绝对值的最值问题

【例题1】：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？

分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程

可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）

1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40

3）当-130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14 4）当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25

5）当-110，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36 6）当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48

7）当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12 可知：当x<-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27

当x=-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=40

当-13

当x=-11时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=25

当-11

当x=12时 |x+11|+|x-12|+|x+13|= 48

当x>12时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48

观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11

解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12

可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25

例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

分析:回顾化简过程如下

令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0

则零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4

(1)当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10

（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8

(3)当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

（4)当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2

（5)当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10

根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值

解：根据绝对值的化简过程可以得出

当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 ＞6

当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 4＜2x+8≤6

当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2 4＜2x-2 ＜6

当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6

则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3