分部积分法
分部积分法
分部 积分法
积分法
第一换元法 第二换元法
直接 积分法
基 本 积 分 表
一 求下列不定积分： 二、
2 2 x dx ； 1、 x cos 2 ax 3、 e cos nxdx ；
练 习 题
(ln x ) 3 dx ； 2、 2 x 3 x 4、 e dx ；
5、 cos(ln x)dx ；
令 u arctan x ,
求积分 x arctan xdx .
2
例5 解 设u ln x , xdx dv, v 2 1 2 1 2 1 x ln xdx x ln x x dx 2 2 x
1 2 1 2 x ln x x C . 2 4
x cos xdx .
二.分部积分法
udv d uv vdu udv d uv vdu
移项得 即
udv uv vdu.
法.
(称分部积分法则)
说明1.当被函数是两种不同类型函数的乘积时用分部积分
2. vdu比 udv易求.
１、原函数易找。 ３．凑dv的原则： ２、原函数比其本身简单或变化不大
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u .
1 解 u ln x , dv dx,则du dx, v x x 1 ln xdx x ln x x xdx x ln x x C .
熟悉以后，可以去掉假设u.dv的过程.
t tan t ln cos t C
arcsin x
x 1 x2
ln 1 x C
2
例13 解
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
分部积分法
π 2 0
x d x ( n 1) sin x d x
( n 1)J n2 ( n 1)J n .
于是
n1 Jn J n 2 , n 2 . n
前页 后页 返回
其中
J0
J 2m
π 2 0
π dx , J1 02 sin xdx 1, 2
证由 d ( u( x )v( x )) v( x )du( x ) u( x )dv( x ) 或
u ( x)dv( x) d (u ( x)v( x)) v( x)du ( x), 两边积分,得
u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
定积分时,需要使用升幂法.
3 x 例12 ln xdx .
4 1 4 x 3 3 x ln x d x ln x d ( x ln x x dx ) 解 4 4 4 x (4 ln x 1) C . 16
n
n
n
注 通过对 xn 的升幂和 ln x 的求导, 化解了难点.
b
b
u( x )v ( x )
b a
.
b a
移项后则得
a u( x )v( x ) d x u( x ) v ( x )
b
u( x )v ( x ) d x .
a
b
前页 后页 返回
例5 求
1 2 0
arcsin x dx .
dx 1 x2 , dv d x,
解 设 u arcsin x , v x , 则 d u
(3)
前页 后页 返回
1 I 2 sin bx d(eax ) 1 (eax sin bx b eax cos bxdx ) a a 1 ax (4) (e sin bx bI1 ). a
第3节 分部积分法
1 所以 sec xdx (sec xtanx ln sec x tanx ) C . 2
3
34
高等数学
●
戴本忠
17
1 例10 求 I n 2 2 n dx , 其中 n 为正整数 . (x a ) 解 当 n 1 时, 根据分部积分法 1 ( x 2 a 2 ) n 1 dx
高等数学
●
戴本忠
例9 解
求 sec 3 xdx .
3 sec xdx sec xdtan x
(tan x)sec2x (sec x)secxtanx
sec xtanx sec xtan 2 xdx sec xtanx sec x (sec 2 x 1)dx sec xtanx sec 3 xdx sec xdx sec xtanx ln sec x tanx sec 3 xdx .
●
戴本忠
10
例2
解
求 xe x dx .
令 u x, dv e dx,
x
那么 du dx, v e x .
x x x x x x x e d x x e e d x x e e C e ( x 1) C .
例3 解
求 x 2e x d x .
1 x 2 arctan x 1 x 2 d(arctan x )
1 x arctan x
2
34
1 1 x 2 dx 1 x
2
高等数学
●
戴本忠
21
1 x arctan x
2
1 dx 2 1 x 令 x tan t
分部积分法
ln x 1 1 ln x x − ln +C . = − ∫( + ) dx = 1− x 1− x 1− x x 1− x
(3) ∫ x cos x dx = ( x 2 − 2) sin x + 2 x cos x + C .
2
10
分部积分法与换元法结合: 分部积分法与换元法结合: 例 解
求
2 x x x
= ( x 2 − 2 x + 2)e x + C .
6
例
∫ lnux dx = x ln x − ∫ x dlnx v
1 = x ln x − ∫ x ⋅ dx = x ln x − ∫ dx x = x ln x − x + C .
例
∫ arcsin x dx
= x arcsin x − ∫ xdarcsinx
例
sec3 xdx ∫
sec3 xdx = ∫ sec x ⋅ sec 2 xdx = sec xd tan x 解 ∫ ∫
= sec x tan x − ∫ tan 2 x sec xdx
= sec x tan x − ∫ (sec 2 x − 1) sec xdx
= sec x tan x + ∫ sec xdx − ∫ sec xdx
arctan ex 1.∫ dx x e
2.∫ sin x dx
14
1 1 1 1 d(1 + u 2 ) = − arctan u + ∫ du − ∫ u u 2 1 + u2 1 1 = − arctan u + ln u − ln(1 + u 2 ) + C u 2 1 x −x = −e arctan e + x − ln(1 + e 2 x ) + C 2 arctan e x 解二 ∫ e x dx 彻底换元 令 t = arctanex 则 e x = tan t, x = ln tan t 1 ⇒ dx = ⋅ sec 2 tdt t 1 tan t ∴原式= ∫ ⋅ ⋅ sec2 tdt tan t tan t 1 = ∫ t ⋅ 2 dt = − td cot t ∫ 15 sin t
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
分部积分法
ax c
dx
dv
1 ax c xd (e ) a
1 ( xe ax c e ax c dx ) a
这种类型通常是将指数函数先凑入微分号内.
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（二）
P ( x) sin axdx
n
或
P ( x) cos axdx
e x sin x (e x cos x e x d cos x ) e x (sin x cos x ) e x sin xdx e x sin xdx
ex (sin x cos x ) C . 2
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
x ln xdx
x2 1 2 ln x x d (ln x) 2 2
x2 1 ln x x 2 C 2 4
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2 求下列不定积分
(1) x ln xdx
解： (2)
令
(2) arctan x dx
u arctanx,
2
x 2 cos x 2 x sin x 2 cos x C
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（一）
Pn ( x) e ax c dx
其中
(a 0)
2 n
pn ( x) a0 a1 x a2 x an x
如
xe u
x arcsin x 1 x 2 C
4.3 分部积分法
分部积分法
2
2
2
4
例6 求 x arctan xdx 。
x arctan xdx
1 arctan xd（x2） 1x2 arctan x 1
2
2
2
x2 1 x2
dx
解
1 x2 arctan x 1
2
2
1
1 1 x2
dx
1 x2 arctan x 1 x 1 arctan x C
2
回代t x 2( xe x e x ) C 2e x ( x 1) C.
高等数学
（4-7）
这个公式称为分部积分公式，用此公式求积分的方法称为分 部积分法。
分部积分法是将积分 udv 转化为另一个积分 vdu ，用分部积
分法求积分时，正确选择u和dv是解题的关键．一般要考虑以下两 点：
（1）v要容易求出； （2）转换后的积分要比转换前的积分容易积出。
例1 【引例的计算】。
P p(t)dt 0.0849 106 tetdt 0.0849 106 tetdt
x2 sin xdx x2 cos x 2(x sin x sin xdx)
x2 cos x 2x sin x 2 cos x C
例5 求 x ln xdx 。
解
x
ln
xdx
lnxd( 1 2
x2
)Leabharlann 1 2x2ln
x
1 2
x2d(ln
x)
1 x2 ln x 1 xdx 1 x2 ln x 1 x2 C
由变化率求总改变量得
P p(t)dt 0.0849 106 tetdt 0.0849 106 tetdt.
定理 定理 u u(x) ，v v(x) 设函数 具有连续导数，由函数 乘积的微分法则
分部积分法
分部积分法
是微积分中的一类积分办法。
对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行
换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
定积分的分部积分法公式是（uv）'=u'v+uv'，代入∫u'vdx=uv-∫uv'dx，得u'v=（uv）'-uv'，即∫u'vdx=uv-∫uv'dx。
的定分数就是分数的一种，就是函数在区间上分数和的音速。
一个函数，可以存有不
定积分，而不存有的定分数；也可以存有的定分数，而不存有不定积分。
一个连续函数，
一定存有的定分数和不定积分；若只有非常有限个间断点，则的定分数存有；若存有弹跳
间断点，则原函数一定不存有，即为不定积分一定不存有。
分部积分，integral by parts，是适用于三种情况的积分方法： 1、可以逐步降低
幂次的积分例如：∫x?sinxdx = -∫x?dcosx = -x?cosx + 4∫x3cosxdx + c 这样一来，x 的幂次就降低了，以此类推，就积出来了。
2、可以将对数函数转化成代数函数的积分
例如：∫x3lnxdx = (1/4)∫lnxdx? = (1/4)x?lnx - (1/4)∫x3dx + c 这样一来，lnx
就消失了，就轻而易举地可以积出来了。
3、可以将积分过程当成解代数方程一样解的积
分例如∫(e^x)sinxdx∫(e^x)cosxdx∫(e^-2x)sin3xdx、∫(e^-4x)cosxdx。
高数-分部积分法
x (1 x2 )2
arctan
xdx
.
解: 令 t arctan x , 则
原式 =
tan t sec4 t
td
(tan
t
)
tan t sec4 t
t
sec2
tdt
1 2
t
sin
2tdt
1 4
td
cos
2t
1 4
t
cos
2t
1 4
cos
2tdt
1 t cos 2t 1 sin 2t C
14
例. 求 sec3 xdx
15
例11. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
16
例9. 求
解:
令
u
(x2
1 a2
)n
,
v
1,
则
u
2nx (x2 a2 )n1
I
1 d earctan x
1 x2
I
earctan x
(1
x
2
)
3 2
dx
1 1
x2
earctan x
x earctan x
(1 x2 )32
dx
1 earctan x 1 x2
x dearctan x 1 x2
1 earctan x (1 x) I
1 x2
I 1 x earctan x C 2 1 x2
34
35
x
d
x
23
内容小结
高等数学-分部积分法
10
01 分部积分法
例5 求不定积分 cos( ) ．
解
令 = නcos( ) ，则有 ( ) = −() ∙
1
= නcos( ) = cos( ) − න ( )
= ( ) + න( )
2
2
2
转化后的积分 比原来的积分更麻烦，
2
所以正确的选取和 ′ 非常关键！
5
01 分部积分法
例2 求不定积分 2 ．
解
选取 = 2 ， ′ = ，则
2
න 2 = න 2 = 2 −2
4
−
2
2
，
′′ () = ′ − +
=
2
2
+
3 2
+ .
+
13
න
− න
= 2 +2 න
= 2 +2（ − න ）
= 2 +2 − 2 + .
6
01 分部积分法
注 （1）多次使用分部积分时，和 ′ 的选取类型要与
第一次的保持一致，否则将回到原积分.．
（2）解决两个不同类型函数乘积的积分计算.
（3）按 “反、对、幂、三、指”的顺序，把排在
前面的函数选作 ，把排在后面的那个函数选作′.
3
01 分部积分法
例1 求不定积分 ．
解
被积函数为幂函数与三角函数的乘积，
故选取 = ， ′ = ，则
න = න = − න
分部积分法
§6.2 分部积分法（1）【导语】【正文】一、不定积分的分部积分法分部积分法是与微分学中函数乘积的求导法相对应的一种基本积分公式． 设函数()u u x =与()v v x =均是可导函数，则()()()()()()()u x v x u x v x u x v x ′′′=+．假设不定积分次()()d ()()d u x v x x u x v x x ′′∫∫，均存在，积分得()()()d ()()d ()()d u x v x x u x v x x u x v x x ′′′=+∫∫∫， 即 ()()d ()()()()d u x v x x u x v x u x v x x ′′=−∫∫．Remark 微分形式()d ()()()()d ()v x u x u x v x u x v x =−∫∫．定理4 设函数()u u x =与()v v x =均是可导函数，且不定积分()()d u x v x x ′∫存在，则不定积分()()d u x v x x ′∫存在，且()()d ()()()()d u x v x x u x v x u x v x x ′′=−∫∫或()d ()()()()d ()v x u x u x v x u x v x =−∫∫．定理4中的公式就是所谓的分部积分公式．分部积分法．Remark 能否有效地利用分部积分法计算积分，关键在于写出合适的()d ()()d f x x u x v x x ′=∫∫．例1 求cos d x x x ∫．解 cos d d(sin )x x x x x =∫∫sin sin d x x x x −∫sin cos x x x C ++．例2 求e d x x x ∫．解e d de e e d x x x x x x x x x ==−∫∫∫e e x x x C −+． 例3 求2sin d x x x ∫．解 22sin d d(cos )x x xx x =−∫∫ 222cos (cos )d()cos 2cos d x x x x x x x x x =−−−=−+∫∫22cos 2dsin cos 2sin 2sin d x x x x x x x x x x =−+=−+−∫∫2cos 2sin 2cos x x x x x C =−+++．例4 求2cos d x x x ∫．解21cos d (1cos 2)d 2x x x x x x =+∫∫ 211sin 2sin 2d 444x x x x x =+−∫211sin 2cos 2448x x x x C =+++．Remark 几种类型sin d m x x x ∫，cos d m x x x ∫，d m x x a x ∫．例5 求2ln d x x x ∫．解 231ln d ln d()3x x x x x =∫∫ 33111ln d 33x x x x x =−⋅∫3311ln 39x x x C =−+． 例6 求arctan d x x x ∫．解 2222111arctan d arctan d()arctan d 2221x x x x x x x x x x ==−+∫∫∫ 22111arctan (1)d 221x x x x −−+∫ ()21arctan arctan 2x x x x C −++．Remark 几种类型ln d m x x x ∫，arcsin d m x x x ∫，arctan d m x x x ∫．例7 求e sin d x x x ∫． 解法1 ()e sin d e d cos x xx x x =−∫∫ e cos cos de e cos e dsin x x x x x x x x =−+=−+∫∫e cos e sin e sin d x x x x x x x =−+−∫．记 e sin d x I x x =∫， 这样就得到 ()e sin cos x I x x I =−−，所以()1e sin cos 2x I x x C =−+． 解法2 e sin d sin de x x x x x =∫∫e sin e dsin e sin e cos d x x x x x x x x x =−=−∫∫e sin [e cos e sin d ]x x x x x x x =−+∫．记 e sin d x I x x =∫， 这样就得到 ()e sin cos x I x x I =−−，所以()1e sin cos 2x I x x C =−+．例8 sin(ln )d x x ∫． 解法1 令ln x t =，即e t x =，d e d t x t =，所以sin(ln )d e sin d t x x t t =∫∫()1e sin cos 2t t t C =−+ ()1sin(ln )cos(ln )2x x x C =−+． 解法2 因为()sin(ln )d sin(ln )d sin(ln )x x x x x x =−∫∫d sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )d x x x x x x x x x x=−=−∫∫ ()d sin(ln )cos(ln )d cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x x x x x x x x x x =−+=−−∫∫sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =−−∫，所以 sin(ln )d (sin ln cosln )2x x x x x C =−+∫． 例9 求3sec d x x ∫．解 因为32sec d sec d tan sec tan sec tan d x xx x x x x x x ==−∫∫∫ 3sec tan sec d sec d x x x x x x =−+∫∫3sec tan ln sec tan sec d x x x x x x ++−∫，所以 ()31sec d sec tan ln sec tan 2x x x x x x C =+++∫． Remark 一种类型：应用分部积分法可导出含有原来积分的方程，移项解方程求得结果．例10 设22d ()n n x I a x =+∫，求n I 满足的递推关系． 解 因为2222221d 2()()()n n n n x x x n xdx I a x a x a x +==++++∫∫22222221()d 2()()n n x x a a x n a x a x ++−+++∫ 22222221d d 22()()()nn n x x x n na a x a x a x +=+−+++∫∫ 212222()n n n x nI na I a x ++−+， 所以 122222122()n n n n x I I na na a x +−=++． 应用分部积分法时注意的问题：1. 一般来说，下列函数sin ,cos ,e ,ln ,arcsin ,arctan ,e sin ,e cos k k k ax k k k ax ax x bx x bx x x x x x x x bx bx等形式的不定积分适用分部积分法．2. 当被积函数为sin ,e k k ax x bx x 等形式时，利用通过分部积分公式时，应对k u x =求导； 当被积函数为ln ,arctan k k x x x x 等形式时，利用通过分部积分公式时，应对ln u x =或arctan u x =求导；当被积函数为e sin ,e cos ax ax bx bx 等时，应用分部积分公式可导出含有原积分的方程．3．注意得出递推关系的情形及其他情形．【本讲总结与下讲预告】。
分部积分法
分部积分法
分部积分法是微积分中的一种方法，用于求解一个函数的积分。
它基于乘积法则，可以将被积函数分解成两个函数的乘积形式，然后对其中一个函数求导，另一个函数求积分，从而将原本难以求解的积分转化成一个更易于求解的积分式子。
具体而言，设有两个函数f(x) 和g(x)，则根据乘积法则，它们的乘积的导数为f(x)g'(x) + g(x)f'(x)。
根据分部积分法，我们可以将被积函数拆分成这样的形式，然后对其中一个函数求导，同时对另一个函数求积分。
通常情况下，我们会选择一个函数f(x) 求导，另一个函数g(x) 求积分，这样我们就能够将原本难以求解的积分转化成一个更易于求解的积分式子。
分部积分法的具体公式为：
∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x)dx
其中，f(x) 和g(x) 分别为两个函数，g'(x) 和f'(x) 分别为它们的导数。
需要注意的是，分部积分法并不能解决所有的积分问题，但在很多情况下都能够起到很好的作用。
在使用分部积分法时，我们需要灵活运用，选择合适的分解形式和函数求导、积分的顺序，以便最终求得正确的积分结果。
高等数学PPT课件：分部积分法
分部积分法
一、分部积分公式
xe xdx x ln xdx arcsin xdx
特点 被积函数是两个不同函数的乘积 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x)及v v( x) 具有连续导数.
(uv) uv uv uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx udv uv vdu
2 6
分部积分法
例7 x tan2 xdx
x(sec2 x 1)dx
x sec2 xdx xdx
u dv
xdtan x xdx x tan x tan xdx xdx
x2 x tan x ln cos x C
2
7
分部积分法
曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!
2
2
a
8
分部积分法
1
x
2
x
2
arctan
xdx
1
1
x2 x2
1arctan
xdx
arctan
xHale Waihona Puke x11 x2arctan
xdx
或取u
arctan
x,
dv
1
x
2
x
2
dx
d( x arctan x)
试比较一下哪种做法简单.
9
分部积分法
思考题
分部积分
已知f ( x)的一个原函数为ex2 , 求 xf ( x)dx
x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2 x d(e x )
x2e x 2( xe x e xdx) C
x2e x 2 xe x 2e x C
分部积分法
sec
n 2
x tan x ( n 2) I n ( n 2) I n 2
23
递推型
如 : sin x d x , cos x d x , tan x d x , csc x d x .
n n n n
I n sin xdx sin
n
n1
x 1 x
2
x arctan x 1 x
2
2
dx
x
arctan xd 1 x
1 x d (arctan
2
1 x arctan
2
x)
1 x arctan x
1 x
2
1 1 x
2
dx
1 x arctan x
2
1 1 x
2
dx
2
1 x arctan x ln x 1 x
uvdx uv uvdx udv uv vdu
分部积分公式
1
udv uv vdu
分部积分公式 恰当选取u和dv是一个关键, 选取u和dv的一般原则是: (1) v要易求; (2)
vd u 比 u d v 易求.
2
例 求积分 x cos xdx . 解（1） x cos xdx cos xd
n 1
In
1 n
cos x sin
x
n 1 n
I n 2
24
在积分过程中常常兼用各种积分法.
例 求 cos
解
x dx . x dx
cos
t
高数分部积分法
举例2：计算 ∫ ln x cos x dx
同样将ln x视为u，cos x 视为dv，通过分部积分 法得到结果。
在这些例子中，分部积 分法展示了其在处理复 杂函数积分时的有效性。 通过选择合适的u和dv， 我们可以逐步简化积分 表达式，最终得到积分 的解析解。
05
分部积分法的注意事项
积分公式的选择
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感谢观看
举例2：计算 ∫ e^x cos x dx
将e^x视为u，sin x视为 dv，应用分部积分法进行 求解。
同样将e^x视为u，cos x 视为dv，通过分部积分法 得到结果。
对数函数与三角函数的积分
01
02
03
04
05
举例1：计算 ∫ ln x sin x dx
将ln x视为u，sin x视为 dv，应用分部积分法进 行求解。
03
与其他积分方法（如换元法、分式分解法等）结合 使用，提高求解效率。
02
分部积分法的基本原理
微积分基本定理
微积分基本定理建立了定积分与不定 积分之间的联系，为分部积分法提供 了理论基础。
通过微积分基本定理，可以将一个复 杂的积分表达式转化为另一个相对简 单的积分表达式，从而简化计算过程。
分部积分公式
高数分部积分法
• 引言 • 分部积分法的基本原理 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的应用举例 • 分部积分法的注意事项 • 总结与展望
01
引言
分部积分法的定义
ห้องสมุดไป่ตู้
定义
分部积分法是一种求解不定积分的方 法，通过将被积函数拆分为两个函数 的乘积，并分别对这两个函数进行积 分和微分，从而简化求解过程。
逐步进行分部积分
高等数学分部积分法
所以
ex sin x ex cosx ex sin xdx ,
eHale Waihona Puke xsinxdx
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
.
分部积分过程：uvdx udv uv vduuv uvdx .
例例88 求 sec3 xdx .
解 因为
sec3 xdx sec xsec2 xdx sec xd tan x sec x tan x sec x tan2 xdx sec x tan x sec x(sec2 x 1)dx
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
分部积分过程：uvdx udv uv vduuv uvdx .
例例11 xcosxdx xd sin x xsin x sin xdx
x sin xcos xC .
例例22 xexdx xdex xex exdx xex ex C .
2 xe x 2e x C 2e x ( x 1)C .
•可用分部积分法的积分小结 (1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积:
xcosxdx , xexdx , x2exdx
(2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积:
xln xdx , arccosxdx , xarctan xdx
§4.3 分部积分法
•分部积分公式
设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么,
(uv)uvuv,
移项得
uv(uv)uv.
对这个等式两边求不定积分, 得
uvdx uv uvdx ,或 udv uv vdu ,
这两个公式称为分部积分公式. •分部积分过程
uvdx udv uv vduuv uvdx .
第四节分部积分法
x tan x tan xdx
例17 求 e sin xdx. 1 2x 解 原式 sin xd ( e ) 2 1 1 2x 2x sin xe e cos xdx 2 2 1 1 1 2x 2x sin xe cos xd ( e ) 2 2 2 1 1 1 2x 2x 2x sin xe cos xe e sin xdx 2 4 4 2 2x 1 所以 原式 e (sin x cos x ) c 5 2
x dx . 例15 求 2 cos x 解 原式 xd tan x
x tan x ln cos x c . x cos x dx . 例16 求 3 sin x 1 1 1 2 解 原式 xd ( 2 ) xd (csc x ) 2 sin x 2 1 1 2 2 x csc x csc xdx 2 2 1 1 2 x csc x cot x c. 2 2
kx
P( x) u
P( x) ln ( x)dx 对数函数=u
P( x) arcsin xdx P( x) arctan xdx
反三角函数=u
例10 求 (2 x 2 1)e 3 x dx. 1 3x 2 解 原式 ( 2 x 1)d ( e ) 3 1 1 3x 2 3x e 4 xdx ( 2 x 1)e 3 3 4 1 3x 1 2 3x ( 2 x 1)e xd ( e ) 3 3 3 1 4 3x 2 3x 4 3x ( 2 x 1)e xe e dx 3 9 9 4 3x 4 3x 1 2 3 x xe e C ( 2 x 1)e 9 27 3 1 2 3x (18 x 12 x 13)e C 27
5.4 分部积分法
§5.4 分部积分法
例2 求积分 解
xe x dx . ∫
v = e x , e x dx = de x = dv , 设u = x ,
xe x dx ∫
= xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C
= sec x tan x − ∫ sec3 xdx + ln sec x + tan x
1 ∫ sec xdx = 2 (sec x tan x + ln sec x + tan x ) + C
3
§5.4 分部积分法
上例显示在运用分部积分法时可能会出现下列关系式: , ,
∫
f ( x) d x = ϕ ( x) + a ∫ f ( x) d x
∫ P ( x) sinaxdx ∫ P ( x) cosaxdx ∫ P ( x) arcsinxdx ∫ P ( x) arctanxdx ∫ arcsin xdx ∫ arctan xdx
n n
dx ∫ sin xdx ∫ cos xdx ∫ ( x 2 + a 2 )n
n n
§5.4 分部积分法
2
2
∫
若被积函数是幂函数和反三角函数的乘 就考虑设反三角函数为u. 积，就考虑设反三角函数为
§5.4 分部积分法
例6 求积分 e sin xdx .
∫
x
e x sin xdx = ∫ sin xde x= e x sin x − ∫ e x d (sin x ) 解 ∫ = e x sin x − ∫ e x cos xdx = e x sin x − ∫ cos xde x = e x sin x − (e x cos x − ∫ e x d cos x ) x x = e (sin x − cos x ) − ∫ e sin xdx ex x ∴ ∫ e sin xdx = (sin x − cos x ) + C . 2
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一、探索公式
1. 引例
试求下列不定积分
(1) xdex; (2) ln xdx; (3) exdx; (4) xd(ln x). 分析 (1)(2)暂无法求解； (3) exdx ex C;
(4) xd(ln x) x(ln x)dx x x dx x C.
三、使用公式
分部积分公式 udv uv vdu
例1（引例（2））求不定积分 ln xdx.
解 ln xdx x ln x x d(ln x)
检验
x ln x x(ln x)dx
x
ln
x
x
1 x
dx
x ln x dx
x ln x x C.
分部
udv uv vdu INTEGRATION BY PARTS 积分法
一、探索公式
1. 引例
试求下列不定积分
(1) xdex; (2) ln xdx; (3) exdx; (4) xd(ln x). 分析 (1)(2)暂无法求解； (3) exdx ex C;
等于被积函数
(x ln x x C) ln xx 1 1 ln x.
x
分部积分公式 udv uv vdu
例2 求不定积分
t2etdt. vudx
分解析 t2tedt(dtt2et ) t2 (ett(dt2te)t)dt 2dett(2tet t2et )dt
2.已知 f (x的) 一个原函数是 ex，2 求 xf (x)dx.
1. 公式名称的由来 分部积分 —— integration by parts.
2. 公式成立的条件
若函数u 和v 均 可微 ，则 udv uv vdu.
3. 公式蕴涵的思想 其中蕴涵了“正难则反”“化难为易”的 转化思想
4. 公式体现的“美” 它是一个十分简洁、对称、优美的不定积分模型.
3. 当多个函数都可凑进，但又不能同时凑进微分号时， 要选择易于积分的函数凑进微分号，导数有简化趋势的函数 留在微分号前面，再用分部积分公式.
4. 当几个函数积分和微分的难易程度相当，且需多次使 用分部积分公式时，每次要将同类函数凑进微分号，否则， 积分过程将原路返回.
练习题
1.计算下列不定积分
(1) arctan xdx;
et sin t costdet et sin t et cost etd cost
et sin tdt et sin t et cost et sin t dt
集合方程
2 et sin tdt et sin t et cos t C1
et sin tdt
t2et 2tet 2et C.
分部积分公式 udv uv vdu
例3 求不定积分 et sin tdt.
同
类
解 et sin tdt sin t(etdt) sin tdet et sin t etd sin t 函 数
同类函数 et sin t et cost dt et sin t cost(etdt)
(2) (3x2 1)ln xdx;
(3) ln2 zdz;
(4) (arcsin x)2 dx;
(5) e xdx;
(6) sin(ln t)dt;
(7) sec3 d;
(8)
arcsin 1 2
d ;
(9)
ln cos cos2
d ;
(10) xex d. ex 1
(t2 ) 2t t2(e2tt) e2td, tt22 的导导函数数有趋于简简化趋势；
(et )
(et
)
te2te, t
et 的2 导tet函dt数化无的函简数化留作趋u势.
t2et 2 td(et )
t2et 2(tet etdt)
1 et (sin t cos t)C. 2
(C
1 2
C1
)
四、总结公式
1. 分部积分法，就是用分部积分公式求解不定积分问 题的方法. 其核心是分部积分公式的使用. 分部积分法，通 常要和凑微分法和换元法结合使用.
2. 当被积函数是多个函数的乘积时，要尽量使更多的函 数凑到微分号后面去，直到不再有函数可凑进微分号为止， 再用分部积分公式.
问题 从以上分析中，发现了什么现象或规律？
2. 寻求积分 udv 与积分 vdu 之间的关系
d(uv) udv vdu udv d(uv)vdu
udv d(uv) vdu udv uv vdu
二、解读公式
分部积分公式 udv uv vdu
(4) xd(ln x) 中，发现了什么现象或规律？ 一个积分难以求解，但是，将微分号“d ”前后
两个函数的位置交换之后的另一个积分却易于求解.
这种现象在积分问题中还大量存在. 如，
arctan xdx, sin(ln x)dx , ln2 xdx, td sin t,L