高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案

【答案】A
【分析】根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的 的值，即可解出．
【解析】因为 ，
令ห้องสมุดไป่ตู้可得， ，所以 ，
令 可得， ，即 ，
所以函数 为偶函数，
令 得， ，即有 ，从而可知 ， ，
故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．
因为 ， ， ， ， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
由图象可得f(x)＝－ 在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为 ×2×4＝4.
例6已知函数 是 上的奇函数，对任意 ，都有 （2）成立，当 ， ， ，且 时，都有 ，则下列结论正确的有
A． （1） （2） （3）
B．直线 是函数 图象的一条对称轴
C．函数 在 ， 上有5个零点
D．函数 在 ， 上为减函数
【解析】因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
例5已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f ＝f ，函数f(x＋1)是奇函数，当－ ≤x≤ 时，f(x)＝2x，则方程f(x)＝－ 在区间[－3,5]内的所有根之和为________.
法二 由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(x)的周期为2|2－1|＝2，所以f(x)与f(x＋2)，f(x＋4)的奇偶性相同，f(x＋1)与f(x＋3)的奇偶性相同，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.
7.【答案】3
3.【答案】D
【解析】因为 ，
所以
.
4.【答案】ABC
【解析】由f(x＋1)＝f(x－3)，得f(x)＝f[(x－1)＋1]＝f[(x－1)－3]＝f(x－4)，所以函数f(x)的周期为4，A正确.由f(1＋x)＝f(3－x)，得f(2＋x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确.当0≤x≤2时，函数f(x)在 上单调递减，在 上单调递增.所以当x＝ 时，函数f(x)在[0，2]上取得极小值－ ，且f(0)＝0，f(2)＝2.作出函数f(x)在[0，8]上的大致图象，如图.由图可知，当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为f(2)＝2，C正确；当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为f ＝f ＝－ ，D错误.故选ABC.
对于 ， 是函数 的一条对称轴，且函数 是周期为4的周期函数，则 是函数 的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
对于 ，函数 在 ， 上有7个零点：分别为 ， ， ，0，2，4，6； 错误；
对于 ， 在区间 ， 上为增函数且其周期为4，函数 在 ， 上为增函数，
又由 为函数 图象的一条对称轴，则函数 在 ， 上为减函数， 正确；
【典型题示例】
例1（2022·全国乙·理·T12）已知函数 的定义域均为R，且 ， ．若 的图像关于直线 对称， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ， ，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值即可求解.
【解析】因为 的图像关于直线 对称，
5.已知定义在R上的奇函数 ，满足 ，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根 ，则
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
又由 为奇函数，则 ，变形可得 ，则有 ，
故函数 是周期为4的周期函数，
当 ， ， ，且 时，都有 ，则函数 在区间 ， 上为增函数，
又由 是 上的奇函数，则 在区间 ， 上为增函数；
据此分析选项：
对于 ， ，则 （1） （2） （3） （4） （1） （3） （2） （4） ，
（1） （2） （3） （1） （2） （3） （4） （1） （2） （3） （2） ， 正确；
A.0B.mC.2mD.4m
10.已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则
A． B．0C．2D．50
11.已知函数 与函数 的图象交于A，B，C，且|AB|＝|BC|＝ ，则实数k＝．
【答案与提示】
1．【答案】
【解析】∵函数 关于 对称,∴ ,
则由 ,结合图象可得 ,求得 .
2．【答案】8
【解析】 ，故 ，即 的图象关于点 对称，又函数 满足 ，则函数 的图象关于点 对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.
所以 ．
故选：A．
例3（2021·新高考全国Ⅱ卷·8）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【解析】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
由函数图像得 解集为
所以全部区间长度之和为 .
故答案为： ； .
【巩固训练】
1．已知函数 关于 对称,则 的解集为_____.
2．已知定义在 上的函数 满足 ，且 的图象与 的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.
3.已知函数 满足 ，且 时， ，则 （）
A．0B．1C． D．
【答案】4
【分析】由f ＝f 对任意的x∈R恒成立，得f(x)关于直线x＝ 对称，由函数
f(x＋1)是奇函数，f(x)关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f(x)的周期为2，作出函数f(x)的图象即可.
【解析】因为函数f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，又因为f ＝f ，所以f(1－x)＝f(x)，所以f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，且图象关于直线x＝ 对称．作出函数f(x)的图象如图所示，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
例4（2021·全国甲卷·理·12）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【解析】命题①：由 ，得： ，
所以函数 的周期为4，故①正确；
命题②：由 是奇函数，知 的图象关于原点对称，
所以函数 的图象关于点 对称，故②正确；
命题③：由 是奇函数，得： ，
又 ，
所以 ，
所以函数 是偶函数，故③正确；
命题④： ，
无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.
8.【答案】ABC
7.若定义在R上的函数 满足 ， 是奇函数，现给出下列4个论断：
① 是周期为4的周期函数；② 的图象关于点 对称；
③ 是偶函数；④ 的图象经过点 ；
其中正确论断的个数是______________.
8.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2－f(2－x)，且f(x)是偶函数，下列说法正确的是()
5.【答案】－8
【提示】四个根分别关于直线 ， 对称.
【命题立意】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．
6．【答案】ABC
【解析】法一 由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，f(－x)＋f(4＋x)＝0，所以f(2＋x)＝f(4＋x)，即f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数.又f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.
A.f(x)的图象关于点(1，1)对称B.f(x)是周期为4的函数
C.若f(x)满足对任意的x∈[0，1]，都有 <0，则f(x)在[－3，－2]上单调递增
D.若f(x)在[1，2]上的解析式为f(x)＝lnx＋1，则f(x)在[2，3]上的解析式为f(x)＝1－ln(x－2)
9.(2022·江苏常州·模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝ 与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)等于()
4.已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是()
A.函数f(x)的周期为4
B.函数f(x)图象关于直线x＝2对称
C.当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2
D.当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－
故选： ．
例7已知函数 ， ，则关于x的方程 的实数根之和为______；定义区间 ， ， ， 长度均为 ，则 解集全部区间长度之和为______．
【答案】①8②3
【分析】根据题意得以函数 关于点 对称，进而利用导数研究函数 性质，作出简图，树形结合求解即可得关于x的方程 的实数根之和；令 整理得方程的实数根 满足 ，再数形结合得 解集为 ，最后根据定义求解区间长度的和即可.
【解析】因为 ，
所以函数 关于点 对称，
由于 ，
所以函数 在 上单调递减，
由于 时， ， ， ， ，
， ， ， ， ，且 时， .
故作出函数简图如图：
根据图像可知，函数 与函数 图像共有4个交点，且关于点 对称，
所以 的实数根之和为 ；
令 ，整理得 ，
由图像知方程有三个实数解，不妨设为 ，
所以由三次方程的韦达定理得 ，
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
3.函数对称性、周期性间关系：
若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．
(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sinx，y＝cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系)
4.善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.
【解析】根据题意，f(x)的图象关于点(1，1)对称，A正确；又f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝f(－x)，则2－f(2－x)＝f(－x)，f(x)＝2－f(x＋2)，从而f(x＋2)＝2－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，B正确；由 <0可知f(x)在[0，1]上单调递增，又f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以f(x)在[1，2]上单调递增，因为f(x)的周期为4，所以f(x)在[－3，－2]上单调递增，C正确；因为f(x)＝f(－x)，x∈
【分析】根据题意，利用特殊值法求出 （2）的值，进而分析可得 是函数 的一条对称轴，函数 是周期为4的周期函数和 在区间 ， 上为增函数，据此分析选项即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 是 上的奇函数，则 ；
对任意 ，都有 （2）成立，当 时，有 （2） ，则有 （2） ，
则有 ，即 是函数 的一条对称轴；
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以
.
故选：D
例2（2022·新高考Ⅱ卷·T8）若函数 的定义域为R，且 ，则 （）
A. B. C.0D.1