4.4.3 不同函数增长的差异
数学 4.4.3 不同函数增长的差异-课件
际问题.
课前篇
自主预习
一
二
一、指数函数与一次函数、二次函数增长的差异比较
1.(1)阅读下面材料并回答问题
1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,
而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了
整个澳大利亚,数量达到75亿只,可爱的兔子变得可恶起来,75亿只
兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,
而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已.他们采用
各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液
瘤病毒杀死了百分之九十的兔子,澳大利亚人才算松了一口气.
想想看,澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75
亿只?
答案:由于兔子在适宜环境下,其繁育的数量呈指数增长趋势,指
能会大于kx,但由于logax的增长慢于kx的增长,因此总会存在一个x0,
当x>x0时,恒有logax<kx.
(2)对于y=logax(a>1)与y=x2也存在类似结论,即总会存在一个x0,
当x>x0时,恒有logax<x2.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数增长速度最快的是(
)
A.y=log2x
(2)对于y=ax(a>1)与二次函数y=x2也有这样的结论,即存在
x0∈(0,+∞),使当x>x0时总有 0 > 02 成立.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数中,增长速度最快的是(
)
A.y=2x
4.4.3 不同函数增长的差异(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
比的值大多少，在一定范围内， 可能会大于，但由于 的增长最终
会慢于的增长，因此总会存在一个0，当 > 0 时，恒有 < .
类比上述过程，
(1)画出一次函数 = 2��，对数函数 = 和指数函数 = 2 的图象，并
比较它们的增长差异；
位移比乙大；
③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是 4 km/h；
④当甲、乙运动了 3 h 后，甲的位移比乙大 3 km，但乙在甲前方 2 km 处．
其中正确的说法是
(
)
A．③
B．①②③
C．①③④
D．②③④
解析：经图象分析③是对的，故①错；对于②，甲、乙运动的时间显
然都是 5 h，因为甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 4 km/h，所以开始
170061120
y3
5
30
55
80
105
130
155
其中关于x呈指数增长的变量是
y2
解析：以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，三个变量 y1，y2，y3，
y4 均是从 5 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度
最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化．故填 y2.
3.如图，对数函数y=lgx与一次函数y=f(x)的图象有A，B两个
公共点, 求一次函数的解析式。
简析：设一次函数f ( x ) kx b
由函数图象得 A(1, 0)， B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
新课引入
我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、
人教A版高中数学必修一《4.4.3不同函数增长的差异》精品课件(31页)
【对点练清】 某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年) 的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符 合？并预测第8年的松树高度.
t/年 1 2 3 4 5 6 h/米 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
解：在坐标轴上标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示． 由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型 拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理． 不妨将(2,1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3. 故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题． 当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2， 故可预测第8年松树的高度为2米．
[方法技巧] 几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数 模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此 时的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此 时的函数模型是对数函数模型．
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
答案：D
4．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20 件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 ________________．
答案：y＝－14x＋50(0＜x＜200)题型一 三类函数模型增长差异来自比较(一)教材梳理填空
函数
在(0，＋∞) 上的增减性 随x的增大 函数图象
y＝kx(k＞0)
y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞ 1)
必修一4.4.3不同函数增长的差异
二、对数函数与一次函数的新增长知差探异 究
以
y
lg
x和
y
1 10
x为例，列新出对知应探值究表，画出图象．
完成的对应值表如下表，画出的函数图象如下图．
x
y lg x
y 1 x 10
0
不存在
0
10
Hale Waihona Puke 11201.301
2
30
1.477
3
40
1.602
4
50
1.699
5
60
1.778
4.4.3不同函数增长的 差异
整体感知
一次函数、指数函数、对数函数的增长，存在很大的差异．那么我们该 如何研究一次函数、指数函数和对数函数增长的差异呢？
由于我们对线性函数已经有了一定的认识，其变化规律非常直观：它在 整个定义域上的变化率恒定，即 y 为定值．所以线性函数可以作为一
x
把尺子，用来“度量”指数函数和对数函数的增长差异．基于以上分析， 我们可以分别比较指数函数与一次函数、对数函数与一次函数．
3
1
2
1.602 0.0125
4
10
2.5
1.699 0.0097
5
3
1.778 0.0079
6
…
…
…
…
…
追问2 对数函数y lgx和一次函数y 1 x, 是否存在一个x0，当x＞x0
时，恒有 lg x 1 x ？
10
10
随着x的增大，y＝ 1 x的增长速度会
10
超过并远远大于y＝lgx的增长速
新知探究
追问 一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝ logbx(b＞1)的增长有何差异？
第四章 4.4.3 不同函数增长的差异
4．4.3不同函数增长的差异学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适函数模型．知识点三种常见函数模型的增长差异函数性质y＝ax(a>1)y＝log a x(a>1)y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随x的增大匀速上升增长速度y＝a x的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝log a x的增长增长后果会存在一个x0，当x>x0时，有a x>kx>log a x思考在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有log a x<x n<a x成立？答案不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，log a x<x n<a x成立．1．当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值(不为0)，则y是x的一次函数．(√) 2．函数y＝log2x增长的速度越来越慢．(√)3．不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(×)4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有a x>2x(a>1)．(×)一、几个函数模型增长差异的比较例1(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2 020x B．y＝x2 020C．y＝log2 020x D．y＝2 020x答案 A解析比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快．(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：则关于x呈指数型函数变化的变量是________．答案y2解析以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．反思感悟常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”．跟踪训练1下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x2D．y＝6x答案 B解析D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．二、函数模型的选择问题例2某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x 之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为待定系数，x ∈N *)或函数y ＝g (x )＝pq x ＋r (p ，q ，r 均为待定系数，x ∈N *)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t ，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 解 根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝100，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝120，f (3)＝9a ＋3b ＋c ＝130.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝35，c ＝70.所以y ＝f (x )＝－5x 2＋35x ＋70.① 同理y ＝g (x )＝－80×0.5x ＋140.② 再将x ＝4分别代入①式与②式得 f (4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)， g (4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f (4)相比，g (4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y ＝g (x )＝pq x ＋r 作为模拟函数较好． 反思感悟 建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．跟踪训练2 某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y 万公顷关于年数x 的函数关系式大致可以是( ) A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x答案 C解析对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，更符合题意；对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.6<0.7，相差较大，不符合题意．三、指数函数、对数函数与幂函数模型的比较例3函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．解(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2 020>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 020)>g(2 020)．又因为g(2 020)>g(6)，所以f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6)．反思感悟指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练3甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下结论：①当x>1时，甲走在最前面；②当x>1时，乙走在最前面；③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．答案③④⑤解析四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确．1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是()A．y＝x2B．y＝log2xC．y＝2x D．y＝2x答案 D2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x －2.0－1.00 1.00 2.00 3.00y 0.240.511 2.02 3.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx答案 B解析 在坐标系中描出各点，知模拟函数为y ＝a ＋b x .3．甲从A 地到B 地，途中前一半路程的行驶速度是v 1，后一半路程的行驶速度是v 2(v 1<v 2)，则下图中能正确反映甲从A 地到B 地走过的路程s 与时间t 的关系的是( )答案 B4．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型：甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案 甲解析 把x ＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．5．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入约为________元．(精确到个位) (附：1.066≈1.42,1.067≈1.50,1.068≈1.59) 答案 4 500解析 根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，依题意有y ＝3 000×1.06x ，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x ＝7代入，即可求得y ＝3 000×1.067≈4 500.1．知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不理解三种函数增长的差异．1．(多选)当a>1时，下列结论正确的有()A．指数函数y＝a x，当a越大时，其函数值增长越快B．指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值增长越快C．对数函数y＝log a x，当a越大时，其函数值增长越快D．对数函数y＝log a x，当a越小时，其函数值增长越快答案AD解析结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．2．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x 1357911y1525456585105y2529245 2 18919 685177 149y35 6.10 6.61 6.957.27.4则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为()A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2答案 C解析通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变化符合此规律．3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()答案 C解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B. 4.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是( )答案 B解析 开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B 图象相吻合．5．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败)．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t (分)满足的函数关系式为h (t )＝m ·a t .若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果取整数)( ) A ．33分钟 B ．40分钟 C ．43分钟 D ．50分钟答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧h (10)＝ma 10＝0.1，h (20)＝ma 20＝0.2，解得a ＝1102，m ＝0.05，故h (t )＝0.05×1102t⎛⎫⎪⎝⎭，令h (t )＝0.05×1102t⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，得1102t⎛⎫⎪⎝⎭＝20，故t＝110lg 20lg 2＝1＋lg 2110lg 2≈10(1＋0.3)0.3≈43(分钟)．6．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 答案y＝x 2解析 当x 增加时，x 比ln x 增长要快， ∴x 2要比x ln x 增长的要快．7．已知函数f (x )＝3x ，g (x )＝x ，当x ∈R 时，f (x )与g (x )的大小关系为________． 答案 f (x )>g (x )解析 在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝3x ，g (x )＝x 的图象，如图所示，由于函数f (x )＝3x 的图象在函数g (x )＝x 图象的上方，则f (x )>g (x )．8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应________；B 对应________；C 对应________；D 对应________．答案 (4) (1) (3) (2)解析 A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应． 9．同一坐标系中，画出函数y ＝x ＋5(x ≥0)和y ＝2x (x ≥0)的图象，并比较当x ≥0时，x ＋5与2x 的大小．解 函数图象如图所示，根据函数y ＝x ＋5与y ＝2x 的图象增长差异得： 当0≤x <3时，x ＋5>2x ， 当x ＝3时，x ＋5＝2x ， 当x >3时，x ＋5<2x .10．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？解 A 种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B 种债券的半年利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100⎝⎛⎭⎪⎫1＋51.4－50502≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－9797，100元一年到期的本息和为100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋100－9797≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，应购买B 种债券．11．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )答案 A解析 分别画出y ＝2x ，y ＝x 2的图象， 由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y ＝2x －x 2的图象与x 轴有3个交点，故排除B ，C ； 当x <－1时，y <0，故排除D.12．近几年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是______________．答案 y ＝180(1＋x )10解析 1年后的价格为180＋180·x ＝180(1＋x )(万元)，2年后的价格为180(1＋x )＋180(1＋x )·x ＝180(1＋x )·(1＋x )＝180(1＋x )2(万元)，由此可推得10年后的价格为180(1＋x )10万元．13．若已知16<x <20，利用图象可判断出12x 和log 2x 的大小关系为________．答案 12x >log 2x解析 作出f (x )＝12x 和g (x )＝log 2x 的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，12x >log 2x ；x ＝4或x ＝16时，12x ＝log 2x ；在(4,16)内，12x <log 2x ；在(16,20)内，12x >log 2x .14．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt ，假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等，则n ＝________；若再过m 秒甲桶中的水量只有a 4升，则m ＝________.答案 －15ln 2 5 解析 ∵5秒后两桶的水量相等，则a e 5n ＝a 2⇒e 5n ＝12⇒n ＝15ln 12＝－15ln 2， 若k 秒后甲桶水量为a 4， 则a e nk ＝a 4，e nk ＝14⇒nk ＝ln 14⇒－15ln 2·k ＝－2ln 2， ∴k ＝10，∴m ＝10－5＝5.15．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．16．已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数．(1)求y＝f(x)的解析式；(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式成立的自变量x的取值范围：①log2x<2x<x2；②log2x<x2<2x.解(1)∵函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，∴f(x)＝2x.(2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得：22＝4,24＝42＝16，下面借助图象解决问题．①∵log2x<2x<x2，∴2<x<4，即x的取值范围为(2,4)；②∵log2x<x2<2x，∴0<x<2或x>4，即x的取值范围为(0,2)∪(4，＋∞)．。
4.4.3 不同函数增长的差异(课件)
数学 必修 第一册 A
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谢谢观看！
增长速 度固定
随x增大逐渐与 _____x_轴__平__行____
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度__越__来__越__快______，会远远大于y
＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度__越__来__越__慢______； ②存在一个x0，当x>x0时，有_a_x_>_x_n_>_lo_g_a_x_____
返回导航Βιβλιοθήκη 第四章 指数函数与对数函数探究二 函数模型的增长差异在函数图象上的体现
高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小 洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象 是( )
答案 B 解析 由图得水深h越大，水 的 体 积 v 就 越 大 ， 故 v ＝ f(h) 是 增 函 数，且曲线的斜率应该是先变大后 变小．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速 度越来越慢，即增长速度平缓．
数学 必修 第一册 A
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第四章 指数函数与对数函数
[跟踪训练 1] 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如表：
x1
5
10
15
20
25
30
y1 2 26
4.4.3不同函数增长的差异课件-高一上学期数学人教A版
投资1-6天，选方案一 投资7天，选方案一或二 投资8-10天，选方案二 投资11天及以上，选方案三
归纳总结
14
教材P144
三种函数模型的比较
17
三种三函种数函数模模型型的的比性质较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的 增减性
__增__函___数__
A．y＝0.2x B．y＝ 1 (x2＋2x) C．y＝2x
10
10
D．y＝0.2＋log16x
作业布置
D．y＝1－0.042
x
4100
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4 000 辆次，存车费为：电动自行车
0.3 元/辆，普通自行车 0.2 元/辆．若该天普通自行车存车 x 辆次，存车费总收入
为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为 ( C )
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
60 40
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
y=40
•
8 8 5148.20 9 9 102490.4 1010 2014400.08
•
•
20
•
•
•
••
•
•
•
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
读图和用图
由表和图可知：方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数 都是增函数，但二者增长情况很不相同.
具体来说，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的20 倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其增长 量是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多.这 种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.
课件4：4.4.3 不同函数增长的差异
[答案] (1)函数 f(x)，g(x)，h(x)随着 x 的增大，函数 值增大. (2)各函数增长的速度不同，其中 f(x)＝2x 增长得最快， 其次是 g(x)＝2x，最慢的是 h(x)＝log2x.
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝3x 比 y＝2x 增长的速度更快些．( ) (2)当 x>100 时，函数 y＝10x－1 比 y＝lgx 增长的速 度快．( ) (3)能用指数型函数 f(x)＝abx＋c(a，b，c 为常数，a>0， b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常 称为“爆炸型”函数．( )
本课结束
名师提醒 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时， 通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大， 图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是 对数函数．
[针对训练]
4．当 2<x<4 时，2x，x2，log2x 的大小关系是( )
名师提醒 不同函数模型的选取标准
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
[针对训练] 3．某学校为了实现 60 万元的生源利润目标，准备制定一 个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到 5 万元 时， 按生源利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随生源 利润 x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元， 同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x， y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
4.4.3 不同函数增长的差异(课件)
当堂达标
2.下图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )
A．一次函数
B．幂函数
C．对数函数
D．指数函数
C 解析：从图象可以看出这个函数的增长速率越来越慢，反映的 是对数函数的增长趋势．
当堂达标
3.下列函数中随 x 的增长而增长最快的是(
A.y＝ex
B.y＝ln x
C.y＝x10
) D.y＝2x
A 解析：指数函数增长最快。
当堂达标
1.（多选）已知函数 y1 x2, y2 2x , y3 x ，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ） A.随着 x 的逐渐增大， y1 增长速度越来越快于 y2 B.随着 x 的逐渐增大， y2 增长速度越来越快于 y1
C.当 x0, 时， y1 增长速度一直快于 y3 D.当 x0, 时， y2 增长速度有时快于 y1
例 2 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表：
x1 5
10
15
20
25
30
y1 2 26 101 226
401
626
901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10
20
30
40
50
60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322
问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立 函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建 立数学模型.
自主学习
二. 三种常见函数模型的增长差异
函数类型
指数函数
对数函数
一元一次函数
解析式 单调性
4.4.3 不同函数增长的差异
C．y＝120x
D．y＝0.2＋log16x
解析：用排除法，当 x＝1 时，排除 B 项；当 x＝2 时，排除 D 项；
当 x＝3 时，排除 A 项．故选 C.
由于本节课是在学习了一次函数、指数函数和对数函数后来讨论函数 的增长差异，所以在教学中首先对这三种基本初等函数进行复习，了解三 种基本初等函数的一些基本知识．研究函数的有关性质，一般都是通过图 象，所以本节课要多利用多媒体教学平台，先画出一些特殊类函数的图象， 让学生直观观察不同类函数的图象上升或下降情况，再将问题推广到一 般，得出不同函数增长的差异．
4．4 对数函数
4．4.3 不同函数增长的差异
本节课是在学习了一次函数、指数函数和对数函数之后对函数学习的 一次梳理和总结．本节课提出了函数增长快慢的问题，通过函数图象及三 个函数的性质，完成函数增长快慢的认知．既是对三种函数学习的复习， 也是后续学习的基础，对培养和发展学生直观想象、数学抽象、数学建模 和数学推理的核心素养有很大的帮助．
一、导入新课 一张纸对折一次，厚度变成原来的 2 倍．再对折第二次，变为原来的 2 的 2 次方倍即 4 倍．以此类推，假设纸的厚度为 0.1 mm，则对折 24 次 以后，长度超过 1 千米；对折 39 次达 55 球的距离；对折 51 次达 2.25 亿千 米，超过地球至太阳的距离；对折 82 次为 51 113 光年，超过银河系半径 的长度．不过，以上只是一些不符合实际的数学理论推理数字．为什么会 出现这样的现象呢？带着问题进入我们今天的学习．
g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数
h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋
∞)上，递减较慢，且越来越慢．
数学人教A版必修第一册4.4.3不同函数增长的差异课件
C.
)
D.
四.小结
一次函数：增长速度不变, 直线上升；
指数函数：增长先慢后快，指数爆炸；
对数函数：增长先快后慢，趋于平缓.
谢谢观看
2
y
2
在区间
上，
的图象高于
的图象，说明 2 x ；
在区间 (0,) 上， y 2 x 的图象高于 y 2 x 的图象，说明 2 x 2 x ；
2
x
二.问题探究
2.从增长方式来看：
y 2 x 的图象直线上升，说明增长速度不变
y 2 x 的图象曲线上升，且先平缓，然后越来越陡，说明增长速度先慢后快.
问题1：视察 = 2 和 = 2的图象，描述它们在[0, +∞)上的增长差异
二.问题探究
结论：
1.从图象的相对位置来看：
y
8
7
6
5
4
3
2
1
(2,4)
(1,2)
O
1
在区间 (0,1) 上， y 2 x 的图象高于 y 2 x 的图象，说明 2 x 2 x ；
x
x
(
1
,
2
)
y
2
x
当 x x0 时，恒有 loga x kx .
二.问题探究
小结
一次函数：增长速度不变, 直线上升；
指数函数：增长先慢后快，指数爆炸；
对数函数：增长先快后慢，趋于平缓.
三.典例剖析
1.三个变量1 ，2 ，3随自变量的变化情况如下表：
1
3
5
7
9
11
1
5
135
625
新教材人教A版4.4.3不同函数增长的差异课件(14张)
ab c 1,①
得 ab2 c 1.2,②
ab3 c 1.3,③
由①得ab=1-c,代入②③,
得
b(1-c) c 1.2, b2 (1-c) c 1.3,
则
c c
1.2-b , 1-b 1.3-b2
,
解得
b c
0.5, 1.4.
1-b2
则a=1-c =-0.8,源自b第四章 指数函数与对数函数
第四章 指数函数与对数函数
常见的函数模型及增长特点 y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来 越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”. 3.对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度 越来越慢,即增长速度平缓.
a b c 1,
a -0.05,
得 4a 2b c 1.2,解得b 0.35,
9a 3b c 1.3,
c 0.7,
第四章 指数函数与对数函数
∴yx2x+0.7. 由此得出结论:由此式计算得4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由 二次函数的性质可知,产量自4月份开始每月下降(图象开口向下,对称轴为x=3.5), 不符合实际. (3)令模拟函数为y=abx+c, 将A,B,C三点的坐标代入函数解析式,
∴y×x+1.4. 由此得出结论:把x=4代入,得y×4+1.4=1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣时,既要考虑误差最小,又要考虑生产的实际,如:增 产的趋势和可能性.经过筛选,以y×x+1.4模拟为最佳,一是误差小,二是由于 厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过 一段时间之后,如果不增加设备和工人,产量必然趋于稳定,而y×x 反映了这种趋势. 因此选用指数型函数y×x+1.4模拟比较接近客观实际.
4.4.3不同函数增长的差异课件(人教版)(1)
的人具有的函数关系是( D )
A.f1(x)＝x2 B.f2(x)＝4x C.f3(x)＝log2x
f4(x)＝2x
解：由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终 最前面的具有的函数关系为f4(x)＝2x，故选D
4.4.3 不同函数增长的差异
随堂练习
5.每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种情势的植树 活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现 有两种方案如下： 方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？
4.4.3 不同函数增长的差异
研探新知
知识点一 常见函数模型的比较
性质函数
y=ax (a>1)
y=logax (a>1)
y=kx (k>0)
在(0,+∞)
增
增
上的增减性
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定
增 增长速度固定
增长特点
随着自变量的增大,函数 随着自变量的增大,函数
值增大的速度越来越快, 值增大的速度越来越慢,
x1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
解：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而 A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保 持不变，故选C.
4.4.3 不同函数增长的差异
随堂练习
2.若 x 0,1，则下列结论正确的是( A )
1
A． 2x x2 lg x
解：根据题意，. 函数解析式为 y=1.104x（x＞0）函数为指数函数， 底数1.104＞1递增，选B
4.4.3 不同函数增长的差异
高中数学新人教A版必修第一册 4.4.3 不同函数增长的差异 课件(28张)
【知识延拓】三种函数模型的解析式及其增长特点的总结 (1)指数函数模型:解析式为f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>0,且b≠1),当 b>1时,增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为 “指数爆炸〞;当0<b<1时,函数值由快到慢地减少.
(2)对数函数模型:解析式为f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0,a>0,且a≠1), 当a>1时,增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变 化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长〞;当0<a<1时,相应函数值逐渐减少,变 化得越来越慢. (3)幂函数模型:解析式为f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1,α>0),其 增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型.
3.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指 数函数型变化,满足解析式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量.(参考数据 ln 2≈0.693 1) (1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少? (2)多少年以后将会有一半的臭氧消失? 【解析】(1)因为此函数是减函数, 【典例2】如图,平面图形中阴影局部面积S是h(h∈[0,H])的函数,那么该函数 的图象大致是 ( )
【思维导引】结合题意分析随h的变化S的变化情况,重点关注S的变化快慢
情况.
【解析】选D.由图可知,S随着h的增加而减小,并且减小的趋势在变慢,当 h=H 时,阴影局部的面积小于整个半圆面积的一半.
x与g((x1))=x
2
在区间(0,+∞)上的衰减情
A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快
4.4.3不同函数增长的差异
y
140
0.4 10
120
0.8
20 13.06
Hale Waihona Puke 1003.280
6.4
12.8
60
25.6
51.2
40
102.4 20
204.8
…
0
•
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••
•
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• •
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1
2
3
4
•
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•
•
y=40
•
•
•
x
5
6
7
8
9 10
列表法比较三种方案的日回报量
x/天
方案一
方案二
方案三
y/元 增长量/元是y/元否增投长资量/元4天以y/元内选方增案长量一/元 ，
天数
方案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二
10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8
增长速度，而指数函数y=ax (a>1)得值快 速增长，因此ax的增长快于kx的增长，那么
220
三个投资方案日回报图
方案一 方案二 方案三
200 180
y=0.4*2x-1
每 160 天 140 的 回 120 报 100
y=10x
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…
.4 2 8.8
∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资 八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2.已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运
动，其位移 y(单位：km)和运动时间 x(单位：h)(0≤x≤5)
的关系如图所示，给出以下说法：
[对点练清]
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是
()
A．y＝6x C．y＝x2
B．y＝log6x D．y＝6x
解析： D 中一次函数的增长速度不变，A、C 中函数的增长速度越来
越快，只有 B 中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意． 答案：B
2．“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y 的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是 ()
(2)0.6
[课堂思维激活] 一、应用性——强调学以致用 1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方
案的回报如下： 方案一：每天回报 40 元； 方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元； 方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？
401
626
901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10
20
30
40
50
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322
6.644
则关于 x 呈指数型函数变化的变量是________．
60 6.907
[解析] (1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指 数函数增长速度最快，故选 A.
该公司调整后利润 y 与产量 x 的关系，则可选用
()
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型 答案：D
D．对数函数模型
4．某种产品每件 80 元，每天可售出 30 件，如果每件定价 120 元，则每 天可售出 20 件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析 式为________________________________． 答案：y＝－14x＋50(0＜x＜200)
[对点练清] 某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度 h(米)与生长 时间 t(年)的相关数据，选择 h＝mt＋b 与 h＝loga(t＋1)来拟合 h 与 t 的关系，你认为哪个符合？并预测第 8 年的松树高度.
t(年) 1 2 3 4 5 6 h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
y＝kx(k＞0) __单__调__递__增__
y＝ax(a＞1) _单__调__递__增___
y＝logax(a＞1) _单__调__递__增_____
随 x 的增大 函数图象
保持增长 逐渐与_y_轴__平行 逐渐与_x_轴___平行
增长 共同点
在区间(0，＋∞)上，三种函数都是增__函__数____
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个 变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度 不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化．
[答案] (1)A (2)y2
[方法技巧] 比较函数增长情况的方法
[解] 作出函数 y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x 的图象(如图所 示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x 的图象都有一部 分在直线 y＝3 的上方，只有 y＝log5x 的图象始终在 y＝3 和 y＝0.2x 的下 方，这说明只有按模型 y＝log5x 进行奖励才符合学校的要求．
题型三 不同增长的函数模型的图象特征 [学透用活]
[典例 3] 函数 f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1 的图象如 图所示．
(1)指出图中 C1，C2 分别对应哪一个函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的 大小进行比较)．
[解] (1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线 C1 对应的函数为 g(x) ＝0.3x－1，
[解] 设第 x 天所得回报是 y 元． 由题意，方案一：y＝40(x∈N ＋)； 方案二：y＝10x(x∈N ＋)； 方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N ＋)． 作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在 第四天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案 二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验 证到第三十天，所得回报已超过 2 亿元， ∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三． 通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.
[典例 2] 某学校为了实现 60 万元的生源利润目标，准备制定一个 激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到 5 万元时，按生源利润进行 奖励，且奖金 y(单位：万元)随生源利润 x(单位：万元)的增加而增加，但 奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励模型： y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
①甲、乙运动的速度相同，都是 5 km/h；
②甲、乙运动的时间相同，开始运动后相等时间内甲的位移比乙大；
③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是 4 km/h；
④当甲、乙运动了 3 h 后，甲的位移比乙大 3 km，但乙在甲前方 2 km 处．
其中正确的说法是
()
A．③
B．①②③
C．①③④
D．②③④
解析：经图象分析③是对的，故①错；对于②，甲、乙运动的时间显 然都是 5 h，因为甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 4 km/h，所以开始 运动相等时间内甲的位移比乙大，故②正确；对于④，当甲、乙运动 了 3 h 后，甲的位移为 3×5＝15(km)，乙的位移为 3×4＝12(km)．又 因为乙是从甲前方 5 km 处开始运动的，所以甲的位移比乙大 3 km， 但乙在甲前方 2 km 处；所以④正确． 答案：D
4．4.3 不同函数增长的差异 1．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较一次函数、
指数函数、对数函数的增长速度的差异． 2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的现实
含义． 3．通过体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建
模的核心素养．
(一)教材梳理填空
函数 在(0，＋∞)上 的增减性
5
6 7 8…
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …
其中关于 x 呈指数函数变化的函数是________．
解析：从表格可以看出，三个变量 y1，y2，y3 都是越来越大，但是增
由图象判断一次函数、指数函数和对数函数的方法
根据图象判断增长型的一次函数、指数函数和对数函数时，通常是
观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数
是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．
[对点练清]
1．以下是三个变量 y1，y2，y3 随变量 x 变化的函数值表：
x 12 3 4
[方法技巧] 几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此 时的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍 增加，此时的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来 越小，此时的函数模型是对数函数模型．
() ()
(4)函数 y＝log2x 增长的速度越来越慢． 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
()
2．下列函数中随 x 的增大而增大且速度最快的是
()
A．y＝ex
B．y＝ln x
C．y＝3x
D．y＝e－x
答案：A
3．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期
利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映
长速度不同，其中变量 y1 的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，
可知变量 y1 呈指数函数变化，故填 y1. 答案：y1
2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消 毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的 含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比，药物释放完 毕后，y 与 t 的函数关系式为 y＝116t－a(a 为常数)， 如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时) 之间的函数关系式为________． (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学 生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过________小时后， 学生才能回到教室．
A．指数函数 y＝2t C．幂函数 y＝t3
B．对数函数 y＝log2t D．二次函数 y＝2t2
解析：根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到 右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增 长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选 A. 答案：A
题型二 函数模型的选择 [学透用活]
累积
天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
收益
方案
一
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 44 …
0
二
10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 66 …