幂函数

2.幂函数y=xα在第一象限内图象的画法 (1)当α＜0时，其图象可以类似y=x-1画出； (2)当0＜α＜1时，其图象可以类似y= x 画出； (3)当α＞1时，其图象可以类似y=x2画出.
1 2
【变式训练】函数f(x)=xn+ax-1(n∈Z,a＞0且a≠1)的图象必 过定点( A.(1,1) C.(-1,0) ) B.(1,2) D.(-1,1)
答案：二、四
3.∵图象与x,y轴都无交点， ∴m-2≤0，即m≤2． 又m∈N，∴m=0,1,2． ∵幂函数图象关于y轴对称， ∴m=0，或m=2．
当m=0时，函数为y=x-2，图象如图1；
当m=2时，函数为y=x0=1(x≠0)，
图象如图2．
【互动探究】题1中，若将函数y= x 改为y= x ，其图象大 致是所给四个选项中的哪个图象？ 【解析】函数 y x
2.利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法
3.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否 则无法比较大小.
【变式训练】已知函数f(x)＝xm－ (1)求m的值. (2)判定f(x)的奇偶性.
x∈[0,+∞), 增 ___ 增 增 单调性 ___ ___ x∈(-∞,0], 减 ___ 公共点
(1,1) 都经过点______
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1).(
)
(2)幂函数y=xα 的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中α 的
不同而各异.(
y
幂 值 幂 值
3.幂函数y=xα在第一象限的图象特征 (1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸). (2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点).
(3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸).
(4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点).
(5)指数小于0,在第一象限为双曲线型.
【解析】选B.因为f(1)=1n+a1-1=1+1=2,所以f(x)=xn+ax-1 (n∈Z,a＞0且a≠1)的图象必过定点(1,2).
类型 三
幂函数的性质及应用
【典型例题】 1.设α ∈{ , 1,1, ,3 }，则使函数y=xα 的定义域为R的所有α 的值为( A.1,3 C.-1,3 2.判断下列各组数的大小 (1)5.1-2与5.09-2的大小关系是______.
2.幂函数y=x-1,y=
3 x , y=x,y=x 的图象分布在哪些象限？
1 2
3.题3中幂函数的图象与x,y轴都无交点，且关于y轴对称，揭
示了幂指数m-2是什么数？
探究提示： 1.可以根据函数的奇偶性、图象上的特殊点和线判断函数的 图象的特征. 2.幂函数y=x-1，y=x，y=x3的图象分布在第一、三象限， y= x 的图象分布在第一象限. 3.图象与x,y轴都无交点，揭示了幂指数m-2是负数或零；关 于y轴对称且m∈N揭示了幂指数m-2是偶数.
2
)
D.4个
2.已知函数 f x m2 2m 2 x m m1， 当m为何值时，f(x)是 幂函数？
【解题探究】1.判断一个函数是否是幂函数的依据是什么？ 2.根据幂函数定义可知，题2中的字母应满足哪些条件？
探究提示： 1.判断一个函数是否是幂函数的依据是幂函数的解析式具有 的四个特征： (1)指数为常数. (2)底数是自变量，自变量的系数为1. (3)幂xα的系数为1. (4)只有1项. 2.m应满足m2+2m-2=1.
【解析】1.选A.函数y=x，y=x3的定义域是R.
yx

3 2

1
2
x
3
的
定义域是(0,+∞).
y=x 的定义域是［0,+∞).
1 2
y=x-1的定义域是{x|x≠0}.
2.(1)∵y=x-2在(0,+∞)上为减函数， 且5.1＞5.09, ∴5.1-2＜5.09-2.
2 3 (2) ( ) 2
5
)
2.(2013·邢台高一检测)当α ∈{－1， ， 1，3}时，幂函数 y＝xα 的图象不可能经过第______象限. 3.已知幂函数y=xm-2(m∈N)的图象与x,y轴都无交点，且关于 y轴对称，求m的值，并画出它的图象．
1 2
【解题探究】1.可以根据函数的哪些性质判断函数的图象的 特征？
2 3 10 3 (2) ( ) ， ( ) ， 1.1 3 的大小关系是______. 2 7 2 2 4
3 2
1 2
) B.-1,1 D.-1,1,3
3.(2013·长沙高一检测)已知函数f(x)=
1 2 +1. x
(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明.
(2)求f(x)在区间［1,3］上的最大值和最小值.
y x 的图象.
1 2
2.五类幂函数的性质 幂函数 y=x 定义域 值域 __ R __ R y=x2 __ R [0,+∞) ________ 偶 ___ y=x3 __ R __ R 奇 ___
yx
1 2
y=x-1
奇 奇偶性 ___
[0,+∞) (∞,0)∪(0,+∞) _______ ______________ [0,+∞) _______________ {y|y∈R且y≠0} _______ 非奇非 _______ 奇 ___ 偶 ___ 增 ___ 减 x∈(0,+∞),___ 减 x∈(-∞,0),___
【解析】1.选B.可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出
5 1 3 5 -3 的六个函数中，只有y= 3 =x 和 y x x 3 符合幂函数的定 x
义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．
2.要使 f x m2 2m 2 x m m1 是幂函数，则有m2+2m-2=1,即
5 3
所以当x∈(0,1)时，函数y= x 的图象在直线y=x的下方；
5 3
当x∈(1,+∞)时，函数y= x 的图象在直线y=x的上方.故选B.
5 3
2.幂函数y=x-1，y=x，y=x3的图象分布在第一、三象限， y= x 2 的图象分布在第一象限.
1
所以幂函数y＝xα(α=-1,
四象限．
1 , 1,3)的图象不可能经过第二、 2
5 3
5 3

5 3

1
3
x
5
是定义域为{x|x≠0}的奇函数，
其图象关于原点对称.
由此知函数y= x 的图象大致是选项A的图象.

5 3
【拓展提升】
1.作幂函数图象的原则和方法
(1)原则：作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调
性、奇偶性等. (2)方法：首先作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据奇 偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象.
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】1.选B.函数 y x 3 x 5 是定义域为R的奇函数，且此
函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A，C.
1 1 1 1 另外，因为 y ( ) 3 ( ) 3 ＜ , y 13 1, y 2 3 2 2 3＞2, 2 2 2 2
5 2 5 5 2
∵x2＞x1＞0,
x1 x 2 x 2 x1 , 1 1 1) ( 1) 2 2 x1 x2 x x 2 1 2
∴x1+x2＞0,x2-x1＞0,(x1x2)2＞0, ∴f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2), 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
2 3
2
2
2 3
10 ∵y= x 在(0,+∞)上为增函数，且 ＞ 2＞1. 7 2 4 4 2 10 ∴ ( ) 3＞ 2 3 ＞， 1 3 1, 1 又 1.1 3 ＜ 7 2 2 4 10 2 ∴ ( ) 3＞( ) 3＞1.1 3. 7 2
10 10 ,( ) 3 ( ) 3， 7 7
【解题探究】1.幂函数y=xα的定义域与α有什么关系？ 2.(1)要比较题2(1)中两个数的大小，可将其看作哪个函数的 函数值？如何利用函数的单调性比较大小？ (2)三个(三个以上的)数比较大小，要注意应用什么方法？ 3.利用定义法判断函数的单调性的步骤是什么？
探究提示：
1.当α为正整数时，幂函数y=xα的定义域为R.当α为负数或
(2)由(1)知函数f(x)在区间［1,3］上是减函数，
所以当x=1时，取最大值，最大值为f(1)=2,
当x=3时，取最小值，最小值为f(3)=
10 . 9
【拓展提升】 1.求幂函数y=xα(其中α是分数形式)定义域的基本步骤 (1)把分数指数幂化为根式的形式.
(2)根据根式和分式有意义的条件列不等式(组)求解.
2
m2+2m-3=0,解得m=-3或m=1.
【拓展提升】 1.幂函数的判断方法 (1)幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义” 的函数，也就是说必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是 幂函数. (2)如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为 分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行
3
的表达式为( A.f(x)＝x3 C.f(x)＝ x
1 2
) B.f(x)＝x－3 D.f(x)＝ x
3
1 2
【解析】选B.设f(x)＝xα，则 3 3＝( 3 ) , 即 3 3 , ∴α＝－3，∴f(x)＝x-3.
3 2 2
类型 二
幂函数的图象
【典型例题】
1.(2013·三明高一检测)函数y= x 3 的图象大致是(
2
2

答案：(1)5.1-2＜5.09-2
(2) ( 10 ) 3＞( 2 ) 3＞1.1 3 7 2 2 2 4
3.(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数. 证明如下： 设x1,x2是区间(0,+∞)上任意两个实数，且x1＜x2，则
f x1 f x 2 (
分数时，要先用负整数幂、分数指数幂的意义变形后再求定
义域.
2.(1)5.1-2和5.09-2可以看作函数y=x-2在自变量分别取5.1和
5.09时的函数值.根据函数y=x-2的单调性，可以由5.1和5.09
的大小关系推出5.1-2和5.09-2的大小关系. (2)三个(三个以上的)数比较大小，要注意应用中间量法 . 3.按照设元、作差、变形、判号、下结论五个步骤进行 .
2.3 幂函数
一、幂函数的定义 1.解析式：_____. y=xα 2.自变量：__ x ，常数:___. α
思考：一次函数与二次函数一定是幂函数吗？
提示：不一定.例如：一次函数y=x+1，二次函数y=x2+1等都
不是幂函数.
二、幂函数的图象与性质 1.五种常见幂函数的图象 请在给出的平面直角坐标系中画出幂函y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,
判断.
2.求幂函数解析式的依据及常用方法 (1)依据. 若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备 的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件 . (2)常用方法. 设幂函数解析式为f(x)=xα,根据条件求出α.
【变式训练】已知点( 3 ， 3 3 )在幂函数f(x)的图象上，则f(x)
)
(3)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象 限.( )
提示：(1)错误.当α＞0时，幂函数y=xα的图象必过点(0,0) 和(1,1)；当α＜0时，幂函数y=xα的图象必过点(1,1)，不 过点(0,0). (2)正确.由五类幂函数的性质可知此说法正确 . (3)错误.对幂函数y=xα而言，当x＞0时，必有y＞0，故幂函 数的图象不过第四象限.
4.幂函数的单调性 (1)如果α＞0，幂函数y=xα在(0，+∞)上是增函数.
(2)如果α＜0，幂函数y=xα在(0，+∞)上是减函数.
类型 一
幂函数的概念
【典型例题】 1.给出下列函数： ①y ＝
1 ；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④ y 3 x 5 ; 3 x
⑤y=(x-1)2；⑥y=0.3x，其中是幂函数的有( A.1个 B.2个 C.3个
答案：(1)×
(2)√
(3)×
【知识点拨】 1.幂函数解析式的结构特征 (1)指数为常数. (2)底数是自变量，自变量的系数为1. (3)幂xα的系数为1. (4)只有1项.
2.幂函数与指数函数比较 名称
式子 指数函数:y=ax(a>0且a≠1) 幂函数:y=xα
常数
a为 底数 α为 指数
x
指 数 底 数