最小二乘法名词解释

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最小二乘法

4.最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a 和b 误差较大。

用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。

最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a 和b 。

显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。

(1) 求回归直线设直线方程的表达式为：bx a y += (2-6-1)要根据测量数据求出最佳的a 和b 。

对满足线性关系的一组等精度测量数据（x i ，y i ），假定自变量x i 的误差可以忽略，则在同一x i 下，测量点y i 和直线上的点a+bx i 的偏差d i 如下：111bx a y d --=222bx a y d --=n n n bx a y d --=显然最好测量点都在直线上（即d 1=d 2=……=d n =0），求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d 1、d 2、……、d n 为最小，也就是考虑d 1+d 2+……+d n 为最小，但因d 1、d 2、……、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d 1|+|d 2|+……+ |d n |又不好解方程，因而不可行。

现在采取一种等效方法：当d 12+d 22+……+d n2对a 和b 为最小时，d 1、d 2、……、d n 也为最小。

取（d 12+d 22+……+d n 2）为最小值，求a 和b 的方法叫最小二乘法。

令 ∑==ni idD 12＝2112][i i ni ni ib a y dD --==∑∑== (2-6-2)D 对a 和b 分别求一阶偏导数为：][211∑∑==---=∂∂ni i n i i x b na y a D][21211∑∑∑===---=∂∂ni i n i i n i i i x b x a y x b D 再求二阶偏导数为：n a D 222=∂∂； ∑==∂∂n i i x b D 12222 显然： 0222≥=∂∂n a D ； 021222≥=∂∂∑=n i i x b D 满足最小值条件，令一阶偏导数为零：011=--∑∑==ni i ni ix b na y(2-6-3)01211=--∑∑∑===ni i ni i ni ii x b x a yx (2-6-4)引入平均值： ∑==ni i x n x 11； ∑==n i i y n y 11；∑==n i i x n x 1221； ∑==ni i i y x n xy 11则： 0=--x b a y02=--x b x a xy （2-6-5）解得： x b y a -= （2-6-6）22xx y x xy b --=（2-6-7）将a 、b 值带入线性方程bx a y +=，即得到回归直线方程。

最小二乘法知识

最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。

它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。

最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。

对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。

那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。

最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。

对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。

我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。

然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。

在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。

一种常用的迭代方法是梯度下降法。

梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。

具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。

迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。

学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。

最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。

在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。

同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。

除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。

最小二乘法概述

最小二乘法一、简介最小二乘法，又称最小平方法，是一种数学技术。

它通过最小误差的平方和寻找数据函数的最佳匹配。

最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式。

如已知两变量为线性关系bx a y +=，对其进行)2(>n n 次观测而获得n 对数据。

若将这n 对数据代入方程求解a ,b 之值则无确定解。

最小二乘法提供了一个求解方法,其基本思想就是寻找“最接近”这n 个观测点的直线。

最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。

相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。

作为其进一步发展或纠正其不足而采取的对策，不少近现代的数理统计学分支也是在最小二乘法基础上衍生出来的。

最小二乘法之于数理统计学，有如微积分之于数学，这并非夸张之辞。

统计学应用的几个分支如相关分析、回归分析、方差分析和线性模型理论等，其关键都在于最小二乘法的应用不少现代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来，作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策，如回归分析中一系列修正最小二乘法而产生的估计方法等就是最好的例子。

二、创立思想勒让德在先驱者解线性方程组的基础上，以整体的思想方法创立了最小二乘法；高斯由寻找随机误差函数为突破，以独特的概率思想导出了正态分布，详尽地阐述了最小二乘法的理论依据。

最小二乘法(OLSE)的思想就是要使得观测点和估计点的距离平方和达到最小，在各方程的误差之间建立一种平衡，从而防止某一极端误差，对决定参数的估计值取得支配地位，有助于揭示系统的更接近真实的状态。

这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。

三、原理设一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n = ,现用近似曲线)(x y ϕ=拟合这组数据,“拟合得最好”的标准是所选择的()x ϕ在i x 处的函数值()i x ϕ(1,2,,)i n = 与i y (1,2,,)i n = 相差很小,即偏差（也称残差）()i i x y ϕ-(1,2,,)i n = 都很小.一种方法是使偏差之和()1ni i i x y ϕ=⎡⎤⎣⎦∑－很小来保证每个偏差都很小.但偏差有正有负,在求和的时候可能相互抵消.为了避免这种情况,还可使偏差的绝对值之和()1||ni i i x y ϕ=-∑为最小.但这个式子中有绝对值符号,不便于分析讨论.由于任何实数的平方都是正数或零,因而我们可选择使“偏差平方和21ni i i x y ϕ=-∑［（）］最小”的原则来保证每个偏差的绝对值都很小,从而得到最佳拟合曲线y =()x ϕ.这种“偏差平方和最小”的原则称为最小二乘原则,而按最小二乘法原则拟合曲线的方法称为最小二乘法或称最小二乘曲线拟合法.一般而言,所求得的拟合函数可以使不同的函数类,拟合曲线()x ϕ都是由m 个线性无关函数()1x ϕ,()2x ϕ ,…, ()m x ϕ的线性组合而成,即()()()()1122m m x a x a x a x ϕϕϕϕ=+++…)1(-<n m ,其中1a ，2a ，…，m a 为待定系数.线性无关函数()1x ϕ,()2x ϕ ,…()m x ϕ,称为基函数,常用的基函数有: 多项式：1,x , 2x ,…,m x ;三角函数： sin x ,sin 2x ,…,sin mx ;指数函数：x x x m e e e λλλ,,,21 ,x λ２ｅ,…,x λｍｅ.最小二乘法又称曲线拟合,所谓“ 拟合” ,即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点,只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势,它的实质是离散情况下的最小平方逼近.四、运用曲线拟合做最小二乘法 1 一元线性拟合已知实测到的一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n = ,求作这组数据所成的一元线性关系式.设线性关系式为y a bx =+,求出a 和b 即可.法一：即要满足则）（令,0,0,,12=∂∂=∂∂--=∑=bsa sb a bx a y s ni i i ,则,a b 要满足s a ∂∂＝0,sb∂∂＝0.即 11()()ni i i n i i ii sy a bx a s y a bx x b==∂⎧--⎪⎪∂⎨∂⎪--⎪∂⎩∑∑＝－2＝0＝－2＝0化简得112111n n i i i i nn ni i i i i i i b a x y n n a x b x x y =====⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑∑∑∑∑１＋＝＋＝从中解出1112211111n n n i i i ii i i n n i i i i n n i ii i n x y x yb n x x b a y x n n =======⎧⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑－＝－＝－（1）法二：将i x ,i y 代入y a bx =+得矛盾方程组1122n y a bx y a bx y a bx n=+⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎩ (2) 令A =12111n x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,B =12n y y y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则（2）式可写成b B A a ⎛=⎫⎪⎝⎭,则对应的正规方程组为TTa b A B A A ⎛=⎫ ⎪⎝⎭,所以a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1()T TA A AB -,其中A 称为结构矩阵,B 称为数据矩阵,T A A 称为信息矩阵,TA B 称为常数矩阵.2 多元线性拟合设变量y 与n 个变量1x ,2x ,…,n x （1n ≥）内在联系是线性的,即有如下关系式∑=+=nj j j x a a y 10,设j x 的第i 次测量值为ij x ,对应的函数值为i y (1,2,,)i m = ,则偏差平方和为s ='220111()()mm ni i i i ij i i j y y y a a x ===-=--∑∑∑,为了使s 取最小值得正规方程组011001111011202020m n i j ij i j m n i j ij i i j m n i j ij in i j ns y a a x a s y a a x x a s y a a x x a ======⎧∂⎛⎫=---=⎪ ⎪∂⎝⎭⎪⎪∂⎛⎫=---=⎪⎪∂⎨⎝⎭⎪⎪⎪∂⎛⎫=---=⎪ ⎪∂⎝⎭⎩∑∑∑∑∑∑ （3）即011101111n m mij j i j i i mn m mik ij ik jik i i j i i ma x a y x a x x a x y =======⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩∑∑∑∑∑∑∑1,2,,k n = . （4）将实验数据(,)i i x y 代入（4）式,即得m a a a ,,,10 .3 指数函数拟合科学实验得到一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n = 时,还可以考虑用指数函数为基函数来拟合,此时设拟合函数具有形式bxy ae =（,a b 为待定系数）.对上式两端取自然对数可得：ln ln y a bx =+ （9）令Y =ln y ,0ln b a =,则（9）式可转化为一元线性函数形式0Y b bx =+,此时将指数函数拟合转化成了一元线性拟合,利用一元线性拟合中的两种方法均可求出0b 和b ,继而根据0b a e =可求出a ,从而得出因变量y 与自变量x 之间的函数关系式0b bx bx y ae e +==4 对数函数拟合科学实验得到一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n = 时,还可以考虑用对数函数为基函数来拟合,此时设拟合函数具有形式ln y a b x =+(0)x >（,a b 为待定系数）.0b >时,y 随x 增大而增大,先快后慢;0b <时,y 随x 增大而减小,先快后慢.当以y 和ln x 绘制的散点图呈直线趋势时,可考虑采用对数函数描述y 与x 之间的非线性关系,式中的b 和a 分别为斜率和截距.这时令X =ln x ,就可以利用一元线性拟合的方法来求解.更一般的对数函数还可设为y =()ln a b x k ++,式中k 为一常量.五举例例1 使电流通过2Ω的电阻,用伏特表测量电阻两端的电压V .测得数据如下表：t I /A1 2 4 6 8 10 t V /V1.83.78.212.015.820.2试用最小二乘法建立I 与V 之间的一元经验公式（有效数字保留到小数点后第3位）. 解：可取一次线性关系式V a bI =+作为I 与V 之间的一元经验公式. 将数据代入得矛盾方程组1.82 3.748.2612.0815.81020.2a b a b a b a b a b a b +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨+=⎪⎪+=⎪+=⎩ 令1112141618110A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1.83.78.212.015.820.2B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则上述矛盾方程组可写成矩阵形式0a A B b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此得出其正规方程组0T T a A A A B b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,将数据代入即得63161.7031221442.4a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解之得0.212.032a b =-⎧⎨=⎩,故所求经验公式为0.2152.V I =-+. 例 2 在在开发一种抗过敏性的新药时,要对不同剂量的药效进行实验.10名患者各服用了该新药的一个特定的剂量.药物消失时立即纪录.观测值列于下表中.x 是剂量,y 是症状消除持续的日数.用7个不同的剂量, 其中3个剂量重复给两名患者.试给出y 与x 之间的一元经验公式(保留3位有效数字).1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ /i x mg334566788959/i y d9 5 12 9 14 16 22 18 24 22 1512i x 9 9 16 25 36 36 49 64 64 81 389i i x y271548458496154144192198 1003解：可设y 与x 之间的经验公式为y a bx =+. 由上表可知,101i i x =∑59=,101i i y =∑151=,101i i i x y =∑1003=,1021i i x =∑389=,2101i i x =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑3481= 再由（1）式可求得,1010101112101021110101003591512.7410389348110i i i ii i i i i i i x y x y b x x =====-⨯-⨯===⨯-⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑10101111 2.7415159 1.0710101010i i i i b a y x ===-=⨯-⨯=-∑∑所以y 与x 之间的经验公式为 1.07 2.74y x =-+.最小二乘法能将从实验中得出的一大堆看上去杂乱无章的数据中找出一定的规律，拟合成一条曲线来反映所给数据特点。

最小二乘法圆拟合

1.最小二乘法圆拟合原理理论最小二乘法（Least Square Method ）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘圆拟合模型公式推导在二维平面坐标系中，圆方程一般可表示为：（A-A0）2+（y-y0）2=r2对于最小二乘法的圆拟合，其误差平方的优化目标函数为:式中：（兀切）心1,2,..丿为圆弧上特征点坐标M为参与拟合的特征点数。

在保持这优化目标函数特征的前提上，我们需要对其用一种稍微不同的改进方法来定义误差平方，且其避免了平方根，同时可得到一个最小化问题的直接解，定义如下：E= £［（兀一勺），+（＞; -y0）2 -厂则（2）式可改写为:令，B = -2y0, A = -2x0C = x（； + y（；-r2即（3）式可表示为：H =2Sn =2s r ； + yf +:+y ： + A2 + y ； +；=0 (=0J=o 1=0 ；=0 /=(> ；=0 丿 \/=()X =0(=0 1=01=0 (=0E =工(才 + V ； + A A ; + By t +C )/=()由最小二乘法原理，参数A, B, C 应使E 取得极小值。

根据极小值的求法，A, 3和C 应满足求解方程组，先消去参数C,则式⑷“一⑹水工易得(=0•:-乞兀乞兀人+处〉必-亍兀文刃〃 +吃斤+,送席一乞(才(7)式(5)*n-(6)*^y.得1=0(8)M M =吃才-为册工"(9)\ /=() i=0 r=0 丿%=呱=卜£X 必-£者£订(10)\ H0 /=0 /=0 丿y ： - dx/=0 /=0(13)r-0 f-0 H\=+ 辻灯-乞(X ： + y ；应兀(12 ) rU) /-() ZU) /-0 H i=n X y ：+n E vx- - Z (x ；+>?)E x将（7）, （8）式写成矩阵形式根据式（14）和式（6）可得:人_円叽-側22^11^22 —^12^21—HB H -H 阀 u\2^ 21 一 M |22乞（才+貝+心+叭）c = _ ------------------------ n从而求得最佳拟合圆心坐标（心为），半径r 的拟合值：勺=_£,儿=_£，r = g J A +B? -4C2.仿真数据分析首先设置仿真圆心（xO, yO ）,半径R0,在根据实际数据任意选取一段圆弧，产生N 组随机数据。

运筹学名词解释(全)

《运筹学基础》名词解释运筹学：缩写OR，是利用计划方法和有关多学科的要求。

把复杂功能关系。

表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据。

定性决策:基本上根据决策人员的主观经验或感受到的感觉或只是而制定的决策。

定量决策：借助于某些正规的计量方法而作出的决策。

混合性决策：必须运用定性和定量两种方法才能制定的决策。

预测：是对未来的不确定的事物进行估计或判断。

专家小组法:是在介绍咨询的专家之间组成一个小组，面对面的进行讨论与磋商，最后对需要预测的课题得出比较一致的意见指数平滑预测法:是定量与定性方法相结合的一种预测方法决策：从狭义方面来说,决策可以解释为对一些可供选择的方案作出抉择。

广义的决策过程包括4个程序：明确决策项目的目的，寻求可行的方案，在诸可行方案中进行抉择，对选定的决策方案经过实施后的结果进行总结评价常规性决策：它是例行的,重复性的决策。

做这类决策的个人或组织.又要需要他们决策的问题不是新问题，一般来说已经有管理和经验作参考。

因而进行决策是就比较容易。

特殊性决策:是对特殊的，先例可循的新问题的决策。

做这类决策的个人或组织只有认真履行决策过程的四个阶段，才能作出满意的决策。

计划性决策:有些类似法治系统中的立法工作。

国家或组织的方针政策以及较长期的计划等都可视为计划性较长的对象.最大最大决策标准：可称为乐观主义者的决策标准,采用这种决策标准，决策者比较谨慎小心。

总是从未来的销售情况可能较差的状态考虑.然后在选择最优的可行方案、最小最小遗憾值决策标准：也叫最小最大后悔值决策标准。

它运用计算遗憾值的逻辑原则，求得在不同的销售状态下选用不同的方案所能造成的遗憾值，然后在根据最小最大以后标准进行决策.选取最优方案。

现实主义决策标准：也称折衷主义决策标准。

所谓现实主义或折衷主义，就是说既不是从最乐观的角度。

也不说从最保守的角度来估计未来可能出现才自然状态存货台套：它的英文原名为stockkeepinggunit，在某些企业中可以译成存货储备单元，简称存货单元ABC分析法是按各种存货台套或存货单元的年度需用价值，将它们分成A,B,C三类。

普通最小二乘法名词解释

普通最小二乘法名词解释
普通最小二乘法 (Ordinary Least Squares, OLS) 是一种用于
数据拟合的统计方法。

它的思想是找到一组参数，使得拟合曲线与每个观测点的距离最小。

普通最小二乘法的假设是，拟合曲线是一个正态分布，其中观测点误差都服从正态分布的假设。

在应用普通最小二乘法之前，需要检验数据是否符合正态分布的假设。

普通最小二乘法假设每个观测点的误差是独立的，拟合曲线的误差是准确的。

普通最小二乘法的优点是它可以得到最佳的拟合结果，它的结果准确而可靠。

普通最小二乘法的缺点是它不能应付非正态分布的情况，也不能处理多重共线性的情况，这些都会降低拟合曲线的精确度。

最小二乘法

数值分析作业最小二乘法最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一,它依据对某事件的大量观测而获得最佳”结果或最可能”表现形式。

如已知两变量为线性关系y= a+ bx,对其进行n(n> 2)次观测而获得n对数据。

若将这n对数据代入方程求解a，b之值则无确定解。

最小二乘法提供了一个求解方法，其基本思想就是寻找最接近”这n 个观测点的直线。

最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。

相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。

作为其进一步发展或纠正其不足而采取的对策,不少近现代的数理统计学分支也是在最小二乘法基础上衍生出来的。

正如美国统计学家斯蒂格勒(S.M. Stigler)所说,最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”最小二乘法创立的历史过程充满着丰富的科学思想,这些对今日的数学创造仍有着重要的启示意义。

本文旨在全面认识最小二乘法的历史系统发育过程以及创立者的思路。

一先驱者的相关研究天文学和测地学的发展促进了数理统计学及其他相关科学的发展。

丹麦统计史家哈尔德曾指出天文学在数理统计学发展中所起的作用。

“天文学自古代至18 世纪是应用数学中最发达的领域。

观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子,在此种意义下,天文学家就是最初的数理统计学家。

天文学的问题逐渐引导到算术平均,以及参数模型中的种种估计方法,以最小二乘法为顶峰。

” 这也说明了最小二乘法的显著地位。

有关统计计算思想记载的著作要首推天文学家罗杰柯茨的遗作,即1715年其所发论文中所蕴含的统计方法,亦即对各种观测值赋予加权后求其加权平均。

尽管当时得到认可,然而事实证明如此计算的结果不太精确。

1749年,欧拉(L. Euler,1707—1783)在研究木星和土星之间相互吸引力作用对各自轨道影响时,最后得到一个含8个未知量75个方程的线性方程组。

欧拉的求解方法繁杂而奇特,只能看作是一次尝试。

最小二乘法知识

最小二乘法知识最小二乘法学问在估量方法中，最大似然和最小二乘是常常被使用到的，其中的最小二乘更是回归的基础。

这就让我带你回归小二乘法。

最小二乘法学问篇1最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和查找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合。

其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发觉了第一颗小行星谷神星。

经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。

随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开头查找谷神星，但是依据大多数人计算的结果来查找谷神星都没有结果。

时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。

奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯依据高斯计算出来的轨道重新发觉了谷神星。

高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。

法国科学家勒让德于1806年独立创造“最小二乘法”，但因不为世人所知而悄悄无闻。

二乘法(2张) 勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发第1页/共4页生争吵。

1829年，高斯供应了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-马尔可夫定理。

以最简洁的一元线性模型来解释最小二乘法。

什么是一元线性模型呢?监督学习中，假如猜测的变量是离散的，我们称其为分类(如决策树，支持向量机等)，假如猜测的变量是连续的，我们称其为回归。

回归分析中，假如只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。

假如回归分析中包括两个或两个以上的.自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

对于二维空间线性是一条直线;对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面。

对于一元线性回归模型, 假设从总体中猎取了n组观看值(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)。

最小二乘法

最小二乘法中文名称：最小二乘法英文名称：least square method定义：在残差满足VPV为最小的条件下解算测量估值或参数估值并进行精度估算的方法。

其中V为残差向量，P为其权矩阵。

应用学科：测绘学（一级学科）；大地测量学（二级学科）最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合。

其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

最小二乘法最小二乘法(least square)历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。

经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。

随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。

时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。

奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。

高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。

法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。

勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。

1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。

（来自于wikipedia）最小二乘法公式最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2Y=kX+b: k=（（XY）平--X平*Y平）/（X^2--(X平）^2 ;b=Y平--kX平X平=1/n∑X i；(XY)平=1/n∑X i Y i最小二乘法原理用各个离差的平方和M=Σ(i=1到n)[y i-(ax i+b)]^2最小来保证每个离差的绝对值都很小。

计量经济学习题及答案

计量经济学习题一、名词解释1、普通最小二乘法：为使被解释变量的估计值与观测值在总体上最为接近使Q= 最小,从而求出参数估计量的方法,即之;2、总平方和、回归平方和、残差平方和的定义：TSS度量Y自身的差异程度,称为总平方和;TSS除以自由度n-1=因变量的方差,度量因变量自身的变化；RSS度量因变量Y的拟合值自身的差异程度,称为回归平方和,RSS除以自由度自变量个数-1=回归方差,度量由自变量的变化引起的因变量变化部分；ESS度量实际值与拟合值之间的差异程度,称为残差平方和;RSS除以自由度n-自变量个数-1=残差误差方差,度量由非自变量的变化引起的因变量变化部分;3、计量经济学：计量经济学是以经济理论为指导,以事实为依据,以数学和统计学为方法,以电脑技术为工具,从事经济关系与经济活动数量规律的研究,并以建立和应用经济计量模型为核心的一门经济学科;而且必须指出,这些经济计量模型是具有随机性特征的;4、最小样本容量：即从最小二乘原理和最大似然原理出发,欲得到参数估计量,不管其质量如何,所要求的样本容量的下限；即样本容量必须不少于模型中解释变量的数目包扩常数项,即之;5、序列相关性：模型的随机误差项违背了相互独立的基本假设的情况;6、多重共线性：在线性回归模型中,如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性,则称为多重共线性;7、工具变量法：在模型估计过程中被作为工具使用,以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量;这种估计方法称为工具变量法;8、时间序列数据：按照时间先后排列的统计数据;9、截面数据：发生在同一时间截面上的调查数据;10、相关系数：指两个以上的变量的样本观测值序列之间表现出来的随机数学关系;11、异方差：对于线性回归模型提出了若干基本假设,其中包括随机误差项具有同方差；如果对于不同样本点,随机误差项的方差不再是常数,而互不相同,则认为出现了异方差性;12、外生变量：外生变量是模型以外决定的变量,作为自变量影响内生变量,外生变量决定内生变量,其参数不是模型系统的元素;因此,外生变量本身不能在模型体系内得到说明;外生变量一般是确定性变量,或者是具有临界概率分布的随机变量;外生变量影响系统,但本身并不受系统的影响;外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量;一般情况下,外生变量与随机项不相关;二、填空题1、计量经济学中, 经济学提供理论基础, 统计学提供资料依据, 数学提供研究方法．2、研究经济问题时,一般要处理三种类型的数据：1 截面数据；2 时间序列数据；和3 虚拟变量数据;3、 OLS参数估计量具有如下统计性质,即线性、无偏性、有效性 ;4、时间序列数据与横截面数据的最大区别在于数据的顺序性 _;5、在模型中引入多个虚拟变量时,虚拟变量的个数应按下列原则确定：如果有M个互斥的属性类型,则在模型中引入 M-1 个虚拟变量;6、在现实经济活动中往往存在一个被解释变量受到多个解释变量的影响的现象,表现为在线性回归模型中有多个解释变量,这样的模型被称为多元线性回归模型;7、在多元线性回归模型中,参数的最小二乘估计量具线性性、无偏性、最小方差性,同时多元线性回归模型满足经典假定,所以此时的最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量,又称BLUE估计量;8、计量经济学的核心内容是建立和应用计量经济模型;9、R2 是一个回归直线与样本观测值拟合优度的数量指标,其值越大,拟合优度越好,其值越小,拟合优度就越差;10、自相关就是指总体回归方程的误差项u i之间存在着相关,即：按时间或空间排序的观察值序列的个成员之间存在的相关;三、单项选择题1.经济计量模型是指CA.投入产出模型B.数学规划模型C.包含随机方程的经济数学模型D.模糊数学模型2.回归分析中定义的BA.解释变量和被解释变量都是随机变量B.解释变量为非随机变量,被解释变量为随机变量C.解释变量和被解释变量都为非随机变量D.解释变量为随机变量,被解释变量为非随机变量3.设k 为回归模型中的参数个数,n 为样本容量;则对总体回归模型进行显着性检验F 检验时构造的F 统计量为 A A.)k n /(RSS )1k /(ESS F --=B. )k n /(RSS )1k /(ESS 1F ---=C. RSS ESS F =D. ESSRSSF = 4. D-W 检验,即杜宾-瓦尔森检验,用于检验时间序列回归模型的误差项中的一阶序列相关的统计量,DW 统计量以OLS 残差为基础：=∑∑==--nt tnt t tee e1221~)~~(,如果值越接近于2,则 CA.则表明存在着正的自相关B.则表明存在着负的自相关C.则表明无自相关D.无法表明任何意义5.容易产生异方差的数据为C A.时序数据 B.修匀数据 C.横截面数据 D.年度数据6、计量经济模型分为单方程模型和 C ;A.随机方程模型B.行为方程模型C.联立方程模型D.非随机方程模型 7、同一统计指标按时间顺序记录的数据列称为 B A.横截面数据 B.时间序列数据 C.修匀数据 D.平行数据8、样本数据的质量问题,可以概括为完整性、准确性、可比性和 B ; A.时效性 B.一致性 C.广泛性 D.系统性9、有人采用全国大中型煤炭企业的截面数据,估计生产函数模型,然后用该模型预测未来煤炭行业的产出量,这是违反了数据的 A 原则; A.一致性 B.准确性 C.可比性 D.完整性10、对下列模型进行经济意义检验,哪一个模型通常被认为没有实际价值的 B ;A. i C 消费i I 8.0500+=收入B. di Q 商品需求i I 8.010+=收入i P 9.0价格C. si Q 商品供给i P 75.020+=价格D. i Y 产出量6.065.0i K =资本4.0iL 劳动四、多项选择题1、不满足OLS 基本假定的情况,主要包括： ABCD ; A.随机序列项不是同方差,而是异方差 B.随机序列项序列相关,即存在自相关 C.解释变量是随机变量,且与随机扰动项相关 D.解释变量之间相关,存在多重共线性 E.因变量是随机变量,即存在误差2、随机扰动项产生的原因大致包括如下几个方面,它们是 ABCD ; A.客观现象的随机性人的行为、社会环境与自然影响的随机性 B.模型省略变量被省略的具有随机性的变量归入随机扰动项 C.测量与归并误差估计时测量和归并误差都归入随机扰动项 D.数学模型函数的形式的误定E.从根本上看是由于经济活动是人类参与的活动 3、内生变量 ABDE ;A.在联立方程模型中,内生变量由系统内方程决定,同时又对模型系统产生影响；既作为被解释变量,又可以在不同的方程中作为解释变量;B.一般情况下,内生变量与随机项相关;C.内生变量决定外生变量D.内生变量一般都是经济变量E.内生变量Y 一般满足： CovY i ,i μ≠0,即EY i i μ≠0; 4、影响预测精度的因素包括 ACD ;A.样本容量愈大,预测的方差愈小,预测的精度愈大B.样本中解释变量的离均差的和愈大,预测的方差愈小,预测的精度愈大C.内插预测的精度比较有把握,外推预测的能力显着下降,预测精度难以把握D.当其样本容量n 相当大,而预测点的取值X0接近于X 的平均值时,预测的方差最小,预测的精度最大E.残差标准差的估计值愈小,回归预测的精度愈精确,所以常常把残差标准差的估计值作为预测精度的标志5. 下列哪些变量属于前定变量CD ; A.内生变量 B.随机变量 C.滞后变量 D.外生变量 E.工具变量五、判断题1、通常把由方程组内决定的变量称为内生变量,而不能由方程组内直接决定的变量为前定变量,又称为先决变量;√2、前定先决变量既能作为解释变量,也能作为被解释变量;×3、D-W 检验,即杜宾-瓦尔森检验,=∑∑==--nt tnt t tee e1221~)~~(,其最大优点为简单易行;如果值接近于零,则说明越倾向于无自相关;×4、截面数据是一批发生在同一时间截面上的调查数据;例如,在给定的某个时点上对个人、家户、企业、城市、地区、国家或一系列其它单位采集的样本所构成的数据集;√5、内生变量是理论或模型所要解释的变量,即因变量,它是为理论或模型以外的因素所影响的变量,是具有某种概率分布的随机变量;√6、违背基本假设的计量经济学模型是不可估计的;×7、只有满足基本假设的计量经济学模型的普通最小二乘参数估计量才具有无偏性和有效性;√8、要使得计量经济学模型拟合得好,就必须增加解释变量;×9、在拟合优度检验中,拟合优度高,则解释变量对被解释变量的解释程度就高,可以推测模型总体线性关系成立；反之亦然;×10、样本容量N 越小,残差平方和RSS 就越小,模型拟合优度越好;×11、当计量经济学模型出现异方差性,其普通最小二乘法参数估计量仍具有无偏性,但不具有有效性;√12、实际问题中的多重共线性不是自变量之间存在理论上或实际上的线性关系造成的,而是由于所收集的数据之间存在近似的线性关系所致;√13、模型的拟合优度不是判断模型质量的唯一标准,为了追求模型的经济意义,可以牺牲一点拟合优度;√14、如果给定解释变量值,根据模型就可以得到被解释变量的预测值;×15、异方差问题中,随机误差项的方差与解释变量观测值之间都是有规律可循的;× 16、计量经济学模型解释经济活动中各因素之间的理论关系,用确定性的数学方程加以描述;×17、计量经济学根据研究对象和内容侧重面不同,可以分为广义计量经济学和狭义计量经济学;√18、计量经济学是一门经济学科,而不是数学或其他;√19、样本数据的收集是计量经济学的核心内容;×20、方法,主要包括模型方法和计算方法,是计量经济学研究的基础;×21、具有因果关系的变量之间一定有数学上的相关关系,具有相关关系的变量之间一定具有因果关系;×22、乘数是变量的变化率之比;×23、单方程计量经济学模型是以多个经济现象为研究对象,是应用最为普遍的计量经济学模型;×24、对于最小二乘法最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取n组样本观测值的概率最大;×25、总体平方和由残差平方和和回归平方和组成;√26、校正的判定系数和非校正的判定系数仅当非校正判定系数为1时才相等;√27、判定所有解释变量是否对应变量有显着影响的方法是看是否每个解释变量都是显着的t统计量；如果不是,则解释变量整体是统计不显着的;×28、当R2=1, F= 0 ;当R2= 0 ,F=∞;×29、在模型Yi =B1+B2X2i+B3X3i+ui中,如果X2和X3负相关且B3>0,则从模型中略去解释变量X3将使b12的值减小也即,Eb12<B2;其中b12是Y仅对X2的回归方程中的斜率系数;√30、当我们说估计的回归系数在统计上是显着的,意思是说它显着不为1;×31、要计算t临界值,仅仅需知道自由度;×32、整个多元回归模型在统计上是显着的意味着模型中任何一个单独的变量均是统计显着的;×33、就估计和假设检验而言,单方程回归与多元回归没有什么区别;√34、无论模型中包括多少个解释变量,总离差平方和的自由度总为n－1;√35、双对数模型的斜率和弹性系数相同;√36、对于变量之间是线性的模型而言,斜率系数是一个常数,弹性系数是一个变量;但双对数模型的弹性系数是一个常数,而斜率是一个变量;√37、双对数模型的R2值可以与对数-线性模型的相比较,但不能与线性-对数模型的相比较;√38、线性-对数模型的R2值可以与线性模型相比较,但不能与双对数模型或对数线性模型的相比较;√39、模型A：lnY=+；r2= ；模型B：Y=+；r2=模型A更好一些,因为它的r2大;×40、在存在异方差情况下,普通最小二乘估计是有偏的和无效的;×41、如果存在异方差,通常使用的t检验和F检验是无效的;√42、在存在异方差情况下,常用的OLS估计总是高估了估计量的标准差;×43、当存在序列相关时,OLS估计量是有偏的并且也是无效的;×44、消除序列相关的广义差分变换假定自相关系数必须等于1;√45、两个模型,一个是一阶差分形式,一个是水平形式,这两个模型的R 2是不可以直接比较的;√46、存在多重共线性时,模型参数无法估计;×47、尽管存在着完全多重共线性,普通最小二乘估计量仍然是最优线性无偏估计量;× 48、在存在高度多重共线性的情况下,无法估计一个或多个偏回归系数的显着性;√ 49、一旦模型中的解释变量是随机变量,则违背了基本假设,使得模型的OLS 估计量有偏且不一致;× 六、简答1、随机扰动项产生的原因答：1客观现象的随机性;引入e 的根本原因,乃是经济活动是人类参与的,因此不可能像科学实验那样精确;2此外还有社会环境和自然环境的随机性;3模型省略了变量;被省略的变量包含在随机扰动项e 中;4测量与归并误差;测量误差致使观察值不等于实际值,汇总也存在误差;5数学模型形式设定造成的误差;由于认识不足或者简化,将非线性设定成线性模型; 经济计量模型的随机性,正是为什么要采用数理统计方法的原因;2、采用普通最小二乘法,已经保证了模型最好地拟合样本观测值,为何还要进行拟合优度检验答：普通最小二乘法所保证的最好拟合,是同一个问题内部的比较,拟合优度检验结果所表示的优劣是不同问题之间的比较;两个同样满足最小二乘原则的模型,对样本观测值的拟合程度不一定相同;3、针对普通最小二乘法,线性回归摸型的基本假设答：1解释变量是确定性变量,而且解释变量之间不相关;2随机误差项具有0均值且同方差;3随机误差项在不同样本点之间独立,不存在序列相关; 4随机误差项与解释变量之间不相关;5随机误差项服从0均值且同方差的正态分布; 七、综合题1、某人试图建立我国煤炭行业生产方程,以煤炭产量为被解释变量,经过理论和经验分析,确定以固定资产原值、职工人数和电力消耗量变量作为解释变量,变量的选择是正确的;于是建立了如下形式的理论模型：煤炭产量=αα01+固定资产原值+α2职工人数+α3电力消耗量+μ选择2000年全国60个大型国有煤炭企业的数据为样本观测值；固定资产原值用资产形成年当年价计算的价值量,其它采用实物量单位；采用OLS 方法估计参数;指出该计量经济学问题中可能存在的主要错误,并简单说明理由;答：⑴模型关系错误;直接线性模型表示投入要素之间完全可以替代,与实际生产活动不符;⑵估计方法错误;该问题存在明显的序列相关性,不能采用OLS方法估计;⑶样本选择违反一致性;行业生产方程不能选择企业作为样本;⑷样本数据违反可比性;固定资产原值用资产形成年当年价计算的价值量,不具备可比性;2、材料：为证明刻卜勒行星运行第三定律,把地球与太阳的距离定为1个单位;地球绕太阳公转一周的时间为1个单位年;那么太阳系9个行星与太阳的距离D和绕太阳各公转一周所需时间T的数据如下：obs水星金星地球火星木星土星天王星海王星冥王星DISTANCE1Time184165248D3170782727161630T2170562722561504用上述数据建立计量模型并使用EVIEWS计算输出结果如下问题：根据EVIEWS计算输出结果回答下列问题1EVIEWS计算选用的解释变量是____________________2EVIEWS计算选用的被解释变量是____________________3建立的回归模型方程是____________________4回归模型的拟合优度为____________________5回归函数的标准差为____________________6回归参数估计值的样本标准差为____________________7回归参数估计值的t统计量值为____________________8残差平方和为____________________9被解释变量的平均数为____________________10被解释变量的标准差为____________________答案如下：1Logdistance 2Logtime 3Logdistance= Logtime+u4 5 6 78 9 103、中国国内生产总值与投资及货物和服务净出口单位：亿元用上述数据建立计量模型并使用EVIEWS 计算输出结果如下Dependent Variable: Y Method: Least SquaresDate: 10/19/09 Time: 21:40 Sample: 1991 2003Included observations: 13VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C X1 X2R-squaredMean dependent var Adjusted R-squared . dependent var . of regression Akaike info criterion Sum squared resid +08 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat ProbF-statistic1建立投资与净出口与国民生产总值的二元线性回归方程并进行估计,并解释斜率系数的经济意义;解：建立Y 与X 、X 之间的线性回归模型：Y = 0ˆβ + 1ˆβ X 1 + 2ˆβX 2+ e i 根据普通最小二乘法参数估计有故所求回归方程为Y = + X 1 +X 1的系数β1=表明,如果其他变量保持不变,为使国民生产总值增加一亿元投资需增加亿元,净出口增加亿元也能使国民生产总值增加一亿元;2对偏回归系数及所建立的回归模型进行检验,显着性水平α=;2281.2)10(025.0=t 解：假设H 0 : 0=i β,H 1 : 0≠i β;在H 0 成立的条件下检验统计量)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ111111βββββS S t =-=~t n-k )ˆ(ˆ)ˆ(ˆ112222βββββS S t =-=~t n-k =-==∑112111ˆ)ˆ(C kn e C S iσβ =-==∑222222ˆ)ˆ(C kn e C S iσβ其中C ii 是1)(-X X T 对角线的值;22)ˆ(i i i Y Y e -=∑∑,为残差平方和; 所以：120692.0177916.2)ˆ(ˆ111==ββS t = 282402.1051980.4)ˆ(ˆ222==ββS t = 给定α=. {}{}2281.2)10()(025.02≥=≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥=t t t k n t t w α;从上面结果看出t 、t 的绝对值均大于,故拒绝H 0,认为1、2 均显着不等于0,X 1、X 2对Y 的影响均显着;3估计可决系数,以显着性水平α=对方程整体显着性进行检验,并估计校正可决系数,说明其含义;39.9)10,2(05.0=F 解： R 2=∑-'-=-2)(11Y Y ee TSS RSS i= 假设H 0：1 =2 =0;H 1：1 、2 不全为0;检验统计量F==---=-∑∑kn Y Y k Y Y kn RSSkESSii22)ˆ()ˆ(给定α=. {}{}{}39.9)10,2(),(05.0≥=≥=-≥=F F F k n k F F w α,F 远大于 2,10,故拒绝H 0,认为总体参数1、2 不全为等于0,资本形成额X 1和货物和服务净出口X 2对国民生产总值Y 的影响显着;4、假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人数,以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者;你通过整个学年收集数据,得到两个可能的解释性方程：方程A ：3215.10.10.150.125ˆX X X Y +--= 75.02=R方程B ：4217.35.50.140.123ˆX X X Y -+-= 73.02=R 其中：Y —某天慢跑者的人数；1X —该天降雨的英寸数；2X —该天日照的小时数；3X —该天的最高温度按华氏温度；4X —第二天需交学期论文的班级数; 请回答下列问题：1这两个方程你认为哪个更合理些,为什么2为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得到不同的符号答案：1方程B 更合理些;原因是：方程B 中的参数估计值的符号与现实更接近些,如与日照的小时数同向变化,天长则慢跑的人会多些；与第二天需交学期论文的班级数成反向变化,这一点在学校的跑道模型中是一个合理的解释变量;2解释变量的系数表明该变量的单位变化在方程中其他解释变量不变的条件下对被解释变量的影响,在方程A 和方程B 中由于选择了不同的解释变量,如方程A 选择的是“该天的最高温度”而方程B 选择的是“第二天需交学期论文的班级数”,由此造成2X 与这两个变量之间的关系不同,所以用相同的数据估计相同的变量得到不同的符号; 5、收集1978-2001年的消费额XF 亿元,国内生产总值GDP 亿元资料,建立消费函数,Eviews 结果如下：Dependent Variable: LOGXFMethod: Least Squares Date: 10/21/09 Time: 20:16 Sample: 1978 2001 Included observations: 24CoefficientStd. Error t-StatisticProb.C t 1= LOGGDPt 2=R-squaredMean dependent var Adjusted R-squared . dependent var . of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter. F-statistic Durbin-Watson statProbF-statistic要求：1把表中缺失的数据补上；5分2把回归分析结果报告出来；5分3进行经济意义、统计学意义和经济计量学意义检验；6分 4解释系数经济含义;4分 6、根据广东省数据,把财政支出 CZ 作为因变量,财政收入CS 作为解释变量进行一元回归分析后,得到回归残差平方的对数对logCS 的回归结果如下：Dependent Variable: LOGRESID^2 Method: Least Squares Date: 5/22/09 Time: 20:24 Sample: 1978 2003Included observations: 26Variable Coefficient Std. Error t-StatisticProb.LOGCS CR-squaredMean dependent var Adjusted R-squared . dependent var . of regression Akaike info criterion Sum squared residSchwarz criterion要求：1写出异方差表达式σi 2=10分2进行同方差变换,证实变换后的模型不存在异方差;10分已知：t t t u CS CZ ++=10ββ其中：为常数）其中22()()(σσt t CS f u Var =,其中 1.522024 (CSi))(=t CS f 模型两边同时除以)(t CS f 进行变换,得：3分其中：)(t tt CS f u =υ,可以证明误差项t υ是同方差的;证明如下：4分已知：)(t t t CS f u =υ,)(22t tt CS f u =υ,222))(()(συ==t t tCS f u E E 根据已知条件2σ为常数,证得变换后的误差项是同方差的;。

最小二乘法的计算方法

题目
最小二乘法计算公式是什么？
答案解析
最小二乘法公式是一个数学的公式，在数学上称为曲线拟合，此处所讲最小二乘法，专指线性回归方程！最小二乘法公式为a=y(平均)-b*x（平均）。

最小二乘法（（又称最小平方法）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

扩展资料：
普通最小二乘估计量具有上述三特性：
1、线性特性
所谓线性特性，是指估计量分别是样本观测值的线性函数，亦即估计量和观测值的线性组合。

2、无偏性
无偏性，是指参数估计量的期望值分别等于总体真实参数。

3、最小方差性
所谓最小方差性，是指估计量与用其它方法求得的估计量比较，其方差最小，即最佳。

最小方差性又称有效性。

这一性质就是著名的高斯一马尔可夫（（Gauss-Markov）定理。

这个定理阐明了普通最小二乘估计量与用其它方法求得的任何线性无偏估计量相比，它是最佳的。

最小二乘法简介

一般而言，拟合函数φ(x)可以使不同的函数类,由m个线性无关函数φ1(x),φ2(x),...,φm(x)的线性组合而成，即
x a11 x a22 x… amm x (m n 1)
其中,a1,a2,...,am为待定系数，φ1(x),φ2(x),...,φm(x) 称为基函数。常用的基函数有：多项式：1,x, x2,…,xm; 三角函数：sinx,sin2x,...,sinmx;
i1
(
yi

a

bห้องสมุดไป่ตู้i
)＝0

s
b
n
＝－2
i1
(
yi

a

bxi
)xi＝0
b＝
n
n
n
n xi yi－ xi yi
i 1
i 1 i 1
n
n
i 1
xi2－
n

i 1
xi
2
a＝
1 n
n

i 1
yi－
b n
n

i 1
xi
2、多元性拟合
n
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
四、最小二乘法应用
利用实际试验采集到的数据，建立回归模型，运用最小二乘估计进行趋势分析及预测，比如经济趋势预测，工业产量控制等等。
高斯
由寻找随机误差函数为突破，以独特的概率思想导出了正态分布，详尽地阐述了最小二乘法的理论依据。

设一组数据(xi ,yi)(i=1,2,...,n),现用近似
曲线y=φ(xi)拟合这组数据,“拟合得最好”的标
准是所选择的φ(xi)在xi处的函数值

sas最小二乘法求回归方程

sas最小二乘法求回归方程
最小二乘法：总离差不能用n个离差之和。

来表示，通常是用离差的平方和，即：作为总离差，并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条，这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法。

由于绝对值使得计算不变，在实际应用中人们更喜欢用：Q=（y1-bx1-a）²+（y2-bx-a²）+...+（yn-bxn-a）²
所以当a，b取什么值时Q最小，即到点直线y=bx+a的“整体距离”最小。

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合。

其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

最小二乘法

最小二乘法1：最小二乘法的原理与要解决的问题最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：标函数 = \sum（观测值-理论值）^2\\观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。

目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。

举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有 m 个只有一个特征的样本： (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)样本采用一般的 h_{\theta}(x) 为 n 次的多项式拟合，h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+...\theta _nx^n,\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 为参数最小二乘法就是要找到一组\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 使得\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 (残差平方和) 最小，即，求 min\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^22 ：最小二乘法的矩阵法解法最小二乘法的代数法解法就是对 \theta_i 求偏导数，令偏导数为0，再解方程组，得到 \theta_i 。

矩阵法比代数法要简洁，下面主要讲解下矩阵法解法，这里用多元线性回归例子来描：假设函数h_{\theta}(x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\t heta_nx_n 的矩阵表达方式为：h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta\\其中，假设函数 h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta 为 m\times1 的向量, \theta 为 n\times1 的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。

普通最小二乘法名词解释

普通最小二乘法名词解释
普通最小二乘法是一种回归分析技术，用于拟合一组数据点。

它假设数据点服从某种特定类型的函数，并且通过最小化数据点与函数的误差（即距离）来找到最佳拟合函数，其拟合曲线可以用来描述一组数据点的趋势。

它是用最小二乘法来进行回归分析的技术，通常用于分析数据、预测预期结果和验证研究模型。

普通最小二乘法包含两个步骤：模型拟合和模型评估。

首先，拟合将数据点拟合到一个曲线，然后评估该拟合曲线的拟合质量，可以使用不同的指标，如决定系数、均方误差和均方根误差等。

这两个步骤可以相互交叉，例如在拟合期间，可以使用评估指标来检验拟合结果，以确定是否需要增加拟合的精度，或者是否需要对模型进行修改，以更好地呈现数据点的趋势。

最小二乘法讲解

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历史简介
• 1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
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习题
假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）求回归直线方程；
（2）估计使用10年时，维修费用约是
多少？
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习题
解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系
（1）列表
xi
yi
xi 2
xi yi
2
2.2
4
4.4
3
3.8
9
11.4
4
5.5
16
22
5
6.5
25
32.5
6
7.0
36
42
合计 20
25
90 112.3
x4
y5
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习题
112.3 5 4 5 b 90 5 42 1.23 a 5 1.23 4 0.08
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历史简介
• 高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。

最小二乘法

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1、线性特性
所谓线性特性，是指估计量分别是样本观测值的线性函数，亦即估计量和观测值的线性组合。
2、无偏性
无偏性，是指参数估计量的期望值分别等于总体真实参数。
3、最小方差性
所谓最小方差性，是指估计量与用其它方法求得的估计量比较，其方差最小，即最佳。最小方差性又称有效性。这一性质就是著名的高斯一马尔可夫（ Gauss-Markov）定理。这个定理阐明了普通最小二乘估计量与用其它方法求得的任何线性无偏估计量相比，它是最佳的。
基本思路
最小二乘法是解决曲线拟合问题最常用的方法。其基本思路是：令
其中，是事先选定的一组线性无关的函数，是待定系数，拟合准则是使与的距离的平方和最小，称为最小二乘准则。
基本原理
设(x,y)是一对观测量，且满足以下的理论函数：其中为待定参数。为了寻找函数的参数的最优估计值，对于给定组（通常）观测数据，求解目标函数取最小值的参数。求解的这类问题称为最小二乘问题，求解该问题的方法的几何语言称为最小二乘拟合。对于无约束最优化问题，最小二乘法的一般形式为：其中称为残差函数。当是的线性函数时，称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。
最小二乘优化问题
在无约束最优化问题中，有些重要的特殊情形，比如目标函数由若干个函数的平方和构成，这类函数一般可以写成：
其中，通常要求m≥n，我们把极小化这类函数的问题：称为最小二乘优化问题。最小二乘优化是一类比较特殊的优化问题。
最小二乘估计量的特性
根据样本数据，采用最小二乘估计式可以得到简单线性回归模型参数的估计量。但是估计量参数与总体真实参数的接近程度如何，是否存在更好的其它估计式，这就涉及到最小二乘估计式或估计量的最小方差（或最佳）（Best）性、线性（Linear）及无偏（ Unbiased）性，简称为BLU特性。这就是广泛应用普通最小二乘法估计经济计量模型的主要原因。下面证明普通最小二乘估计量具有上述三特性。

86. 什么是统计学中的最小二乘法？

86. 什么是统计学中的最小二乘法？86、什么是统计学中的最小二乘法？在统计学的广袤天地里，最小二乘法宛如一颗璀璨的明星，为我们处理数据和解决问题提供了强大的工具。

那么，到底什么是最小二乘法呢？简单来说，最小二乘法是一种用于拟合数据的数学方法。

想象一下，我们有一堆数据点，就好像是散布在纸上的星星。

我们希望找到一条直线或者一个曲线，能够尽可能好地“穿过”这些数据点，使得这些点到这条线或者曲线的距离的平方和最小。

为了更直观地理解，咱们举个例子。

假设我们在研究一个人的身高和体重之间的关系。

我们收集了一些人的身高和体重的数据，把身高作为 x 轴，体重作为 y 轴，将这些数据点画在一个坐标系中。

如果我们随意画一条线来试图描述它们之间的关系，可能会发现很多数据点都偏离这条线很远。

这时候，最小二乘法就登场了。

它会通过一系列的计算，找到一条最能“贴合”这些数据点的线。

这条线不是随意画的，而是通过严格的数学运算得出的。

那么，它是怎么做到的呢？这就涉及到一些数学原理啦。

首先，对于一条直线，我们可以用方程y ＝ax ＋b 来表示。

其中，a 是斜率，b 是截距。

最小二乘法的目标就是找到最合适的 a 和 b 的值，使得所有数据点到这条直线的距离的平方和最小。

为了找到这个最优的 a 和 b，我们需要用到一些数学公式和计算。

假设我们有 n 个数据点（x₁, y₁)，（x₂, y₂)，，（xₙ, yₙ) ，我们要计算出每个点到直线的距离，然后将这些距离的平方相加。

计算距离的公式可以表示为：d₁＝ y₁（ax₁＋ b) ，d₂＝ y₂（ax₂＋b) ，以此类推。

然后将这些距离的平方相加，得到一个总和：S ＝（d₁²＋ d₂²＋＋ dₙ²) 。

接下来，就是通过求导等数学方法，找到使 S 最小的 a 和 b 的值。

这个过程可能有点复杂，但最终我们就能得到那条最能代表数据趋势的直线。

最小二乘法的应用非常广泛。

最小二乘限制结果范围

最小二乘限制结果范围最小二乘法是一种常用的数学方法，用于解决数据拟合问题。

它通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离的平方和，来确定最优的拟合曲线参数。

这种方法在众多领域中都有广泛的应用，如经济学、物理学、统计学等。

最小二乘法的应用范围非常广泛，其中一个重要的应用领域就是线性回归分析。

线性回归分析是利用最小二乘法来拟合一个线性模型，通过这个模型来描述观测变量之间的关系。

在线性回归中，我们希望找到一条直线，使得观测数据点到这条直线的距离之和最小。

除了线性回归，最小二乘法还可以应用于非线性模型的拟合。

在非线性回归分析中，我们希望找到一个非线性函数，使得观测数据点到这个函数的距离之和最小。

这种方法在生物学、医学等领域中都有广泛的应用。

最小二乘法在数据处理和信号处理中也有重要的应用。

在数据处理中，我们经常需要对观测数据进行平滑或去噪处理，最小二乘法可以帮助我们找到一个最优的平滑曲线或去噪函数。

在信号处理中，最小二乘法可以用于信号重构、参数估计等问题。

在实际应用中，最小二乘法还有一些限制。

首先，最小二乘法要求模型是线性的，如果模型是非线性的，我们需要进行线性化处理。

其次，最小二乘法对异常值比较敏感，一个异常值可能会对拟合结果产生较大的影响，因此需要对异常值进行处理。

另外，最小二乘法还要求观测数据之间是独立的，如果存在相关性，需要对数据进行相关性分析和处理。

最小二乘法是一种经典的数据拟合方法，但它也有一些局限性。

在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的拟合方法。

除了最小二乘法，还有其他的拟合方法，如最大似然估计、贝叶斯拟合等。

根据不同的问题和数据特点，选择合适的拟合方法可以提高拟合结果的准确性和可靠性。

最小二乘法是一种常用的数学方法，用于解决数据拟合问题。

它在线性回归、非线性回归、数据处理、信号处理等领域中都有广泛的应用。

尽管最小二乘法有一些限制，但在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的拟合方法，以获得更准确和可靠的拟合结果。