电场强度与电势梯度的关系
电场强度与电势
电场强度与电势
电场强度（E）和电势（V）是描述电场特性的两个重要参数。
电场强度是指单位正电荷在某点所受到的力的大小。
它的方向与力的方向相同，单位是牛顿/库仑（N/C）。
电势是指单位正电荷从无穷远处移动到某点所需的功。
它的单位是伏特（V）。
电势是标量量，它描述了电荷在电场中的势能。
电场强度和电势之间存在以下关系：
1. 电场强度为负梯度电势：E = -∇V
这个公式表示电场强度是电势的负梯度，其中∇是梯度算子。
2. 电场强度和电势的关系：E = -dV/dr
这个公式表示电场强度是电势对位置的导数，其中dV/dr表示电势对位置的变化率。
3. 电场强度和电势的关系：V = -∫E·dl
这个公式表示电势是电场强度积分后的结果，其中∫E·dl表示电场强度沿路径l的线积分。
在一维情况下，电势和电场强度之间的关系可以通过上述公式进行计算。
在三维情况下，电势和电场强度之间的关系需要考虑电场的分布情况，并使用泊松方程或拉普拉斯方程进行计算。
总之，电场强度描述了电场中的力的大小和方向，而电势描述了电荷在电场中的势能。
电场强度和电势之间存在一定的关系，可以通过公式进行计算。
大学物理(5.5.1)--电势叠加原理电场强度与电势梯度
※ 电势叠加原理
点电荷系
E Ei
i
VA
E dl
A
n
i n1
A Ei dl
Vi
i 1
点电荷
V
q 4πε0r
q1
r1
q2 q3
r2
r3
A
VA
n
Vi
i 1
n i 1
qi 4 π ε0ri
E3 E2
E1
2/20
电荷连续分布时 dq dV体
VA
VB
Q 4πε0
(1 rA
1 rB
)
V
(r)
Q 4πε0r
Q dr
4πε0 rA r 2
（ 4 ）r R
V
(r)
rR
E
dr
R
E
dr
Q 4πε0 R
V
Q 4π 0 R
Q 4π0r
o
AB
R
rA
r
oR
r
rB
10/20
例 4 求 “无限长”带电直导线的电势附近的电势 .
解
VP
rB r
dq
r R
o
x
o
x
Px
6/20
带电圆环的电势 :
VdVP 44ππεε00
dqq xx22Rr 2
例 2: 求通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面的轴
线上任意点的电势 .
V
1 4πε0
R 2πrdr
0 x2 r2
x R
x2
R2
x
R2 2x
V
Q 4πε0 x
dq 2πrdr
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度是电学中两个非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
电势梯度是指电势在空间中的变化率，而电场强度则是指单位电荷在电场中所受到的力的大小。
在电学中，电势梯度和电场强度的关系是非常紧密的，它们之间的关系可以用以下公式来表示：
E = -∇V
其中，E表示电场强度，V表示电势，∇表示梯度运算符。
这个公式告诉我们，电场强度的大小与电势梯度的大小成反比。
也就是说，当电势梯度越大时，电场强度就越小；反之，当电势梯度越小时，电场强度就越大。
这个公式的意义可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个电荷为Q的点电荷，它在空间中产生了一个电势场。
如果我们想知道在某一点P处的电场强度，我们可以通过以下步骤来计算：
1. 首先，我们需要计算出点P处的电势V。
2. 然后，我们需要计算出点P处的电势梯度∇V。
3. 最后，我们可以通过公式E = -∇V来计算出点P处的电场强度E。
这个例子告诉我们，电势梯度和电场强度之间的关系是非常密切的。
在电学中，我们经常使用这个公式来计算电场强度，从而更好地理解电场的性质和行为。
电势梯度和电场强度是电学中两个非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
电场强度的大小与电势梯度的大小成反比，这个关系可以用公式E = -∇V来表示。
在电学中，我们可以通过这个公式来计算电场强度，从而更好地理解电场的性质和行为。
电场强度与电势梯度的关系
电场强度与电势梯度的关系
电场与电势是相互关联的，电势是电场的线积分，电场是电势的变化梯度，即电势的求导，电势变化越快的地方电场越强，有一个特殊的地方，电势零点可以任意选取，电场不为零的地方电势可以为零，电势为零的地方电场可以不为零电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
1、电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
2、场强与电势的关系：场强和电势无因果关系。
场强的方向是电势降落最快的方向，场强大小标志着沿电场线方向电势降落的快慢，场强数值和电势数值无因果关系。
3、电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
4．场强与电势的关系：场强和电势无因果关系。
场强的方向是电势降落最快的方向，场强大小标志着沿电场线方向电势降落的快慢，场强数值和电势数值无因果关系。
电场线假设与等势面不垂直，那么沿等势面就有分量，这样电荷在沿等势面移动时电场力就可做功，故假设不正确。
因此，电场线应与等势面垂直。
电场线越密处，电荷所受电场力大，移动相同距离电场力做功多也可能是克服电场力做功多，故在此处沿电场线方向移动相同距离比疏处电势差大。
那么相邻等势面差值一样时，电场线越密处等势面也越密。
8.5电场强度与电势梯度的关系
E
ds
等势面——规定、性质、梯度
gradU
U n
n
三、 q、E、U 三者关系网
1、 q E
E
1
4 0
dq r3
r
sE
ds
1
0
vdv
2、 q U
U
1
4 0
dq r
U LE dl
3 E U
U LE dl
势面2，电场力做功
dA qE dl
qEdl cos
en
1
2
P1
en P2
P3
qEdn
V V+dV
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电场力做功等于电势能的减少量 dA q dU
E dU dn
场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。
E Een 写成矢量形式
E
第一章 真空中静电场小结
一、理论体系：
出发点
：叠 库加 仑原 定理 律
高斯定理 环路定理
电场为有源场 电场是有势场
二、内容：
1、一个定律 ： 2、两个定理 ：
F
q1q2
4 0
r r3
E
ds
1
dv
s
0 v
l E dl 0
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则 dn dl cos
dU dU cos
dl dn
2
P1
en P2
P3
U U+dU
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定义电势梯度
1.6 电场强度与电势的微分关系
V E n
V E en n
V
V+dV
E与 V 的关系
V E 大小: n 方向：沿V 减小方向
V 大小:
V n
dln
e n
Q
q
dl
P
方向：沿V增大方向
E
V E e n gradV V n
E V
V V lim n n 0 n
U E
两方向微商的关系：
V V cos l n
P n l
Q R
U U
V V V V V lim lim lim cos cos l l 0 l n0 n / cos n0 n n
V Q 4 0 R 2 x 2
小
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
结
计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理
V
i
4 0 ri （分立）
qi
E
i
V
dq 4 0 r
Q
（连续）
E
2、可有
r dq （连续） Q 4 r 3 0
qi r 4 0 ri3 （分立）
§1.6 电场强度和电势梯度的关系 1.6.1 等势面
空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面. 为了 描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等. (等势面的疏密反映了场的强弱)
点 电 荷 的 等 势 面
V12 V23
V El
dl2 dl1
E2 E1
两平行带电平板的电场线和等势面
三.同一问题中能否选取不同的电势零点 例：均匀外电场 E0 中置入一点电荷 q 求空间任意一点的电势 .p 解：把坐标原点选取在点电荷所
电场强度与电势梯度关系的简单推导方法
） （ 器 Ｉ ； ｖ － — ｒ 【 ） ＝ 一 Ｅ ，
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２—０ ９ —０ ６
基金项 目： 国家 自然科学基金专项基金项 目（ １ １ ０ ４ ７ ０ １ ９ ） ； 安徽省 自然科学基金项 目（ １ １ ０ ４ ０ ６ ０ ６ Ｍ１ ５ ） ． 作者简 介： 黄时 中（ １ ９ ５ ７ 一） ， 男， 安徽宿松人 ， 教授 ， 博士 ， 主要从事大学物理和理论物理方面的教学与研究工作 ． 引用格式 ： 黄时 中， 张丹丹 ． 电场强度与电势梯度关系的简单推导方法 ［ Ｊ ］ ． 安徽师范大学学报 ： 自然科学 版， ２ ０ １ ３ ， ３ ６ （ ２ ） ： １ ２ ３ —１ ２ ４
强度 分别 为
＝ ＝
图 １ 单 个 点 电荷 情 形
４ 丌 Ｅ ０ √（ ｚ—Ｉ ｚ ｉ ） ２ ＋（ —ｙ ｉ ） ２ ＋（ ｚ一 ） ２ ’
和
置 ＝
其 中
Ｅ 妇 ＝
＝Ｅ ＋Ｅ ＋ Ｅ ，
（ ２ ）
， Ｅ ＝
， Ｅ 娩 ＝
（ ３ ）
由如下 简单 的微分 运算
疑惑 、 有似懂 非懂 的感 觉 ． 本文 以 电势叠 加原 理和场 强叠加 原 理 为基础 ， 给 出严格 推 导 电场强 度 与 电势 梯度
关系 的一种 非 常 简 单 的方 法 ． 这 种 简 单 的推 导 过 程 可 以
方便 地在 大学物 理学 课程 中进 行讲 授 【 ０ ， ． 众 所周 知 ， 对于 给定 的 电荷分 布 ， 电场 中任一 点 Ｐ 的 电势 与场 中的电场 强度之 间的关 系为 积分关 系 ， 即
（ ４ ｃ ） ）
直接得到 置 与 之间的微分关系
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系电势梯度与电场强度是电学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的联系和相互依赖关系。
本文将从电势梯度和电场强度的定义、计算方法以及它们之间的关系等方面展开阐述。
我们来了解一下电势梯度和电场强度的定义。
电势梯度是指电势在空间中变化的快慢程度，表示为电势的变化率。
电场强度是指单位正电荷所受的力的大小和方向，表示为电场力的大小。
电势梯度的计算方法是通过对电势函数沿着某一方向求偏导数，即电势梯度等于电势函数在某一方向上的偏导数。
电场强度的计算方法是通过库仑定律得到的，即电场强度等于单位正电荷所受力的大小。
接下来，我们来探讨电势梯度和电场强度之间的关系。
根据定义可知，电场强度是电势梯度的负梯度，即电场强度与电势梯度具有相反的方向。
这是因为电势梯度表示电势的变化率，而电场强度表示单位正电荷所受的力的大小和方向，二者之间存在着直接的关系。
进一步地，我们可以通过电势梯度和电场强度的性质来理解它们之间的关系。
首先，电势梯度的方向指向电势变化率最快的方向，而电场强度的方向指向力的作用方向。
由于力的方向是电势下降最快的方向，所以电势梯度的方向与电场强度的方向相反。
电势梯度的大小与电场强度的大小成正比。
根据电势梯度的定义可知，电势梯度的大小等于电势函数在某一方向上的偏导数。
而根据电场强度的定义可知，电场强度的大小等于单位正电荷所受力的大小。
由于电场力与电势梯度具有相反的方向，所以电场强度的大小与电势梯度的大小成正比。
我们可以通过具体的例子来进一步说明电势梯度和电场强度之间的关系。
假设有一个点电荷位于原点，我们要计算该点电荷在距离原点某一点的电场强度。
首先，我们可以通过库仑定律计算出该点电荷在距离原点某一点的电势。
然后，我们可以通过计算电势在该点的梯度得到该点电荷在该点的电场强度。
根据电势梯度和电场强度的关系可知，电场强度的大小与电势梯度的大小成正比，方向与电势梯度的方向相反。
电势梯度和电场强度之间存在着密切的关系。
9-5 电场强度与电势梯度的关系
qE dl q[U (U dU)] qdU 即： E dl dU
ˆ) (dxi ˆ) ˆ Ey ˆ ˆ dyˆ E dl ( Exi j Ez k j dzk
Ex dx Ey dy Ez dz
又因电势是空间坐标的函数U=U(x,y,z)，因此，对 电势的微分可表示为：
课堂练习：利用场强与电势梯度的关系，计 算均匀带电圆盘中心轴线上的场强。
dr
R
r
o
x
P
x
Up
R
2rdr
4 0
0
2 2 [ R x x] 2 2 2 0 r x
U Ex x
U Ey y
U Ez z
U x Ex [1 ] 2 2 x 2 0 R x
例、在x－y平面上，各点的电势满足下 面的式子：
ax b U 2 2 2 2 x y (x y )
式中的x、y为任一点的坐标，a、b为常 数。求任一点电场强度的Ex和Ey分量。
U Ex x
U Ey y
2
U Ez z
U a 2ax bx Ex 2 2 2 2 2 2 2 3/ 2 x x y (x y ) (x y )
U ˆ U ˆ U ˆ 在数学上，我们将 ( i j k) x y z
定义为电势U的梯度，用gradU或U表示，即：
U ˆ U ˆ U ˆ gradU U i j k x y z
“梯度”是指一个物理量的空间变化率，电 势梯度当然就是指电势的空间变化率。注意： 电势梯度是矢量,其大小等于电势变化最快 的方向上的电势变化率，方向与等势面正交 且指向电势升高的方向。
5-5 电场强度与电势梯度的关系
2
2
P 2 2 4 x y 4 0 ( x 2 y 2 ) 2
P(0,y) y E -q
-L/2
讨论：
1. 在X轴上，y=0，则
Ex P 20 x 3 P 40 y
Ey 0
3
2. 在Y轴上，x=0，则
Ex
+q
O
L/2
P(x,0)
Ey 0
E
x
与用叠加原理得到的结果一致。
1 1
E
en
P2
P1
P3
V
V+dV
例1 试由电偶极子的电势分布求其的电场强度。 解： 在直角坐标系中先写出电势的表达式，
1 q 1 q q r r V 40 r 40 r 40 r r
L cos P cos 2 2 40 r 4 0 r Px 40 ( x 2 y 2 ) 3 / 2 q
P3
V
则 dn dl cos
V+dV
定义电势梯度
dV grad V en dn
单位:V/m
其量值为该点电势增加率的最大值。 方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。 电势梯度与电场强度的关系 2
en
电荷q从等势面1移动到等 势面2，电场力做功
1
en P1
dA qE dl qE dl cos qE den
例2 将半径为R2 的圆盘在盘心处挖去半径为R1的小孔,并 使盘均匀带电.试通过用电势梯度求电场强度的方法,计算这 个中空带电圆盘轴线上任一点P处的电场强度.
解：设圆盘上的电荷 面密度为 轴线上任一点p 到中空圆盘的 距离为x，在圆 盘上取半径为r 宽为dr的圆环 ，环上所带电 z 荷为
高二物理竞赛课件：电势的梯度求电场强度
dx
F
dF
q Edq
Q
al Q
a 40 x2
dx
棒上所有电荷的电势能
al Q
Ep a
dx
4 0 x
40a(a l )
Q
Q a l
（2）球在 x 处电势 V 4 0 x
ln 40 a
2
自己做本章小结：
概念 E U
场性质 有源场 无旋场
规律 高斯定理 环路定理
方法
E ,U ,F ,W 的计算
l
F
q
q
F E
故偶极子不平动。 合力矩：
M 的方向
M
M
2F
P
l 2
sin qEl
E
M使 p
sin
转向
E
pE
sin
2
电荷在外电场中的静电势能 任何电荷在静电场中都具有势能，叫的静电势能。
1、点电荷在外电场中的静电势能
设 q0 在静电场中a、b两点的静电势能分别为Epa、Epb， 将q0 由 a b 电场力（保守力）所作的功为：
E p qiVi
i1
2
连续带电体在外电场中的静电势能
dE p dq V
Ep
dE p
Vdq
q
注意：
标量积分。
dqq
E
10 Ep有正、负之分.
20 点电荷在外电场中的静电势能是属于该电荷与场源电 荷这个电荷系所共有的。（是相对量）
30 Ep的单位：J（常用单位还有“eV”）1eV 1.60 1019 J
例10、求电子在原子核电场中的电势能（电子距核r）。
解：电子处在电位为 V Ze 的位置，
Ep
电场强度与电势
电场强度与电势电场强度和电势是物理中的两个重要概念，也是研究电学领域的基础。
电场强度是指某一点上电场的大小和方向，而电势则是指某一点的电位与参考点的电位之差。
本文将详细介绍电场强度和电势的概念、计算方法以及它们的应用。
一、电场强度电场强度定义为单位正电荷在电场中受到的力的大小和方向。
在国际单位制中，电场强度的单位为牛顿/库仑(N/C)。
在某一点的电场强度的大小和方向决定了该点上其它电荷的受力情况。
电场强度可以用库仑定律计算，该定律描述了点电荷间的相互作用力与它们之间距离平方的关系，即：F=k×Q1×Q2/r2 ，其中k为库仑常数，Q1和Q2分别为两个点电荷的电量，r为它们之间的距离。
当不止一个电荷存在时，可以采用叠加原理，将每个点电荷产生的电场强度矢量相加，得到这一点所有点电荷产生的合成电场强度。
二、电势电势是在电场中一个电荷单位正电荷所具有的电势能。
电势是标量量，通常用符号V表示。
在国际单位制中，电势的单位是伏特(V)。
电势差是指两个点之间的电势差异，它等于两点之间的电场强度积分值。
电势差可以用如下公式计算：ΔV=Vb-Va=Wab/Q0，其中Vb、Va分别为电场中的两个点的电势，Wab表示从点a到点b在电场中移动的势能，Q0为一个参考电荷的电荷量。
三、电场强度与电势的关系电场强度与电势是密切相关的，电场强度是电势的负梯度。
在电位场中单位正电荷所受的电场力与沿着电势线的方向相反，大小为电势在此方向上的梯度，即：E=−ΔV/Δl。
由此可以得到电场强度和电势的关系式：E=−∇V ，其中∇是表示偏导数算符，称为“nabla算符”。
四、电场强度与电势的应用电场强度和电势在电学领域有广泛的应用，例如在电容器中电荷能够通过电场从一个极板传输到另一个极板；在电路中由于电势的差异，电子流能够产生，从而完成电能的转换和传输；在静电场中，通过对电势分布的计算，可以确定电荷在空间中的分布。
在计算实际问题中，我们通常需要根据具体情况选择使用电场强度或电势，或同时结合使用两者。
电场强度和电势梯度
02
安装电荷分布装置，确保电荷分布均匀且稳 定。
04
使用电势计测量电荷分布装置周围的电势 。
使用测量尺测量不同位置之间的距离。
05
06
根据实验数据，计算电势梯度并验证其与 电场强度的关系。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
静电屏蔽在日常生活中也有很多应用，如手机、电视等电 子产品的外壳都采用了静电屏蔽设计，以降低外界电磁干 扰对设备性能的影响。
05
电场强度和电势梯度的 物理意义
电场强度的物理意义
描述电场对电荷的作用力
衡量电场能量密度
电场强度是描述电场对电荷作用力的 物理量，其大小表示单位电荷在电场 中受到的力。
电场强度的大小可以用来衡量电场的 能量密度，即单位体积内的电场能量。
决定电场力的方向
电场强度的方向与正电荷所受电场力 的方向相同，与负电荷所受电场力的 方向相反。
电势梯度的物理意义
描述电场力做功的能力
电势梯度表示电场力做功的能力，即电荷在电场中移动时，电场 力所做的功与电荷移动的距离的比值。
决定电荷移动的方向
在静电场中，电荷受到电场力的作用而移动，其移动的方向与电势 梯度的方向一致。
详细描述
电势梯度表示电场中某一点处电势值的变化趋势，其大小等 于该点处单位距离内电势的变化量。在三维空间中，电势梯 度是一个矢量，其大小等于电场强度在该方向的分量，方向 指向电势增加的方向。
电势梯度的计算
总结词
电势梯度的计算涉及到矢量运算和导数概念。
详细描述
在直角坐标系中，电势梯度可以通过对电势函数求偏导数得到。具体地，假设电势函数为 (V(x, y, z))，则电势梯 度为 (nabla V = frac{partial V}{partial x}i + frac{partial V}{partial y}j + frac{partial V}{partial z}k)，其中 (i, j, k) 分别表示沿 (x, y, z) 轴方向的单位矢量。
大学物理7.10 场强与电势的微分关系 电势梯度.
2015/2/5
DUT 常葆荣
1
1、等势面
（1）沿等势面移动电荷，电场力不作功 。
A12 Q U1 U2
同一等势面上
0
P2
特 点
（2）dA等势Q面E处 d处r 与同电一力等势线面正上交0。
Q 0 E 0 d r 0
U1 U2 dU E cos dl
E
dU dl
U
l
E cos
El El
l 为任 意方向
电场强度在某方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值
U x
Ex
0 dl dn
U y
Ey
dU E dn
U z
Ez
沿着 E 的方向
举例说明。
r
U E
（1）场强相等的区 域，电势处处相等 （）
Q
（3）电势为零处， 场强一定为零 （）
q
-
.
O
+q
Q
（2）场强为零处，
电势一定为零 （）
R
（4）场强大处，电 势一定高
（5）电势不变的空间，场强处处为0 （）Biblioteka （）2015/2/5
DUT 常葆荣
E
dr
（3）电场线总是指向电势降低的方向
+
UaUb Uc
P1
（当规定相邻两等势面的电势差为定值后） （4）等势面稠密处 —— 电势变化快
电场强度大
2015/2/5
大学物理 电场之四(E-U关系和导体)
花法 放拉 电第 的对 屏 蔽 千 实 伏 验 火
800
例
导体 A和B 同心放置
如图
A
已知:壳外表面的带电量 q 球壳B的外半径 R
R
q
B
求:壳B的电势
UB
R
E dl
q 4 0 R
作 业
习题P323-324
7-31,7-35,7-36,7-38,7-39
实心导体：净电荷只分布在导体表面 2) 腔内有带电体：
未 引 入 q1 时
引 入 q1 后
q2
q1 + q1
q 1+q 2
总结
处于静电平衡时的导体
1.电荷只分布在导体的表面, 导体内部无净电荷 2.孤立导体面电荷分布 曲率大的地方，电荷面密度大 曲率小的地方，电荷面密度小 3.导体表面附近的场强 4.空腔导体 • 内部无电荷时,电荷只分布在导体表面
U El l
即电场强度在 l方向的分量值 等于电势在 l方向的方向导数的负值
2. 场强和电势的微分关系
在直角系中
U Ex x U Ey y U Ez z
3. 电势梯度矢量:
E Ex i E y j Ez k
i j k x y z
1 2
2 2 0
P 2 0
1 2 0
1， 2
由电量守恒
1 2
1 1 2
x
导体体内任一点P场强为零
1 2 0 2 0 2 0 2 0
1 2 2
例2 金属球A与金属球壳B同心放置
求:1) 电量分布
B
A
说明 1. 规定: 画等势面时,相邻等势面电势差相等
电势的提度
电势的提度
在匀强电场里，我们称两点间的电势差V和沿场强方向的距离l 的比为匀强电场的电势梯度，或称为匀强电场的电势陡度。
电势梯度用于描述电场中电势沿某一方向的变化率。
电势梯度概念
在匀强电场里，我们称两点间的电势差V和沿场强方向的距离l 的比为匀强电场的电势梯度，或称为匀强电场的电势陡度。
电势梯度基本原理
在匀强电场里，我们有V=El（有的版本是U=Ed，就是两点间的电势差等于电场强度和两点在场强方向的距离的乘积），把这个等式变换为：E=V/l，我们就可以得出这样一个结论：电场强度等于电势梯度，并指向电势降落的方向。
理论可以证明，这最后一个结论，不仅对匀强电场适用，而且对任何别种电场也都适用。
但由于电势梯度，除匀强电场之外，一般都不等于V/l，所以上面的等式只对匀强电场适用。
在厘米·克·秒制静电单位系中，电势梯度的单位为静伏/厘米。
匀强电场的电势梯度在数值上等于沿场强方向相隔1厘米两点间的电势差的静伏数。
电势梯度在数值上的负值等于该点场强沿相同方向发分量。
电场中的电势梯度与电场强度
电场中的电势梯度与电场强度电场是物理学中的一个重要概念，它描述了电荷之间相互作用的力。
而电势则是描述电场中一个点的性质，它是用来度量电场对电荷所做的功。
电场强度和电势梯度是电场的两个重要性质，它们之间有着紧密的联系。
首先，让我们来了解一下电场强度。
电场强度是指单位正电荷在电场中所受到的力。
如果我们把一个正电荷放置在电场中的某一点，它将受到一个由电场引起的力。
这个力的大小和方向就是电场强度的大小和方向。
电场强度用E来表示，它的单位是牛顿每库仑（N/C）。
电场强度是一个向量，它的方向与电场力的方向相同。
在均匀电场中，电场强度的大小是恒定的，并且与电势差的变化率有关。
而在非均匀电场中，电场强度的大小和方向都可能会随着位置的改变而改变。
我们可以使用电场线来表示电场强度的方向和分布情况。
接下来，让我们来了解一下电势梯度。
电势梯度是指电势随着距离的变化率，它的大小和方向描述了电势在空间中的变化情况。
电势梯度用∇V来表示，其中∇是梯度运算符，V是电势。
电势梯度与电场强度之间存在一个重要的关系：电场强度等于电势梯度的相反数。
简单来说，电场强度是电势梯度的反向。
这是因为电势梯度描述了电势在空间中的变化情况，而电势力是电势随着距离变化的导数。
由此可以得出，电场强度指向电势值减小的方向。
这一关系可以用数学公式来表示：E = -∇V。
这意味着，如果我们已知电势的分布情况，就可以通过计算电势梯度来确定电场强度的大小和方向。
同时，如果已知电场强度的分布情况，我们也可以通过积分计算电势的分布情况。
这种关系在解决电场问题时有着广泛的应用。
例如，在求解电场力的问题时，我们可以通过计算电场强度和电荷的乘积来得到力的大小。
而在求解电势分布的问题时，我们可以通过计算电势梯度的积分来得到电势的分布情况。
总之，电场强度和电势梯度是描述电场的两个重要性质。
它们之间有着紧密的联系，电场强度等于电势梯度的相反数。
通过研究电场强度和电势梯度，我们可以更好地理解电场的性质，解决相关的物理问题。
电场强度和电势梯度的关系
电场中任一点的电场强度等于该点电势梯度 的负值
——电场强度与电势的微分关系
电场中某点的场强仅与该点电势的空间变化率 有关，与该点电势值本身无直接关系
电场强度的单位可以用 V/m 来表示 提供一种计算场强的方法
9.5 电场强度和电势梯度的关系
例题 试由电偶极子电场的电势分布 求电偶极子的电场强度
小结
一、等势面
二、等势面与电场线的关系
三、电势与电场强度的关系
积分关系 微分关系
Q
U PQ VP VQ
E dl
P
E V gradV
演示程序：点电荷的等势面 演示程序：均匀带电球面的等势面 演示程序：电偶极子的等势面 演示程序：两个点电荷的等势面
9.5 电场强度和电势梯度的关系
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.5 电场强度和电势梯度的关系
身体各部分的电势会随着心脏跳动而发生变化, 记录这个变化（电势差）就得到了心脏跳动的情况
lim V dV l0 l dl
E
A
l
B
V V
V
El
dV dl
El
V l
电场中某一点的电场强度沿任一方向的分量，
等于这一点沿该方向上电势变化率的负值
9.5 电场强度和电势梯度的关系
El
V l
E V ln
V
E
ln
enΒιβλιοθήκη 电势梯度V lnen
E
A
l
B
V V
V
大小等于电势沿等势面法向的空间变化率
E dl
P
E V gradV
9.5 电场强度和电势梯度的关系
概念检测
已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观 察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作 出下列几点结论，其中哪点是正确的？
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系电势梯度和电场强度都是描述电场的物理量，它们之间有着密切的关系。
电场是由电荷引起的力场，其中的电势是描述电场中各点的状态的物理量。
电势梯度描述了电势在空间中的变化率，其值与电场强度有着相应的关系。
首先，定义电势梯度为在某一点上电势随距离的改变率，即：\begin{aligned}\vec{\nabla} \phi(\vec{r}) = \lim_{\Delta l \rightarrow0} \frac{\Delta\phi}{\Delta l}\end{aligned}其中，$\phi(\vec{r})$为电场在点$\vec{r}$处的电势，$\Delta \phi$是在距离为$\Delta l$的两点处的电势差。
$\vec{\nabla}$是梯度算子，它是一个向量算子，表示在空间中的某点上升最快的方向。
电势梯度的方向和大小表示在该点上电势变化最快的方向和速率，是一个三维向量。
电场强度是电场中单位电荷所受的力，可以定义为：其中，$\vec{F}$是单位电荷在该点所受的电场力，$q$是单位电荷的电荷量。
因此，电场强度的单位是牛/库仑（N/C)。
根据库仑定律，电荷之间的相互作用力和作用距离的平方成反比，因此电场强度和距离的平方成反比。
如果电荷Q在空间中产生了一个电场，则当某一点在电荷处更靠近时，电场强度就越大，距离远离电荷时电场强度就越小。
通过对电场强度的定义可以知道，在电场中单位电荷所受的力等于电场强度，而电场中的电势是电场强度在电荷运动时沿伸路径上的积分，即：其中，$a$和$b$是描述伸路径的两个端点，$d\vec{l}$是伸路径上的微小长度元素。
在空间中的任一点，电场中的电势梯度是与电场强度密切相关的。
通过对电势梯度的定义，你可以知道在某一点上，电势沿着梯度的方向呈最大的变化，也就是说，在某一点上，电势梯度的大小就是电场强度的大小。
因此，电场强度可以表示为电势梯度的大小，方向与其相同，即：这个等式称为“电场-电势关系”，它表明在某一点上，如果知道了电势梯度，则可以求得电场强度的大小和方向。
10章(4)
+
p
•q
0
9、 真空中有一电量为 的点电荷，在与它相距为 的 a 点处有 、 真空中有一电量为Q 的点电荷，在与它相距为r 一试验电荷q 现使试验电荷q 点沿半圆弧轨道运动到b 一试验电荷 。现使试验电荷 从 a 点沿半圆弧轨道运动到 则电场力作功为[ D ] 点，则电场力作功为 Qq πr 2 Qq A) Q B) 2r 2 q 2 4 πε 0 r 2 4 πε 0 r • •
C
]
D
]
A）若高斯面内无净电荷，则高斯面上 E 处处为零。 ）若高斯面内无净电荷， 处处为零。 B）若高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有净电荷。 ） 处处不为零，则该面内必有净电荷。 C）若高斯面内有净电荷，则高斯面上 E 处处不为零。 ）若高斯面内有净电荷， 处处不为零。 D）若通过高斯面的电通量为零，则高斯面内的净电荷 ）若通过高斯面的电通量为零， 一定为零。 一定为零。
E (A) O E (C) O R E∝1/r r E∝1/r r E (B) O E (D) O R E∝1/r r R E∝1/r r
6、一半径为R的均匀带电球面，其电荷面密度为 ．若规定 、一半径为 的均匀带电球面 其电荷面密度为s． 的均匀带电球面， 无穷远处为电势零点， 无穷远处为电势零点，则该球面上的电势 U＝______________． ＝ ．
S
ε0
S内
∫
L
有源场 无旋场 场是————————场和—————————场。
练习题
1、关于高斯定理，下列说法中正确的是： 、关于高斯定理，下列说法中正确的是： A）高斯面内不包围电荷，则面上各点场强为零。 ）高斯面内不包围电荷，则面上各点场强为零。 B）高斯面上的 E 处处为零，则面内一定不存在电荷。 ） 处处为零，则面内一定不存在电荷。 C）高斯面的电通量仅与面内净电荷有关。 ）高斯面的电通量仅与面内净电荷有关。 D）以上说法都不正确。 ）以上说法都不正确。 2、下列说法正确的是 、 [ [
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E V x
(1
2ε0
x )
x2 R2
R
o
r
dr
(x2 r2 )1/2
x Px
课堂练习 利用场强与电势梯度的关系求均匀带电细杆中垂线
上P点的电场强度。已知细杆的的电量为q ,长度为L。 y
P
y
O
L
x dx
X
y P
r y
x
L x dx
VP
q
4 0L
L/2 L/2
dx q ln( L / 2
dq
y
r
R
p
x
x
z
例、利用电场强度与电势的关系求通过半径为R 的均匀带电圆平板中心且垂直平面的轴线上任 意点的电场强度. 设电荷面密度为。
dq 2πrdr
V 1 R 2πrdr
4πε0 0 x2 r 2
( x2 R2 x)
2ε0
R
o
r
dr
(x2 r2 )1/2
x Px
V ( x2 R2 x)
场强与电势梯度的关系
一、 等势面 在电场中，一般来说，电势应该是空间位置坐标
的函数，是逐点变化的，但是总会有一些点的电势是 相等的。
等势面 ： 电场中电势相等的点所构成的面。
下面我们来看几种典型的等势面。
等势面的性质 ⑴等势面与电场线处处正交， 电场线指向电势降落的 方向，即沿着场强的方向电势降落。因此，在等势面 上移动电荷时，电场力不作功，电荷的电势能不变。
Ex
V x
Ey
V y
V Ez z
E
(
V
i
V
j
V
k)
x y z
电势梯度
gradV
dV dln
en
gradV
V
i
V
j
V
k
x
y
z
例 已知 u 6x 6x2 y 7z2
求 （2，3，0）点的电场强度。
解
Ex
u x
(6
12xy)
66
Ey
u y
6x2
24
Ez
u z
14z
0
E Exi Ey j 66i 24 j
相同，把点电荷q
从P移到Q，电场力作功为：
dW qE dl qE cosdl
V+dV
n E
qEdln
dln Q
dW q[V (V dV )] qdV
E cosdl Edln dV
V
q dl
P
E dV dln
任意一场点P处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方
向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减
E
dV dln
en
gradV
另一种理解
E cos θdl Edln dV
Eldl dV
El
dV dl
电场强度在 l 方向的投影等于电 势沿该方向变化率的负值
en
V+dVБайду номын сангаас
dln Q
V
q dl P E
dl dln
dV dV dl dln
电势沿等势面法线方向的变化率最大
在直角坐标系中
小的方向。
E dV dln
E
dV dln
en
en
V+dV
dln Q
V
q dl P E
定义：电场中任一点的电势
梯度矢量的大小等于电势函数 沿着等势面法线方向的导数， 方向总是沿着等势面的法线且 指向电势升高的方向。
gradV
dV dln
en
V+dV
gradV
dln Q
V
q dl
P
某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就 是电势与电场强度的微分关系。
q O q
X
E Ex2 Ey2
l x
p 4πε0
(4x2 (x2
y2 )1/ 2 y2 )2
E
p 4πε0
(4x2 (x2
y2 )1/ 2 y2 )2
y0 x0
E
2p 4πε0
1 x3
E p 4πε0
1 y3
Y
P(x, y)
•
r2
r r1
q O q
X
l x
例1．利用场强与电势梯度的关系， 计算均匀带电 细圆环轴线上一点的场强。
（2）规定：电场中任意两相邻等势面间的电势差必 须相等，由于场强大的地方产生相同的电势差所需的 距离小，而场强小的地方产生相同的电势差所需的距 离大，这样就会形成场强大的地方等势面密集，而场 强小的地方等势面稀疏。
二. 电势与电场强度的关系
取两个相邻的等势面，等势面法线方向为
en，设
E的方向与
e en
y2 x2 2 0 L
y2 L2 / 4 )
y
求电场强度的三种方法
从点电荷场强公式出发，根据场强叠加原理 利用高斯定理 利用电势梯度与电场强度的关系
电势计算的两种方法：
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
V q
4 0 r
根据已知的场强分布，按定义计算
"0"
VP E • dl
P
例 、利用电场强度与电势的关系求电偶极子电场中 任一点P的电场强度
Y
uP
u1
u2
q
4 0 r1
q
4 0 r2
q(r2 r1)
4 0 r1r2
r2
•P( x, y)
r l r2 r1 l cos r1r2 r 2
r r1
q l cos uP 40 r 2
q O q
l x
X
由于
p
ql
uP
1
40
p•r r3
θ0
θπ
θπ 2
1p V 4πε0 r 2
V
1 4πε0
p r2
V 0
Y
P(x, y)
•
r2
r r1
q O q
X
l x
Y
Ex
V x
p 4πε0
y2 2x2 (x2 y2 )5/2
P(x, y)
•
r2
Ey
V y
p 4πε0
3xy (x2 y2 )5/2
r r1