直线和平面所成的角与二面角(1)线面角.

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直线和平面所成的角与二面角(1——线面角

一、课题:直线和平面所成的角与二面角(1——线面角二、教学目标:1.掌握直线和平面所成角的概念;

2.理解并且掌握公式:12cos cos cos θθθ=⋅.

三、教学重点、难点:直线和平面所成角的概念及12cos cos cos θθθ=⋅的应用.

四、教学过程: (一复习:

1.直线和平面的位置关系; (平行、相交和直线在平面内

2. 思考:当直线 a 与平面α的关系是a A α= 时, 如何反映直线与平面的相对位置关系呢? (可以用实物来演示,显然不能用直线和平面的距离来衡量 (二新课讲解:

1.平面的斜线和平面所成的角: 已知, 如图, AO 是平面α的斜线, A 是斜足, OB 垂直于平面α, B 为垂足, 则直线 AB 是斜线在平面α内的射影。设 AC 是平面α内的任意一条直线, 且 BC AC ⊥, 垂足为 C , 又设 AO 与 AB 所成角为1θ, AB 与 AC 所成角为2θ, AO 与 AC 所成角为θ,则易知:

1||||c o s A B A O θ= , 212||||cos ||cos cos AC AB AO θθθ== 又∵ ||||cos AC AO θ=

,

可以得到:12cos cos cos θθθ=⋅, 注意:2(0,

2

π

θ∈(若 22

π

θ=

,则由三垂线定理可知,

O A A C ⊥,即 2

π

θ=;与“ AC 是平面α内的任意一条直线,且 BC AC ⊥,垂足为C ”

不相符。

易得:1cos cos θθ< 又 1, (0,

2

π

θθ∈即可得:1θθ<.

则可以得到:

(1平面的斜线和它在平面内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角;

(2斜线和平面所成角:一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角,叫做斜线和平面所成角(或叫斜线和平面的夹角。

θ

θ2

θ1O

C

B

A

α

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说明:1.若a α⊥,则规定 a 与α所成的角是直角;

2.若//a α或a α⊂,则规定 a 与α所成的角为 0

;

3.直线和平面所成角的范围为:090θ≤≤

;

4.直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值 (12cos cos cos θθθ=⋅ .

2.例题分析:

例 1.如图,已知 AB 是平面α的一条斜线, B 为斜足, , AO O α⊥为垂足, BC 为α内的

一条直线, 60, 45ABC OBC ∠=∠=

,求斜线 AB 和平面α

所成角.

解:∵ AO α⊥,由斜线和平面所成角的定义可知, ABO ∠为 AB 和

α所成角, 又∵ 12cos cos cos θθθ=⋅,

∴ cos cos601cos cos cos 45222

ABC ABO CBO ∠∠===÷=

∠ , ∴ 45BAO ∠=

,即斜线 AB 和平面α所成角为 45

.

例 2.如图,在正方体 1AC 中,求面对角线 1A B 与对角面 11BB D D 所成的角.

〖解〗 (法一连结 11AC 与 11B D 交于

O ,连结 OB , ∵ 111DD AC ⊥, 1111B D AC ⊥,∴ 1AO ⊥平面 11BB D D , ∴1A BO ∠是 1A B 与对角面 11BB D D 所成的角, 在1Rt A BO ∆中, 111

2

A O A

B =

,∴ 130A BO ∠= . (法二由法一得 1A BO ∠是 1A B 与对角面 11BB D D 所成的角,

又∵ 11cos cos 452A BB ∠==

, 11cos 3

B B B BO BO ∠==, O

C B

A

α

1

∴ 11

1

1

cos

cos

cos

A BB

A BO

B BO

∠

∠===

∠

,∴

1

30

A BO

∠= .

说明:求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影, 后求斜线与其射影的夹角。

另外,在条件允许的情况下,用公式

2

1

cos cos cos

θθθ

=⋅求线面角显得更加方便. 例 3.已知空间四边形 ABCD 的各边及对角线相等,求 AC 与平面 BCD 所成角的余弦值. 解:过 A 作 AO ⊥平面 BCD 于点 O ,连接 , ,

CO BO DO ,

∵ AB AC AD

==,∴ O 是正三角形 BCD 的外心,

设四面体的边长为 a

,则 CO =,

∵ 90

AOC

∠= ,∴ ACO

∠即为 AC 与平面 BCD 所成角,

∴ cos ACO

∠=,所以, AC 与平面 BCD

.

五、课堂练习:课本第 45页练习第 1, 2, 3题;第 47页习题 9.7的第 1题.

六、小结:1.线面角的概念;

2.

12

cos cos cos

θθθ

=⋅及应用步骤:

12

, ,