2018届重庆中考复习：重庆中考几何题分类汇编(含答案)

重庆中考几何题分类汇编（含答案）

类型1 线段的倍分：要证线段倍与半，延长缩短去实验

例1 如图Z3－1，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB交AB于M，在AC的延长线上截取CN＝BM，连接MN 交BC于P，在CB的延长线截取BQ＝CP，连接MQ.

(1)求证：MQ＝NP；

(2)求证：CN＝2CP.

针对训练：

1．如图Z3－2，在?ABCD中，AC⊥BC，点E、点F分别在AB、BC上，且满足AC＝AE＝CF，连接CE、AF、EF.

(1)若∠ABC＝35°，求∠EAF的度数；

(2)若CE⊥EF，求证：CE＝2EF.

2．已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，E 为边AC 任意一点，连接BE. (1)如图①，若∠ABE＝15°，O 为BE 中点，连接AO ，且AO ＝1，求BC 的长；

(2)如图②，F 也为AC 上一点，且满足AE ＝CF ，过A 作AD⊥BE 交BE 于点H ，交BC 于点D ，连接DF 交BE 于点G ，连接AG.若AG 平分∠CAD，求证：AH ＝1

2

AC.

3．在△ACB 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 上一点，连接BD ，过点A 作AE⊥BD 于E ，交BC 于F.

(1)如图①，若AB ＝4，CD ＝1，求AE 的长；

(2)如图②，点G 是AE 上一点，连接CG ，若BE ＝AE ＋AG ，求证：CG ＝2AE.

4．在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，连接AD.

(1)如图①，E 是AC 的中点，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′，当AD ＝6时，求AE′的值．

(2)如图②，在AC 上取一点E ，使得CE ＝1

3AC ，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′交

BC 于点F ，求证：DF ＝CF.

类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验

例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，连接AD，在AD左侧作∠EAD＝45°交BD于

E.

(1)若AC＝3，则CE＝________(直接写答案)；

(2)如图①，M、N分别为AB和AC上的点，且AM＝AN，连接EM、DN，若∠AME＋∠AND＝180°，求证：DE ＝DN＋ME；

(3)如图②，过E作EF⊥AE，交AD的延长线于F，在EC上选取一点H，使得EH＝BE，连接FH，在AC上选取一点G，使得AG＝AB，连接BG、FG，求证：FH＝FG.

针对训练：

1．如图Z3－7，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF.

(1)若BE＝2EC，AB＝13，求AD的长；

(2)求证：EG＝BG＋FC.

2．如图，在正方形ABCD 中，点P 为AD 延长线上一点，连接AC 、CP ，过点C 作CF⊥CP 于点C ，交AB 于点F ，过点B 作BM⊥CF 于点N ，交AC 于点M.

(1)若AP ＝7

8AC ，BC ＝4，求S △ACP ；

(2)若CP －BM ＝2FN ，求证：BC ＝MC.

3．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以AB 为一边向外作菱形ABDE ，连接DC ，EB 并延长EB 交AC 于F ，且CB⊥AE 于G.

(1)若∠EBG＝20°，求∠AFE；

(2)试问线段AE ，AF ，CF 之间的数量关系并证明．

类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线

例3 如图Z3－10①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别为斜边AC上两点，且AD＝AB，CE＝CB，连接BD、BE.

(1)求∠EBD的度数；

(2)如图Z3－10②，过点D作FD⊥BD于点D，交BE的延长线于点F，在AB上选取一点H，使得BH＝BC，连接CH，在AC上选取一点G，使得GD＝CD，连接FH、FG，求证：FH＝FG.

针对训练：

1．如图，已知在?ABCD中，G为BC的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2.

(1)求证：E是AD中点；

(2)若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2，求证：CD＝BF＋DF.

2．如图Z 3－12，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，连接AE ，AF ，DE 、EF ，∠DAE ＝∠BAF. (1)求证：CE ＝CF ；

(2)若∠ABC＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG.求证：DG⊥GE.

3．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 与点B 在AC 同侧，∠ADC ＞∠BAC，且DA ＝DC ，过点B 作BE∥DA 交DC 于点E ，M 为AB 的中点，连接MD ，ME.

(1)如图①，当∠ADC＝90°时，线段MD 与ME 的数量关系是________；

(2)如图②，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图③，当∠ADC＝α时，求ME

MD

的值．

4．如图①，等边三角形ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE＝CD，连接BE.

(1)若CE＝4，BC＝6 3，求线段BE的长；

(2)如图②，取BE中点P，连接AP，PD，AD，求证：AP⊥PD且AP＝3PD；

(3)如图③，把图Z3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

5．在△ABC中，以AB为斜边，作直角三角形ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB＝90°.

(1)如图①，若AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝6 3，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM 的长；

(2)如图②，若AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP＝CP；

(3)如图③，若AD＝BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE＝EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系(不需要证明)．

类型4 中位线：三角形中两中点，连接则成中位线

例4 2017·河南如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想：图①中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________；

(2)探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

针对训练：

1．如图①，在任意的三角形ABC中，分别以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB＝AE，AC＝AD，且∠BAE＋∠CAD＝180°，连接DE，延长CA交DE于F.

(1)求证：∠CAB＝∠AED＋∠ADE；

(2)若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°，如图②，求证：BC＝2AF；

(3)若在△ABC中，如图③所示，作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB与DE交于点F，F为DE的中点，请问(2)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

2．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＋∠EAD＝180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.

(1)如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF；

(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．

3．如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.

(1)求证：△ABF是等腰三角形；

(2)如图②，BF的延长交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．

类型5 角的和差倍分

图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现．

角平分线平行线，等腰三角形来添．角平分线加垂线，三线合一试试看．

例5．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6 3，∠BAD＝60°，且AB＞6 3.

(1)求∠EPF的大小；

(2)若AP＝10，求AE＋AF的值．

针对训练：

1．已知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.

探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC.

2．在△ACB中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于

F.

(1)如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；

(2)如图②，点P是AC上一点，连接FP，若AP＝CD，求证：∠ADB＝∠CPF.

3．已知，在?ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE 于G，延长DG交BC于H.

(1)如图①，若点E与点C重合，且AF＝5，求AD的长；

(2)如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB.

4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP.当点M在边AD上移动时，连接BM、BP.

(1)求证：BM是∠AMP的平分线；

(2)△PDM的周长是否发生变化？证明你的结论．

类型6 旋转型全等问题：图中若有边相等，可用旋转做实验

例6．△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.

(1)观察猜想：如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：___________；(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考：如图Z 3－25②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

(3)拓展延伸：如图Z 3－25③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB

＝2 2，CD ＝1

4BC ，请求出GE 的长．

针对训练：

1．在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D＝180°，对角线AC 平分∠BAD.

(1)如图①，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由． (2)如图②，若将(1)中的条件“∠B＝90°”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由． (3)如图③，若∠DAB＝90°，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由．

2．如图①，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折得△AHE，延长EH交边CD于F，连接AF.

(1)求证：∠EAF＝45°；

(2)延长AB，AD，如图②，射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N，连接MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．

3．如图①，在正方形ABCD内有一点P，PA＝5，PB＝2，PC＝1，求∠BPC的度数．【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A(如图Z3－28②)，然后连接PP′.

(1)请你通过计算求出图Z3－28②中∠BPC的度数；

(2)如图③，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2 13，PB＝4，PC＝2.请求出∠BPC的度数．

重庆中考几何题分类汇编答案

例1. 证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵∠MBQ ＋∠ABC＝180°， ∠ACB ＋∠PCN＝180°，∴∠MBQ ＝∠PCN.在△QBM 和△PCN 中， ????

?QB ＝PC ，

∠MBQ ＝∠PCN，BM ＝CN ，

∴△QBM ≌△PCN(SAS)．∴MQ＝NP. (2)过M 作MG∥AC 交BC 于G ，

∵MG ∥AC ，∴∠MGB ＝∠ACB，∠MGC ＝∠PCN，∵由(1)知，∠ABC ＝∠ACB，∴∠ABC ＝∠MGB，∴MB ＝MG ，∵MB ＝CN ，

∴MG ＝CN.在△MGP 和△NCP 中， ????

?∠MPG＝∠CPN，

∠MGC ＝∠PC N ，MG ＝NC ，

∴△MGP ≌△NCP(AAS)． ∴PG ＝CP ，∴CG ＝CP ＋PG ，即CG ＝2CP.∵CM 平分∠ACB，

∴∠BCM ＝∠MCA，∵MG ∥AC ，∴∠MCA ＝∠GMC，∴∠BCM ＝∠GMC， ∴MG ＝CG ，∵MG ＝CN ，∴CN ＝CG ，∴CN ＝2CP. 针对训练

1. 解：(1)∵AC⊥BC，∴∠ACB ＝90°，又∵AC＝CF ，∴∠AFC ∠

ABC ＝35°，∴∠EAF ＝10°；

(2)证明：方法1：取CF 的中点M ，连接EM 、AM ，

∵CE ⊥EF ，∴EM ＝CM ＝FM ＝1

2

CF ，

又∵AC＝AE ，∴AM 为EC 的中垂线，∴∠CAM ＋∠ACE＝90°， 又∵∠ECF＋∠ACE＝90°，∴∠CAM ＝∠FCE，

又∵∠CEF＝∠ACM＝90°，∴△ACM ∽△CEF ，∴AC CM ＝CE

EF

，

又∵CF＝AC ＝2CM ，∴AC CM ＝CE EF ＝2

1

，即CE ＝2EF ；

方法2：延长FE 至M ，使EF ＝EM ，连接CM ， ∵CE ⊥EF ，∴△CMF 为等腰三角形，

又∵AC＝AE ＝CF ，且∠ACE＝∠CFE(易证)， ∴△CMF ≌△CEA ，∴FM ＝CE ＝2EF.

2. 解：(1)如图①，在AB 上取一点M ，使得BM ＝ME ，连接ME. 在Rt △ABE 中，∵OB ＝OE ，∴BE ＝2OA ＝2，

∵MB ＝ME ，∴∠MBE ＝∠MEB＝15°，

∴∠AME ＝∠MBE＋∠MEB＝30°，

设AE ＝x ，则ME ＝BM ＝2x ，AM ＝3x ，

∵AB 2＋AE 2＝BE 2，∴(2x ＋3x)2＋x 2＝22

，

∴x ＝6－2

2(负根舍弃)，

∴AB ＝AC ＝(2＋ 3)·

6－2

2

， ∴BC ＝2AB ＝3＋1.

(2)证明：如图②，作CP⊥AC，交AD 的延长线于P ，GM ⊥AC 于M. ∵BE ⊥AP ，∴∠AHB ＝90°，∴∠ABH ＋∠BAH＝90°，

又∵AB＝AC ，∠BAE ＝∠ACP＝90°，

∴△ABE ≌△CAP ，∴AE ＝CP ＝CF ，∠AEB ＝∠P， 在△DCF 和△DCP 中， ????

?CD ＝CD ，

∠DCF ＝∠DCP，CF ＝CP ，

∴△DCF ≌△DCP ，∴∠DFC ＝∠P，∴∠GFE ＝∠GEF，∴GE ＝GF ， ∵GM ⊥EF ，∴FM ＝ME ，∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE ，∴AM ＝CM ， 在△GAH 和△GAM 中， ?????∠GAH＝∠GAM，∠AHG ＝∠AMG，AG ＝AG ，∴△AGH ≌△AGM ，∴AH ＝AM ＝CM ＝12

AC.

3. 解：(1)∵AB＝4，∴AC ＝AB ＝

4. ∵CD ＝1，∴AD ＝AC －CD ＝3. ∵在Rt △ABD 中，∠BAC ＝90°，

∴BD ＝AB 2＋AD 2

＝5，

∵S △ABD ＝12AB·AD＝1

2

AE·BD，∴AE ＝2.4.

(2)证明：如图，在线段EB 上截取EH ＝AE ，并连接AH. ∵AE ⊥BD ，EH ＝AE ，∴AH ＝2AE. ∵BE ＝AE ＋AG ，∴BH ＝BE －HE ＝AG. ∵∠BAD ＝∠BEA＝90°，

∴∠ABE ＋∠BAE＝∠CAG＋∠BAE＝90°，

∴∠ABE ＝∠CA G.

∵BA ＝AC ，∴△ABH ≌△CAG ， ∴CG ＝AH ＝2AE.

4. 解：(1)∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点， ∴∠ADC ＝90°，∠ACD ＝45°.

在Rt △ADC 中，AC ＝AD÷sin45°＝2 3.

∵E 是AC 的中点，∴CE ＝1

2AC ＝ 3.

∵将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝3，∠ACE ′＝90°.

由勾股定理，得AE′＝CE′2＋AC 2

＝15.

(2)证明：如图，过B 作AE′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H. ∵∠ABH ＋∠BAF＝90°，∠CAF ＋∠BAF＝90°，∴∠ABH ＝∠CAF.

又∵AB＝AC ，∠BAH ＝∠ACE′＝90°，∴△ABH ≌△CAE ′.

∴AH ＝CE′＝CE ，∵CE ＝1

3

AC ，∴AH ＝HE ＝CE.

∵D 是BC 中点，∴DE ∥BH ，∴G 是AD 中点．

在△ABG 和△CAF 中：AB ＝AC ，∠BAD ＝∠ACD＝45°，∠ABH ＝∠CAF，

∴△ABG ≌△CAF.∴AG ＝CF.∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝1

2

CD.∴DF＝CF.

类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验 例2：解：（1）3

（2）证明：延长DN 到K ，使得NK ＝ME ，连接AK ，如图①，

在△AME 和△ANK 中，

????

?AM ＝AN ，

∠2＝∠3，ME ＝NK ，

∴△AME ≌△ANK (SAS)．∴AE ＝AK ，∠4＝∠5， ∴∠4＋∠EAC ＝90°，∴∠5＋∠EAC ＝90°，即∠EAK ＝90°，∵∠EAD ＝45°，∴∠KAD ＝∠EAK －∠EAD ＝90°－45°＝45°∴∠EAD ＝∠KAD .在△EAD 和△KAD 中， ????

?EA ＝KA ，

∠EAD ＝∠KAD ，AD ＝AD ，

∴△EAD ≌△KAD (SAS)，

∴ED ＝KD .∵DK ＝DN ＋KN ，∴ED ＝DN ＋KN ， 又NK ＝ME ，∴ED ＝DN ＋ME .

(3)证明：延长AE 到J ，使得EJ ＝AE ，连接JH ，JF.如图②，

在△ABE 和△JHE 中， ????

?AE ＝JE ，

∠AEB ＝∠JEH，BE ＝HE ，

∴△ABE ≌△JHE(SAS)， ∴JH ＝AB ，∠1＝∠2，∵AB ＝AG ，∴JH ＝AG ，

∵AE ＝EJ ，EF ⊥AJ ，∴AF ＝JF ，∴∠JAF ＝∠AJF＝45°，

即∠2＋∠3＝45°，∵∠BAC ＝90°，∴∠1＋∠EAD＋∠4＝90°， ∴∠1＋∠4＝90°－∠EAD，＝90°－45°＝45°， ∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4， 在△JHF 和△AGF 中，

????

?JH ＝AG ，

∠3＝∠4，JF ＝AF ，

∴△JHF ≌△AGF(SAS)，∴FH ＝FG.

针对训练：

1. 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC. ∵BE ＝2EC ，设CE ＝x ，BE ＝2x ，∴BC ＝AD ＝AE ＝3x.

又∵EG⊥AB，∴∠AEB ＝90°，∴AB 2＝AE 2＋BE 2

，

即13＝9x 2＋4x 2

，∴x ＝1，∴AD ＝3x ＝3.

(2)证明：如图，过C 作CH⊥AB 于H ，则四边形CHGF 为矩形．∴CF ＝HG ，∠CHB ＝90°，GF ＝CH.

∵AE ⊥BC ，EG ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠CHB＝90°，

∠BCH ＋∠B＝90°，∠BAE ＋∠B＝90°，∴∠BCH ＝∠BAE. 又∵AE＝BC ，∴△AGE ≌△CHB ，∴GE ＝BH ，AG ＝GF ， ∴GE ＝BH ＝BG ＋GH ＝BG ＋CF.

2. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，BC ＝4， ∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝4，∠ADC ＝∠ABC＝90°.

∵在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2

＝4 2，

∴AP ＝78AC ＝7

2 2，

∴S △ACP ＝1

2

AP·CD＝7 2.

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ＝BC ＝DC ，∠ABC ＝∠BCD＝∠ADC＝90°.

∵∠BCD ＝90°，CF ⊥CP ，∴∠1＋∠DCF＝∠2＋∠DCF＝90°，

∴∠1＝∠2，∵在△FBC 和△PDC 中，????

?∠FBC＝∠3，

BC ＝DC ，∠1＝∠2，

∴△FBC ≌△PDC(ASA)，∴CF ＝CP ，

∵CP －2FN ＝BM ，∴CF －FK ＝BM ，即CK ＝BM ，

∵∠FBC ＝90°，BM ⊥CF ，∴∠1＋∠NBC＝∠4＋∠NBC＝90°，

∴∠1＝∠4，∵在△ABM 和△BCK 中，

????

?AB ＝BC ，∠4＝∠1，BM ＝CK ，

∴△ABM ≌△BCK(SAS)，∴∠7＝∠6.

∵BM ⊥CF ，NK ＝NF ，∴BF ＝BK ，∵BF ＝BK ，BM ⊥CF ，∴∠4＝∠5， ∴∠4＋∠7＝∠5＋∠6，∵∠8＝∠4＋∠7，∴∠8＝∠MBC，∴BC ＝

解：方法二：如图②，延长BM 交AD 于点G ，过A 作AE⊥BG 于E

先证△AEB≌△BNC(AAS)，∴AE ＝BN ，

又证△AEG≌△BNF(AAS)，∴EG ＝NF ，

再证四边形BCPG 为平行四边形，∴BG ＝CP ，

∵CP －BM ＝2FN ，∴BG －BM ＝2EG ，∴MG ＝2EG ，∴点E 为MG 中点， ∵AE ⊥MG ，EM ＝EG ，∴AM ＝AG ，∴∠3＝∠4， ∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠1＝∠2， ∴BC ＝MC.

3. 解：(1)∵∠EBG＝20°，CB ⊥AE ，

∴∠BEG ＝70o

，∠CBF ＝∠EBG＝20°，

∵四边形ABDE 是菱形，∴∠ABE ＝∠BEG＝70°， ∴∠ABG ＝50°，

∵AB ＝BC ，∴∠FCB ＝25°， ∴∠AFE ＝∠CBF＋∠FCB＝45°；

(2)AE ，AF ，CF 之间的数量关系是AF 2＋CF 2＝2AE 2

， 证明如下：连接DF ，

∵四边形ABDE 是菱形，∴AB ＝DB ，∠DBE ＝∠ABE，∴∠DBF ＝∠ABF，∵BF ＝BF ，∴△DBF ≌△ABF(SAS)，

∴DF ＝AF ，∠BDF ＝∠BAF，∵∠BCF ＝∠BAF，∴∠BCF ＝∠BDF， ∵CB ⊥AE ，AE ∥DB ，∴DB ⊥CB ，

∵CB ＝AB ＝BD ，∴△DBC 是等腰直角三角形， ∴DC ＝2BD ＝2AE ，

∵∠DPB ＝∠CPF，∴∠CFP ＝∠DBP＝90°，∴DF 2＋CF 2＝DC 2

，

即有：AF 2＋CF 2＝2AE 2

.

类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线 例3解：(1)设∠BEC ＝α，∠BDA ＝β，则 ∠C ＝180°－2α，∠A ＝180°－2β. ∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，

∴∠A ＋∠C ＝90°，即180°－2α＋180°－2β＝90°，

∴α＋β＝135°，∴∠EBD ＝45°.

(2)证明：法一：如图①，延长BD 至点B′，使得DB′＝DB ，连接FB′、GB′.

在△GDB′和△CDB 中，????

?GD ＝CD ，

∠GDB ′＝∠CDB，B ′D ＝BD ，

∴△GDB ′≌△CDB.∴GB ′＝BC ＝BH ，∠GB ′D ＝∠CBD.

∵FD ⊥BD ，BD ＝DB′，∴FB ＝FB′. ∵∠FB ′G ＝45°－∠GB′D，

∠HBF ＝90°－45°－∠CBD＝45°－∠CBD， ∴∠FB ′G ＝∠HBF.

在△FHB 和△FGB′中，

????

?HB ＝GB′，

∠HBF ＝∠GB′F，BF ＝B′F，

∴△FHB ≌△FGB ′，∴HF ＝GF.

法二：如图②，延长FD 至点F ′，使得DF ′＝DF ，连接BF ′.

先证△DGF ≌△DCF ′， 再证△BHF ≌△BCF ′，

∴HF ＝GF . 针对训练

1. 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C . 又∵∠1＝∠2，

∴△ABE ≌△CDG (ASA)，∴AE ＝CG .

∵G 为BC 中点，∴CG ＝1

2

BC ，

∴AE ＝CG ＝12BC ＝1

2

AD ，

∴E 是AD 中点．

(2)如图，延长BE ，CD 交于点H. ∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB 綊CD ，∴∠A ＝∠ADH，∠1＝∠4， 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，

∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴FH ＝FB. 由(1)，E 是AD 中点，∴AE ＝DE ，

∴△ABE ≌△DHE(AAS)，

∴AB ＝DH ，

∴CD ＝AB ＝DH ＝DF ＋FH ＝DF ＋BF ， 即CD ＝BF ＋DF.

2. 证明：(1)在菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠ADF ＝∠ABE， ∵∠DAE ＝∠BAF，

∴∠DAE －∠EAF＝∠BAF－∠EAF，

即∠DAF＝∠BAE.

∴△DAF ≌△BAE ，∴BE ＝DF. 又∵BC＝CD ，∴CE ＝CF

(2)如图，延长DG 交AB 于H ，连接EH ，