学思想》书中(第四册59页)指出：（舒马赫）的中说：我反对把一个无穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的，无穷只是一种说话的方式，当人们确切地说到极限时，是指某些比值可以任意近地趋近它，而另一些则允许没有界限地增加。
”，Canchy，如他前人一样，不承认无穷集合的存在，因为部分能够同整体构成一一对应这件事，在他看来是矛盾的。
涉及集合的许多问题的争论，是无休止的，并且卷入了形而上学的甚至是神学的辩论，大多数数学家对这个问题的态度是：不谈他们自己所不能解决的问题，他们全都避免对实在无穷集合的明确承认，尽管他们使用无穷级数与实数系，他们会说到直线上的点，但避免说直线是由无穷多个点构成的，这样回避困难问题的方式是虚伪的，但这对于建立古典的分析确实足够了，然而，当十九世纪面对在分析中建立严密性的问题时，关于无穷集合的许多问题就再也躲避不开了。
《古今数学思想》第四册（50～51）书中也对引进无理数的方法提出了不同看法和质疑：“无理数的逻辑定义是颇有些不自然的，从逻辑上看，一个无理数不是简单的一个符号，或一对符号，象两个整数的比那样，而是一个无穷的集合，如康托尔的基本序列或戴金的分割，逻辑地定义出来的无理数是一个智慧的怪物。
我们可以理解，为什么希腊人和许多后继的数学家都觉得这样的数难以掌握”。
《古今数学思想》书中(第四册58页) 指出：集合论里的中心难点是无穷集合这个概念本身，从希腊时代以来，这样的集合很自然地引起数学界与哲学界的注意，而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，使得对这种集合的理解，没有任何进展，Zenode的悖论可能是难点的第一个迹象，既不是直线的无限可分性，也不是直线作为一个由离散的点构成的无穷集合，足以对运动作出合理的结论。
Aristotle（亚里士多德）考虑过无穷集合，例如整数集合，但他不承认一个无穷集合可以作为固定的整体而存在，对他来说，集合只能是潜在地无穷。
《古今数学思想》第四册（116页）书中又说：“我们注意到，在过去曾经精力旺盛地热情地从事过的许多领域，曾被它们的拥护者誉为数学的精髓所在，其实只不过是一时的爱好，或者在整个数学的征途上只留下少许的影响。
（二十世纪）上半世纪有信心的数学家们可能会认为他们的工作是最重要的，然而，他们的贡献在数学史上的地位，现在还是不能确定的，等语言，”。
罗素悖论、康托尔悖论、数学基础的“三大数学流派：《古今数学思想》书中(第四册289页) 指出：二十世纪数学中最为深入的活动，使关于基础的探讨，强加于数学家的问题，以及他们自愿承担的问题，不仅牵涉到数学的本质，也牵涉到演绎数学的正确性。
在这世纪的前期，有几种活动汇合起来把基础问题引到一个高潮，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。
……。
《古今数学思想》书中(第四册290页) 指出：“理发师的悖论”，罗素在1918年把一个悖论通俗化成为“理发师悖论”，一个乡村理发师，自夸无人可与相比，宣称他当然不给自己刮脸的人刮脸，但却给所有自己不刮脸的人刮脸，一天他发生了疑问，他是否应当给自己刮脸，假如他自己刮脸的话，则按他声言的前一半，他就不应当给自己刮脸；但是假如他自己不刮脸的话，则照他自夸的，他又必须给自己刮脸，这理发师陷入了逻辑的窘境。
《古今数学思想》书中(第四册291～292页) 指出：康托尔在1899年给戴金的一封信中曾指出，人们要想不陷入矛盾的话就不能谈论由一切集合所组成的集合（第41章第9节），实质上这就是罗素的悖论的内容（《数学原理》），由一切人组成的类不是一个人，但由一切概念组成的类却是一个概念；有一切图书馆组成的类是一个图书馆；由一切基数大于1的集合组成的类也是这样一个集合。
因此，有一些类不是它们自己的元素，而有一些则是它们自己的元素。
这个对于类的描述，包括了一切类，并且这两种类型是互相排斥的，我们用M表示一切包含自己为元素的那些类所组成的类，用N表示一切不包含自己为元素的那些类所组成的类，现在，N本身也是一个类，我们要问它是属于M还是属于N？若N属于N，则N就是它自己的一个元素，因而又必须属于M，另一方面，若N 为M的一个元素，则因M和N是互相排斥的类，N就不会属于N，于是N不是它自己的元素，因而由于N的定义，它应当属于N。
所有这些悖论的起因，如罗素和怀特海指出的，都在于一个要定义的东西是用包含着这个东西在内一类东西来定义的，这种定义也称为说不清的，特别发生在集合论中，策梅罗在1908年曾指出，一组数的下界的定义，以及分析中其它一些概念的定义，都是这种类型的定义，因此经典分析包含着悖论。
《古今数学思想》书中(第四册292页) 指出：康托尔关于实数集合不可数的证明（第41章第7节）也用到了这样一个说不清的集合，假定在所有正整数组成的集合与所有实数组成的集合M之间有一个一一对应，而每一个实数又对应于一组整数，于是每一个整数k都对应着一个集合f(k),而f(k)或是包含k或是不包含k，N为所有那些使k不属于f(k)的k所组成的集合，这个集合N（取某一顺序）为一个实数，因而，按假定的一一对应就应该有一个整数n对应于N，若n属于N，则按N的定义，它将不属于N；若n不属于N，则按N的定义，它又应属于N，集合N的定义是说不清的，这是因为要k属于N，必须且只需在M 中有一个集合K使K=f(k)并且k不属于K,这样，在定义N时就用到了一些集合的全体M，它包含着N作为元素，这就是说要定义N，N必须已经包含在M中。
在无意中陷入了引进说不清的定义的陷阱，这是很容易的。
……。
《古今数学思想》第四册（320~321页）书中又指出：“不完备性的不足之处就在于，形式系统还不足以用来证明所有在系统中可以作出的判断。
损伤更兼屈辱，系统中存在着这样的判断，它们是不可断定的但在直观上又是真的，等语句，因为哥得尔证明了，包括着数论的任何系统都必定含有不可断定的命题。
这样，尽管布劳维已经弄清楚了，直观上明确的东西不及数学上证明了的东西多；哥德尔却证明了，直观的正确会超过数学的证明，”等语句《古今数学思想》书中(第四册322~323页) 指出：“对于数学基础的根本问题所提出的解答——（康托尔、等等先生的）经典集合论公理化，（罗素、怀特海）逻辑主义、（克罗内克、布劳维）直觉主义、（希尔伯特）形式主义——都没有达到目的，没有对数学提供一个可以普遍接受的径。
在哥德尔1931年的工作以后的发展，也没有在实质上改变这种状况，…；该途书中又指出：韦尔对数学的现状作了恰当的描述：关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决，我们不知道向哪里去找它的最后解答，…”,这就谁是数学基础的现状。
《古今数学思想》书中(第四册323~324页) 指出：1930年以后的全部发展还留下来两个没有解决的大问题：去证明不加限制的经典分析与集合论的相容性，以及在严格直观的根基上去建立数学，或者去确定这种途径的限度，在这两个问题中，困难的根源都在于无穷集合和无限程序中所用到的无穷这个概念，即使对于希腊人也应经在无理数上造成了问题，而且他们在穷竭法中躲开它。
从那以后，无穷这个概念一直是争论的地题目，并使韦尔说道，数学是无限的科学。
关于数学的适当逻辑基础的问题，特别是直观主义的兴起，在某种较广的意义上，显示出数学走了一个圆圈。
这门学科是在直观的和经验的基础上起始的，严密性在希腊时代就变成了一个目标，虽说到十九世纪以前在受到冲击时仍更加受到尊重，它似乎就要达到了，但是，过分追求严密性，将引入绝境而失去它的真正意义，数学仍是活跃而富有生命力的，但是它只能建立在实用的基础上。