高数第三节 幂级数 (1)

当x 1 时，级数 n发散，x 1是发散点.
k 1
当x 1 时，级数 n(1)n发散，x 1是发散点.
收敛区域
当x 1或x 1时，级数发散，
•
o
•
•
（ ，1]和[1， ）是发散域. 1
1x
发散区域
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数 S(x), 称它为函数
项级数的和函数，并写成 S (x) =
k 1
x 1 时， (1)n n发散(lim (1)n n 0)，
k 1
n
收敛区间为
例4.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接
由比值审敛法求收敛半径.
lim un1(x) n un (x)
例1.求幂级数
的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim an lim n an1 n
n 1
n 1
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为 故收敛域为 (1, 1] .
发散来自百度文库.
收敛;
例2. 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1 (例3).
解: (1)
1
R lim an lim n an1 n
一、 函数项级数及其收敛域
设 u常n (数x) 项(n级 1数, 2,) 为定义在区间 I 上的函数 , 称
函
函
数数
数数
un u1 u2 u3 un
n 1
为定义在区间 I 上的函数项级数.
对
若常数项级数
收敛, 称 x0 为其收
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
a n n1
注：
1.幂级数
收敛半径的计算公式 R lim an a n
n1
2.公式的应用要求x的幂不能有间隔，否则失效.
即形如:
可以借助于常数项级数的比值或根值审敛法求收敛半径. 3.幂级数在收敛区间（-R，R）的端点的收敛性，没 有一般的结论，具体问题要具体分析。 即求收敛域：先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性. 勿忘！
和函数的定 问义题域:就和是函函数的定义域? 数项级数的
收敛域。
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
函数项级数在某点x的收敛问题，实质上是常 数项级数的收敛问题；
令注余：项 即:函数项级数的收敛性可以借助于常数项级数
则在的收收敛敛域性上得有到.
二、幂级数及其收敛性
1、定义
形如a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 的其函中特数点x0：项是12、、级某幂幂数个级级叫数数定((做11数))的完x，每全ax一由00, 项系的a1都数,幂a是构2级,非成数负的叫整数，做数列简幂{幂a称的n级}来幂幂数决函级定的数数系，数.
n! 1
(n 1)!
所以收敛域为 ( , ) .
(2) R lim an lim n ! n an1 n (n 1) !
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
0
x 1 时， nxn都发散， k 1
P281
R lim an lim n 1
a n n1
n n 1
x 1 时， n发散，
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
关于原点 的对称区 间
(R, R) 称为幂级数的收敛区间. 收敛域为
( R, R), [ R, R), ( R, R], [R, R]之一.
规定
(1) 当幂级数只在 x 0 处收敛时，
R 0, 收敛区间为 x 0；
可简记为 an (x x0 )n. n0
当 x0 0 时,幂级数为 an xn
n0
(1)
标准幂级 数
二、幂级数及其收敛性
1、定义
形如 特点： a0 a1(x1、x幂0 )级 数a2((1x)的 x每0 )一2 项都是a非n (负x 整x数0 )幂n 的幂函数 的函数项 2、级幂数级叫 数(做1)完x 全x由0 的系幂 数构级成数的，数简列称{ 幂}来级决数定， 其中 x0 是某个定数，a0 , a1, a2 ,叫做幂级数的系数.
x0
x0
发散
收o 敛 发 散
x
推论:
如果幂级数 an xn 不是仅在 x 0 一点收敛，
n0
也不是在整个数轴上收 敛，则必有一个完全确定
的正数 R 存在，它具有下列性质：
当 x R 时，幂级数绝对收敛；
当 x R 时，幂级数发散；
当 x R 与 x R 时，幂级数可能收敛也可能发散. 收敛区域
n1
rn un1 .
绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数
条件收敛 .
例如 ： (1)n1 1
n1
n
为条件收敛 .
定理8. 绝对收敛的级数一定收敛 .
为绝对收敛.
第三节 幂级数
第十二章
一、函数项级数及其收敛域 二、幂级数及其收敛性
可简记为 an (x x0 )n. n0
当 x0 0 时, 幂级数为 an xn
n0
(1)
标准幂级 数
定理1. ( 阿贝尔(Abel)定理 )
若幂级数 an xn
n0
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
(2) 当幂级数对一切 x 都收敛时，
R , 收敛区间为(,)；
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理2
an xn ,
n0
如果lim an1
n an
其中 an、an1 是幂级数 an xn 的相邻两项的系数，
n0
则这幂级数的收敛半径R 1, ,
0， 0，
R lim an
0, .
发散点的全体称为其发散域 .
如：级数 x 2x2 3x3 nxn nxn
k 1
当x 1 时，级数 n(1)n收敛，x 1 是收敛点.
2
k 1 2
2
当x 1 时，级数 n(1)n收敛，x 1 是收敛点.
3
k 1 3
3
当1 x 1时，级数收敛，（ 1，1）是收敛域.
复习:交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理7 . ( 莱布尼茨 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2, );
2) lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 S u1, 其余项满足