哈尔滨工业大学2014年秋季学期矩阵分析考场安排
哈工大矩阵分析课件8
B ⊗ A = [3 A 3 12 −1 −4 . −1A ] = 0 6 0 −2
5
显然 A ⊗ B ≠ B ⊗ A , 即矩阵的 K ronecker 积 不 满 足 交 换 律 .
k k k
8
(8.9)
(6) 设 A ∈ C
m×m
, B∈C
−1
n×n
都是可逆矩阵,则 A ⊗ B (8.10)
(8.11)
mn×mn
也可逆,且有 ( A ⊗ B) = A ⊗ B
(7) ( A ⊗ B ) + = A+ ⊗ B +
−1 −1
(8) 设 A∈U (9) 设 A∈C
m×m m×m
, B ∈U , B ∈C
③ 酉不变性 两个酉矩阵的Kronecker乘积仍是酉矩阵. 酉矩阵.
18
§8.2 矩阵Kronecker积的特征值
定理 8.2 设 A ∈ C m×m 的特征值为 λ1 ,..., λi ,..., λm , B ∈ C n×n 的特征值为µ1 ,..., µ j ,..., µn , 则
(1) A ⊗ B 的 mn 个特征值 为 λi µ j (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,..., n ) ;
( A ⊗ B) = A ⊗ B .
16
+
+
+
(8). 设 A ∈ U
m×m
, B ∈U
n×n
, 由 (4) 及 (5) 得
H H
( A ⊗ B)( A ⊗ B) = ( A ⊗ B)( A ⊗ B ) = ( AA )(BB ) = Im ⊗ In = Imn . H H H ( A ⊗ B) ( A ⊗ B) = ( A ⊗ B )( A ⊗ B)
矩阵分析-哈尔滨工业大学(深圳)年-考试重点知识交流
证明一个映射是线性映射。
（P24,例1.4.9）
给定入口基及出口基，写出线性映射对应的矩阵表示。
求线性映射在不同基上的矩阵表示。
求最简形。
先通过初等行列变换化为阶梯形。
同时记录行变换（相当于左乘），列变换（右乘）。
即对In做变换。
记住Q是m*m，P是n*n，同时化为最简形时得到的是Q逆，还需要再进行变化得到Q。
所得结果也是该最简形在不同线性空间的基。
λ矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子。
单位模阵。
求λ矩阵的Smith标准型。
两个矩阵相似的定义。
矩阵相似的三个条件。
求复数域上的矩阵的Jordan标准型。
内积-欧几里德空间
证明*是内积空间（欧几里得空间）
证明一个向量组是正交向量组。
施密特正交化化标准正交组。
复矩阵的奇异值和奇异值分解
复矩阵的奇异值分解
总结下：
A = UDV H ；AA H求U，A H A求V，注意维数问题，D和A同维度。
此外不够记住还有特征值为0的特征向量。
V=A H UD-H
（对于复数问题，记得转置；求λI n-AA H时,注意符号，对角线不为0的变负）
点到平面的距离：
A是平面（α1α2）投影矩阵得P，P=A（A T A）-1A T b，b表示一个向量，接着b-P即为距离，再套用距离公式计算长度。
正规矩阵酉相似对角化。
矩阵分析
所以 E11, , Eij , , Emn 线 性 无 关.
■
21
§ 1.2 线性空间的基与坐标
定义1.2 线性空间V (F )中的向量组x1, x2 ,..., xn 称为V (F )的基或基向量组,如果它满足
① x1, x2 ,..., xn 线性无关; ②V (F)中的任一向量x皆可写成x1, x2,..., xn
2
问题二 线性常系数齐次,非齐次微分方程组初值问题
ddxt = Ax, x(t0) = x0.
ddxt = Ax+ f (t), x(t0) = x0.
方法与工具 矩阵的Jordan 标准形
矩阵微分与矩阵积分
向量 矩阵的Laplace变换
3
问题三 Lyapunov 矩阵方程 AX + XB = F
■
26
定义1.3 设 α1, α2 ,..., αn 及 β1, β2 ,..., βn 是
线性空间的两个基，且
β1 β2
= =
p11α1 p12α1
+ +
p21α2 p22α2
+ +
βn = p1nα1 + p2nα2 +
+ pn1αn + pn2αn
+ pnnαn
(1.1)
dX (t) = AX (t) + X (t)B 矩阵微分方程 dt
X (0) = X0 方法与工具 矩阵的Kronecker 积
矩阵的按行拉直列向量vecX
矩阵方程转化成线性方程组 ( A ⊗ In + Im ⊗ BT )vecX = vecF
矩阵微分方程的解 X (t) = eAt e X0 Bt
哈工大 严质彬 矩阵分析 讲义(二)
0 d1 (λ ) d 2 (λ ) 0 O d r (λ ) 0 0 0m − r , n − r
n× n
U (λ )V (λ ) = V (λ )U (λ ) = I n . (1.1.1)
n× n
[λ ]
( A(λ )) −1 =
计算逆矩阵 然而这样求得的逆矩阵一般情况下会是一个有理分式矩阵. 定理 1.1.1 (单位模阵的行列式刻画) 多项式矩阵 U (λ ) ∈ F [λ ] 是单位模阵, 当且仅当行列式 det( A(λ )) ∈ F[λ ] 为非零常值多项式. 证明: “当”部分. 易见, adj(U (λ )) ∈ F [λ ] 为多项式矩阵(不含分母为次数 ≥ 1 的多项式的不可约分式为元
i i +1 i i +1 11
0 d1 (λ ) d 2 (λ ) 0 , (1.1.3) O d r (λ ) 0 0 0m − r , n − r di (λ ), i = 1,2,K, r , 1 i = 1,2,K, r − 1 . : A(λ ) , . A(λ )
第一章 λ矩阵与矩阵的 Jordan 标准型
1.1 λ矩阵及其 Smith 标准型
记号 F[λ ] 表示系数在 F 中的λ的多项式的全体; 而 F(λ ) 表示系数在 F 中的λ的有理分式的全体. 显然, F[λ ] ⊂ F(λ ) . 我们知道, 两个多项式相除, 结果不一定是多项式(只在整除时才是). 因此, 作为运算系统, 加、减、乘三法在 F[λ ] 中总能进行, 而除法不是总能. 这样的运算系统称为环, 而 F[λ ] 称为多项式环. 另一 方面, 在 F(λ ) 中, 四则运算皆能进行, 这样的运算系统称为域, F(λ ) 称为有理分式域. 定义 1.1.1 (多项式矩阵) 以多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵, 简称为λ矩阵. 记号 F [λ ] 表示所有 m 行 n 列的λ矩阵的集合, 矩阵的元素是系数在 F 中的λ的多项式 . 也就是说 , A(λ ) ∈ F [λ ] 表示 A(λ ) = [a (λ )] , 其中 ,
现代电路分析与综合_哈尔滨工业大学_5 第5周不定导纳矩阵和含多端元件网络的拓扑分析_2 52不定导纳矩阵
2 直接列写(1) 不含多端元件时的列写规则∑∑-===),()(节点之间支路导纳节点相连的支路导纳与j i y y i y ji ij ii (2) 含多端元件时的列写规则(a) 列出不含多端元件时的不定导纳矩阵，记作 'i Y (b) 将所有多端元件用VCCS 来等效，或将方程表达成电流是电压的函数(c) 考虑多端元件对原始不定导纳矩阵的影响： (a)、(b)对应行列元素相加i Y多端元件为电压控制电流源ab au b+-ab c gu d()()c a bd a b i g u u i g u u =-=--a b c g g d gg -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ijkl-+kl u ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-=ijjl ijjk ijil ijik i g y g y g y g y Y kli j klij u g多端元件为耦合电感元件**()ab a U s b +-()a I s ()c I s ()cd cU s d+-1L 2L M12()()()()ab a cd c U s I s sL sM U s I s sMsL ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦端口VCR 方程将其表达成电流是电压的函数22112()()1()()()a ab c cd I s U s L M I s U s ML s L L M -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦22112()()1()()()a ab c cd I s U s L M I s U s ML s L L M -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦由此得互感元件对不定导纳矩阵的a 、b 、c 、d行及a 、b 、c 、d 列元的贡献，表示为以下4端电流用4端电压表达的方程22222111211()()()()1()()()()()a a b b c c d d I s U s L L M M I s U s LL M M U s M M L L I s s L L M U s M ML L I s --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
201411237矩阵分析教学大纲
矩阵分析课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：201411237课程中文名称：矩阵分析课程英文名称：Matrix Analysis课程性质：专业选修课程开课专业：应用数学开课学期：6总学时：36 （其中理论36学时）总学分：1.5二、课程目标本课程的学习内容是掌握域上线性空间的基本理论、矩阵分解方法及理论、矩阵的各种分析性质、各种广义逆矩阵及其与线性方程组的关系和广义逆矩阵的计算。
了解一些矩阵理论前沿的研究内容。
通过矩阵分析课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基础知识和矩阵理论较前沿的成果，进而让学生受到严格的科学思维训练，掌握数学科学的思想方法，同时也为学生的后续学习做一定的知识上的储备，通过对一些知识点的课堂研讨，使学生加深知识的认知。
三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）矩阵分析这门课程对于数学系本科生来讲是一门非常重要的数学基础课，这就要求学生掌握如下矩阵基础理论知识：域上线性空间的基本理论；矩阵分解；矩阵广义逆；矩阵积分与微分。
了解一些矩阵理论前沿的研究，具备一定的创新能力。
具体要求如下：（1）具有应用已学习的知识点解决相应习题的能力；（2）能够解决较复杂、较抽象的问题；（3）具备将复杂问题简单化、抽象概念具体化，艰涩内容直白化, 逻辑推理自然化的素质;（4）具备读阅相关科研文献，撰写科研论文的能力，四、教学内容与学时分配1 绪论（6学时）1.1 线性空间基本理论1.2 线性变换及线性变换的矩阵表示2 矩阵分解（8学时）2.1 -矩阵及标准形2.2 初等因子与相似条件2.3 矩阵Jordan标准形 (研究型、研讨式教学模式)主要探讨矩阵若当标准形的得来，与初等因子、不变因子、行列式因子的关系2.4 矩阵的奇异值分解（研究型、研讨式教学模式）主要研讨矩阵奇异值定义的由来，基于变分法给出奇异值定义的表达式，研讨式给出矩阵奇异值分解。
2.5 单纯矩阵与正规矩阵的谱分解2.6 矩阵的满秩分解3 特殊矩阵（6学时）3.1 幂等矩阵3.2 幂零矩阵3.3 Hermite矩阵与Hermite二次型3.4 非负矩阵4 矩阵广义逆（6学时）4.1 矩阵{1}-逆及在线性方程组中的应用4.2 Moore-Penrose 逆及在线性方程组中的应用4.3 矩阵的谱广义逆（研究型、研讨式教学模式）主要研究矩阵分解在计算矩阵谱广义逆时的应用5 矩阵分析（8学时）5.1 矩阵范数5.2 矩阵级数5.3 矩阵的Kronecker积5.4 矩阵函数的微分（研究型、研讨式教学模式）主要以学生研讨式，给出三种矩阵微分公式及性质5.5 矩阵函数的积分6 科研论文讨论（2学时）（研究型、研讨式教学模式）通过读阅文献，研讨可研究的科研内容五、教学方法及手段（含现代化教学手段及研究性教学方法）多媒体授课与传统讲课方式相结合。
哈尔滨工业大学深圳研究生院14年硕士秋季学期课程表-Sheet2
(10:30-星哈工大深圳研究生院2014年秋季专题设计2-4,6-14A202城规投资学15-16A408金融企管城市区域热气候与风环境CFD模拟16A202城规金融数据分析方法与应用16金融衍生工具9-14A408金融企管计量经济学7-12A408金融企管空间行为与大数据15A202城规创业学3，5-11工商管理前沿专题16-17A408企管空间行为与大数据15A202城规工商管理前沿专题16-17A408企管物流与供应链管理12-13空间行为与大数据15A202城规工商管理前沿专题17A408企管移动流媒体技术10-11A505通信、微电城市区域热气候与风环境CFD模拟16A202城规城市区域热气候与风环境CFD模拟16A202城规结构损伤识别10-15A415土木计算流体动力学1-4、6-9A415土木文艺与审美鉴赏5-8A104历史文明与国际关系10-13现代控制系统分析与设计2-4,6-10A311控制，电气工程岩体力学10A415土木结构损伤识别10-15A415土木自然辩证法概论一1-3,5生物医学信号2A505通信、微电、物电移动机器人导航理论1-4,6-8A413控制工程岩体力学1-3、5-9A415土木自然辩证法概论二6-9现代通信系统技术及方法论6-17A505通信、微电、物电生物医学信号1-2A505通信、微电、物电机械工程中的有限元方法9,17A311机械，动力环境生物技术9-16Verilog语言与及FPGA电路设计3-4A505微电、通信现代通信系统技术及方法论6-8A505通信、微电、物电移动机器人导航理论1-3,5-8A413控制有限单元法1-3、5-9算法设计与分析10-17A502计算机自然语言处理1-4, 6-9A502计算机最优控制10-17A413控制土木工程新进展10数据库系统原理2-4, 6-9A302计算机网络安全10-17A302计算机生物医学信号1-2A505通信、微电、物电并行处理与体系结构1-3、5-9现代通信系统技术及方法论9-17A505通信、微电、物电多维信号处理6-9自然语言处理1-3, 5-9A502计算机网络安全10-17算法设计与分析10-17A502计算机生物医学信号2A505通信、微电、物电生物医学信号1-2A505通信、微电、物电文艺与审美鉴赏5-8A104历史文明与国际关系10-13并行处理与体系结构2-4、6-10A504微电多维信号处理6-13A505通信生物医学信号1-2A505通信、微电、物电自然辩证法概论一1-3,5多维信号处理10-13A505通信自然辩证法概论二6-9生物医学信号1-2第5节(18:30-20:05)第6节(20:20-21:55)A504微电移动流媒体技术1-3.7-11A505通信、物电、微电A502计算机数据挖掘1－3,5-9A502计算机清华金融10人计算理论10-11、13-17A302计算机A408金融企管高级运筹学1-3,5-9A408金融企管A202城规结构抗火工程1－4A415土木A202城规A202城规A304控制76、电气48、机械机电动力89创业工程学10-13A104数值分析3（外聘）3、5-7、9-12A104电信学院109、计算机学院124力学11物理与工程中的数学方法3A304A104土木市政环境127、材料学院69应用随机过程1-3, 5-9A304自然辩证法概论三16F报告厅土木，城规，基础A312力学专业课结构可靠度理论与应用6-9A415土木生态城市设计理论与方法7-11,13-14,17A202城规F报告厅土木，城管除金10，基础高等土力学10-17A415土木组织行为学1-3,5-9A302管理A308专题课，其他学科若冲突可不选A311机械，动力污染场地风险分析与修复技术14-17A305环境A311机械，动力，控制最优控制10-17A413控制A415土木先进陶瓷材料10-17A405材料A505通信、微电子、物电、电气信息光子学1-3、5-6A504物电A505通信、物电、微电非线性光学7-9A406物电A302计算机数字大规模集成电路测试设计9A504微电清华金融10人设计模式1-3, 5-9A402计算机A408金融企管组合数学10-17A502计算机E206金融企管物流与供应链管理14-17E206企管行为科学研究方法1-3,5-9A408管理货币金融学16-17A408金融城市发展中的应用经济学1-3,5-9A202城规建设项目设计过程与评价10-13A202城规A104土木市政环境127、材料学院69创业工程学10-13A104数学之美15A104数学之美15A104F报告厅土木，城规，基础微分方程数值解1-3, 5-9A304物理与工程中的数学方法3A304A308专题课，其他学科若冲突可不选结构动力学1-3、5-9A415土木自然辩证法概论三16F报告厅土木，城管，基础科学技术史12A104A305环境结构试验技术10-17A415土木生态城市设计理论与方法7-11,13-14,17A202城规A311控制，电气运动控制1-3,5-9A311控制，电气组织行为学1-3,5-9A302管理A311机械，动力工程实验设计与分析10-17A311机械，动力数值分析3（外聘）3、5-7、9-12A104电信学院109、计算机学院124力学11A413控制计算机视觉10-17A413控制A502计算机材料物理10-17A405材料A505通信、物电A504微电子应用密码学10-17A402计算机A505微电通信物流与供应链管理14-17E206企管A302计算机行为科学研究方法1-3,5-9A408管理计算机货币金融学16-17A408金融清华金融10人城市发展中的应用经济学1-3,5-9A202城规A408金融企管建设项目设计过程与评价10-13A202城规E206金融企管A104科学技术史12A104科学技术史12A104科学技术史12A104 F报告厅计算机，电子信息金10计算流体动力学1-3、5-9A415土木数学之美15A104数学之美15A104F报告厅材料，机电移动机器人导航理论3,5A413控制A305环境生物医学信号1-2A505通信、微电、物电A311土木中国税收学2-3,5-11,13-14A202金融学A415土木数据库系统原理1-3, 5-10A302计算机A504微电A505通信A302计算机A104中国税收学2-3,5-11,13-14A202金融学F报告厅计算机，电子信息，金融10人生物医学信号1-2A505通信、微电、物电F报告厅材料，机电A505通信、微电、物电。
哈工大矩阵分析课件6
(电子版)
董增福
哈尔滨工业大学数学系
1
第六章 特征值的估计 特征值的估计 核心内容：
特征值界的估计 1．特征值界的估计 2．圆盘定理 3．Hermite矩阵的正定条件与 Rayleigh商 广义特征值与 特征值与广义Rayleigh商 4．广义特征值
2
§6.1 特征值界 特征值界的估计
1 2 i< j i =1 j =1 1 2 2 n n 2 2 i, j
2
∑
i =1
n
1 4
λi − λi + ∑ rij = ∑∑ cij ≤ n max cij .
2 i< j i =1 j =1 i, j
n n
2
故 Re(λi ) ≤ ∑ Re(λi ) = ∑ λi + λi ≤ n max bij ,
= 3.
3 −1 Im(λ ) ≤ C 2×3
m∞
对于 Im(λ ) 的估计, 定理 6.3明显优于定理 6.2.
16
以下计算A的特征值 :
λ −1 −1 λ I − A = 1 λ −1 = λ (λ 2 + 3). 1 1 λ 故 A的特征值为 λ1 = 0, λ2 = 3i, λ3 = − 3i .
下面的定理给出矩阵的特征值与它的F 范数 的关系:
定理 6.1(Schur不等式) 设λ1,..., λi ,..., λn为 A = (aij )n×n ∈ C n×n 的特征值, 则有Schur不等式
∑λ
i =1
n
2
i
≤ ∑∑ aij = A F
2 2 i =1 j =1
n
n
(6.1)
等号成立的充要条件为 A是正规矩阵.
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一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班 一区01班
14S021038 14S021039 14S021040 14S021042 14S021043 14S021044 14S021045 14S021046 14S021047 14S021048 14S021049 14S021050 14S021051 14S021052 14S021053 14S021054 14S021055 14S021056 14S021057 14S021058 14S021059 14S021060 14S021061 14S021062 14S021063 14S105002 14S105005 14S105007 14S105009 14S105011 14S105012 14S105014 14S105016 14S105018 14S105019 14S105020 14S105021 14S105022 14S105023 14S105024 14S105025 14S105026 14S105028 14S105029 14S105030 14S105032 14S105033
14S105034 14S105037 14S105038 14S105040 14S105041 14S105043 14S105044 14S105045 14S105046 14S105047 14S105048 14S105049 14S105050 14S105051 14S105052 14S105053 14S105054 14S105056 14S105057 14S105058 14S105059 14S105061 14S105062 14S105063 14S121001 14S121002 14S121003 14S121004 14S121007 14S121009 14S121010 14S121011 14S121012 14S121013 14S121014 14S121016 14S121017 14S121018 14S121020 14S121021 14S121022 14S121023 14S121025 14S121026 14S121029 14S121030 14S121031
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 1 2 3 4 5 6 7 8
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尚进 张莹莹 王骁 付梦 吴少雪 王孟奇 袁泉 周蕾 穆慧琳 金天明 张光宇 杨帅 孔伟东 岳晋 姜化冰 张明昊 田斯 郭岩 王德民 孙礼辰 刘璇 赵向阳 姜含露 史绍蕊 侯国忠 陈天阳 张伟斌 徐显美 朱瑶 张月姣 姜文光 张美玲 罗华菊 赵晓荣 马蕾 仝培霖 关鹏 李晓磊 王涛 王婷 肖想民 张俊伟 孙婷婷 周鑫 张居旺 张丽 赵爽
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朱洪斌 崔璨 张志平 徐红 张瑞敏 汪亮亮 林帅 赵银武 胡永菲 张恩杰 邴兆航 李恒 张立鑫 李弘毅 宋欣悦 李涛 韩谨恒 陆嵩 闫冬 高坤 胡雅琴 朱蕴中 李飞雅 党文超 车继鹏 郭磊 谢青青 张佳智 吴梦蝶 郑俊喆 张驰 刘晗 王鹤 李国际 王志俊 孙士明 程艳敏 段雷 韩新胜 杨航 张宇 温宇 郭美玲 季柄任 王硕 吴凤辉 马哲明
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