高中数学重点强化训练2平面向量

重点强化训练(二)平面向量

A组基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是 ()

A．a＋b＝0

B．a＝b

C．a与b共线反向

D．存在正实数λ，使a＝λb

D[因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]

2．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝()

A．1B．2

C．3D．5

A[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，

|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，

将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]

3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

D[若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表

示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]

4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →

的夹角为( )

导学号：664827

A.π6 B ．π3 C ．23π

D ．56π

A [由题意，得OA →＋OC →

＝(3＋cos α，sin α)， 所以|OA →＋OC →|＝(3＋cos α)2＋sin 2α

＝

10＋6cos α＝13，

即cos α＝1

2，

因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，32.

设OB →与OC →

的夹角为θ， 则cos θ＝OB →·OC →

|OB →|·|OC →|＝3233×1＝3

2.

因为θ∈[0，π]，所以θ＝π

6.]

5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝

3，则OA →·OB →的值是 ( ) A ．－12 B ．12 C ．－34

D ．0

A [取A

B 的中点

C ，连接OC ，AB ＝3，

则AC ＝

3

2

，又因为OA ＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12∠AOB ＝sin ∠AOC ＝AC OA ＝32，

所以∠AOB ＝120°，

则OA →·OB →＝1×1×cos 120°＝－1

2.]

二、填空题

6．设O 是坐标原点，已知OA →＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →

＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________．

11或－2 [由题意得CA →＝OA →－OC →

＝(k －4,7)， CB →＝OB →－OC →

＝(6，k －5)， 所以(k －4)(k －5)＝6×7， 即k ＝11或k ＝－2.]

7．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2

＋y 2

＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →

－

OB →

|，其中O 为原点，则正实数a 的值为________.

导学号：664828

2 [由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，知OA →⊥OB →

， ∴|AB |＝22，则得点O 到AB 的距离d ＝2， ∴|0×1＋1×0－a |2

＝2，解得a ＝2(a >0)．]

8．在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π

3，则AB →·AC →的最小值为________． －23 [由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 2π3≥2AB ·AC ＋AB ·AC ＝3AB ·AC ，又BC ＝2，则AB ·AC ≤43，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos 2π3≥－23，(AB →·AC →)min ＝－23，当且仅当AB ＝AC 时等号取得．]

三、解答题

9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →

(m ，n ∈R )．

(1)若m ＝n ＝2

3，求|OP →|；

(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． [解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →

＝(1,2)，AC →＝(2,1)， ∴OP →＝23(1,2)＋2

3(2,1)＝(2,2)，3分 ∴|OP →|＝

＋＝2 2. 5分

(2)∵OP →

＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，

8分 两式相减，得m －n ＝y －x .

令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. 12分

10．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2.

(1)若|a |＝|b |，求x 的值；

(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． [解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 3分

又x ∈⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. 5分

(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x

＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π6＋12，8分

当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.

所以f (x )的最大值为3

2. 12分

B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．(2016·吉林延边模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )