数学发展史

数学发展史

数学的发展史大致可以分为四个时期。

第一时期

数学形成时期，这是人类建立最基本的数学概念的时期。人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。

第二时期

初等数学，即常量数学时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容。这个时期从公元前5世纪开始，也许更早一些，直到17世纪，大约持续了两千年。这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算数、几何、代数、三角。

第三时期

变量数学时期。变量数学产生于17世纪，大体上经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分【微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。】的创立。

第四时期

现代数学。现代数学时期，大致从19世纪上半叶开始。数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础--------代数、几何、分析中的深刻变化为特征。

研究成果引言

中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族，在灿烂的文化瑰宝中数学在世界数学发展史中也同样具有许多耀眼的光环。中国古代算数的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才设计的先进思想方法，近代也有不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的。

李氏恒定式

数学家李善兰在级数求和方面的研究成果，在国际上被命名为【李氏恒定式】华氏定理

“华氏定理”是我国著名数学家华罗庚的研究成果。华氏定理为：体的半

自同构必是自同构自同体或反同体。数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。

苏氏锥面

数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。苏步青院士对仿射微分几何的一个极其美妙的发现是：他对一般的曲面，构做出一个访射不变的4次（3阶）代数锥面。在访射的曲面理论中为人们许多协变几何对象，包括2条主切曲线，3条达布切线，3条塞格雷切线和仿射法线等等，都可以由这个锥面和它的3根尖点直线以美妙的方式体现出来，形成一个十分引人入胜的构图，这个锥面被命名为苏氏锥面。

悖论

编辑：奇东

《古今数学思想》书中（第四册45页）：指出：“实数系的逻辑结构问题为十九世纪后叶所重视，无理数被认为是主要难点，然而无理数的意义与性质的发展预先假定了有理数系的建立，对无理数理论不同的贡献者来说，或则认为有理数已为众所确认，无须什么基础，或则认为只给出一些匆促而临时应付的方案，…。（316页）数学的第三种主要的哲学，称为形式派（形式主义），它的领导人是希尔伯特，他从1904年开始从事于这种哲学工作，他在那时的动机是给数系提供一个不用集合论的基础，并且确立算术相容性，因为他自己对于几何的相容性的证明已约化成算术的相容性，算术的相容性就成了一个没有解决的关键性问题，…。”，超限归纳法也不是彻底解决了算术问题。

自亚里士多德直至高斯先生人们都不承认实无限而只承认潜无限，《古今数

“Gauss（高斯）于1831年7月12日给Schumacher 学思想》书中(第四册59页)指出：

（舒马赫）的中说：我反对把一个无穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的，无穷只是一种说话的方式，当人们确切地说到极限时，是指某些比值可以任意近地趋近它，而另一些则允许没有界限地增加。”，Canchy，如他前人一样，不承认无穷集合的存在，因为部分能够同整体构成一一对应这件事，在他看来是矛盾的。

涉及集合的许多问题的争论，是无休止的，并且卷入了形而上学的甚至是神学的辩论，大多数数学家对这个问题的态度是：不谈他们自己所不能解决的问题，他们全都避免对实在无穷集合的明确承认，尽管他们使用无穷级数与实数系，他们会说到直线上的点，但避免说直线是由无穷多个点构成的，这样回避困难问题

的方式是虚伪的，但这对于建立古典的分析确实足够了，然而，当十九世纪面对在分析中建立严密性的问题时，关于无穷集合的许多问题就再也躲避不开了。

《古今数学思想》第四册（50～51）书中也对引进无理数的方法提出了不同看法和质疑：“无理数的逻辑定义是颇有些不自然的，从逻辑上看，一个无理数不是简单的一个符号，或一对符号，象两个整数的比那样，而是一个无穷的集合，如康托尔的基本序列或戴金的分割，逻辑地定义出来的无理数是一个智慧的怪物。

我们可以理解，为什么希腊人和许多后继的数学家都觉得这样的数难以掌握”。

《古今数学思想》书中(第四册58页) 指出：集合论里的中心难点是无穷集合这个概念本身，从希腊时代以来，这样的集合很自然地引起数学界与哲学界的注意，而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，使得对这种集合的理解，没有任何进展，Zenode的悖论可能是难点的第一个迹象，既不是直线的无限可分性，也不是直线作为一个由离散的点构成的无穷集合，足以对运动作出合理的结论。Aristotle（亚里士多德）考虑过无穷集合，例如整数集合，但他不承认一个无穷集合可以作为固定的整体而存在，对他来说，集合只能是潜在地无穷。

《古今数学思想》第四册（116页）书中又说：“我们注意到，在过去曾经精力旺盛地热情地从事过的许多领域，曾被它们的拥护者誉为数学的精髓所在，其实只不过是一时的爱好，或者在整个数学的征途上只留下少许的影响。（二十世纪）上半世纪有信心的数学家们可能会认为他们的工作是最重要的，然而，他们的贡献在数学史上的地位，现在还是不能确定的，等语言，”。

罗素悖论、康托尔悖论、数学基础的“三大数学流派：

《古今数学思想》书中(第四册289页) 指出：二十世纪数学中最为深入的活动，使关于基础的探讨，强加于数学家的问题，以及他们自愿承担的问题，不仅牵涉到数学的本质，也牵涉到演绎数学的正确性。

在这世纪的前期，有几种活动汇合起来把基础问题引到一个高潮，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。……。

《古今数学思想》书中(第四册290页) 指出：“理发师的悖论”，罗素在1918年把一个悖论通俗化成为“理发师悖论”，一个乡村理发师，自夸无人可与相比，宣称他当然不给自己刮脸的人刮脸，但却给所有自己不刮脸的人刮脸，一天他发生了疑问，他是否应当给自己刮脸，假如他自己刮脸的话，则按他声言的前一半，他就不应当给自己刮脸；但是假如他自己不刮脸的话，则照他自夸的，他又必须