直线与平面的垂直、平面与平面等与垂直关系

即A1 B1是D1 B1在平面 A1 B1 BA上的射影。
D1 B1 A1是直线 D1 B1和平面 A1 B1 BA所成的角。
在RtD1 B1 A1中，D1 B1 A1 45
直线D1 B1和平面 A1 B1 BA所成的角是 45
43
(2)求直线D1B和平面ABCD所成角的正切值。
证明：设 AC 与 BD 交于点 E. ∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴PA⊥BD. AD 3 BC 又 tan∠ABD＝ AB ＝ 3 ，tan∠BAC＝AB＝ 3， ∴∠ABD＝30° ，∠BAC＝60° ， ∴∠AEB＝90° ，即 BD⊥AC. 又 PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC.
D′ B ′
C
A′ D
C B
A
证明： 连接BD ∵正方体ABCD-A′B′C′D′ ∴DD ′⊥正方体ABCD ∵AC、BD 为对角线 ∴AC⊥BD ∵DD ′∩BD=D ∴AC⊥△D ′DB ∴AC⊥BD ′
D′ A′ D A B′
C′
C
B
6.2线面垂直的性质
复习
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
6.1一.直线与平面垂直的判定与性质
1、线面垂直定义：
一般地，如果一条直线 l 与平面α上的任何 直线都垂直，那么我们就说直线 l与平面α垂直， 记作： l ⊥. l 直线 l 叫做平面的垂线， 平面叫做直线l的垂面， l 与的交点P叫做垂足. P

画法：画直线与平面垂直时， 通常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直。
简述为：线面垂直 线线垂直
直线与平面垂直的性质2：
推论1
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于这个平面． (P39页)
a / /b 符号语言： a
图形语言：
b

a b
O
直线与平面垂直的性质3：
推论2
a 符号语言： b
图形语言：
36
A'
M
l
A
O

O'
例1、如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）线段AB1在面BB1D1D中的射影 （2）线段AB1在面A1B1CD中的射影
线段B1O
D1 A1 B1
C1
D A
O
C B
例1、如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）线段AB1在面BB1D1D中的射影 （2）线段AB1在面A1B1CD中的射影
线段B1E
C1 B1
D1 A1
E
D A B
C
38
思考一：通过观察比萨斜塔，如 果把斜塔看成斜线，地面看成面， 如何用数学知识来描述斜塔的倾 斜程度呢？如何求得呢？ 思考二：异面直线所成的角是 如何定义的？
线面所成的角
转化为两相交直线所成角来定义
思考三：那么斜线与平面所成 角是否也可类比定义，转化为 两相交直线所成的角？
7
mn P

m
n
例3 已知：bα，c α,b∩c=E， β∩γ=a，c⊥β，b⊥γ。 求证Biblioteka Baidua⊥α。 证明： ∵ ∴ ∵ ∴ ∵
a
β
γ
b⊥β， β∩γ=a， b⊥a ； α c⊥γ，β∩γ=a， c⊥a ； b∩c=E， bα， cα, ∴ a⊥α。
b
E
c
例3 已知：正方体中，AC是面对角线， BD′是与AC 异面的体对角线。 求证：AC⊥BD′ 证明： 连接BD ∵正方体ABCD-A′B′C′D′ ∴DD ′⊥正方体ABCD ∵AC、BD 为对角线 ∴AC⊥BD ∵DD ′∩BD=D ∴AC⊥△D ′DB ∴AC⊥BD ′
a l P l
O
g
b
B

A
C
P1
4
练习
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断
这条直线和这个平面垂直？
2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断
这条直线和这个平面垂直？ 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判 断这条直线和这个平面垂直？
4 、如果三条直线共点、且两两垂直，其中任一条直 线是否垂直于另两条直线确定的平面？为什么？ 5 、如果一条直线垂直于一个三角形的两边，能否断 定这条直线和三角形的第三条边垂直？为什么？ 6、 如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂 直于这个平面内的无数条直线。

M
O
斜线上一点与垂足间的线段叫做这个点到平面的垂线段。 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平 面上的射影。
35
思考：直线l在平面上的射影与点A在l上的取法是 否有关？ 假设在直线l上另取点A'（异 于M），在面AMO内过A'作 A'O'//AO交MO于点O'。 因为AO⊥平面 ， 所以A'O'⊥平面 。 所以直线l在平面 上的投影是直线MO' （即MO） 直线l在平面上的射影与点A在l上的取法无关！ 即对于任意一条斜线在平面内的射影是唯一的！
但经过斜足的直线有无数条，选 取哪条直线与斜线所成的角来定 义直线与平面所成的角呢？
由于斜线在一个平面内的射影是确定的，而面内其 39 它的直线却具有不确定性！
探究：斜线与射影所成角和斜线与平面内任 意一条直线的所成角之间的大小关系？
A
O
C
B
斜线与射影所成角是斜线与平面内任意一条直线 的所成角中的最小值！
P
A E H B D
C
线线垂直
线面垂直
线线垂直
练习
1、如图，空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这 条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直 C 相交 D 不确定
C A

B
2 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的 距离相等，则这条直线和平面的位置是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交
E A

D
B

C
练习
52.如图, 在三棱锥V ABC 中, VA VC , AB BC
求证VB AC
V
.D
A
C
B
练习
6.如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,满
足MA=MC,求证:
AC 平面BDM
M
D
C
O
A B
练习
7.如图，在空间四边形ABCD中, PA⊥面ABC, AC⊥BC, 若AE ⊥ PB,AF ⊥ PC 求证：EF⊥PB
例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1 的中点，判断下列结论是否正确？ × ①AC⊥面CDD1C1
√ ②AA 1⊥面A1B1C1D1
√ ③AC⊥面BDD1B1
√ ④EF⊥面BDD1B1
√ ⑤AC⊥BD1 √ ⑥BD⊥A1F
25
例4、已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD。 求证：PO⊥平面ABCD
40
3、直线和平面所成的角 规定斜线 l 与其在平面 上的射影OM所成的锐角 叫做直线 l 与平面 所成的角。 规定： 当直线 l 与平面 垂直时，它们所成的角等于90 若直线 l 与平面 平行或直线 l 在平面 上时，它 们所成的角为0 。
l
A
O

41
M
说明：
(1)直线和平面所成角的范围是
0 , 2
(2)斜线和平面所成角的范围是 0, 2
42
例2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中的棱长为1， (1)求直线D1B1和平面A1B1BA所成的角；
A1 D D 平面 A1 B1 BA 解： 1是 D D1在平面 A1 B1 BA上的射影是 A1 , 1 1 B1上的点，且

定理6.3 如果两条直线同时垂直于一个 平面，那么这两条直线平行．
a // b
a b
O
简述为：线面垂直 线线平行
例1.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 是圆上一点,且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC
P
A C
O
B
例2.如图，P是△ABC所在平面外的一点， PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , H是△ABC 的垂心 , 求证：PH⊥平面ABC
即时训练： 如右图所示，P为△ABC所在平面外一
点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，
AF⊥PC于F. 求证：(1)BC⊥平面PAB； (2)AE⊥平面PBC； (3)PC⊥EF.
证明：(1)∵PA⊥平面ABC， BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
已知： a // b, a , 求证： b
在上作两条相交直线
a
b
P
a ,m ,n , a m, a n, a // b b m, b n, m n P b

30
N
2、直线l和平面的距离 设直线 l 平行于平面，在直线 l 上任取一点M， 我们把点M到平面的距离叫做直线 l 和平面的距离。
l
M

N
31
3、平面和平面的距离 设平面平行平面，在平面上任取一点M，我 们把点M到平面的距离叫做平面和平面的距离。
M

N

32
二.直线与平面所成的角
mn P l l m, l n
简记为：线线垂直
符号表示： m ,n
l

P
m
n
线面垂直
直线与平面垂直的性质1：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于面上任意直线．（定义）
a 符号语言： b
图形语言：

ab
a b
O
(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE. ∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC. (3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC， ∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，
∴PC⊥平面AEF.
而EF⊂平面AEF，∴PC⊥EF.
空间图形中的有关距离： 1.点与点的距离、点与线的距离、线与线的距离。 2.点 M 和平面的距离 设M是平面外一点，过点M作平面α的垂线， 垂足为N，我们把点M到垂足N之间的距离叫做点 M M和平面的距离。
P
D A
26
C
O
B
[例5※]
如右图，在底面为直角梯形的
四棱锥P－ABCD中，AD∥BC,∠ABC＝90°，
PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，
BC＝6.
求证：BD⊥平面PAC.
要证BD⊥平面PAC，只需在平面PAC内寻求两相交直线与BD 垂直，而PA显然与BD垂直，故只需证BD⊥AC.
练习
3、在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行； （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行； （3）平行于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。 正确的是（ ） A.(1)(3)(4) B.(1)(4) C.(1) D.都正确。
练习
4.已知 : = CD, EA , EB . 求证 : CD AB .
解： D1是D1 B上的点，且 D1在平面 ABCD上的射影是 D,
1
线面垂直直观图的画法：
a


m
a

n

2
2.线面垂直的判断定理: 如果直线 l 与平面 上的两条相交直线 a、b 都垂 直，那么直线 l 与平面垂直。
已知： a , b , a b O，l a , l b 求证： l
3
已知：a , b , a b O，l a, l b 求证：l
1、平面的斜线 当直线 l 与平面 相交且不垂直时，叫做直线 l 与平面 斜交，直线 l 叫做平面α的斜线。
斜线 l 与平面 的交点M叫做斜足，斜线上一点 与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。
l
A

M
34
2、射影 设直线 l 与平面 斜交于点 M，过 l 上任意点 A （异于点M），作平面 的垂线，垂足为O，我们把 点O叫做点A在平面 上的射影，直线OM叫做直线 l 在平面 上的射影。 l 思考：直线l在平面上的 A 射影与点A在l上的取法是 否有关？
P
E
F
A
B
C
3.线面垂直的性质（公理） (1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；
(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。
直线和平面垂直的性质
1.一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直
于平面内的任意直线． 2.垂直于同一平面的两条直线平行,垂直于同一 直线的两平面平行． 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面。