第二章 第一节 函数及其表示

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ

第一节函数及其表示

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数

的定义域和值域；了解映射的概念．

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰

当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数

分段不超过三段).

[基本知识]

1．函数与映射的概念

函数映射

两集合A，B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合

对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使

对于集合A中的任意一个数x，在

集合B中都有唯一确定的数f(x)和

它对应

如果按某一个确定的对应关系f，使

对于集合A中的任意一个元素x，

在集合B中都有唯一确定的元素y

与之对应

名称称f：A→B为从集合A到集合B的

一个函数

称对应f：A→B为从集合A到集合

B的一个映射

记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B

(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数是特殊的映射．()

(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．()

(3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．()

答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、填空题

1．函数f (x )＝2x －1＋

1

x －2

的定义域为______________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

2x －1≥0，

x －2≠0，

解得x ≥0且x ≠2.

答案：[0,2)∪(2，＋∞)

2．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N|1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为____________． 解析：∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7.∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}． 答案：{－1,1,3,5,7}

3．下列f (x )与g (x )表示同一函数的是________． (1)f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1； (2)f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋x

x 2＋1；

(3)y ＝x 与y ＝(x )2； (4)f (x )＝x 2与g (x )＝3

x 3. 答案：(2)

[全析考法]

考法一 求函数的定义域

常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．

(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x | x ≠k π＋π2，k ∈Z .

[例1] (1)(2019·合肥八中期中)函数f (x )＝ln (x ＋3)

1－2x

的定义域是( ) A ．(－3,0) B ．(－3,0]

C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)

D ．(－∞，－3)∪(－3,0)

(2)(2019·东北师大附中摸底)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭

⎫x ＋12＋

f ⎝⎛⎭

⎫x －1

2的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，1 B.⎣⎡⎦⎤1

2，2 C.⎣⎡⎦⎤12，32

D.⎣⎡⎦

⎤1，32 [解析] (1)∵f (x )＝ln (x ＋3)

1－2x

，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋3>0，1－2x >0，解得－3

(2)由题意得⎩⎨⎧

0≤x ＋1

2

≤2，

0≤x －1

2

≤2，∴⎩⎨⎧

－12≤x ≤32

，12≤x ≤5

2，

∴12≤x ≤3

2.故选C. [答案] (1)A (2)C [方法技巧]

1．根据具体的函数解析式求定义域的策略

已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．

2．求抽象函数的定义域的策略

(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；

(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． 3．求函数定义域应注意的问题

(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；

(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

考法二 已知函数的定义域求参数

[例2] (2019·安阳模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )

A ．[0,4)

B ．(0,4)

C ．[4，＋∞)

D ．[0,4]

[解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，