钢管下料的数学模型

钢管下料

一． 实验问题

某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm,28根315mm,21根350mm 和30根455mm 的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的1/20增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品），此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小，应如何下料。

二． 建立模型

决策变量：xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i =1,2,3,4)，

r 1i , r 2i , r 3i , r 4i ~第i 种切割模式下，每根原料钢管生产290mm 、315mm 、350mm 和455mm 长的

钢管的数量。

目标函数（总费用）：(p 表示原料钢管价格)

[])10/41()10/31()10/21()10/11(4321+++++++=x x x x p goal

43214.13.12.11.1.x x x x goal Min +++=即

约束条件：

条件1：满足客户需求 x 1r 11+x 2r 21+x 3r 31+x 4r 41≥15

x 1r 12+x 2r 22+x 3r 32+x 4r 42≥28

x 1r 13+x 2r 23+x 3r 33+x 4r 43≥21 x 1r 14+x 2r 24+x 3r 34+x 4r 44≥30

条件2：余料限制 0≤1850-290r 11-315r 12-350r 13-455r 14≤100

0≤1850-290r 21-315r 22-350r 23-455r 24≤100 0≤1850-290r 31-315r 32-350r 33-455r 34≤100 0≤1850-290r 41-315r 42-350r 43-455r 44≤100

条件3：四种模式下每根原料钢管切割次数的限制 r 11+r 12+r 13+r 14≤5 r 21+r 22+r 23+r 24≤5

r 31+r 32+r 33+r 34≤5 r 41+r 42+r 43+r 44≤5

条件4：四种切割模式使用频率的大小 x 1≥x 2,x 2≥x 3,x 3≥x 4

条件5：决策变量非负约束 x i ≥0,r ij ≥0 (i,j=1,2,3,4) 条件6：决策变量整数约束 x i ,r ij ∈ z

使用原料钢管数量的下限为（290×15+315×28+350×21+455×30）/1850=18.4 模式一：只切割290mm 的钢管需要3根原料钢管 模式二：只切割315mm 的钢管需要6根原料钢管 模式四：只切割350mm 的钢管需要5根原料钢管

模式五：只切割455mm的钢管需要8根原料钢管所以使用原料钢管数量的上限为3+6+5+8=22

条件7：18≤x

1+x

2

+x

3

+x

4

≤22

求出目标函数goal满足以上7个条件下的最小值，从而就能确定出决策变量x i,r ij 三．程序设计

用Lingo编写程序如下：

min=1.1*x1+1.2*x2+1.3*x3+1.4*x4;

x1*r11+x2*r21+x3*r31+x4*r41>=15;

x1*r12+x2*r22+x3*r32+x4*r42>=28;

x1*r13+x2*r23+x3*r33+x4*r43>=21;

x1*r14+x2*r24+x3*r34+x4*r44>=30;

1850-290*r11-315*r12-350*r13-455*r14>=0;

1850-290*r21-315*r22-350*r23-455*r24>=0;

1850-290*r31-315*r32-350*r33-455*r34>=0;

1850-290*r41-315*r42-350*r43-455*r44>=0;

1850-290*r11-315*r12-350*r13-455*r14<=100;

1850-290*r21-315*r22-350*r23-455*r24<=100;

1850-290*r31-315*r32-350*r33-455*r34<=100;

1850-290*r41-315*r42-350*r43-455*r44<=100;

r11+r12+r13+r14<=5;

r21+r22+r23+r24<=5;

r31+r32+r33+r34<=5;

r41+r42+r43+r44<=5;

x1+x2+x3+x4>=18;

x1+x2+x3+x4<=22;

x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);

@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);

@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24);

@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);

@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44);

end

四．计算结果

利用Lingo运行以上程序，得出如下结果：

采取三种切割模式（x4=0）,各切割模式如下表所示

290 315 350 455

x1=14 1 2 0 2

x2=4 0 0 5 0

x3=1 2 0 1 2

x4=0 1 0 3 1