复习专题1--分段函数

复习专题1—分段函数专题

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知识点梳理

一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。 二、注意：

1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；

2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；

3、分段函数的值域是各段函数值的并集。

4、解决分段函数的方法：先分后合

三、涉及的内容及相应的常用方法：

1、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；

2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论；

3、单调性： 各段单调（如递增）+连接处不等关系。

（如()()()12,(,],[,)

f x x a f x f x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩在R 上是增函数，则()()()()

1212(,)[,)f x a f x a f a f a ⎧-∞↑

⎪⎪

+∞↑⎨⎪≤⎪⎩①在上②在上③）；

4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式，才有奇偶性，否则为非奇非偶函数；

5、图像性质或变换等： 作图、赋值等，注意变量的范围限制；

6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；

7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图；

例题讲解：

题型一、分段函数的图像。 1.作出函数()1y x x =+的图象 2. 函数ln |1|x

y e

x =--的图象大致是 （ D ）

题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数(1)(0),

()(1)

(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性

2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2

0,()2 3.x f x x x

>=-+时求f(x)的解析式。

题型三、分段函数的最值

1、(2005上海高考题)对定义域分别是

,f

g

D D

的函数(),()y f x y g x ==.规定：

函数()(),,()(),

(),

f g

f g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ⎧∈∈⎪⎪

=∈∉⎨⎪

∈∉⎪⎩当且当且当且 （I ）若函数21

(),()1

f x

g x x x =

=-，写出函数()h x 的解析式； （II ）求问题（I ）中函数()h x 的值域；

题型四、与分段函数有关的不等式与方程 1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨

-<⎩

，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________

2、(2011年高考北京卷理科13)已知函数32

,

2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩

若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则

数k 的取值范围是_______

3、(2011年高考陕西卷理科11)设2

0lg ,0

()3,0

a x x f x x t dt x >⎧=⎨

+⎰≤⎩，若((1))1f f =，则a =

题型五、分段函数创新题 1、定义运算⎩⎨

⎧>≤=*)

()(y x y

y x x y x ，若,11-=*-m m m 则m 的取值范围是（ ）

A.21≥

m B. 1≥m C. 2

1

m 2、(2011年高考天津卷理科8)对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,

, 1.

a a

b a b b a b -≤⎧⊗=⎨

->⎩ 设函数

()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是

（ ）

A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭

B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭

C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

D. 总结：

1、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、

求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。

2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。

3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些不等式（组）解集的并集。

4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。

课后作业：

1、设f(x)= 12

32,2,

log (1),2,

x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f(x)>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）⋃ （10 ，+∞）(D)（1，2） 2、已知(3)4,1()log ,1a

a x a x f x x x --⎧=⎨

≥⎩＜

，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）

（A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C)[5

3

，3) (D)(1,3)

3、

4、设定义为R 的函数lg 1,1,()0,

1.x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩则关于x 的方程2

()()0f x bf x c ++=

有7个不同的实数解的充要条件是 （ ） A. 0b <且0c > B. 0b >且0c < C. 0b <且0c = D. 0b ≥且0c =

311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭