微专题12 数列中与“恒成立”相关问题 讲义-2021届高三数学二轮复习

微专题12 数列中与“恒成立”相关的问题

【例题1】已知数列{}n a ，=++2

3n a n n λ，3a 数列{}n a 的最小

项，求实数λ的取值范围．

解法1a n ≥a 3对任意n ∈N *恒成立，即λ(n －3)≥－(n －3)(n ＋3)．当n ≥4时，λ≥－(n ＋3)，所以λ≥－7；当n ≤2时，λ≤－5；当n ＝3时，λ∈R ；综上所述，－7≤λ≤－5，即实数λ的取值范围为[－7，－5]．

解法2函数f (x )＝x 2

＋λx ＋3的对称轴为x ＝－λ2，考虑到数列自变量n ∈N *

：52≤－λ2≤7

2，所以－

7≤λ≤－5，即实数λ的取值范围为[－7，－5]．

【例题2】已知数列{}n b 满足n 1

2122n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭

，若数列{}n b 是单

调递减数列，求实数λ的取值范围．

解析：由题意可知对任意n ∈N *，

数列{b n }单调递减，所以b n ＋1

2)n －(n ＋1)2<2λ(－

12)n －1－n 2

，即

6λ(－1

2)n <2n ＋1对任意n ∈N *恒成立，因为(2n ＋3)·2n ＋1－(2n ＋1)·2n ＝2n ·(2n ＋5)>0，所以数列{(2n ＋1)·2n }单调递增，当n 是奇数时，λ>－（2n ＋1）2n

6

，因为数列 ⎩⎨⎧⎭⎬

⎫－（2n ＋1）2n 6单调递减，所以当n ＝1时，－（2n ＋1）2n

6取得最大值－1，所以λ>－1；当n 是偶数时，λ<（2n ＋1）2n 6，因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫（2n ＋1）2n 6单调递增，所以当n ＝2时，

（2n ＋1）2n

6取得

最小值103，所以λ<103.综上可知，－1<λ<103，即实数λ的取值范围是(－1，103)．

【归纳总结】数列中项的最大最小问题，数列的单调性问题都可转化为“恒成立”问题．

【串讲1】已知11

1,232+1

n a n n n =

+++++， 若2

n m

a m >

+，对一切大于1的自然数n 恒成立，试确定实数m 的取值范围．

解析：由题意可知，f(n)＝S 2n ＋1－S n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1.所以f(n ＋1)－f(n)＝(1

n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3)－(1n ＋2＋1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1)＝12n ＋2＋12n ＋3－1

n ＋2＝(12n ＋2－12n ＋4)＋(12n ＋3－1

2n ＋4)>0.所以

f(n)在(2，＋∞)单调递增，从而f(n)min ＝f(2)＝920，从而－2

11.

【串讲2】已知各项是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S .

若()2*12

N ,23

n n n a S S n n -++=∈，且12a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；2331,2

n n n n

a n S +=-=

（2）若1

2n n S λ+⋅对*N n ∈恒成立，求实数λ的取值范围；

答案：(1)①a n ＝3n －1，②⎣⎡⎭⎫

1516，＋∞；*(2)q .

解析：(1)①当n ≥2时，由S n ＋S n －1＝a n 2＋23，(*)，则S n ＋1＋S n ＝a n ＋12＋2

3，(**)1分 (**)－(*)得a n ＋1＋a n ＝1

3(a n ＋12－a n 2)，即a n ＋1－a n ＝3，n ≥2，3分

当n ＝2时，由(*)知a 1＋a 2＋a 1＝a 22＋2

3，即a 22－3a 2－10＝0，解得a 2＝5或a 2＝－2(舍去)， 所以a 2－a 1＝3，即数列{a n }为等差数列，且首项a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝3n －1. 4分 ②由①知，，所以，

由题意可得λ≥S n 2n ＋1＝3n 2＋n

2n ＋2 对一切n ∈N *恒成立，5分

记c n ＝3n 2＋n 2n ＋2，则c n －1＝3（n －1）2＋（n －1）2n ＋1，n ≥2，所以c n －c n －1＝－3n 2＋11n －4

2n ＋2， n ≥2.当n >4时，c n

2，所以当 n ＝3时，c n ＝3n 2＋n 2n ＋2取得最大值1516，7分

所以实数λ的取值范围为⎣⎡⎭⎫

1516，＋∞.8分

【串讲3】在数列{}n a 中，已知112,321n n a a a n +==+-.

(1)求证：数列{}n a n +为等比数列；

(2)记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3n T T ≥恒成立，求λ的取值范围．

解析：(1)∵a n ＋1＝3a n ＋2n －1，

∴a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n)．又a 1＝2，∴a n >0，a n ＋n>0，故a n ＋1＋n ＋1

a n ＋n ＝3，∴{a n ＋n}是以3为首项，公比为3的等比数列．

(2)由(1)知a n ＋n ＝3n ，

∴b n ＝3n

－nλ.∴T n ＝31

＋32

＋ (3)

－(1＋2＋3＋…＋n)λ＝3

2(3n

－1)－n （n ＋1）2

λ.若T 3为数列{T n }中的最小项，则对n ∈N *

有3

2(3n

－1)－n （n ＋1）2

λ≥39－6λ恒成立．即3n ＋1－81≥(n 2＋n －12)λ对

n ∈N *

恒成立.1°当n ＝1时，有T 1≥T 3，得λ≥36

5；2°当n ＝2时，有T 2≥T 3，得λ≥9；3°当

n ≥4时，n 2＋n －12＝(n ＋4)(n －3)>0恒成立，∴λ≤3n ＋1－81

n 2＋n －12对

n ≥4恒成立．令f (n )＝3n ＋1－81

n 2＋n －12，

则f (n ＋1)－f (n

)＝

3n ＋1（2n 2－26）＋162（n ＋1）

（n 2＋3n －10）（n 2＋n －12）>0对n ≥4恒成立．∴f (n )＝3n ＋1－81

n 2＋n －12在n ≥4时为单调递增数

列．∴λ≤f (4)，即λ≤814.综上，9≤λ≤814，即实数λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤

9，814.