勾股定理、实数、位置与坐标知识点

勾股定理知识点及典型习题 一、基础知识点：

１．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=

２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒

，则c

，b

a = ５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代数式表示n 组勾股数：

221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；

2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

８.．勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，b a H G F E D C B A b a c b a c c a c a b a b c c

b a E D C

B A

实数

应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

第二章 实数

1．有理数，无理数概念：

有理数：任何有限小数和无限循环小数都是有理数。

无理数：无限不循环小数叫做无理数。

2．平方根和算术平方根的概念及其性质：

（1）概念：如果2x a =，那么x 是a

的平方根，记作：

a 的算术平方根。

（2）性质：①当a ≥0

0；当a

②2＝a

a =。

（3）开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，期中a 叫做被开方数。

3．立方根的概念及其性质：

（1）概念：若3

a ，那么x 是a

（2

a =；

②3a =；

（3）开立方：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，期中a 叫做被开方数。

4．实数的概念及其分类：

（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；

（2）分类：

a 按定义分

⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数实数

b 按大小分: ⎪⎩

⎪⎨⎧负实数零正实数

在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大.

5．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 A B C 30°

D C B A A D B

C

6．算术平方根的运算律：（a ≥0，b ≥0）；（a ≥0，b ＞0）

=7．最简二次根式：

位置的确定

知识点 1 确定平面位置的方法

（一）在直线上

（二）在平面内确定点的位置需要两个数据

（ 排， 号） （ 排， 列） （ 经， 纬） （ 角度 ， 距离）

知识点 2 平面直角坐标系及有关概念

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条

数轴的正方向，水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，它

们的公共点O 称为直角坐标系的原点。两坐标轴把平面分成四个部分，右上部

分叫做第一象限，其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、第

四象限。

知识点 3 点的坐标的定义及特点

（1）对于平面内任意一点P ，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足

在x 轴，y 轴上对应的数a ，b 分别叫做点P 的横坐标，纵坐标，有序实

数对（a ，b ）叫做点P 的坐标。

注：写一个点的坐标时，应把横坐标写在前面，把纵坐标写在后面，中间用逗号隔开，并且用括号括起来。

（1）x 轴上的点的纵坐标为0，y 轴上的点的横坐标为0。

（2）平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同。

知识点 4 各象限内点的横、纵坐标的特点

（1）各坐标轴上的点不属于任何一个象限；

（2）第一象限的横、纵坐标都为正，第二象限的横坐标为负、纵坐标为正，第三象限的横、纵坐标都为负，第四象限的横坐标为正，纵坐标为负。

知识点 5 与坐标有关的距离

（1）点P （a ，b ）到x 轴的距离为b 。（2）点P （a ，b ）到y 轴的距离为a 。

（3）点P （a ，b ）到原点的距离为

（4）两点1122(,),(,)A a b B a b 之间的距离AB=

知识点 6 图形上点的坐标变化与图形变化之间的关系

（1）纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的k 倍。

①当k>1时，原图形被横向拉长为原来的k 倍。②当0

（2）横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的k 倍

①当k>1时，原图形被纵向拉长为原来的k 倍。②当0

（3）纵坐标保持不变，横坐标分别加k

①当k 为正数时，原图形形状、大小不变，向右平移k 个单位长度。

②当k 为负数时，原图形形状、大小不变，向左平移k 个单位长度。