证明几何不等式证法举例

证明几何不等式证法举例

四川省广元市宝轮中学 唐明友

几何不等式的证明是初中数学一个难点，所用知识不外乎有：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；同一三角形中，大角对打边，大边对大角以及三角形内角和定理等知识，下面就其证明思路进行分析。

一.中线加倍法

例1.如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，求证：A D<2

AC

AB +

证明：延长AD 至E ，使DE=DA ，连接CE

∵DA=DE,DC=DB,∠1=∠2，∴△AB D ≌△EC D ，∴AB=EC 在△ACE 中AE

2

AC

AB +

评注：注意到结论可变形为2AD

二.三角形中位线搭桥

例2.在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，求证：EF<2

BD

AC +

证明：取AB 中点G ，连接GE 、GF

∵E 、G 分别是AD 、AB 的中点，∴GE 是△ABD 的中位线，即

GE=

21BD ，同理GF=21

AC 。在△GEF 中，EF

BD AC +

评注：观察结论右边2BD AC +可变形为21AC+

2

1

BD ，已知又有某些边的中点，根据

谚语“遇到中点找中点”，进而构造三角形的中位线即可达到目的。

三.运用直角三角形斜边上的中线性质

例3.在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，A C ⊥BD 于O ，求证AB+CD>AD+BC 证明：分别取AB 、CD 的中点E 、F ，连接OE 、OF 、EF

∵A C ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点∴OE 、OF 分别是Rt △ABO 、Rt △CDO 斜边上的中线，即OE=

21AB,OF=2

1CD, 又EF 是梯形ABCD 的中位线，可得EF=2

BC

AD +

在△OEF 中，OE+OF>EF ，即21AB+21CD>2

BC

AD +

∴AB+CD>AD+BC

评注：由结论的右边AD+BC 可联想到梯形的中位线，确定取AB 、CD 的中点E 、F,再由A C ⊥BD 可得一些直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，便迎刃而解了。

四.平移法

例4.如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，BE=CF ，求证：EF

∵BE=CF ，∴DF=CF,又∠1=∠2，FG=FG ，∴△DFG ≌CFG ， ∴DG=CG

在△DBG中，BD

∴EF

评注：本题是利用平移将两条相等线段BE、CF集中到

一起，再通过平移的性质和三角形全等构造出△DBG，最后

运用三角形边的性质获得解决。

五.翻折法

例5.在△ABC中，AB>AC,AD⊥BC于D,P为AD上任意一点，求证：PB-PC>AB-AC

证明：将△ADC翻折1800至△ADF，连接PF，因AD⊥BC，由轴对称的性质得

AF=AC,PF=PC,在△ABE中，AE+BE>AB ①

在△EFP中，EP+EF>PF ②

①+②得：AE+BE+EP+EF>AB+PF，即AF+PB>AB+PF，

∴AC+PB>AB+PC

因此PB-PC>AB-AC

评注：通过翻折变换把AC、PC转化到AF和PF，

然后将AB、BP分别放到如图中两个阴影三角形中，

再运用三角形边的性质变形而证明结论

六.旋转法

例6.在△ABC中，AB=AC，P是三角形内一点，且∠APB>∠APC,求证：PC>PB

证明：以A为中心，把△APB逆时针旋转∠BAC的角度，变成△AP，C，

连接PP，,由旋转地性质可得△APB≌△AP，C

∴∠APB=∠AP，C，PB=P，C,AP=AP，，∴∠1=∠2

∵∠APB>∠APC，即∠2+∠4>∠1+∠3，∴∠4>∠3

∴在△CPP，中可得PC>P，C，∴PC>PB

评注：旋转△APB到△AP，C，利用旋转的性质和等腰三角形性质构造出△CPP，，再根据“大角对打边”证明本题，其思路清晰明了。

七.截补法

例7.在△ABC中，AB>AC,D是∠BAC的角平分线上任意一点，

求证AB-AC>DB-DC

证明：在AB上截取AE=AC，连接DE

∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，又AE=AC,AD=AD，∴△AED≌△ACD，

∴DE=DC

在△BDE中BE>BD-DE,而BE=AB-AE=AB-AC

∴AB-AC>DB-DC

评注：观察结论左边AB-AC，且有∠1=∠2，便可采用截长补短

得到这个差BE，再根据全等三角形的性质进行转化，从而构造出△BDE，

运用三角形边的性质得证。

八.面积法

例8.如图，G为△ABC的重心，EF过点G且与AB、AC分别交于E、F,求证：EG≤2GF 证明：连接AG,再连接BG并延长交AC于D。

∵G是重心，∴BG=2GD