中考数学-列举法求概率
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中考数学
列举法求概率
教学目标:
知识与技能目标
学习用列表法、画树形图法计算概率,并通过比较概率大小作出合理的决策。
过程与方法目标
经历实验、列表、统计、运算、设计等活动,学生在具体情境中分析事件,计算其发生的概率。渗透数形结合,分类讨论,由特殊到一般的思想,提高分析问题和解决问题的能力。
情感与态度目标
通过丰富的数学活动,交流成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造,体会数学的应用价值,培养积极思维的学习习惯。
教学重点:
习运用列表法或树形图法计算事件的概率。
教学难点:
能根据不同情况选择恰当的方法进行列举,解决较复杂事件概率的计算问题。
教学过程
1.创设情景,发现新知
教材是通过P151—P152的例5、例6来介绍列表法和树形图法的。
例5(教材P151):同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率:
(1) 两个骰子的点数相同;
(2) 两个骰子的点数的和是9;
(3) 至少有一个骰子的点数为2。
这个例题难度较大,事件可能出现的结果有36种。若首先就拿这个例题给学生讲解,大多数学生理解起来会比较困难。所以在这里,我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏(前一课已有例2作基础)。
(1)创设情景
引例:为活跃联欢晚会的气氛,组织者设计了以下转盘游戏:A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形,转盘A上的数字分别是1,6,8,转盘B上的数字分别是4,5,7(两个转盘除表面数字
不同外,其他完全相同)。每次选择2名同学分别拨动A 、B 两个转盘上的指针,使之产生旋转,指针停止后所指数字较大的一方为获胜者,负者则表演一个节目(若箭头恰好停留在分界线上,则重转一次)。作为游戏者,你会选择哪个装置呢?并请说明理由。
【设计意图】 选用这个引例,是基于以下考虑:以贴近学生生活的联欢晚会为背景,创设转盘游戏引入,能在最短时间内激发学生的兴趣,引起学生高度的注意力,进入情境。
(2)学生分组讨论,探索交流
在这个环节里,首先要求学生分组讨论,探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数学问题,即: “停止转动后,哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢?”
由于事件的随机性,我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导学生观看转盘动画,同学们会发现这个游戏涉及A 、B 两转盘, 即涉及2个因素,与前一课所讲授单转盘概率问题(教材P148例2)相比,可能产生的结果数目增多了,列举时很容易造成重复或遗漏。怎样避免这个问题呢?
实际上,可以将这个游戏分两步进行。 于是,指导学生构造表格 (3)指导学生构造表格
首先考虑转动A 盘:指针可能指向1,6,8三个数字中的任意一个,可能出现的结果就会有3个。接着考虑转动B 盘:当A 盘指针指向1时,B 盘指针可能指向4、5、7三个数字中的任意一个,这是列举法的简单情况。当A 盘指针指向6或8时,B 盘指针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个。一共会产生9种不同的结果。
【设计意图】 这样既分散了难点,又激发了学生兴趣,渗透了转化的数学思想。
A
B 图2 联欢晚会游戏转盘
(4)学生独立填写表格,通过观察与计算,得出结论(即列表法)
从表中可以发现:A 盘数字大于B 盘数字的结果共有5种。
∴P(A 数较大)=9
5 , P(B 数较大)=
94
.
∴P(A 数较大)> P(B 数较大)
∴选择A 装置的获胜可能性较大。
在学生填写表格过程中,注意向学生强调数对的有序性。
由于游戏是分两步进行的,我们也可用其他的方法来列举。即先转动A盘,可能出现1,6,8三种结果;第二步考虑转动B盘,可能出现4,5,7三种结果。
(5)解法二:
由图知:可能的结果为: (1,4),(1,5),(1,7), (6,4),(6,5),(6,7),
(8,4),(8,5),(8,7)。共计9种。
∴P(A 数较大)=9
5 , P(B 数较大)=
94
.
1
6
8
开始
A 装置
4 5 7 4 5 7 4 5 7
B 装置
∴P(A 数较大)> P(B 数较大)
∴选择A 装置的获胜可能性较大。
然后,引导学生对所画图形进行观察:若将图形倒置,你会联想到什么?这个图形很像一棵树,所以称为树形图(在幻灯片上放映)。列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法。
【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。 2.自主分析,再探新知
通过引例的分析,学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解,为了帮助学生熟练掌握这两种方法,我选用了下列两道例题(本节教材P151—P152的例5和例6)。
例1:同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率: (1) 两个骰子的点数相同; (2) 两个骰子的点数的和是9; (3) 至少有一个骰子的点数为2。
例1是教材上一道“掷骰子”的问题,有了引例作基础,学生不难发现:引例涉及两个转盘,这里涉及两个骰子,实质都是涉及两个因素。于是,学生通过类比列出下列表。
由上表可以看出,同时掷两个骰子,可能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等。由所列表格可以发现:
(1)满足两个骰子的点数相同(记为事件A )的结果有6个,即(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),所以P(A)=
366=6
1
。