信号与线性系统 管致中 第四版 第3章2(1)

22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F( j) A Sa( )
幅度频谱：
2
F
j
A
Sa
2
相位频谱：
0
π
4nπ 22n 1π
22n 1π 22n
2π
n 0,1,2,
32
周期信号与频谱
周期信号 f与T (t频) 谱 一一F对n 应
例如
fT (t)
1
T
t
22
fT (t) Fn
时域：连续、周期
Fn
1/4 Sa( )
T
2
4
0 2
2
4
频域：离散、非周期
33
非周期信号与频谱
非周期信号 f与(t频) 谱F(j)一一对应
4
2
414
16 cn
0 3 6 9 12
16 Fn
8
0 3 6 9 12
n 0 3 6 9 12
2
Fn
0 3 6 9 12
2
15
周期矩形脉冲的频谱
f (t)
1
T
2
0
2
T
t
Fn
1 T
2
Ee jn tdt
E
e jn t
2
2E
sin
n 2
2
T jn 2 T n
E
s
in
n 2
T
n 2
E Sa( n )
直观地表示出信号所含各谐波分量振幅的相对 大小。
3
n
频谱图
0 1 3 1
n 1
相位频谱图：
横坐标——频率(角频率) ；
纵坐标——各谐波相位
只在 nΩ 处有意义，即不连续，故称为离散频谱。
4
例
已知f (t) 1 sin1t 2cos
请画出其幅度谱和相位谱。
1t
cos
2
1t
π 4
T 4
1 Fn
4
T 8 T 16
0
2
Fn
1
8
0
2
Fn
1 16
0
2
21
结论
不变，Fn 的第一个过零点频率不变，
即 2 ， f 1 带宽不变。
T 由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的
幅度变小。
T 时，谱线间隔 0 ，这时：
周期信号 非周期信号；离散频谱 连 续频谱
22
e j1t e j1t
e j1t e j1t
1
2 e
j1t
π 4
2
e
j1t
π 4
2j
2
1 1
1 2j
e
j1t
1
1 2j
e
j1t
1 2
e
j
π 4
e
j21t
1 2
e
j
π 4
e
j
21t
2
F (n1)e jn1t n2
谱线
F0 F (0) 1
F1 F (1) 1.12 F1 F (1 ) 1.12 F2 F (21) 0.5 F2 F (21) 0.5
对可积， 即要求
f (t) dt
28
频率特性
与周期信号的傅里叶级数类似，F (一j般)为复函数
F ( j) F ( j) e j ()
F ( j) ~ 称为幅频特性； 频率特性 () ~ 称为相频特性。
29
傅里叶变换的三角形式
f (t ) 1 F ( j )e jtd 1 F ( j ) e jt d
An
5
n
0 1 2 3 4 5 67
2
1
30
1
2
3
4
5
6
7
53.13
60
9
例
已知f (t) =1+sint - cos3，t 试画出其单边谱和双边谱。
解：f (t) 1 cos(t ) cos(3t )
2
单边谱
An
1
n
0 123
0 1 2 3
2
单边幅度谱
单边相位谱
10
例
已知f (t) =1+sint - cos3，t 试画出其单边谱和双边谱。
§2 周期信号的频谱 频谱图
振幅频谱 相位频谱
周期信号频谱的特点
1
频谱
周期信号为 f (t) ，周期为T，其傅里叶级数为
f (t)
A0 2
n1
An cos(nt
n)
A0 a0
f (t)
Fne jnt
n
Fn
1 T
tT f (t)e jnt dt
t
指数形与三角形傅氏 级数的关系
幅频特性和相频特性
谱线
n
1 0.25 π 0.25π
c0振相O1幅 位频 频1谱 谱c2必 中21然的1 位角包于度络横的线轴绝的对O 上值方不1能；大2于1 。
5
0.15π
化为指数形式
已知f (t) 1 sin1t 2cos1t
请画出其幅度谱和相位谱。
cos
21t
π 4
，
f (t) 1 1
Bf
1 (Hz)
一般信号的频谱的的频带宽度——从零频率开始到频谱振幅降为
包络线最大值（主峰高度）的1/10的频率之间的频率范围。
一切脉冲信号的脉宽（脉冲宽度τ ）与频宽成反比；
时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。
τ减小，频宽加大，当τ→0时，频宽也无限趋大，此时，信 号能量就不再集中在低频分量中，而均匀分布于零到无限
24
大的全频段。
周期信号频谱的特点
离散频谱与连续频谱
时域中连续的周期函数，它的频谱在频域中是离散 的非周期函数。
当周期Ｔ增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅 度也相应的渐趋减小。当 T （周期函数变成非 周期函数）时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋 小。这时，离散频谱就变成连续频谱。即，时域中 连续的非周期函数，它的频谱在频域中是连续的非 周期函数。
T 2
(t)e jn0t dt
1 T
T (t) Fne jn0t
n
1 T
e jn0t
n
0
2
T
13
例 已知某周期信号三角型傅里叶级数的傅里叶谱图
如图所示，试求出该信号的时域表达式，并画出
信号的指数型傅氏级数的傅里叶谱图。
16 An
12 8 4
0 3 6 9 12
n
0 3 6 9 12
2
解：f (t) 16 12 cos(3t ) 8cos(6t ) 4 cos(9t )
Fn
| Fn
| e jFn
1 2
(an
jbn )
1 2
Ane jn
An an2 bn2
n
arctan
bn an
幅频特性
相频特性
F (n1 )
1 2
an2 bn2
1 2 An
n
tg1
bn an
2
Cn C1
C0
C3
频谱图
振幅频谱图：
1 31
横坐标——频率(角频率) ；
纵坐标——各谐波振幅
sin(3t 30 ) cos(3t 30 90 ) cos(3t 60 ) cos(7t 150 ) cos(7t 150 180 ) cos(7t 30 ) f (t) 2 5 cos(2t 53.13 ) 2cos(3t 60 ) cos(7t 30 )
f
(t)
1
1
[e
j
2
e
jt
e
j 2
e
jt ]
1
[e
j ( 3t
)
e
j ( 3t
)
]
2
2
1
1
e
e j 2
jt
1
j
e 2e
jt
1
e
j e
j3t
1
e j e j 3t
2
2
2
2
Fn
1
-3 -1 0 1 2 3
Fn
-3 -2
23
2
11
三角形式与指数形式的频谱图对比
An
1
0 123
单边幅度谱
Fn
•
c0
1指在数）型，傅三c2里角1 叶型谱傅又里叫叶谱双又边叫谱（单在边正谱0负。.2频5π率处均存
O • 振1幅谱2：1 直 流分量一样，其它1 情况双边谱振幅
指数形式的频是谱单图边谱振幅的一半。O
21
• 双•边相振F位幅n谱谱1两偶者对在称n，>0相时位相谱同奇。0对.1称5π。n
0.15π
0.25π
21 1 O 1 21
0 0 1 0.15π 1 0.15π 2 0.25π 2 0.25π
n
0.15π
0.25π
21 1 O
1 21
0.25π
0.15π 7
三角形式与指数形式的频谱图对比
三角函数•形一式个的周频期谱信号图与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）
之cn 间c1存2.在24一一对应的关系。 n
2
2
1
2
F(
j )
cost
d
无j 2穷1 多个F振( j幅)为sin1Ft(j无)dd穷 小
0
F ( j)
cost
d
求和 振幅 正弦信号
的连续余弦信号之和，频域范
围：
0
f (t) 1 F j e j td F j d e j t
2
2
无穷多个振幅为 1 F ( j无) d穷小 2
T
2
n 0, 1, 2,
Fn
E
T
2 4
o 3
16
周期T不变，脉冲宽度变Sa化(2第) 一0个2过 零点：
2
f(t) E
谱线间隔 2
T
Fn
E 5
＝2T
2
τo τ
脉冲宽2 度2缩小一倍
T
t
o
4
(a)
幅值减小一倍
f(t)
E
谱线间隔不变 2
T
Fn
E 10
o τ
第一个过零T点增加t一倍 o
的连续余弦信号之和，频域范
围：
30
单个矩形脉冲频谱
解：据傅里叶变换的定义有
F ( j) f (t)e jtdt
2
A e jt dt
2
A e jt
j
2
2
A
j
j
(e 2
j
e 2)
A
sin
2
2
ASa( )
2
f (t) A
t
22
31
单个矩形脉冲频谱
f (t) A
t
0 0 1 0.15π 1 0.15π 2 0.25π 2 0.625π
谱线
F0 F (0) 1
F1 F (1) 1.12 F1 F (1 ) 1.12 F2 F (21) 0.5 F2 F (21) 0.5
指数形式的频谱图
F n1
0.5 1.12 1 1.12 0.5
2
(b)
4
17
周期T不变，脉冲宽度变化
T
4
T
8
T
16
1 Fn
4
2
0 Fn
1 8
2
0Fn
1 16
2
0
18
结论
由大变小，Fn 的第一个过零点频率增大，
即 2 ，
f 1 称为信号的带宽， 确定了带宽。
由大变小，频谱的频带变宽，频谱的幅度变小。
由于 T 不变，谱线间隔不变，即 2 不变。
25
§3 非周期信号的频谱与傅里叶变换
非周期信号的傅里叶变换 非周期信号的频谱 周期信号与非周期信号的频谱比较
26
非周期信号的傅里叶变换单位频带上的频谱值
（复振幅）。 ——可理解成各频率 分量沿频率轴的分布 ，具有密度的量纲和 概念，故称为频率密 度函数。简称频谱密 度，或在不发生混淆 非周期信号：T趋于无限大，谱线间隔趋时于简无称穷频小谱量。d但ω，与离周散频 率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下期，信F号n趋的于频无谱穷概小念量上，但 FnT 可望趋于有限值，且为一个连续函数的，不通一常样记。为F(jω)。
0.5 1.12 1 1.12 0.5
21
1
21 1 O 1 21
1 O
21
0.25π
0.15π
8
例 画出周期信号 f (t) 2 3cos 2t 4sin 2t 2sin( 3t 30 ) cos(7t 150 ) 的振幅谱和相位谱
解：3cos 2t 4 sin 2t 5 cos(2t 53.13 )
T
19
脉冲宽度不变, 周期T变化
f(t) E
谱线间隔 2 T 2
Fn
E 5
o ¦
T
22
周期T扩展一倍
2T
t
o
第一(个a) 过零点
f(t) E
谱线间隔减小一倍
Fn
E 10
-
o
2
¦
2
第一个过零T点不变t
o
(b)
F0
T
Sa(0)
＝2T
2
4
幅值减小一倍
＝2
T
2
4
20
脉冲宽度不变, 周期T变化
周期信号频谱的特点
唯一性：
一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间 存在一一对应的关系。
离散性：
频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量， 故称为离散频谱。
谐波性：
频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。
收敛性：
各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐 渐减小。
1
-3 -1 0 1 2 3
n
0 1 2 3
2
单边相位谱
Fn
-3 -2
23
2
12
例
如图所示为单位冲激序列
T (t)
(t kT)
求其傅里叶级数与频谱。
k
Fn 1 T
T (t) (1)
0 20
0 T 2T
t
解：Fn
1 T
T
2 T
2
T
(t )e
jn0t dt
1 T
T
2
一般将最大的频谱幅度形象化称为主峰高度。
23
周期信号频谱的特点
频带宽度
理论上周期信号的谐波分量无限多。实际只考虑频率
较低的一部分分量。
周期信号的频带宽度——从零频率开始到需要考虑的
最高分量的频率间的这一频率范围，简称带宽。
包络线为抽样函数的频谱的频带宽度——从零频率开始到频谱包
络线第一次过零点的频率(2π/τ)之间的频率范围。
27
非周期信号的傅里叶变换对
傅里叶变换 傅里叶反变换
F ( j) f (t) e j tdt
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
简记：F(j)=F [ f (t)] 称频谱函数；
f (t) = F 1[F(j)] 称为原函数。
或记为： f (t) F( j)
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为 f(t) 应满足绝
，
先将含有相同频率的正弦项与余弦项合并为一个余弦
项，且所有项都表示为带正振幅的余弦项。
f (t) 1 5 cos
三角函数形式的傅里叶 级数的谱系数
(1t
A0 1 2
0.15π
)
cos 2
0 0
1t
π 4
A1 5 2.236 1 0.15 π
三角函数形式的频谱图 A2 1
注意c：n c1 2.24