【优课】高中数学选修2-3课件：4.1简单计数问题 (共19张PPT)

素的
叫做从n个不同元素 中取出m个元素的排 列数.
所有不同组合的个数
，
叫做从n个不同元素中
取出m个元素的组合数.
排列数公式
组合数公式
Anm＝
复
公 式
n(n－1)(n－2) …(n－m＋1)
习
＝ n！
(n－m)！
回
顾
Cnm＝AAmnmm＝
＝ n(n－1)…(n－m＋1) m！
n！ m！(n－m)！
性 (1)Ann＝ n！ ； 质 (1)An0＝ 1 ；
有多少种不同的分法？ 76
2、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,
他们到各自的一层下电梯,下电梯的方
法 78
。
议 探究三 ：环排问题线排法 把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上，它有多少 展 种不同的排法？ 解：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列， 顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列， 而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是 相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、 末位之分，下列n个普通排列：
(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先
排甲、乙两人有A22种方法，再从剩下的5人中选3人 排到中间，有A53种方法，最后把甲、乙及中间3人看 作一个整体，与剩余2人全排列，有A33种方法．故共 有A22·A53·A33＝720种．
探究二：重排问题的求幂法
议
展 1、把6名实习生分配到7个车间实习,共
3、某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲 类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应 结果。现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用。 问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？
球放盒模型
1、(1)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放 一个球，共有多少种放法？ (2)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放一个 球，共有多少种放法？
解（1）由于球都相同，盒子不同，每盒至 多放一个球，所以，只要选出5个不同的盒子， 就可以解决问题.这是一个组合问题. 因此，5个相同的球，放入8个不同的盒子， 每盒至多放一个球，共有 C85 56 种放法.
（2）由于每盒至多放一个球，所以，第1 个球有8种放法，第2个球有7种放法，… …， 第5个球有4种放法.
所以，共有 A85 =8×7×6×5×4=6720种放法.
样品抽样问题
2、在100个零件中有80个正品，20个次品，从中 任意选2个进行检测，其中至少有一个次品的选法 有多少种？
解 分类计数. 第一类：只有一个次品，另一个是正品， 有C801C201 =80×20种选法. 第二类：两个都是次品，有 C800C202 =1×（20×19÷2）种选法. 根据加法原理，其中至少有一个次品的选法共有 80×20+ 1×（20×19÷2）=1 790.种选法.
§4.1简单计数问题
高二数学备课组
教学目的、要求： 1、计数问题的处理：分类加法和分步乘法原理；
导
2、附带条件计数问题或类似排列或组合问题的处理方法:
直接法和间接法
3、特殊类型及方法
(1)特殊元素或特殊位置的优先安排法（两优法）；
(2)相邻问题的捆绑法；
(3)不相邻问题的插空法；(4)定序问题Fra bibliotek相除法(缩倍法)；
展
解 (1)从7个人中选5个人来排列，有A75＝ 7×6×5×4×3＝2 520种．
(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A73种方 法，余下4人排在后排，有A44种方法， 故共有A73·A44＝5 040种． (3)(两优法) 方法一：甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其 余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3 600种． 方法二：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非 甲的6个人中选2个排列，有A62种方法，中间5个位 置由余下4人和甲进行全排列有A55种方法，共有 A62×A55＝3 600种．
(5)多排问题的单排法；
(6)重排问题的求幂法；
(7)环排问题的线排法；
(8)分组分配问题的先选后排法；
(9)元素相同问题的隔板法。
重点及难点：
掌握附带限制条件的计数问题或类似排列或组合问题的
处理方法。
导
排列与排列数
组合与组合数
1.排列：从n个不同元
素中取出m(m≤n)个 1.组合：从n个不同元素
3、某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质 按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放 入某种液体中，观察反应结果。现有符合条件的3 种甲类物质和5种乙类物质可供使用。 问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有 的实验结果？
解 第一步：放入甲类物质，共有A32种方案. 第二步：放入乙类物质，共有A53种方案. 根据乘法原理， 共有A32 A53=3×2×5×4×3=360种方案. 因此，共要进行360次试验，才能得到所有 的实验结果.
议
探究一：有3名男生、4名女生，在下列不同条件
下，求不同的排列方法总数． (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．
元素，
按
中取出m(m≤n)个元
复 习
按照一定的顺序排成一列，素 合成一组 ，叫做从n
叫做从n个不同元素 个不同元素中取出m个 中取出m个元素的一 元素的一个组合.
回 定 个排列.
顾
义
2.排列数：从n个不同 元素中取出m(m≤n) 个元素的
2.组合数：从n个不同元 素中取出m(m≤n)个元
所有不同排列的个数
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起 进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列， 也有A44种方法，故共有A44×A44＝576种．
(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以
应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出 的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法，故共 有A44×A53＝1 440种．
(2)0！＝ 1 (2)Cnm＝ Cnn－m (3)Cnm＋Cnm－1＝Cn＋1m
备 注
n，m∈N*且m≤n
思 1、(1)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放
一个球，共有多少种放法？ (2)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放一个 球，共有多少种放法？
2、在100个零件中有80个正品，20个次品，从中任意选2 个进行检测，其中至少有一个次品的选法有多少种？