2022年北师版数学《正方形的判定》精品教案

第2课时正方形的判定

1．掌握正方形的判定方法；(重点)

2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算．(难点)

一、情景导入

我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中．

通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形．1．怎样判断一个四边形是矩形？

2．怎样判断一个四边形是菱形？

3．怎样判断一个四边形是平行四边形？

4．怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？

议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？

二、合作探究

探究点一：正方形的判定

【类型一】先证明是矩形再证明是正方形

已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，

DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．

解析：欲证明四边形CEDF是正方形，先根据∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．

证明：如图所示，过点D作DG⊥AB于点G.

∵DF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠DFC＝∠DEC＝90°.

又∠C＝90°，

∴四边形CEDF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．

∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，

∴DF＝DG.

同理可得DE＝DG.∴DE＝DF.

∴四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．

方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等．

【类型二】先证明是菱形再证明是正方形

如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH 是正方形．

解析：已知EG⊥FH，要证四边形EFGH为正方形，则只需要证四边形的对角线EG，HF互相平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证OE＝OH＝OG＝OF.

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠COH＋∠BOH.

∵EG⊥FH，

∴∠BOE＋∠BOH＝90°，

∴∠COH＝∠BOE，

∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH.

同理可证：OE＝OF＝OG，

∴OE＝OF＝OG＝OH.

又∵EG⊥FH，

∴四边形EFGH为菱形．

∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝HF，

∴四边形EFGH为正方形．

方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．

探究点二：正方形、菱形、矩形与平行四边形之间的关系

填空：

(1)对角线________________的四边形是矩形；

(2)对角线____________的平行四边形是矩形；

(3)对角线__________的平行四边形是正方形；

(4)对角线________________的矩形是正方形；

(5)对角线________________的菱形是正方形．

解：(1)相等且互相平分(2)相等(3)垂直且相等(4)垂直(5)相等

方法总结：从对角线上分析特殊四边形之间的关系应充分考虑特殊四边形的性质与判别，防止混淆．菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形，特殊之处在于：矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；而正方形是兼具两者特性的更特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形．

三、板书设计

经历正方形判定条件的探索过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观

点.

5.3 应用一元一次方程——水箱变高了

一、学生起点分析

本节课涉及到图形问题，关键是让学生抓住形变过程中的不变量，对于基本图形的体积、面积、周长等公式，学生已在小学系统学习，如果遗忘或混淆，可做适当复习.

二、教学任务分析

本节学习列方程解应用题，其关键还是寻找实际问题中的等量关系.在实际生活中经常会遇到类似本节情境的问题，最关键的是抓住变化中的不变量，从而设出未知数，根据等量关系列出方程.教学时，应鼓励学生独立思考，发现等量关系.特别是对例1，应让学生根据生活经验和原有基础分组独立完成，然后请各小组汇报:四个小问题的解答情况，最后组织学生展开讨论：解这道题的关键是什么？从解这道题中你有哪些收获和体验？因此，本节教材的处理策略是：展现问题情境——提出问题——分析数量关系和等量关系——列出方程，解方程——检验解得合理性.

三、教学目标

1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题.

2.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.

3.通过对实际问题的探讨，使学生在动手独立思考、方程意识的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.

四、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：

第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：运用情境，解决问题；第三环节：操作实践，发现规律；第四环节：体验数学模型第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.

环节一：创设情境，引入新课

活动内容：

情境1：成语“朝三暮四”的故事

（附内容：从前有个叫狙公的人养了一群猴子.每一天他都拿足够的栗子给猴子吃，猴子高兴他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子的话，等不到下一个栗子的收获季节，他和猴子都会饿死，于是他想了一个办法，并且把这个办法说给猴子听，当猴子听到只能早上吃四个，晚上吃三个栗子的时候很是生气，呲牙咧嘴的.没办法狙公只好说早上三个，晚上四个，没想到猴子一听高兴得直打筋斗.）

问题1：猴子为什么高兴了？这其中有什么数学奥秘吗？

情境2：教师从讲台下拿出了两瓶矿泉水（容量一样，A短而宽，B长而窄）.

问题2：请问大家哪瓶矿泉水多？为什么？