特征函数和矩母函数

n
n
g (t )

k 0
e
itk
Cn p q
d dt
k
k
nk


k 0
Cn
n
k
pe
it
t0
k
q
nk

pe
it
q
n
E X ig ( 0 ) i
2 2
pe
it
q
d dt
2 2
np
n t0
EX
i g ( 0 ) i
PX (s) PZ ( s )


p k s , PY ( s )
k
k

qk s
k
k 0
k 0

k 0
ck s


P X ( s ) PY ( s )


k 0
pk s

k

l0 r
qls
l


k ,l 0
pkql s
r
kl


r0
r pk qrk s k 0
2
2

pe q
it
npq n p
2
2
DX EX
EX

2
npq
例4：设X~N(0,1)，求X的特征函数。 解: 1 g (t ) e e dx 2
itx x
2
2

g ( t )
1 2


ix e
x
itx

x
2
e
2
dx
i 2


4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P (s) E (s
X
)

k 0
pk s
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定
pk P
(k )
(0 )
k!
, k 0 ,1 , 2 ,
e
itx
d e
x
2
2

2

i 2
itx
e
2


t 2


e e
1 2
itx

x
2
2
d x tg ( t ),
2
g '( t ) tg ( t ) 0 ,
g (t ) e
1 2 t C
2
dg g
td t , ln g ( t )
kp
EX
EX
2
DX EX
( EX )
P (1 ) EX ( EX )
2
P (1 ) P (1 ) [ P (1 )]
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
分别为P{X=k}=pk，P{Y=k}=qk，k=0,1, ， 则Z=X+Y的分布律为P{Z=k}=ck,其中 ck= p0 qk +p1qk-1 + + pk q0 设X,Y,Z的母函数分别为PX(s), PY(s), PZ(s)，即有
itk

X
(t )

k 0
e

k
e k！
k

e


k 0
( e ) k！
e
it
it
麦克劳林公式
e

e
e
( e 1)
it
例2 设随机变量 X 服从 [a ， b] 上的均匀分布，求 X 的 特征函数。
1 f (x) b a 0 a x b
2
e
i t 1
2
2
t
e
t 1 2
2
t
2
指数分布
it
t


2
n
tX
]

(0 ) E [ X
]
3．和的矩母函数 定理1
，X r 的 设相互独立的随机变量 X 1， X 2 ， r (t ) ， 2 ( t ) ，…， 矩母函数分别为 1 ( t ) ，
则其和 Y X 1 X 2 X r 的矩母函数为
Y ( t ) 1 ( t ) 2 ( t ) … r ( t )
e
itb
it ( a X b )

itb
i ( at ) X
e
e
itb
E e
i ( at ) X

g X (at)
例6：设随机变量Y~N( , 2) ，求Y的特征 函数为gY(t)。 t 解：X~N(0 , 1) ，X的特征函数为 g X ( t ) e 2 设Y= X + ，则Y~N( , 2) ， Y的特征函数为
G (1 ) P (1 ) EN EX
1
( 注 P (1 ) 1 )
二、特征函数
1 .特征函数 设X为随机变量，称复随机变量 e itX 的数学期望 X ( t ) E [ e
itX
]
为X的特征函数，其中t是实数。
欧拉公式：
X ( t ) X ( it )
f (x) 1 2

e

e
itx
(t ) d t
（相差一个负号的傅立叶逆变换）
(t )


itx
f ( x)dx
（相差一个负号的傅立叶变换）
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。 解 由于 所以
P （ X k ）


k
e k！
(4) ( t )是非负定函数。 (5)若X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量， 则X=X1+X2++Xn的特征函数为
( t ) 1 ( t ) 2 ( t ) n (t )
(6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对 应且相互唯一确定。
如果随机变量X为连续型，且其特征函 数绝对可积，则有反演公式：
t C
1 2 t
2
, 由 g ( 0 ) 1, 得 C 0 ， 从 而 g ( t ) e
例5 ：设随机变量X的特征函数为gX(t) ， Y=aX+b，其中a, b为任意实数，证明Y的 itb g ( t ) e g X ( at ) 。 特征函数gY(t)为 Y
e 证：g Y ( t ) E E e
k

k 1
kp k s
k 1
E (X )

k 1
kp
k
P ( s )

k2
k ( k 1) p k s
k 1

P (1 )

k2
k ( k 1) p k


k 1 k
k ( k 1) p k
2


k 1
k pk
2
2

k 1 2
还可写成
e
i
c o s i s in

X
( t ) E [cos tX ] iE [sin tX ]
分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散 型随机变量X，特征函数为

(t )

k 1
e
itx k
pk
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征 函数为
g Y (t ) e
i t
2
g X ( t )

t
2
2 2
e
i t
e
e
i t
t
2
2 2
三、常见随机变量的数学期望、方差、特征 函数和母函数
分布
0-1分布 二项分布 泊松分布 几何分布
期望
方差
特征函数
q pe
it
母函数
p
np
pq
npq
q + ps
it
q
e
pe
it

n
(q +ps)n
e
( s 1 )

1 p

q p
2
(e
1)
pe
it it
ps 1 qs
1 qe
分布
均匀分布
期望
a b 2
方差
b
a 12
2
特征函数 矩母函数
e
ibt
e
iat
e
bt
e
at
i (b a )t
(b a )t
2
N ( ,
2
)

1

1
其它
解
X的概率密度为
所以

X
(t )

e
b
e
itx
1 b a
dx
a
itb

e
ita
it ( b a )
例3：设X服从二项分布B(n, p)，求X的特 征函数g(t)及EX、EX2、DX。 解: X的分布律为P(X=k)= C p q ， q=1-p，k=0,1,2,,n
k k nk n
(2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数 之积。 (4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整 数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非 负整数值随机变量，则 Y X
矩母函数和特征函数
一、矩母函数
tX
1．定义
称 e
的数学期望 ( t ) E [ e
tX
]
为随机变量X的矩母函数。
2．原点 矩的求法 利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对
( t ) 逐次求导，并计算在 t 0 点的 值：
( t ) E [ Xe
（n)
tX
]
n

（n)
(t ) E [ X e

k


l0
P { N l } P {Y k } s
k 0
k




l0
P { N l}
k 0 l
l P X j 1 P{ X k 0

j
k ks
j


l0
P { N l }
j 1 l
k }s
(t )


e
itx
f ( x )d x
对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特 征函数为
( t ) ( t1 , t 2 ,
, tn ) E e
itX
E exp
i tk X k 1
n
wk.baidu.com
k

性质： (1) ( 0 ) 1, ( t ) 1, ( t ) ( t ) 。 (2) ( t ) 在（-， ）上一致连续。 (3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则 (k ) k k (0 ) i E X , k n 当k=1时，EX = (1 ) ( 0 ) / i ； (2) (1 ) 2 ( 0 ) ( ( 0 ) / i ) 当k=2时，DX = 。
k


l0
P { N l } P ( s )
j 1


l0
P { N l} [ P ( s )] G ( P ( s ))
l
EY H (1 ) dG dP dP ds
s 1
dG ( P ( s )) ds
s 1


G ( P (1 )) P (1 )
N k k 1
的母函数H(s)=G(P(s)) , EY=ENEX1 其中G(s),P(s)分别是N, X1的母函数。
证明：(1)
n
P (s)

k 0
pk s
k


k 0
pk s
k


k n 1
p k s , n 0 ,1 ,
kn
k
P
(n)
( s ) n! p n
(n)

k ( k 1) ( k n 1) p k s
k n 1
令 s 0, 则 P 故 pn P
(n)
( 0 ) n! p n ， n 0 ,1，
(0 )
n!
(2)


P (s)

k 0
p k s , P ( s ) P (1 )


r0
cr s
PZ ( s )
(4)

H (s)


k 0
P {Y k } s

k


k 0
k P Y k , { N l } s l0



k 0 l0
P {Y k , N l } s
k


k 0 l0
P {Y k } P { N l } s