2018年高中数学竞赛初赛试题
【数学竞赛】2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(附答案)
|T,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T，第一行是1,2,,n.例如：=⎢894⎥.题号一2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30）二总分9101112得分评卷人复核人注意：1.本试卷共12小题，满分150分； 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3.书写不要超过装订线；4.不得使用计算器.一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简）1.设三个复数1,i,z在复平面上对应的三点共线，且z|=5，则z=.2.设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n=.3.函数f(x)=|sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)|的最小正周期=.4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log x的图象上，则|PQ|的最小值=2.5.从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率=.6.在边长为1的正方体ABCD-A B C D内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC相切，则小球11111半径的最大值=.7.设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cos∠AHB=.⎡123⎤8.把1,2,n3⎢⎥⎢⎣765⎥⎦设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)=.二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分）9.如图所示，设ABCD是矩形，点E,F分别是线段AD,BC的中点，点G在线段EF上，点D,H关于线段AG的垂直平分线l对称.求证:∠HAB=3∠GAB.D HCE lG FA B213 2 π 210．(1) M ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程 x 0 x - y 0 y = 1 ．(3 分)b 2y 0 , x 0 + y ⎪ ， B ( x 2 , y 2 ) = x 0 -y 0 , b a -b ⎭0 010. 设 O 是坐标原点，双曲线C : x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0,b > 0) 上动点 M 处的切线交 C 的两条渐近线于 A , B两点.（1）求证: △AOB 的面积 S 是定值；（2）求 △AOB 的外心 P 的轨迹方程.11. （1）求证：对于任意实数 x , y , z 都有 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥3( xy + yz + zx ) .（2）是否存在实数k >试证明你的结论.3 ，使得对于任意实数 x , y , z 下式恒成立？x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥ k ( x y + yz +zx )12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色. 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.参考答案和评分标准一、填空题（每题 8 分，共 64 分）1 2 3 45 6 7 84 - 3i 或 - 3 + 4i 1 + ln(ln 2) ln 21 154 - 65 -6 6(34,95)二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分） 9．由 E , F 分别是 AD , BC 的中点，得 EF // AB ⊥ AD ．(3 分) 设 P 是 E 关于 l 的对称点，则 EP // AG ⊥ l ，故四边形 AEPG 是等腰梯形． (8 分) 进而 ∠PAG = ∠EGA = ∠GAB ， ∠APG = ∠GEA ，从而 AP ⊥ HG ． (13 分) 再由 HP = DE = EA = PG ，得 ∠HAP = ∠PAG = ∠GAB ． (18 分) 因此， ∠HAB = 3∠GAB ．(21 分)a 2⎛ a b ⎫ ⎛ a - b ⎫ ⎪ ⎪与渐近线方程联立，得 A ( x 1, y 1 ) = x ⎝ a + b a b ⎭ ⎝ a x 0上述两式相乘，得P的轨迹方程为a2x2-b2y2=1(a2+b2)2．11故x2+2y2+3z2≥3(xy+yz+zx)．22，∑x(2017-x)=2M．当且仅当每个x=1008或1009时，N取得最小值C10092018-⨯1008=2C3．(16分)从而，S=1x y-x y=ab是定值．21221(2)由(1)可设A(λa,λb),B(a,-b),P(x,y)，λ为非零常数．λλ由P A=PO=PB，得(x-λa)2+(y-λb)2=x2+y2=(x-a)2+(y+b)2．(9分) (12分) (15分)λλ从而有ax+by=λ(a2+b2)，ax-by=1(a2+b2)．22λ(18分) (21分)411．(1)由均值不等式，1x2+3y2≥3xy，x2+3z2≥3xz，y2+3z2≥3y z．2222 (2)x2+2y2+3z2-k(xy+yz+zx)=(x-k y-k z)2+(2-k2)y2+(3-k2)z2+(k2-k)y z22442(8分) (14分)上式≥0恒成立当且仅当2-k2≥0且(k2-k)2≤4(2-42k24)(3-k2)．4(18分)化简得k≤22且k3-6k2+24≥0．显然，k=2>3满足要求．(22分) 12．设N是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，x是以第i个顶点为端点的红色线段数目，则有iM+N=C320182018i i(10分) ii=1321009N=2C3是可以取到的，例如把线段i→i±j mod2018(1≤i≤2018,1≤j≤504)染成红1009色，其它线段染成蓝色．(22分)。
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。
2018A 2、设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与平面α所成角不小于030且不大于060，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案：π8★解析：设点P 在平面α上的射影为O ，由条件知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=∠3,33tan OQ OP OQP ，即[]3,1∈OQ ，所以区域的面积为πππ81322=⨯-⨯。
2018A 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 ◆答案：109★解析：先考虑def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=，故所求为1091011=-2018A 4、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1:2222=+by a x （0>>b a ）的左右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴和y 轴，且相交于点P ，已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1，则21F PF ∆的面积为◆答案：15★解析：由对称性，不妨设点P ()00,y x 在第一象限，则220=-=PSPT x ，120=-=PUPV y即()1,2P 。
进而可得()2,2U ，()1,4S ，代入椭圆方程解得：202=a ，52=b ，从而151152212102121=⨯⨯=⨯=∆y F F S F PF 。
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。
2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。
2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。
进 而 可 得 U2,2 ， S 4,1 ， 代 入 椭 圆 方 程 解 得 ： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ， 从 而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。
2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷
an1 an 2, n 1, 2, 3, an
，2 求满足 an 42018 的
设 a,b,c 是三个互不相同的实数，满足 f (a) f (b) f (c) ，求 abc 的取值范围．
3
r
而 abc = r.
点（句， f(Co ）） 作平行于·x 抽的直线l，则l与 f(x） 的图像另有两个交点仰 ， ！（α ））， (b, /(b)) c其中αε （0，匀， bε （3, 9) ），满足 ！（α ） = f(b)= f(c） ，并且 ab=9 ，从
四本题满分50分给定整数2018年全国高中数学联合竞赛一试b卷参考答案及评分标准说明评阅试卷时请依据评分标填空题只设分和分两档其他各题评请严格按照本准次结不得增加他中间次如果考生解答方法本解答同只要思路合理步骤正确评卷时参考本评分标准适当划分档次评分解答题中第9小题分个档次小题分aub的所0124863解
’叫
一1.
显然｛a.｝单调递增．由于 a11 = 23012 1 < 24036 = 420 ,s, a = 26144 12 故满足题目条件的n的最小值是12.
..................... 8分 1 > 2喃36 = 420 1&' …………......... 16分
10. （本题满分20分）己知定义在R ＋ 上的函数 f(x） 为 [ pog 3 x-11，。＜λ三9, ) = ( /x { 卢 x>9. 14-..Jx,
f (9)=l ，故结合图像可知
cε （9, +oo),
..................... 5分
2018年高中数学竞赛初赛试题
2018年高中数学竞赛初赛一、填空题（每题7分，共10题，共70分）1. 函数y=│cos x │-cos 2x （x ∈R ）的值域2. 已知（a+bi ）2=3+4i ，其中a,b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2+b 2=3. 圆心在抛物线x 2=2y 上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程4. 设函数f （x ）=x 24-1x-x ，则不等式f （1-x 2）+f （5x-7）<0的解集为 5. 已知等差数列{a n }的前12项的和为60，则321a a a +++...+12a 的最小值6. 已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为7. 在△ABC 中，AB=5,AC=4，且=12，设P 为平面ABC 上一点，则的最小值为8. 设g （n ）=∑=nk n k 1),(，其中n ∈N *，（k,n ）表示k 与n 的最大公约数，则g （100）的值为9. 将1,2,3,4,5,6,7,8,9,这九个数随机填入3×3的方格表中，每个小方格填一个数，且所填各部相同，则使每行，每列所填数之和都是奇数的概率是（第9题图）10. 在1,2,3,4，...1000中，能写出a 2-b 2+1（a,b ∈N ）的形式，且不能被3整除的数有 个二、解答题（每题20分，共4题，共80分）11. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知圆O 的方程为x 2+y 2=4,过P （0,1）点的直线l 与圆O 交于A,B ，与x 轴交于Q ，设，，求证：μλ与为定值. yA P QO x B（第11题图）12. 已知{a n } 是公差为d 的等差数列，且a 1+t 223(1). 求实数t,d 的值；(2). 若正整数满足m＜p＜r，a m-2m=a p-2t p=a r -2t r=0，求数组（m，p，r）和相应的通项公式a n 。
13.如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD交于P，△ABD与△ABC的内心分别为I1和I2，直线I1I2分别与AC,BD交于M,N，求证：PM=PN.（第13题图）14.从1,2,3,4.......，2050这2050个数中任取2018个组成集合A，把A中的每个染上红色或蓝色.求证：总存在一种染色方法使得每600个红数及600个蓝数满足下列两个条件：①这600个红数的和等于这600个蓝数的和；②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.。
【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
1【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间:2018年6月30日上午9:00)一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简)1、设三个复数1, i, z 在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z=2、设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n=3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期=4.设点P,Q 分别在函数y=2x 和y=log 2x 的图象上，则|PQ|的最小值=5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤1的概率=6、在边长为I 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=7、设H 是△ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos ∠AHB=8、把1，2，…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分)9、如图所示，设ABCD 是矩形，点E, F 分别是线段AD, BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D, H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:∠HAB=3∠GAB.10、设O 是坐标原点，双曲线C:上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A,B 两点。
（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB 的面积S 是定值。
（2）求△AOB 的外心P 的轨迹方程.11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222x23y z xy yz zx ++≥++.（2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？()222x23y z k xy yz zx++≥++，试证明你的结论.12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.232018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷考试时间:2019年6月30日上午9:001.设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z =4-3i,34i -+.2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =,则n =213.3.函数()sin2sin3sin4f x x x x =++的最小正周期=2π.4.设点,P Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上,则PQ 的最小值=5、从1,2,,10⋅⋅⋅中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=115. 6、在边长为1的正方体1111ABCD A BC D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段1AC 相切，则小球半径的最大值 7、设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cosAHB ∠=6-. 8、把21,2,,n ⋅⋅⋅按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n ⋅⋅⋅.例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j =()34,95.9、如图所示，设ABCD 是矩形，点,E F 分别是线段,AD BC 的中点，点G 在线段EF 上，点,D H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:3HAB GAB ∠=∠.。
2018全国高中数学联赛试题
2018全国高中数学联赛试题2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合A={1,2,3,……,99}，BC={2,4,6,……,198}，则B={2x|x∈A}，C={x^2|x∈A}，则BC的元素个数为48，共24个元素。
2.设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与α所成角不小于30且不大于60，则这样的点Q所构成的区域的面积为8π。
解析：过点P作平面α的垂线，这垂足为O，则点Q的轨迹是以O为圆心，分别以ON=1和OM=3为半径的扇环，于是点Q所构成的区域的面积为S=S2-S1=9π-π=8π。
3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为648/720=9/10.解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有A6^6=720种不同的排法，要使abc+def为偶数，abc为与def 同为偶数或abc与且def同为奇数。
（1）若a,b,c中一个偶数两个奇数且d,e,f中一个奇数两个偶数，共324种情形；（2）若a,b,c中一个奇数两个偶数且d,e,f中一个偶数两个奇数，共324种情形；共有648种情形。
综上所述，abc+def是偶数的概率为648/720=9/10.（间接法）“abc+def是偶数”的对立事件为“abc+def是奇数”，abc+def是偶数分成两种情况：“abc是偶数且def是奇数”或“abc是奇数且def是偶数”，每种情况有A3^3*A3^3=36种不同情形，共有72种不同情形，abc+def是偶数的概率为1-729/720=9/10.4.在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1,F2，椭圆C的弦ST与UV 分别平行于x轴和y轴，且相交于点P。
已知线段PU、PS、PV、PT的长分别为1,2,3,6，则ΔPF1F2的面积为4√(2/3)。
2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)
则(������ + ������������)������2 + 2(������ − ������������)������ + 2 = 0，
整理得：(������������2 + 2������������ + 2) + (������������2 − 2������������)������ = 0
由图结合对称性得：
������1 = ������ − 2, ������2 = 2������ − [4 + 2(2������ − 6)] = 8 − 2������ 所以，由函数单调性，不等式1 ≤ ������(������) ≤ 2在[1，2]内
分析：������������������ + ������������������为偶数，则������������������与������������������奇偶性相同，
故当������ ≥ 2 时，
������������ = √������ ± √������ − 1 ≤ √������ + √������ − 1 < 2√������ (2) ������������与������������+1异号时结论显然成立，
当������������与������������+1同号时： 由(1)得������������ = ±√������， 不妨得：������������ = √������ − √������ − 1
6. 设复数������满足|������|=1，使得关于������ 的方程z������2 + 2������̅������ +
2 = 0有实根，则这样的复数������的和为
2018年全国高中数学联合竞赛一试B卷参考答案(含加试)
三）叶
(9a+b+I) — ( 6矗+ b) 分 [1, 9], 均有 11cx)I<2, 则 ………………10 分 切 @ @
由句，＠得， 2a-6 = /(2)-/(1); 又由＠，＠得， 6a-2 = /(3)-/(2). 由上述两式消去 a, 可知 但 /(3)-4/(2)+3/(1)<2+4 . 2+3. 2=16, 矛盾！从而命题得证．
2018年全国高中数学联合竞赛一试(B卷） 参考答案及评分标准
为
是0+1+ 2+ 4+8+16=31. 2. 已知 圆锥的 顶点为P, 底面半径长为2'高为1.在圆锥 底面 上取 一 点Q , ° 使得 直线PQ与底面所成角不大千45 , 则满足条件的点Q所构成的区域 的面积 解：圆锥顶点 P在底面上的投影即为底面中心， 记之为o. 由条件知， OP = tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求 的区域面积为7r·22 -Jr-12 =31r. OQ 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成 一 行，记为a,b,c,d,e ,f, 则abc+def是奇数的概 答案： 1 — 答案： 31r.
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 一 个档次 ，第10、 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为 一 个档次 ，不得增加其他中间档次． 11小题5分为 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． {2, 0,1,8}, B= {2a I a E A}, 则AUB的所有元素之和是 1. 设集合A= ．
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
说明： 1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角 坐 标 系 xOy 中 ， A 、 B 与 C 、 D 分 别 是 椭 圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是 上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
(2Sn
全国高中数学联赛河南省预赛高一试题
2018 年全国高中数学联赛河南省初赛高一试题一、填空题 ( 共 8 小题每题8 分 , 满分 64 分)1. 会合 P { x | x 25x6 0} ， M{ x | mx 1 0} ，且 M P , 则知足条件的实数 m 构成的集合为．2. 函数 f (x) x 1 3 x 的值域是．3 已知函数 f (x)2|2x|2018 x31在 R 上的最大值为 M , 最小值为 m ,4|x| 1则 Mm．4. 已知四周体 ABCD 中 , AB CD 5 , AD BC34 , ACBD41 , 则该四周体的体积为．5.已知对于 x 的方程 x 3 ax 2 bx ab 10 有两个根分别在 (0,1),(1, ) 内 ,则 2ab 1的取值范围是．a16. 在直线 x3 上任取一点 P , 过点 P 向圆 x 2 ( y 2) 24 作两条切线 , 其切点分别为 A, B , 则直线 AB经过一个定点，该定点的坐标为 ．7. 已知A 为锐角 , 则 sin 4 A 1 cos 4 A 4 的最小值为．8. 甲乙两人打乒乓球 , 甲每局获胜的概率为 2, 当有一人当先两局的时候竞赛停止竞赛的总局数为3x i (i N + ) 的概率为 p i , 这里要求 x ix I 1(iN ) , 则．二、(1) 证明对于随意的正实数 a, b 都有 : a b 2 ab (2) 已知正数 x, y 知足 : xy 1，求14 的最小值 .x y三、设锐角ABC 边 BC ,CA, AB 上的垂足分别为 D , E, F , 直线 EF 与 ABC 的外接圆的一个交点为 P , 直线BP 与 DF 交于点 Q . 证明 : AP AQ .四、已知实数 x, y 知足:1 cos2 ( x y 1) x2 y2 2( x 1)(1 y)，求 xy的最小值.x y 1五、设 S,T 是两个非空会合若存在一个从S 到 T 的函数y f ( x) 知足:(i) T { f ( x) | x S} ；(ii) x1 , x2 S , 当 x1 x2时,恒有 f (x1) f (x2 ) .那么称这两个会合“保序同构”.证明 : (1) A (0,1), B R 是保序同构的；(2) 判断 A Z , B Q 是否是保序同构的，假如，请给出一个函数的表达式；若不是，请说明原因.2018 年全国高中数学联赛河南省初赛高一参照答案一、填空题1. { 1 , 1,0} .2 32. [ 2, 2] .3. 2 .4.20 .5. (0, 2) .6. ( 4,2) . 37.10 .18 8..5二、(1) 由 a b 2 ab ( ab)20 ，故 a b 2 ab(2) 14 ( 1 4)( x y)x y x y1 4y 4xxy5 2y4x9x y等号在 x1, y 2 处取到，故最小值为 9 .3 3三、如上图所示 , 因为D , E, F是垂足 , 则BFCBEC 90o,故 B, F , E,C 四点共圆，进而AFE ACBBFD = FQB FBQ而PCB PCABCAFQB PCB PAF故A, F , P, Q 四点共圆AQP AFE ACB APQAP AQ四、1 cos2 ( x y 1) x2 y2 2( x 1)(1 y) ( x2 y2 2 xy) 2( x y) 1 1x y 1 x y 1( x y 1)2 1y 1 1x y 1 x x y 1因为 0 1 cos2 ( x y 1) 2 ，故 x y 1 0 ，进而 x y 1x 1 2 y 11 cos2 (x y 1) 2 x y 1 1cos2 ( x y 1) 1x yx y 1 k , k Zx yx y 1 k ， k Z xy (1 k )2 1, k Z2 2 4故 (xy)min 1 . 4五、(1) 令 f ( x) tan[( x 1) ]( x A) ，2则 f ( x) 单一增,且其值域为R ,所以 A 和 B 是保序同构的；(2) 会合A Z , B Q 不是保序同构的.事实上上若会合 A Z, B Q 是保序同构的.则存在函数 y f ( x) ,使得 f (1) a, f (2) b ,此中 a, b Q, a b .观察数 c a bQ ，则a c b ,因为 A 和 B 是保序同构的,则存在 x Z 使f ( x) c ，2联合 y f (x) 单一递加,则1 x 2 ,矛盾.全国高中数学联赛河南省预赛高一试题11 / 11。
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2018年高中数学竞赛初赛
一、填空题（每题7分，共10题，共70分）
1. 函数y=│cos x │-cos 2x （x ∈R ）的值域
2. 已知（a+bi ）2=3+4i ，其中a,b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2+b 2=
3. 圆心在抛物线x 2=2y 上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程
4. 设函数f （x ）=x 2
4-1x
-x ，则不等式f （1-x 2）+f （5x-7）<0的解集为 5. 已知等差数列{a n }的前12项的和为60，则321a a a +++...+12a 的最小值
6. 已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为
7. 在△ABC 中，AB=5,AC=4，且=12，设P 为平面ABC 上一点，则的最小值为
8. 设g （n ）=∑=n
k n k 1),(，其中n ∈N *
，（k,n ）表示k 与n 的最大公约数，则g （100）的值为
9. 将1,2,3,4,5,6,7,8,9,这九个数随机填入3×3的方格表中，每个小方格填一个数，且所填各部相同，则使每行，每列所填数之和都是奇数的概率是
（第9题图）
10. 在1,2,3,4，...1000中，能写出a 2-b 2+1（a,b ∈N ）的形式，且不能被3整除的数有 个
二、解答题（每题20分，共4题，共80分）
11. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知圆O 的方程为x 2+y 2=4,过P （0,1）点的直线l 与圆O 交于A,B ，与x 轴交于Q ，设，，求证：μλ与为定值. y
A P Q
O x B
（第11题图）
12. 已知{a n } 是公差为d 的等差数列，且a 1+t 223(1). 求实数t,d 的值；
(2). 若正整数满足m＜p＜r，a m-2m=a p-2t p=a r -2t r=0，求数组（m，p，r）和相应的通项公式
a n 。
13.如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD交于P，△ABD与△ABC的内心分别为I1和I2，直线I1I2分别与AC,BD交于M,N，求证：PM=PN.
（第13题图）
14.从1,2,3,4.......，2050这2050个数中任取2018个组成集合A，把A中的每个染上红色或蓝色.求证：总存在一种染色方法使得每600个红数及600个蓝数满足下列两个条件：
①这600个红数的和等于这600个蓝数的和；
②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.。