函数单调性、奇偶性、周期性知识点

一轮复习知识点

一、函数

（二）函数性质——单调性、奇偶性、周期性

一、函数的单调性

1.定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆，如果取区间M 中任意两个值12,x x ，改变210x x x =->，则当21()()0y f x f x =->时，就称()y f x =在区间M 上是增函数，当

21()()0y f x f x =-<时，就称函数()y f x =在区间M 上是减函数。

2.单调性：如果某个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性。

3.判断函数单调性的方法

（1）定义法

121212121.,,2.()()3..()()5.x x x x y f x f x y y f x f x <⎧⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎩在区间上任取且计算将变成因式乘除形式，便于判断符号4判断的正负下结论

（2）元素分析法

（3）求导

（4）图像法

（5）复合函数[][]1.()()()2.()()()f x g x f g x f x g x f g x ⎧⎪⎨⎪⎩

与单调性相同，单调增与单调性相反，单调减 （6）函数加减：公共定义域内，()()f x g x 与的单调性

+=+=-=-=⎧⎨⎩增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数

二、奇偶性

1.定义：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这

个函数叫做奇函数；设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x gx -

=，则这个函数叫做偶函数。

2.奇偶性图像性质汇总 奇偶性

共同点 定义式 图像 0x = 单调性 奇函数

定义域关于原点对称 ()()f x f x -=- 关于原点对称 (0)0f = 对应区间单调性一致 偶函数 ()()g x g x -=

关于y 轴

对称 对应 区间单调性相反

3.判断函数奇偶性的方法

（1）定义法：

奇函数：()()f x f x -=- ()()0f x f x -+= ()1()

f x f x -=-

偶函数：()()g x g x -= ()()0g x g x --=

()1()f x f x -=

（2）图象法

（3）性质法

①偶+偶=偶 偶-偶=偶

偶*偶=偶 偶/偶=偶

②奇+奇=奇 奇-奇=奇

奇*奇=偶 奇/奇=偶

③奇*偶=奇 奇/偶=奇

④()[()]F x f g x = ()()()()()()f x g x x f x g x x f x g x x ⎧⎪⎨⎪⎩

为偶，为偶，F()为偶为奇，为奇，F()为奇为偶，为奇，F()为偶

三、周期性

1.定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内每一个值，都有()()f x T f x +=，那么，()f x 叫做周期函数，T 叫做()f x 的周期。如果所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数就叫做最小正周期。

2.性质：

（1）周期不止一个，若T 是()f x 的周期，则nT 也是周期。

（2）()f x 的周期为T ，则()f x ω也是周期函数，周期为

T ω （3）()f x 周期为T,则T 也是

1()f x 的周期。 3.周期的判定

（1）()()f x a f x +=- 1()()f x a f x += 1()()f x a f x +=- ()1()()1

f x f x a f x ++=- 1()()1()

f x f x a f x -+=+ ()()f x a f x a +=- (2)()f x a f x += 函数()f x 满足以上任一条，则为周期函数，2a 为它的一个周期。

(2)①()f x 关于x a x b ==与对称（a

②()f x 关于x a =与(b,0)对称(a b ≠)，()f x 为周期函数，T=4（b-a ）

③()f x 关于(a,0)与(b,0)对称，()f x 为周期函数，T=2（b-a ）