第二讲 分式的运算

第二讲 分式的运算

学习目标

1．掌握分式的加、减、乘、除、乘方运算法则

2、掌握分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

3、掌握分式运算常用的技巧，并能灵活应用。

一、知识回顾

知识点1、分式的乘除法运算：

a b c d ac bd ⋅=； a b c d a b d c ad bc

÷=⋅= 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

热身1：计算（1）x

b ay by x a 2222⋅； （2）222222x b yz a z b xy a ÷ ⑶493222--⋅+-x x x x 答案：⑴⋅33b a ⑵⋅33z

x ⑶23+-x x

知识点2、分式的加减法运算

⑴同分母的分式加减法法则 a c b c a b c

±=± ⑵异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

热身2：计算⑴b

a a

b b a b a b a b a 22255523--+++ ⑵22y x x -－22x y y - ⑶1624432---x x . ⑷2a a b a b

--- 答案：⑴b

a b a 2525+⑵y x -1⑶43+x ⑷b a b -2

知识点3分式乘方

()a b a b

n n

n =（n 为正整数） 热身3：判断下列各式是否成立，并改正.

（1）23

)2(a b =252a b （2）2)23(a b -=2

2

49a b - （3）3)32(x y -=3398x

y （4）2)3(b x x -=2229b x x - 答案：⑴错，264a b ⑵错，2249a b ⑶错，33

278x y -⑷错，22)(9b x x -

知识点4、分式的混合运算

顺序：先进行乘方运算，其次进行乘除运算，再进行加减运算，遇有括号，先算括号内的。

如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运

算。

热身4：计算x x x x x x x x 22222662

----÷+-+-的结果是（ C ） A. x x --13 B. x x +-19 C. x x 2219-- D. x x 2213

++ 二、 例题辨析

例1、计算：2

444222-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+x x x x x x 本题可用两种方法：应先算括号里的或用分配律进行运算。结算为2

-x x

变式练习：计算⑴⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⋅+-y x x y x y x x 2121⑵()

()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+b a b a b a b a 111122 答案：⑴1 ⑵222b

a a -

例2、⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-222221b ab a b a b a b a b a b a

答案：b

a +2

变式练习：计算422311222--÷+++∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x x x x 答案：1

+x x

例3、已知：y x y x y

x y xy y x Mx +-+--=-2222222，则M =_________。 解： 2222

xy y x y x y x y --+-+ 2222222

222222y x Mx y x x y x y xy x y xy -=-=-+-+-=

1=∴M

说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M 。

变式练习已知

2

111)2)(1(15-+-=--+x x A x x x ，求A 的值 答案：A ＝-6 三、 归纳总结 方法在握

归纳1. 分式的四则运算与分式的乘方

① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：d

b c a d c b a ∙∙=∙ 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：c

c ∙∙=∙=÷b

d a d b a d c b a ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛

③ 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：c

b a

c b ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：bd

bc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。 注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析

出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

归纳 2. 分式的运算技巧：分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分. 但对

某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分,要讲究技巧.要注意以下几种技巧：①逐项通分法；②整体通分法；③裂项相消法；④主元法；⑤倒数法；⑥巧设参数法等.

四、拓展延伸

例1、计算20

9112716512312222+++++++++++x x x x x x x x 本题通分进行运算相当复杂，采用裂项法：原式＝11+x －21+x +21+x －31+x +3

1+x －41+x +41+x －51+x ＝11+x －51+x ＝5

642+++x x

变式练习⑴ 计算2

22244242y x y x y x y y x ---++ 提示：采取逐项通分法 ⑵计算⋅+++++++)6)(4(2

)4)(2(2

)2(2

x x x x x x

提示：采取裂项法

例2、计算：a a a a a a 2211313

+-+--+- 解：原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313